第四章第二节教学教材

第二节 系统结构模型化技术 一、系统结构模型化基础 (一)结构分析的概念和意义 任何系统都是由两个以上有机联系、相互作用的要素所组成的，具有特定功能与结构的整体。结构即组成系统诸要素之间相互关联的方式。包括现代企业在内的大规模复杂系统具有要素及其层次众多、结构复杂和社会性突出等特点。在研究和解决这类系统问题时，往往要通过建立系统的结构模型，进行系统的结构分析，以求得对问题全面和本质的认识。 结构模型是定性表示系统构成要素以及它们之间存在着的本质上相互依赖、相互制约和关联情况的模型。结构模型化即建立系统结构模型的过程。该过程注重表现系统要素之间相互作用的性质，是系统认识、准确把握复杂问题，并对问题建立数学模型、进行定量分析的基础。阶层性是大规模复杂系统的基本特性，在结构模型化过程中，对递阶结构的研究是一项重要工作。 结构分析是一个实现系统结构模型化并加以解释的过程。其具体内容包括：对系统目的--功能的认识；系统构成要素的选取；对要素间的联系及其层次关系的分析；系统整体结构的确定及其解释。系统结构模型化是结构分析的基本内容。 结构分析是系统分析的重要内容，是系统优化分析、设计与管理的基础。尤其是在分析与解决社会经济系统问题时，对系统结构的正确认识与描述更具有数学模型和定量分析所无法替代的作用。 (二)系统结构的基本表达方式 系统的要素及其关系形成系统的特定结构。在通常情况下，可采用集合、有向图和矩阵等三种相互对应的方式来表达系统的某种结构。 1、系统结构的集合表达 设系统由n(n≥2)个要素(S1，S2，…，Sn)所组成，其集合为S，则有： S={S1，S2，…，Sn} 系统的诸多要素有机地联系在一起，并且一般都是以两个要素之间的二元关系为基础的。所谓二元关系是根据系统的性质和研究的目的所约定的一种需要讨论的、存在于系统中的两个要素(Si、Sj)之间的关系Rij(简记为R)。通常有影响关系、因果关系、包含关系、隶属关系以及各种可以比较的关系(如大小、先后、轻重、优劣等)。二元关系是结构分析中所要讨论的系统构成要素间的基本关系，一般有以下三种情形： Si与Sj间有某种二元关系R，即SiRSj； Si与Sj间无某种二元关系R，即SiRSj； Si与Sj间的某种二元关系R不明，即SiR%Sj。 在通常情况下，二元关系具有传递性，即：若SiRSj、SjRSk，则有SiRSk(Si、Sj、Sk为系统的任意构成要素)。传递性二元关系反映两个要素的间接联系，可记作Rt (t为传递次数)，如何将SiRSk记作SiR2Sk。 有时，对系统的任意构成要素Si和Sj来说，既有SiRSj，又有SjRSi，这种相互关联的二元关系叫强连接关系。具有强连接关系的各要素之间存在替换性。 以系统要素集合S及二元关系的概念为基础，为便于表达所有要素间的关联方式，我们把系统构成要素中满足其种二元关系R的要素Si、Sj的要素对(Si，Sj)的集合，称为S上的二元关系集合，记作Rb，即有： Rb={(Si,Sj)|Si、Sj∈S,SiRSj,i、j=1,2,…,n} 且在一般情况下，(Si,Sj)和(Sj,Si)表示不同的要素对。 这样，“要素Si和Sj之间是否具有某种二元关系R”，也就等价于“要素对(Si,Sj)是否属于S上的二元关系集合Rb”。 至此，我们就可以用系统的构成要素集合S和在S上确定的某种二元关系集合Rb来共同表示系统的某种基本结构。 例4—1某系统由七个要素(S1、S2、…S7)组成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中： S={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7} Rb={(S2,S1),(S3,S4),(S4,S5),(S7,S2),(S4,S6),(S6,S4)} 2、系统结构的有向图表达

