高中数学《向量的线性运算》教案5 苏教版必修4

向量加法运算及其几何意义内容和内容解析本节课内容选自普通高中课程标准实验教科书必修4(A版)P89——94，是在学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课，因为引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是数学研究中的基本问题，类比数的运算，向量是否能够进行运算呢？向量的工具作用如何发挥呢？这是学生认知冲突的地方，这一冲突正是数学建模思想应运而生，也是激发学生进一步探究数学新知的契机。

这一节内容更是后续学习的铺垫，因为向量加法运算是平面向量的线性运算（向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算）最基本、最重要的运算，减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算，这一节学习好坏关系后续内容能否进一步领会和掌握。

因此教学重点放在对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解上，也即向量是如何相加的，而数学建模思想是帮助学生理解的神经中枢。

目标和目标解析1.通过对物理中的位移合成认识、动手操作力的合成实验，了解向量加法不同于一般意义上数量相加，有其遵循的新规则，在此基础上理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程。

2.在学生探究向量加法感性认识的基础上，引导学生理解向量加法遵循的“规则”，即三角形法则和平行四边形法则，并能正确作出两向量和的图形，能对学生不同理解作出正确评价，为探究运算律奠定基础，切实掌握两个向量加法运算律，因为在今后向量运算中，缺少箭头表示方向，很多学生会产生陌生感，影响向量工具性能，务必使学生能灵活应用它们进行向量运算。

