2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题4-6 正弦定理和余弦定理【含答案】

∴此三角形有两解．]3．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．23[因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC ＝12×2×23＝23.](对应学生用书第82页)考点1利用正、余弦定理解三角形问题在△ABD 中，42＝x 2＋(72)2－2x ×72cos (π－α)，② ①＋②得x ＝92，∴BC ＝9.]3．(20xx·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4， 由余弦定理cos C ＝a2＋b2－c22ab得cos 120°＝a2＋（a ＋2）2－（a ＋4）22a （a ＋2），即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3. (2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，所以CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°， 即sin A ＝3314， 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314， 即AB 边上的高CD ＝15314. 考点2 与三角形面积有关的问题(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2， 所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3， 所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝3.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．][母题探究]。

专题4.６ 正弦定理和余弦定理 1．(2020·河南省漯河市实验中学模拟)已知△ABC中，A＝π6，B＝π4，a＝1，则b等于( )

A．2 B．1 C.3 D.2 2．(2020·四川成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A

＝12b，且a＞b，则B＝( )

A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6

3．(2020·福建厦门一模)在△ABC中，cos B＝14，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于( )

A.14 B.12 C.32 D.154

4．(2020·湖北省武汉市东湖中学模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积

为a2＋b2－c24，则C＝( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6

5．(2020·湖南省常德市六中模拟)在△ABC中，若bcos Cccos B＝1＋cos 2C1＋cos 2B，则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．(2020·湖北武汉调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3b，A－B＝π2，则角

C＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3

7．(2020·湖南省永州市四中模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－c

－b2＝0，a2＝72bc，b＞c，则bc＝( ) A.32 B．2 C．3 D.52

8．(2020·湖南郴州一模)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－3bc＝a2，bc＝3a2，则角C的大小是( )

A.π6或2π3 B.π3

C.2π3 D.π6

9．(2020·广东省茂名市一中模拟)在△ABC中，B＝30°，AC＝25，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sin A＝ ，BC＝ . 10．(2020·四川省自贡市一中模拟)在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝3b，则角A＝ . 11．(2020·河南郑州第二次质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin

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核心考点·精准研析考点一正弦定理1.(2020·铜川模拟)在△ABC中,AB=,A=75°,B=45°,则AC= .2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是( )A. B. C. D.3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .【解析】1.C=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得=,即=,解得AC=2.答案:22.选D.因为B=2A,所以sin B=sin 2A=2sin Acos A,由正弦定理得b=2acos A,所以=,所以==tan A.因为△ABC 是锐角三角形,所以解得<A<,所以<tan A<1,所以<tan A<.即的取值范围是.3.已知bsin A+acos B=0,由正弦定理可得sin Bsin A+sin Acos B=0,即sin B=-cos B,又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=,cos B=-,故B=.答案:解三角形的策略(1)将已知条件统一化为边的关系,或角的关系.一般来说,求边化边,求角化角.(2)已知代数式两边,边的次数相同时,可用正弦定理,将边换为角的正弦.1.(2020·武汉模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=,A=30°,若B为锐角,则A∶B∶C=( )A.1∶1∶3B.1∶2∶3C.1∶3∶2D.1∶4∶1【解析】选B.因为a=1,b=,A=30°,B为锐角,所以由正弦定理得sin B==,则B=60°,所以C=90°,则A∶B∶C=1∶2∶3.2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2ccos A,sin A=1,则sin C的值为( )A. B. C. D.【解析】选B.因为sin A=1,即sin A=,又a=2ccos A,cos A=>0,所以cos A=.由条件及正弦定理得sin A=2sin Ccos A,即=2×sin C,所以sin C=.考点二余弦定理【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=b,sin B=sin C. 世纪金榜导学号(1)求cos A的值.(2)求cos 的值.【解题导思】序号联想解题(1)看到“sin B=sin C”,想到运用正弦定理,转化为b=c,又由“a-c=b”运用余弦定理求得cos A.(2)看到“cos ”想到公式cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B.利用(1)得出的cos A的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cos 的值【解析】(1)在△ABC中,由=及sin B=sin C,可得b=c,又由a-c=b,得a=2c,所以cos A===.(2)在△ABC中,由cos A=,可得sin A=.于是,cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin A·cos A=.所以cos=cos 2A cos +sin 2Asin =×+×=.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.第二步:求解.将已知代入定理求解.1.(2019·长沙模拟)已知在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD= AD,BC=2AD,则sin C的值为( )A. B. C. D.【解析】选A.设AB=AD=2a,则BD=a,则BC=4a,所以cos∠ADB===,所以cos∠BDC==-,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cos C===,而C∈,所以sin C=.2.(2020·晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,sin∠ABC=,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BE⊥AC,BE交AD 于点F.(1)求AC的长.(2)求cos∠DAC及AF的长.【解析】(1)在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,sin∠ABC=,BC=6,由正弦定理得=,所以AC===5. (2)由sin∠BAC=,sin∠ABC=,得cos∠BAC=,cos∠ABC=,所以cos C=-cos (∠BAC+∠ABC)=-cos∠BACcos ∠ABC+sin∠BACsin∠ABC=-×+×=.因为BE⊥AC,所以CE=BCcos C=6×=,AE=AC-CE=.在△ACD中,AC=5,CD=BC=2,cos C=,由余弦定理得AD===,所以cos∠DAC===.由BE⊥AC,得AFcos∠DAC=AE,所以AF==.考点三正、余弦定理的综合应用命题精解读1.考什么:判断三角形形状、个数、面积问题,最值、范围问题;2.怎么考:考查解三角形问题常与平面几何交汇,题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等;与平面向量交汇考查,解三角形还常与不等式,三角函数的性质交汇命题.学霸好方法1.判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.2.在三角形中求边、角的方法(1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.(2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解.判断三角形个数、形状【典例】1.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有 ( )A.1个B.2个C.0个D.无法确定2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是( )世纪金榜导学号A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】1.选B.因为bsin A=×=,所以bsin A<a<b.所以满足条件的三角形有2个.【一题多解】选B.作∠A=45°,则点B,C分别在∠A的两条边上.因为AC=b=,所以点C固定.过C作AB的垂线,垂足为D,易知CD=h=,又因为a=2,即<a<,所以B有两个位置符合题意.所以满足条件的三角形有2个.2.选D.由已知===,所以=或=0,即C=90°或=.由正弦定理,得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.1.三角形解的个数如何判断?提示:(1)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.(3)数形结合,作图,与相应的直角三角形比较.2.三角形形状如何判定?提示:(1)角化边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.(2)边化角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.面积问题【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为.【解析】因为cos B=,又因为b=6,a=2c,B=,可得c2=12,解得c=2,a=4,则△ABC的面积S=×4×2×=6.答案:62.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且 acos C=(2b-c)cos A.世纪金榜导学号(1)求角A的大小.(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得: sin Acos C=2sin Bcos A- sin Ccos A,从而可得: sin(A+C)=2sin Bcos A,即 sin B=2sin Bcos A,又B为三角形的内角,所以sin B≠0,于是cos A=,又A为三角形的内角,所以A=.(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-2bc·≥2bc- bc,当且仅当b=c时取等号,所以bc≤4(2+),所以S=bcsin A≤2+.