图4—4 例4—1有向图〖TS)〗 6 3 7

4 5 1 2 有向图(D)由节点和连接各节点的有向弧(箭线)组成，可用来表达系统的结构。具体方法是：用节点表示系统的各构成要素，用有向弧表示要素之间的二元关系。从节点i(Si)到j(Sj)的最小(少)的有向弧数称为D中节点间通路长度(路长)，也即要素Si与Sj间二元关系的传递次数。在有向图中，从某节点出发，沿着有向弧通过其它某些节点各一次可回到该节点时，在D中形成回路。呈强连接关系的要素节点间具有双向回路。 表达例4—1给出的系统要素及其二元关系的有向图如图4—4所示。其中S3到S5、S3到S6和S7到S1的路长均为2。另外，S4和S6间具有强连接关系，S4和S6相互到达，在其间形成双向回路。 3、系统结构的矩阵表达 (1)邻接矩阵 邻接矩阵(A)是表示系统要素间基本二元关系或直接联系情况的方阵。若A=(aij)n×n，则其定义式为： aij= 1,SiRSj或(Si,Sj)∈Rb(Si对Sj有某种二元关系) 0,SiRSj或(Si,Sj)∈Rb(Si对Sj没有某种二元关系) 有了表达系统结构的集合(S,Rb)或有向图(D)，就可很容易地将A写出，反之亦然。与例4—1和图4—4对应的邻接矩阵如下： S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

A= 0000000100000000010000000110000000000010000100000 很明显，A中“1”的个数与例4—1中Rb所包含的要素对数目和图4—4中有向弧的条数相等，均为6。在邻接矩阵中，若有一列(如第j列)元素全为0，则Sj是系统的输入要素，如图4—4中的S3和S7；若有一行(如第i行)元素全为0，则Si是系统的输出要素，如图4—4中的S1和S5。 (2)可达矩阵

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 若在要素Si和Sj间存在着某种传递性二元关系，或在有向图上存在着由节点i至j的有向通路时，称Si是可以到达Sj的，或者说Sj是Si可以到达的。所谓可达矩阵(M)，就是表示系统要素之间任意次传递性二元关系或有向图上两个节点之间通过任意长的路径可以到达情况的方阵。若M=(mij)n×n，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为r，即有0≤t≤r，则可达矩阵的定义式为： mij= 1，SiRtSj (存在着i至j的路长最大为r的通路) 0,SitRSj (不存在i至j的通路) 当t=1时，表示基本的二元关系，M即为A；当t=0时，表示Si自身到达，或SiRSi，也称反射性二元关系；当t≥2时，表示传递性二元关系。 矩阵A和M的元素均为“1”或“0”，是n×n阶0—1矩阵，且符合布尔代数的运算规则，即：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1,0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1。通过对邻接矩阵A的运算，可求出系统要素的可达矩阵M，其计算公式为： M=(A+I)r (4—1) 其中I为与A同阶次的单位矩阵(即其主对角线元素全为“1”，其余元素为“0”)，反映要素自身到达；最大传递次数(路长)r根据下式确定： (A+I)≠(A+I)2≠(A+I)3≠…≠(A+I)r-1≠(A+I)r=(A+I)r+1=…=(A+I)n (4—2) 以与例4—1和图4—4对应的邻接矩阵为例有： S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

A+I= 1000000110000100110000001110000010000010100100001 其中主对角线上的“1”表示诸要素通过零步(自身)到达情况(单位矩阵I)，其余“1”表示要素间通过一步(直接)到达情况(邻接矩阵A)。

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 (A+I)2=A2+A+I= 100000011000000011`000011100000100000110100001 其中带圆圈的“1”表示要素间通过两步(间接)到达情况(矩阵A2)。按照前述布尔代数的运算规则，在原式(A+I)2的展开中利用了A+A=A的关系。 进一步计算发现：(A+I)3=(A+I)2。由(4—2)式即有r=2。 这样，根据(4—1)式，与例4—1和图4—4对应的可达矩阵为： S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

M=(A+I)2= 1000000110000000111100001110000010000011101100001 (3)其它矩阵 在邻接矩阵和可达矩阵的基础上，还有其它表达系统结构并有助于实现系统结构模型化的矩阵形式，如缩减矩阵、骨架矩阵等。 ①缩减矩阵 根据强连接要素的可替换性，在已有的可达矩阵M中，将具有强连接关系的一组要素看作一个要素，保留其中的某个代表要素，删除掉其余要素及其在M中的行和列，即得到该可达矩阵M的缩减矩阵M′。如原例可达矩阵的缩减矩阵为：

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7