3.从位移合成、力的合成实践中得到向量加法运算法则，之后用来解决例2实际问题，让学生体验数学来源于现实生活,又服务于现实生活的道理，渗透数学建模思想。

教学问题诊断分析向量加法不同于小学里“2个苹果加上3个苹果共有几个苹果？”，也不同于初一时的求“两线段的和”不考虑方向。

向量是既有大小又有方向的量，如何处理大小相加和方向相加，这是本节课学生最难弄懂的地方。

学生要么无法计算，要么按照线段相加乱套，即是在以后的学习中，很多学生对求同一点出发的两向量和，不会用平行四边形法则来解决。

2.2 向量的线性运算知识、方法要求建议向量加、减法和数乘运算 理解 与实数的运算比较,注意运算法则的异同,理解共线定理的应用向量共线定理理解 向量的线性运算性质及其几何意义了解二、 预习指导 1. 预习目标(1)理解向量加法的定义；掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则；(2)理解相反向量的概念，掌握向量减法运算的法则．并结合平面上的三角形、四边形等图形进行向量的加、减法运算；(3)理解两个向量共线的充要条件，能用已知向量去表示与它共线的向量，能通过向量的加减运算及实数与向量的积的运算，判断两个向量是否共线． 2. 预习提纲 (1) 向量的加法回忆物理中矢量加法的相关知识，阅读教材P59~61内容，阅读课本上的例题.例1讲的是向量的加法，计算时要善于把向量放到具体的三角形或平行四边形中，灵活应用两种加法法则．思考：①在四边形ABCD 中，AB BC CD DA +++u u u r u u u r u u u r u u u r等于什么？②n 个首尾相连的向量的和向量有何特点？例2讲的是向量的加法的实际应用，解决这类问题的基本步骤是将实际问题的量用向量表示、画图、用向量的加法解决问题． (2) 向量的减法回忆物理中矢量减法的相关知识，阅读教材P61~63内容，阅读课本上的例题.例1中向量的减法的作图说明当,a b r r起点相同时，从b r 的终点指向a r 的终点的向量就是a b -r r ．例2体会将一个向量表示成几个向量的和或差的方法，这种“由简化繁”在数学证明中常常用到． (3) 向量的数乘阅读教材P63~64内容，阅读课本上的例题.例2让我们认识到向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似. (4) 向量共线定理阅读教材P64~66内容，思考①向量的数乘与实数的乘积有何异同？②共线向量定理(0)b a a λ=≠r r r r中为什么要规定0a ≠r r ？阅读课本上的例4，回答下列问题①如果λ＞0，λ＜0时，点C 分别在直线AB 的什么位置上？②当C 与A 重合时，λ的值为0；③当C 与B重合时，满足关系式 AC CB λ=u u u r u u u r的λ还存在吗？3. 典型例题 (1) 向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则是等价的，具体应用时三角形法则要求“首尾连接”，平行四边形法则要求“共起点”，由已知向量表示未知的向量．例1 如图，点D 、E 、F 分别是ABC ∆三边AB 、BC 、CA 的中点.求证：(1)AB BE AC CE +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ； (2)0EA FB DC ++=u u u r u u u r u u u r r .分析：求两个向量的和，当两向量的起点相同时，可以用平行四边形法则，当一个向量的终点为另一个向量的起点时，可以用三角形法则. 证明：(1)在ABE ∆中，由向量加法的三角形法则知：AB BE AE +=u u u r u u u r u u u r，同理ACE ∆中，由向量加法的三角形法则知：AC CE AE +=u u u r u u u r u u u r, 所以;AB BE AC CE +=+u u u r u u u r u u u r u u u r(2)因为点D 、E 、F 分别为ABC ∆三边的中点，则四边形ADEF 为平行四边形，则ED EF EA +=u u u r u u u r u u u r ,同理四边形BEFD 中，FD FE FB +=u u u r u u u r u u u r, 四边形CFDE 中，DF DE DC +=u u u r u u u r u u u r,将以上三式相加得：EA FB DC ED EF FD FE DF DE ++=+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()()0ED DE EF FE FD DF =+++++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r r .例2 已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心．若,BA a BC b ==u u u r r u u u r r，试用a r 、b r 表示向量,,OE BF BD u u u r u u u r u u u r．分析：结合图形性质，准确灵活应用三角形法则和平行四边形法则是向量加法运算的关键．解：由图可知OE uuu r =BO uuu r，在四边形ABCO 中，根据平行四边形法，则BO uuu r =BA u u u r +BC uuu r =a b +r r ；由三角形法则可知BF u u u r =BO uuur +OF u u u r =BO uuu r +BA u u u r =a b +r r +a r ；BD u u u r =BO uuu r +OD u u u r =BO uuu r +BC uuu r =a b +r r b +r ＝2a b +r r ．点评：此题属于用已知向量表示未知向量，尽量把未知向量放在三角形中，利用向量加法法则向已知量转化，注意相反向量和向量和为零的向量． (2) 向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算，向量的减法满足三角形法则，运用三角形法则解决问题.例3 化简：()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r.