所以△ABC面积的最大值为2+.解三角形与三角恒等变换交汇问题【典例】△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C= 世纪金榜导学号( )A.B.C. D.【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,即sin C(sin A+cos A)=sin Csin=0,所以A=. 由正弦定理=得=,即sin C=,得C=.三角形与三角恒等变换交汇问题如何求解?提示:1.(2020·芜湖模拟) 在△ABC中,cos B=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选A.因为cos B=,由余弦定理得=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.由正弦定理及sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C得a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc,由余弦定理得cos A=≥=,又0<A<π,所以0<A≤.所以A的取值范围是.3.(2020·西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=2B.(1)求证:a=2bcos B.(2)若b=2,c=4,求B的值.【解析】(1)因为A=2B,所以由正弦定理=,得=,所以a=2bcos B.(2)因为b=2,c=4,A=2B,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得16cos2B=4+16-16cos 2B,所以cos2B=,因为A+B=2B+B<π,所以B<,所以cos B=,所以B=.1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin C-cos C=1-cos,若△ABC的面积S=(a+b)sin C=,则△ABC的周长为( )A.2+5B.+5C.2+3D.+3【解析】选D.由sin C-cos C=1-cos ⇒2sin cos -=1-cos ⇒cos 2cos -2sin -1 =0,因为cos ≠0,所以sin -cos =-,两边平方得sin C=,由sin -cos =-得sin <cos ,所以0<<,即0<C<,由sin C=得cos C=.又S=absin C=(a+b)sin C=,所以a+b=ab=4,所以a=b=2,再根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8-2,解得c=-1,所以△ABC的周长为+3.2.如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=,AC⊥CD,CD=AC,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为.【解析】设∠ABC=α,∠ACB=β,在△ABC中,由余弦定理得AC2=4-2cos α.由正弦定理得=,所以sin β=.又CD=AC,在△BCD中,由余弦定理得BD2=3+3(4-2cos α)-2×××cos ,即BD2=15-6cos α+6sin α=15+12sin .当α=时,BD取得最大值3.答案:3关闭Word文档返回原板块莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第6讲 正弦定理和余弦定理组 基础关1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝1213，a ＝1，则b 等于( )A ．2 B.5613 C.2113 D.5639答案 D解析 因为A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，cos A ＝45，cos C ＝1213.所以sin A ＝35，sin C＝513，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×1213＋45×513＝5665.由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝1×566535＝5639.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( )A ．1B ．2C ．3 D.13答案 A解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .又因为c ＝13，a ＝4b ，C ＝60°，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×cos60°，解得b ＝1.3．在△ABC 中，如果a tan A ＝b tan B ＝ctan C ，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 答案 B解析 由正弦定理及a tan A ＝b tan B ＝c tan C ，得sin A tan A ＝sin B tan B ＝sin Ctan C ，整理，得cos A ＝cos B ＝cos C ，因为A ，B ，C 为三角形的内角，所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形．4．(2019·安徽省江南十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝27，c ＝3，B ＝2C ，则cos2C 的值为( )A.73B.59C.49D.74 答案 B解析 由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ＝273.又因为B ＝2C ，所以273＝sin2Csin C ＝2cos C ，故cos C ＝73，所以cos2C ＝2cos 2C －1＝2×79－1＝59.5．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则csin C ＝( ) A.8381 B.2393 C.2633 D ．27答案 B解析 依题意得，12bc sin A ＝34c ＝3，则c ＝4.由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，因此a sin A ＝13sin60°＝2393.由正弦定理得c sin C ＝2393，故选B.6．(2020·许昌摸底)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(C －A )＝12sin B ，且b ＝4，则c 2－a 2＝( )A ．10B ．8C ．7D ．4 答案 B解析 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(C －A )＝12sin B ＝12sin(A ＋C )，即2sin C cos A －2cos C sin A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即sin C cos A ＝3sin A cos C .由正弦定理和余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3a ·a 2＋b 2－c 22ab ，化简得c 2－a 2＝b 22＝162＝8.故选B.7．(2019·泸州模拟)在△ABC 中，角B 为3π4，BC 边上的高恰为BC 边长的一半，则cos A ＝( )A.255B.55C.23D.53 答案 A解析 设BC 边上的高为h ，则BC ＝2h ，AB ＝2h ，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝2h 2＋4h 2－2·2h ·2h ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝10h 2，故AC ＝10h .所以cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝(2h )2＋10h 2－(2h )22·2h ·10h＝255.8．(2019·衡阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2bc －c b －bc ＝3，△ABC 外接圆的半径为3，则a ＝________.