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矩阵论向量范数

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第六讲
主要内容：向量范数，重要例子，等价范数
第四章 范数理论及其应用
4.1 向量范数及其性质
定义 4.1 设是数域上的线性空间，
满足
(1) 则称是上的一个范数。

例1 是上的一个范数.
问题: 你能想象该范数的重要意义吗?
定义4.2设是数域上的线性空间，是
上的一个范数，若，则
称时，按范数收敛到，记为。

例2 ，对定义
(2) 是一个范数。

例3 ，对定义
(3) 是一个范数。

例4 ，对定义
(4)
是一个范数。

例5 ，对定义
(5)
是一个范数。

例6 ，对，定义
(6)
是一个范数。

Minkowski不等式
(7) Holder不等式，
(8)
例7 ，对，及正
定矩阵定义
(9)
是一个范数。

证明：练习。

例8 一个区域，，
定义
(10) 则是一个范数。

有限维空间上的范数的等价
定义 4.3 是空间上的两个范数，
若存在使得，则
称范数比强；若存在使得
，则称范数
与等价。

性质1 若范数比强，则
若范数与等价，则
性质2 范数与等价，则范数与
等价。

性质3 是空间上的三个范数，
若与等价，与等价，则与
等价。

定理4.1.1 设是一个有限维空间，则上的
任意两个范数都是等价的。

证明：取的一组基，则对
，，定义
则是上的一个范数（练习）。

对上任意范数，令
由
知是一个连续函数，记
则对，，所以
从而，所以范数
与范数等价。

最后，由性质3知道上的任意两个范
数都是等价的。

推论 上的任意两个范数引导的收敛性都
相同，都等价于按坐标收敛。

练习 对，有
Fun Note
闵科夫斯基 MINKOWSKI,Hermann 1864.6.22—1909.1.12
德国数学家。

生于俄国的阿列克萨塔斯〔Alexotas，今在苏联考纳斯(Каунас)〕，卒于格丁根。

8岁时随全家迁回德国，曾在柏林大学学习。

后入柯尼斯堡(Konigsberg)大学，在那里与数学家希尔伯特结为挚友。

1885年获数学博士学位。

经过短期服役后，相继在波恩，柯尼斯堡(1895)、苏黎世(1896)、和格丁根(1903)等地大学任数学教授。

在格丁根时与希尔伯特一起领导过数学讨论班。

1881年，巴黎科学院悬赏征求下述问题的解：将一个数表成五个平方数的和。

年仅17岁
的闵科夫斯基提交出大大超过原问题结果的论文，给出了更一般的答案。

终于在1883年与当时英国著名的数学家亨利·史密斯同获这项数学大奖。

从此，闵科夫斯基与数论结下不解之缘，在代数数论，特别是有理系数的二次型理论方面做出了突出贡献。

他创用几何方法去研究数论，其目的是用几何图形来表达有理数的代数猜想，结果常常使证明变得更加简洁。

1896年他出版了有关的系统论著《数的几何》(Geometrieder Zahlen)，将数论中型的理论提升到一个新的高度。

闵科夫斯基应用几何方法对连分数理论和n维空间的凸性理论作了探索，他还由对应几何原理引进空间距离的新定义，为本世纪20年代建立赋范空间铺平了道路。

闵科夫斯基的另一贡献是与著名物理学家爱因斯坦同时奠定 了相对论的基础。

他曾在1908年的科学年会上提出若干有关电动力学的新结果。

他的演讲以《空间和时间》(Raum und Zeit，1907)为主题，引进了极为简单的数学空一时观。

根据这种思想，某些现象可以用简单的数学方式表出，使三维几何学变成了四维物理学。

他的工作为相对论提供了数学工具。

1909年，闵科夫斯基因急性阑尾炎引起的并发症早逝于格丁根。

赫尔德 HOLDER,Otto Ludwig 1859.12.22—1937.8.29
德国数学家。

生于斯图加特(Stuttgart)，卒于莱比锡。

1877年入柏林大学学习，1882年获博士学位。

1884年任格丁根大学讲师，不久成为蒂宾根大学副教授。

1894年受聘为柯尼斯堡大学教授。

1899年任莱比锡大学教授，并被选为科学院院长，巴伐利亚(Bavaria)科学院通讯院士(1927)。

赫尔德在数学分析、函数论、级数论、群论、几何学、数学基础等方面作出了重要贡献。

他提出了后来以其名字命名的体积密度连续性条件，提出了以算术方法求和的法则。

给外尔斯特拉斯定理——解析函数可任意接近其本性奇点邻域中的每一个值——提供了第一个完整的证明。

研究了其幂级数在收敛圆周上的点发散的解析函数。

论证了它们在收敛圆周上点的极限值是可以计算出来的。

考察了不必连续或不必有界的函数的傅立叶级数的收敛性。

首先将傅立叶系数定义为非正常积分的新形式。

作出了在数学分析中有广泛应用的赫尔德不等式，包含了施瓦尔兹不等式对一般指数推广的情形。

研究了正规链理论，得出了在群论中有重要意义的若尔当一赫尔德序列和若尔当—赫尔德定理。

考察了单群理论，探讨了商群和正规子群所构成的群的结构。

在几何学和数学基础方面，有《几何学中的观点和思想》(Anschauungen und Denken inder Geometrie，1900)《数学方法》( Die mathematische Methode，1924)等著作。