分析：常有三种方法进行向量的加、减运算：(1)利用AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r统一成加法运算； (2)利用AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r统一减法运算； (3)利用AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r进行合并运算．解：解法一:()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u rAB CD AC BD =--+u u u r u u u r u u u r u u u r0AB DC CA BD AB BD DC CA =+++=+++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r解法二:()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u rAB CD AC BD =--+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()()()0OB OA OD OC OC OA OD OB =-----+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r解法三:()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u rAB CD AC BD =--+u u u r u u u r u u u r u u u r()0AB AC CD BD BC CD BD DB BD =--+=-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r点评：解决此类问题的一般方法是根据式子的特点重新组合，将首尾相接的向量分在一起，并灵活运用相反向量变形．特别是逆用向量减法．例4 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若a r ＝AB u u u r ，b r ＝BC uuu r ，c r＝OD u u u r ，求证：c r +a r －b r ＝OB uuu r．分析：本题解法很多，通过一题多解，加深对向量加减法概念的理解，熟悉加减法运算的法则．证明：在平行四边形ABCD 中，,AB DC AD BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r．∴ ()c a b OD AB BC OD AB AD OD DB OB +-=+-=+-=+=r r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．点评：本题的其他证法，如OB OC CB AO BC AB BO BC AB OD =+=-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r BC -u u u rc a b =+-r r r 或a b AB BC AB AD DB DO OB c OB -=-=-==+=-+r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r等等，可根据不同的思考给出不同的解答． (3) 向量的数乘了解向量数乘运算与加法的联系，及向量数乘的几何意义，向量共线定理对于证明三点共线的问题有很多应用．例5 计算(1)6a r -[4a r -b r -5(2a r -3b r )]+(a r +7b r)；A BCDENM(2)11[(32)5(69)]23a b a a b -+--rr r r r .分析：运用运算律，类比合并同类项求解解：(1) 原式＝6a -[-6a -b +15b ]+a +7b ＝13a -7b ；(2) 原式＝111(32523)(6)3222a b a a b a b a b -+-+=+=+r r r r r r rr r .点评：向量的线性运算类似与代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中可以使用.例6 在ABC ∆中，2,//3AD AB DE BC =u u u r u u u r交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ．设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，用,a b r r 表示向量,DE AN u u u r u u u r ．分析：本题除要进行向量的加减运算外，还有数乘向量运算，同时还要利用相似三角形来解决.解：,AB a AC b ==u u u r r u u u r r QBC AC AB b a ∴=-=-u u u r u u u r u u u r r rADE ABC ∆∆Q ∽22()33DE BC b a ∴==-u u u r u u u r r r又ＡＭ是ABC ∆的中线，则1122AM AB BM a BC a =+=+=u u u u r u u u r u u u u r r u u u r r r（+b ）， 21()33AN AM a b ∴==+u u u r u u u u r r r例7 (1)已知a ，b 满足31(32)525a b a b a b +--=+r r r rrr ，求证：a ，b 共线； (2)设两个非零向量1e 和2e 不共线，如果AB ＝21e ＋32e ，BC ＝61e ＋232e ，CD ＝41e －82e ，求证：A 、B 、D 三点共线.分析：解决向量共线问题，就要根据向量共线的条件a b λ=r r，此题考查向量共线定理．证明：(1)由31(32)525a b a b a b +--=+r r r rrr ，得79a b =r r ，所以a ，b 共线． (2)＝＋＋＝21e ＋32e ＋61e ＋232e ＋41e －82e ＝121e ＋182e ＝6(21e ＋32e )＝6，∴AD ∥AB ，即向量AD 与AB 共线，且又有相同起点A ，∴A 、B 、D 三点共线． 