《创新设计》2014届高考第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理
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第6讲 正弦定理和余弦定理
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝ ( )．
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析 由a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，得a2＝3bc＋b2，cb＝23.由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2－3bc2bc＝c2b－32＝3－32＝32，所以A＝30°，故选A.
答案 A
2.(2012·四川)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝(
)．
A.31010
B.1010
C.510 D.515
解析 依题意得知，CD＝1，CE＝CB2＋EB2＝5，DE＝EA2＋AD2＝2，cos∠CED＝CE2＋ED2－CD22CE·ED＝31010，所以sin∠CED＝1－cos2∠CED＝1010，选B.
答案 B
3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝
( )．
A.2 B.3 C.32 D．2
解析 ∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°. 又a＝1，b＝3，∴asin A＝bsin B，
∴sin A＝asin Bb＝32×13＝12，
∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝12×1×3＝32.
答案 C
4．(2012·湖南)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 ( )．
A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394
解析 设AB＝c，BC边上的高为h.
由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，即7＝c2＋4－4ccos 60°，即
c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．
又h＝c·sin 60°＝3×32＝332，故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为________．
解析 由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cos B，结合已知等式得
cos B·tan B＝32，∴sin B＝32，∴B＝π3或2π3.
答案 π3或2π3
6．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
解析 依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：a2＋2a2－2a22a·2a＝－24.
答案 －24 三、解答题(共25分)
7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．
(1)求cos B的值；
(2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值．
解 (1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝12.
(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin Asin C，
即sin Asin C＝sin2B＝1－cos2B＝34.
8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos
A＝23，sin B＝5cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝ 2，求△ABC的面积．
解 (1)因为0＜A＜π，cos A＝23，
得sin A＝ 1－cos2A＝53.
又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
＝53cos C＋23sin C.
所以tan C＝5.
(2)由tan C＝5，得sin C＝56，cos C＝16.
于是sin B＝5cos C＝56.
由a＝ 2及正弦定理asin A＝csin C，得c＝ 3.
设△ABC的面积为S，则S＝12acsin B＝52.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为 ( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 由A＝60°，不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b，c，故b＋c＝7，bc＝11.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝4.
答案 C
2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC的面积为32，AC＝3，∠ABC＝π3，则△ABC的周长等于 ( )．
A．3＋3 B．33
C．2＋3 D.332
解析 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为12acsin π3＝32，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋3，故选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．
解析 x＝a＋bc＝sin
A＋sin Bsin C＝sin A＋cos A＝2sinA＋π4.又A∈0，π2，∴π4
答案 (1，2]
4．(2012·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若ab>c2，则C
②若a＋b>2c，则C
③若a3＋b3＝c3，则C
④若(a＋b)c<2ab，则C>π2
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>π3
解析 ①由ab>c2，得－c2>－ab，由余弦定理可知cos C＝a2＋b2－c22ab>2ab－ab2ab＝12，因为C∈(0，π)，函数y＝cos x在(0，π)上是减函数，所以Ca2＋b2－a＋b222ab＝4a2＋b2－a＋b28ab＝3a2＋b2－2ab8ab≥4ab8ab＝12，所以Cc2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a2＋b2)c2<2a2b2，所以c2<2a2b2a2＋b2≤2a2b22ab＝ab，即ab>c2，转化为命题①，故⑤错误．
答案 ①②③
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋ysin B＝csin C上．
(1)求角C的值；
(2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积． 解 (1)由题意得a(sin A－sin B)＋bsin B＝csin C，
由正弦定理，得a(a－b)＋b2＝c2，
即a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，
结合0
(2)由a2＋b2＝6(a＋b)－18，得(a－3)2＋(b－3)2＝0，
从而得a＝b＝3，
所以△ABC的面积S＝12×32×sin π3＝934.
6．(13分)(2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.
(1)求证：B－C＝π2；
(2)若a＝ 2，求△ABC的面积．
(1)证明 由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a应用正弦定理，得sin Bsinπ4＋C－sin
Csinπ4＋B＝sin A，
sin B22sin C＋22cos C－sin C22sin B＋22cos B＝22，
整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1.
由于0＜B，C＜34π，从而B－C＝π2.
(2)解 B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.
由a＝ 2，A＝π4，
得b＝asin Bsin A＝2sin 5π8，c＝asin Csin A＝2sin π8，
所以△ABC的面积S＝12bcsin A＝ 2sin5π8sinπ8
＝ 2cosπ8sinπ8＝12.
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