答案 3解析 由题意，得a 2－c 2－b 2bc ＝3，根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－32.所以sin A ＝12，又因为△ABC 外接圆的半径为3，所以根据正弦定理得asin A ＝6，所以a ＝3.9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．答案 6 3解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12， ∴c ＝23，a ＝43，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.10．在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝72，则BC ＝________. 答案 9解析 如图所示，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，EC . 因为AD 是BC 边上的中线， 所以AE 与BC 互相平分， 所以四边形ACEB 是平行四边形， 所以BE ＝AC ＝7.又AB ＝4，AE ＝2AD ＝7， 所以在△ABE 中，由余弦定理得， AE 2＝49＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos ∠ABE ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠ABE . 在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos(π－∠ABE )． 所以49＋BC 2＝2(AB 2＋AC 2)＝2×(16＋49)， 所以BC 2＝81，所以BC ＝9.组 能力关1．(2019·太原五中模拟)在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2B 2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 A解析 利用正弦定理及二倍角公式得sin C －sin A 2sin C ＝1－cos B2，即sin A ＝sin C cos B .又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以sin B cos C ＝0.在△ABC 中，sin B ≠0，故cos C ＝0，则C ＝π2，故△ABC 为直角三角形，故选A.2．(2019·江西省九江市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos 2A －cos 2B ＋sin 2C ＝sin B sin C ＝14，且△ABC 的面积为3，则a 的值为________．答案 2 3解析 △ABC 中，由cos 2A －cos 2B ＋sin 2C ＝sin B sin C ＝14，得1－sin 2A －(1－sin 2B )＋sin 2C ＝sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， ∴bc sin B sin C ＝a 2sin 2A ，即bc 14＝a 2sin 2π3，化简得a 2＝3bc .又△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝3， ∴bc ＝4，∴a 2＝12，解得a ＝2 3.3．(2020·海淀模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6解析 由已知及正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号，∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6.4．(2020·揭阳摸底)在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，∠ABD ＝π6.若AB ＝3BD ，则∠CAD ＝________；若AC ＝2AD ＝2，则△ABC 的面积为________．答案 π33解析 设BD ＝m ，则AB ＝3m ，BC ＝2m ，根据余弦定理，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝m 2，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABD ＝m 2，∴AD ＝DC ＝AC ＝m ，即△ACD 是正三角形，∴∠CAD ＝π3.记△ABC 的三内角∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 所对的三条边分别为a ，b ，c ，则BD ＝12a ，由余弦定理可得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ，∴1＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－32ac ，即4＝4c 2＋a 2－23ac ，又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，∴4＝c 2＋a 2－3ac ，于是，4c 2＋a 2－23ac ＝c 2＋a 2－3ac ，∴a ＝3c ，代入c 2＋a 2－3ac ＝4可得c ＝2，a ＝23， ∴S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝ 3.5．(2020·福州期末)已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB ＝60°.E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F .(1)若△CDE 的面积为32，求DE 的长； (2)若7CF ＝4DF ，求sin ∠DFC . 解 (1)依题意，得∠BCD ＝∠DAB ＝60°. 因为△CDE 的面积S ＝12CD ·CE sin ∠BCD ＝32， 所以12×2CE ×32＝32，解得CE ＝1.在△CDE 中，由余弦定理，得 DE ＝CD 2＋CE 2－2CD ·CE cos ∠BCD ＝22＋12－2×2×1×12＝ 3.(2)解法一：依题意，得∠ACD ＝30°，∠BDC ＝60°， 设∠CDE ＝θ，则0°<θ<60°. 在△CDF 中，由正弦定理，得CF sin θ＝DFsin ∠ACD，因为7CF ＝4DF ，所以sin θ＝CF 2DF ＝277， 所以cos θ＝217，所以sin ∠DFC ＝sin(30°＋θ)＝12×217＋32×277＝32114. 解法二：依题意，得∠ACD ＝30°，∠BDC ＝60°， 设∠CDE ＝θ，则0°<θ<60°，设CF ＝4x ，因为7CF ＝4DF ，则DF ＝7x ， 在△CDF 中，由余弦定理，得 DF 2＝CD 2＋CF 2－2CD ·CF cos ∠ACD ，即7x 2＝4＋16x 2－83x ，解得x ＝239或x ＝233. 又因为CF ≤12AC ＝3，所以x ≤34，所以x ＝239， 所以DF ＝2219，在△CDF 中，由正弦定理，得CD sin ∠DFC ＝DFsin ∠ACD，所以sin ∠DFC ＝2sin30°2219＝32114. 6．(2019·郑州模拟)在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝3，AD 为△ABC 的内角平分线，AD ＝2.(1)求BDDC 的值； (2)求角A 的大小．解 (1)在△ABD 中，由正弦定理， 得BD sin A 2＝ABsin ∠ADB ， 在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin A 2＝ACsin ∠ADC . 因为sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，AC ＝3，AB ＝23， 故BD DC ＝ABAC ＝2.(2)在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A 2＝16－83cos A2， 在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A 2＝7－43cos A 2， 又BD 2CD 2＝4＝16－83cosA27－43cos A 2，解得cos A 2＝32.又A 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故A 2＝π6，A ＝π3.。