赫尔德也很注意研究与物理学密切相关的数学问题，例如，他论证了哈密顿变分原理对于非完整运动(nonholonomic mo‐tion)同样是有效的。

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矩阵的范数

矩阵的范数

矩阵的范数文章目录•前言•一、诱导范数（Induced norm）••谱范数•二、向量式范数（Entry-wise norm）••F-范数•三、Schatten 范数（Schatten norm）•四、矩阵2-范数•总结前言矩阵分析学习笔记之矩阵范数。

三类重要的矩阵范数：诱导范数（Induced norm），向量式范数（Entry-wise norm），Schatten 范数（Schatten norm）。

矩阵A ∈ K m × n A\in K^{m\times n}A∈Km×n表示其定义在实数域或者复数域上。

一、诱导范数（Induced norm）诱导范数也称算子范数（operator norm）。

诱导p-范数的定义如下：∥ A ∥ p = s u p x ≠ 0 ∥ A x ∥ p ∥ x ∥ p \Vert A\Vert_p=\underset{x\neq 0}{\rm sup}\frac{\Vert Ax \Vert_p}{\Vert x\Vert_p}∥A∥p=x=0sup∥x∥p∥Ax∥p特别的，当p = 1 p=1p=1时，有∥ A ∥ 1 = max ⁡ 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}\vert a_{ij}\vert∥A∥1=1≤j≤nmax i=1∑m∣aij∣也就是绝对值的列和的最大值。

当p = ∞ p=\inftyp=∞时，有∥ A ∥ ∞ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i\lem}\sum_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert∥A∥∞=1≤i≤mmax j=1∑n∣aij∣也就是绝对值的行和的最大值。

向量范数与矩阵范数的相容性

向量范数与矩阵范数的相容性


x v 1
v
例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数
所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n)
n
(1)
A
1

max j
i 1
aij
为从属于向量1 – 范数的矩阵范数
列模和之最大者：列和范数
n
(2)
A


max i
j 1
x
F
2
因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。
对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？
任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？
从属于向量范数的矩阵范数
定理1 给定C n 上的向量范数 v ，ACnn 定义
Ax A max v
x x v
则
是Cnn上与向量范数
aij
2
2

与向量范数
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 2
n i 1
a n
2
k 1 ik k

n(
i 1
n k 1
aikk
)2

n (
i 1
a n
k 1 ik
k )2

n [(
i 1
n k 1
aik
2 )(
n k 1
k
2
)]

n i 1
a n
2
k 1 ik
n
2
k1 k
A x
F
2
||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范 数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即
矩阵范数理论及其应用

矩阵范数理论及其应用

第四章 矩阵范数理论及其应用知识要点：1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数px 和∞范数x∞，pp lim xx ∞→∞=，aP a xPx =，2H H PxPx x P Px ==，有限维赋范空间的范数是等价的）2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，FEn =，相容性：AB A B ≤，1E ≥）3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）§4.1 向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）：(1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。

(2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。

(3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。

则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。

易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。

若0n x x -→，则称nx 收敛于x ，记为n x x →。

例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()baf t f t dt =⎰，()max ()a t bf t f t ∞≤≤=，1()()bpppa f t f t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，1p ≤<∞。

分别称之为1-范数，∞-范数，p -范数。

注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。

性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。

矩阵范数理论及其应用

矩阵范数理论及其应用

1
n 2 2 x k k E ，成立着 A x k B x 。 k 1 k 1
证明： x

k 1 k
n
k
0 时，令 y
x

k 1
n
， f (1 , 2 ,
2 k
, n ) y ，则 f (1 , 2 ,
p p
n 定理 1：对于 n 维向量 x C ， lim x
x 。
注：几何意义上，向量 PQ 的 2-范数、 ∞-范数和1-范数分别是斜边 PQ 长度、直角边 PR 长 度以及两直角边 PR 和 RQ 的长度之和。
三、范数的等价性
定义 3：对任意 x V ，满足不等式 C1 x

x
j 1
设 A ( aij ) C
n
n n
， x (1 , 2 ,
, n )T C n ， 令 Ax y (1 ,2 ,
,n )T ， 其 中
,n。 i a i j j， i 1, 2,
j 1
Ax

y

max i max aij j max ( aij j ) x max aij 。
中范数，且 P, Q C
F
都是酉矩阵，则
n n
PA
F
AQ
F
A F ，即给 A 左乘或右乘以酉矩阵后其
值不变 (在 A R
时P 和
Q 都是正交矩阵 )。
证明： PA
F
[tr ( AH P H PA)] 2 [tr ( AH A)] 2 A F 。
1
1
由 A
F
( aij )