点评：本题给出了利用向量共线定理证明三点共线的方法，关键是能否找到惟一的实数λ使a b λ=r r．先证向量共线，再证三点共线．例8 已知i r 和j r 是两个不共线的向量，AB u u u r =32i j +r r ，CB =i ρj λ+r，CD =2i j -+r r ，若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值．分析：解决本题首先由三点共线得两个向量共线，再利用向量共线定理存在惟一实数μ，使AB u u u rBD μ=u u u r ，最后利用待定系数法求解．解：∵(2)()3(1)BD CD CB i j i j i j λλ=-=-+-+=-+-u u u r u u u r u u u r r r r r r r，且A 、B 、D 三点共线，∴向量AB 与BD 共线，因此存在实数μ，使得AB u u u r=μBD ， 即32i j +r r =μ[3(1)i j λ-+-r r ]=3(1)i j μλμ-+-r r ．∵i ρ与j ρ是两不共线的向量，于是根据向量相等的条件，可得⎩⎨⎧=-=-2)1(33λu u ∴⎩⎨⎧=-=31λu 故当A 、B 、D 三点共线时，λ=3．点评：求参数时，要充分利用向量共线定理和待定系数法求解．例9 (1)已知,OA OB u u u r u u u r 为两个不共线的向量，且AP =u u u rt AB u u u r ，其中，t 是实数．求证：OP ＝(1－t )＋t ；(2)在△ABC 中，P 是AB 边的中点，求证：1(2CP =u u u r )CA CB +u u u r u u u r.分析：(1)中由AP ＝t AB 可知A 、P 、B 三点共线，对直线外任意一点Ｏ，结论可知OP uuu r可以表示为OA 与OB 的线性组合，且其系数之和为１．(2)是(1)的一个特殊情形，对于关系OP ＝(1－t )OA ＋t OB ，则有其另外的意义，在后面的教学中还会涉及．下面看一看当t 分别取0，1，－1，21时，点P 在直线AB 上的位置：当t ＝0时，P 与A 重合；当t ＝1时，P 与B 重合；当t ＝－1时，P 在BA 的延长线上，且|AP |＝|AB |．证明：(1)∵＝t (t ∈R )，∴OP ＝OA ＋AP (加法法则) ＝OA ＋t (已知条件置换)＝OA ＋t (OB －OA ) (减法法则) ＝OA ＋t OB －t OA (运算律) ＝(1－t ) OA ＋t OB ． (运算律) (2)∵ P 是AB 的中点，则AP ＝21AB ＝21(CA －CB )， ∴CP ＝CA ＋AP ＝CA ＋21(CB －CA )＝CA ＋21CB －21CA＝21(CA ＋CB )． 4. 自我检测 1．化简：(1)MB AB ++(BC BO +)+OM ＝ ；(2)化简：①AB u u u r －AC u u u r +BD u u u r －CD uuu r +AD u u ur ＝ ；(3)31[21(2a ＋8b )－(4a －2b )]= . 2．在正六边形ABCDEF 中，O 为中心，若OA u u u r ＝a r ，OE uuu r ＝b r ，则OB uuu r ＝__________, OC u u u r＝___________.OD u u u r＝_______________.3．已知四边形ABCD 是正方形，E 是DC 中点，且AB u u u r =a r ，AD u u u r =b r ，则BE u u u r等于 ．4．在矩形ABCD 中，|AD | = c b a BD c BC b AB a ++===求向量设;,,.34的大小和方向．5．下列命题：①在ABC ∆中必有0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ；②若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；③若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b | 一定相等．其中真命题的个数为 ．三、 课后巩固练习A 组1．化简：(1)OA OC OB CO --+-=u u u r u u u r u u u r u u u r；(2)AB DC BD AC ++-u u u r u u u r u u u r u u u r= ；(3) 已知：3()()2(2)40x a x a x a b -++-+-=r r r r r r r r，则x r = ．2．设四边形ABCD 是平行四边形，则BC CD BA -+u u u r u u u r u u u r等于 ．3．正方形ABCD 的边长为1，则AB AD BC +-u u u r u u u r u u u r＝____________.4．若 D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r= ．5. 以下四个命题 ：①若0,//0a a ≠r r r r则 ；②|a +b | ＜ |a |+|b |；③如果非零向量与的方向相同或相反，那么+的方向必与、之一相同；④[(a r +b r )+c r ] + d u r = [(d b +u r r )+c r ]+a r.其中正确的序号是 ． 6．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则PA PC +u u u r u u u r = ．7．已知△ABC 是正三角形，以下等式：①|BC AB +| = ||+ ；②||||++=++；③||||CB CA AC AB +=+；④||||BC BA CB AC +=+，其中不成立的序号为 ．8．已知向量a r ，b r ，c r 的模分别为1，2，3，则a b c ++r r r 的最大值为 ；此时a r ，b r，c r的方向 ．9.若点O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OB OC OB OC OA OA -=+--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABC的形状是 .10．