第21讲-正弦定理和余弦定理一、 考情分析1.掌握正弦定理、余弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.二、 知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .三、 经典例题考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6B.π3C.5π6D.2π3(3)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 【解析】 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6×323＝22，结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4.规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 【解析】(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [方法技巧]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.4.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.5.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.四、 课时作业1．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））在ABC 中，a =c =60A =︒，则C =（ ）. A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==，则a =（ ）A ．2BC ．D3．（2020·浙江省高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，222c a b =+，则C =（ ） A ．60B ．30C ．60或120D ．1204．（2020·金华市江南中学高一期中）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A ．5B C ．2D ．15．（2020·全国高三（文））在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围（ ）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)26．（2020·全国高三（文））在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-7．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为sin sin A Ba b++等于( )A ．14B ．13C D 8．（2020·四川省高三二模（文））ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin B A =，3C π=，则ca的值为（ ）A B C ．2 D ．129．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高二月考（理））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos 2A a B b c -=-，则A = A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 10．（2020·金华市江南中学高一期中）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若a =60A ︒=,45B ︒=,则b 的长为( )A ．2B ．1CD ．211．（2020·浙江省高二学业考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ）A ．1:1:4B ．1:1:2C ．1:1:3D ．1:1:12．（2020·威远中学校高一月考（文））在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( ) A ．B ．C ．D ．113．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足22265b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．22B ．5 C ．25D ．2514．（2020·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（ ）(π取近似值3.14)A ．0.012B ．0.052C ．0.125D ．0.23515．（2020·全国高三（文））在ABC ∆中，若cos cos a cA C b++=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．C 为直角的直角三角形 B ．C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形D ．A 为锐角的三角形16．（2020·四川省成都外国语学校高一期中（文））在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（ ） A ．(2,23B ．(22,23C ．()2,4D ．()23,417．（2020·四川省高一月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若,23C c π==，当ABC面积最大时，此时的ABC 为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能对形状进行判断18．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．619．（2020·辽宁省高三月考（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足6a =，c =2sin tan tan cos CA B A+=，则ABCS =（ ）A ．B ．C ．D ．20．（2020·威远中学校高一月考（文））在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且221,41a S b c ==+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ）A ．2πB ．2πCD 21．（2020·山东省高三其他）已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个： ①π3A =；②2cos 3B =-；③ 7a =；④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求ABC △的面积．22．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在ABC ∆中，已知a =_______，)22cos1cos 2A CB +=，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为60A =︒，那么缺失的条件是什么呢？ 问题：（1）如何根据题目条件求出,B C 的大小？ （2）由求得的,B C 的值和正弦定理如何求出,b c 的值？（3）破损处的条件应该用b 边的长度还是用c 边的长度，还是二者均可？为什么？23．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()b a a c c -=-.（1）求角B .（2）若 b =2a c +的最大值.。