若M 、N 、P 三点共线，且2,MP PN MN PM λ=-=u u u r u u u r u u u u r u u u u r，则λ= ．11．若1e ，2e 是不共线的向量，1e 14e -u r与k 1e ＋2e 共线，求实数k 的值．12．已知1e ，2e 是不共线向量，若a r ＝1234e e -u r u u r ，b ＝61e 2ke +u u r，且a //b ，则k 的值为 ．13．在四边形ABCD 中，2,4,53AB a b BC a b CD a b =+=--=--u u u r r r u u u r r r u u u r r r ，其中,a b r r不共线，则四边形ABCD 的形状为 _______．14．已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD r AB sAC =+u u u r u u u r u u u r，则s r +的值是 ．15．，不共线，且,,(,)AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈u u u r r u u u r r r r， 如果A ，B ，C 三点共线，则,λμ所满足的条件是 ．16．四边形ABCD 是一个梯形，//,AB DC 且2,AB DC =M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r 试用,a b r r 表示,,DC BC MN u u u r u u u r u u u u r ．B DE CFO AB 组17．已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线，且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ，则BC u u u r可用向量,a b r r表示为 ．18．△ABC 的平面上有点P ，满足条件：PA ＋PB ＋PC ＝AB ，试确定点P 的位置．19．已知四边形ABCD 满足2,4,53AB a b BC a b CD a b =+=--=--u u u r r r u u u r r r u u u r r r,求证：四边形ABCD是梯形．20．已知平面上不共线的三点O ，A ，B ．λ，μ是实数，如果λ＋μ=1，且OP =λOA +μOB ，则点P 在何处？21．已知a r 、b r 是两个不共线但共起点的非零向量，t 为何值时，a r ，tb r ，1()3a b +r r三向量的终点在一直线上(t R ∈)？22．如图，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，O 是DC 的三等分点，23AE AD =u u u r u u u r ，AB a =u u ur r ，AC b =u u u r r ． (1)用a r ，b r 表示向量AD u u u r 、AE u u u r 、BE u u u r 、OE uuu r ；(2)求证B 、E 、F 三点共线．23．已知向量a r ，b r的模分别为5，12，(1)求a b -r r 的取值范围；(2)当满足什么条件时，a b -r r=13．24．设,a b r r 是两个非零向量，则下列说法正确的序号为 .○1.若a b a b +=-r r r r ,则a b ⊥r r○2.若a b ⊥r r ，则a b a b +=-r r r r ○3.若a b a b +=-r r r r，则存在实数λ，使得b a λ=r r ○4.若存在实数λ，使得b a λ=r r ,则a b a b +=-r r r r25．要使下列结论成立，问非零向量,a b r r应分别满足什么条件？(1)||||||a b a b +=+r r r r； (2)a b a b -=+r r r r ；(3)a b a b +=-r r r r ；(4)a b +r r 与a b -r r 是共OABPQ线向量；26．已知向量a r ，b r满足a r =b r =a b +r r =1，则a b -r r = .27．若非零向量,a b r r 满足||||a b b -=r r r，则下列结论中正确的是_______________．①｜2b r ｜＜｜a r -2b r ｜ ②｜2b r ｜＞｜a r -2b r ｜ ③｜2a r ｜＞｜2a r -b r ｜ ④｜2a r ｜＜｜2a r -b r｜C 组28、设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u r u u u u r（λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u r u u u u r （μ∈R ），且112λμ+=,则称34,A A 调和分割12,A A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点,A B 则下面说法正确的是 ． ○1．C 可能是线段AB 的中点 ○2．D 可能是线段AB 的中点 ○3．C ，D 可能同时在线段AB 上（不包括AB 两点） ○4．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 29．已知点O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，证明：点O 是△ABC 的重心．30．已知点G 是△ABC 的重心，点O 为平面内不同于G 的任意一点，证明：1()3OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ．31．若点P 为△ABC 的外心，且PA PB PC +=-u u u r u u u r u u u r，则△ABC 的内角C ＝___________.32．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =u u u r u u u r ，AE y AC =u u ur u u u r ，0xy ≠，则11x y+的值为 。

高中数学必修4《平面向量线性运算》教案High school mathematics compulsory 4 "plane vector linear op eration" teaching plan高中数学必修4《平面向量线性运算》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。

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教学准备教学目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;教学重难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学工具投影仪教学过程一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P94—95）略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、注意：当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：P103第2、3题课后小结1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号.课后习题作业：P103第2、3题板书略-------- Designed By JinTai College ---------。

2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法1．A E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式： （1）→DE +→EA =___________; （2）→BE +→AB +→EA =___________; （3）→DE +→CB +→EC =___________; （4）→BA +→DB +→EC +→AE=___________.2．B 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量→a , →b , |→a |=|→b |=1且→a 与→b 相互垂直，点Q 满足→OQ = 2 (→a +→b )，曲线C 为单位圆，若点P ∈C ，则| →PQ |的取值范围是（ ）A.()1,3B.(]1,3C.[]1,3D.[)1,32.2.2 向量的减法1．A 一个平行四边形ABCD 中，|→AB +→AD |= |→AB →AD |，则有（ ） A ．→AD=→0 B ． →AD=→0或→AB=→0 C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是菱形 2．A 计算下列各题：（1）→AB + →BC + →CD = _______； （2）→AB + →CA + →BC = _______； （3）化简：→AB + →OD→AD →OA = ___．3．A 四棱柱1111D C B A ABCD -中，六个面都是平行四边形，记→AB =→a ， →AD =→b ， →AA 1=→c ，你能用→a 、→b 、→c 表示→AC 、→AC 1吗？4．B 已知平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点，完成下列各题.(用于填空的向量为图中已有线段所表示的向量) (1)在图中画出下列向量：①AD DO OE ++ ②AB AO + ③AE AC - (2)根据图示填空： ①AE AB =+ ②DE CB -=5．B 化简下列各式： (1)()AB MB OM BO +++ (2)AB DF CD BC FA ++++(3)AB DA BD BC CA ++--6．B 已知非零向量a ，b(1)若||6a =，||12b =，则||a b +的最小值为 ；最大值为 . (2)若向量a ,b满足 时，则a b +平分a ，b 间的夹角.2.2.3 向量的数乘1．A 已知A 、B 、C 三点共线，23AC CB =-，且AB C A λ=，则实数λ=_______________.2．B 已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且P A P B P C A B ++=，则（ ）A ．P 在ABC ∆内部B ．P 在ABC ∆外部C ．P 在AB 边长或其延长线上 D. P 在AC 上3．B 已知平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点，完成下列各题.(用于填空的向量为图中已有线段所表示的向量)(1)1142DA AE BD AC BA ++++uu u r uu u r uu u r uuu r uu r= 1142BD AC BA +++uu ur uuu r uu r= 12AC BA ++uuur uu r= BA +uu r= + =(2)设,AE AO BD λλ=+∈uu u ruuu ruu u rR ， 则λ= .(3)若点M 为△ABC 内一点，并且满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r，则点M 为△ABC 的( )4．B 在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，求证：1()3AG AB AC =+uuu r uu u r uuu r.5．B (1)四棱柱1111ABCD A B C D -中，六个面都是平行四边形，记→→－AB a =， →→－AD b =，1→→－AA c =，用→a 、→b 、→c 表示1→－BD .(2)在△ABC 中，D 是边BC 的中点，用,→→－－AC AB 表示,→→－－AD BD . BCDA6．B 在△ABC 中，(1)若点M 满足条件：0MA MB MC ++=→→→→－－－，则点M 是△ABC 的 心； (2)点M 是空间中任意一点，G 是△ABC 的重心，求证：1()3MG MA MB MC =++→→→→－－－－.7．B △ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++→→→→－－－－，则实数m =8．C (1)已知：O 为△ABC 外心，OH OA OB OC =++→→→→－－－－，则点H 是△ABC 的 心；(2)已知：H 为△ABC 垂心，→→→→－－－－OH OA OB OC =++，则点O 是△ABC 的 心； (3)如果点O 是△ABC 的外心，H 是△ABC 的垂心，求证：→→→→－－－－OH OA OB OC =++.9．C 点O 是△ABC 的外心， H 是△ABC 的垂心，G 是△ABC 的重心，求证：三心共线，且||2||→→－－GH OG =.10．C 在△ABC 中，→→→→→→－－－－－－AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，R λ∈，则P 点的轨迹通过△ABC 的 .A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．C 设a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，若0→→→→－－－aOA bOB cOC ++=，则O 是△ABC 的 心.———————————————————2.2向量的线性运算 2.2.1向量的加法1．（1）→DA ;（2）→0;（3）→DB ;（4）→DC . 2．C.2.2.2向量的减法1．C 2．（1）→AD ；（2）→0 ；（3）→AB ． 3．→AC =→a +→b ，→AC 1=→a +→b +→c . 4． (1)①②③(2)①BE ②AE5．(1)AB (2)0 (3)AB 6．(1)6，18 (2)||||a b =2.2.3向量的数乘1．1/2 2．D3．(1),,,,,0DE DO DC DC CD uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r r (2)14-(3)D4．如图，在△ABC 中，分别找三边中点D 、E 、F ，则BD 、CE 、AF 的交点为G ， 延长AF ，过点B 作BM //AC 交AF 延长线于M ，连接MC . 因为BM //AC ，所以∠ACB =∠MBC ， 因为F 为BC 边中点，所以BF =FC ， 在△AFC 和△MFB 中， AFC MFB BF CF MBF ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以△AFC ≌△MFB ，BM //AC ，所以四边形ABMC 是平行四边形， 所以AB AC AM +=uu u r uuu r uuu r ，又因为23AG AF =uuu r uu u r，所以2111()3233AG AM AM AB AC =⨯==+uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r.5．(1) 1→→→→－BD b a c =-+(2)1()2→→→－－－AD AC AB =+，1()2→→→－－－BD AC AB =- 6．(1)重; (2)证明：MA MB MCMG GA MG GB MG GC++=+++++因为G 是△ABC 的重心，所以0GA GB GC ++=. 所以3MA MB MC MG ++=, 所以1()3MG MA MB MC =++.7．1 8．(1)垂;(2)外, 令OA OB OD += ∵OH OA OB OC OH OC OA OB=++⇔-=+即CH OD=,又∵,CHAB ODAB⊥∴⊥, ∴平行四边形ADBO 为菱形∴||||OA OB =, ∴点O 是AB 边上垂直平分线上一点.同理O 是BC 边上直平分线上一点, ∴点O 是△ABC 的外心. (3)证明:如图，延长BO 交圆于点D , 连接AD ，因为O 是外心，所以BD 为直径，OB 和OD 即为大小相等、方向相反的两个向量,即OB OD =-,要证OH OA OB OC =++,只需证OH OC OA OB CH OA OB -=+⇔=+ 只需证CH OA OD DA =-= ∵H 是△ABC 的垂心,∴,CH AB ⊥ ∵△ABD 中，BD 是直径，∴,DA AB ⊥ ∴//.CH DA连接DC ，H 是△ABC 的垂心,∴,AH BC ⊥ ∵△BCD 中，BD 是直径，∴,DC BC ⊥ ∴//.AH DC 又∵//.CH DA ∴四边形AHCD 是平行四边形∴||||.CH DA =∴CH DA =.得证，即OH OA OB OC =++.9．证明：∵G 是△ABC 的重心，∴0GA GB GC ++=，即0GO OA GO OB GO OC +++++=，∴33OG GO OA OB OC =-=++，∵点O 是△ABC 的外心，H 是△ABC 的垂心，∴OH OA OB OC =++∴OH 3OG =，∴点O ，H ，G 共线， ∴2||2||||3GH OG OH ==. 下证G 是△ABC 的重心， 0GA GB GC ++=.如图，作平行四边形BDCG ，则根据向量加法的平行四边形法则，有GB GC GD +=，∵G 是△ABC 的重心，∴12GI AG =又∵在平行四边形BDCG 中，12GI GD =， ∴GD AG =，∴GB GC AG +=，∴0GA GB GC ++=.下证点O 是△ABC 的外心，H 是△ABC 的垂心， OH OA OB OC =++.如图，延长BO 交圆于点D , 连接AD ，因为O 是外心，所以BD 为直径， OB 和OD 即为大小相等、方向相反的两个向量,即OB OD =-,要证OH OA OB OC =++,只需证OH OC OA OB CH OA OB -=+⇔=+ 只需证CH OA OD DA =-=.∵H 是△ABC 的垂心,∴,CH AB ⊥∵△ABD 中，BD 是直径，∴,DA AB ⊥∴//.CH DA连接DC ，H 是△ABC 的垂心,∴,AH BC ⊥∵△BCD 中，BD 是直径，∴,DC BC ⊥∴//.AH DC 又∵//.CH DA∴四边形AHCD 是平行四边形∴||||.CH DA =∴CH DA =.得证，即OH OA OB OC =++.10．B 11．内。