考点17 正弦定理和余弦定理【2019年高考数学真题分类】

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一 应用正弦、余弦定理解三角形例1、（2018年浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】 (1).(2). 3【变式探究】【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A 【解析】 所以，选A.【变式探究】 (1)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。

若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。

若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝________。

【答案】 （1）A （2）45【提分秘籍】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

【举一反三】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】A【解析】∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理， 得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°。

考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2012·湖南高考理科·Ｔ7）在△ABC 中，AB=2 AC=3 AB ·BC =1，则BC=（ ）【解题指南】利用向量的数量积计算公式，和余弦定理组成方程组解出BC 的值。

【解析】选A.由1?u u u r u u u r,AB BC()1212p -==-uuu ruuu r cos ,cos .BC B B BC由余弦定理即2222=+-?cos .AC AB BC AB BC B 2944=+-cos BC BC B 21542=+?uuu r ,BC BCBC 故选A.23=\=,BC BC2.（2012·湖南高考文科·Ｔ8）在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于（ ）A．B.C.D.【解题指南】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.根据余弦定理和直角三角形中的三角函数定义，列出方程组，解出答案。

【解析】选B.设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯，2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==，知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =.故选B. 3.（2012·广东高考文科·Ｔ6）在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，AC=（ ）A ．【解题指南】已知两角一边解三角形，显然适合采用正弦定理，但在由正弦值求角时，要注意解的个数的判断。

【解析】选B.在ABC 中,由正弦定理知sin ,sin sin sin AC BC BC BAC B A A=∴===4.（2012·湖北高考文科·Ｔ8）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为（ ） A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4【解题指南】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,解答本题的关键是把边a,c 均用b 表示出来,再利用余弦定理把已知化简求值.【解析】选 D.由题意知： a=b+1,c=b-1, ∴3b=20a cos A =20(b+1)2222b c a bc +-= 20(b+1)222(1)(1)2(1)b b b b b +----,整理得：2727400b b --=，解之得：b=5,可知：a=6,c=4.结合正弦定理可知答案.二、填空题5.（2012·湖北高考理科·Ｔ11）设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c.若（a+b-c ）（a+b+c ）=ab ，则角C=______________.【解题指南】本题考查余弦定理,把已知条件展开整理可得结果.【解析】 由（a+b-c ）（a+b+c ）=ab,可知222a b c ab +-=-.又2221cos 22a b c C ab +-==-,所以0120C =. 【答案】 0120.6.（2012·福建高考文科·Ｔ13）在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，AC=_______ 【解题指南】本题知两角一对边，选用正弦定理求另一对边．【解析】选由正弦定理，sin sin AC BC B A =，即sin 2sin 2BC AC B A =⨯=⨯=7.（2012·安徽高考理科·Ｔ15）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ；则下列命题正确的是_____（写出所有正确命题的编号）①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>【解题指南】对于①②用余弦定理判断； ③用反证法； ④⑤举反例.【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒<②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒<③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<.【答案】①②③8.（2012·陕西高考文科·Ｔ13）在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若2a =，B=6π，b=【解题指南】已知两边及其夹角，用余弦定理可求第三边. 【解析】由余弦定理得：2222cos 412226b a c ac B π=+-=+-⨯⨯16124=-=，∴2b =.【答案】2.9.（2012·北京高考理科·Ｔ11）在△ABC 中，若a=2，b+c=7,1cos 4B =-，则b=【解题指南】对角B 利用余弦定理列式求解. 【解析】7,7b c c b +=∴=-由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得4b =.【答案】4.10.（2012·北京高考文科·Ｔ11）在△ABC 中，若a=3，3A π∠=，则C ∠的大小为_________.【解题指南】利用正弦定理求出B ，再利用内角和定理求C.【解析】在ABC ∆中，由正弦定理得3sin3π=，1sin 2B =，,,6a b A B B π>∴>∴=，362C ππππ∴=--=.【答案】2π.三、解答题11.（2012·江苏高考·Ｔ15）（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．【解题指南】（1）注意向量积公式的应用，和正弦定理的利用（边角转化）（2）先利用cos C =求出tan 2C =再利用两角和的正切公式构造与tan A 有关的方程.【解析】（1）由3AB AC BA BC =得||||cos 3||||cos AB AC A BA BC B = 即为cos 3cos cb A ca B =cos 3cos b A a B =由正弦定理得sin cos 3sin cos B A A B =两边同除cos cos A B 得tan 3tan B A = 即tan 3tan B A =成立.（2）因cos C =所以C 为锐角，所以tan 2C =由（1）tan 3tan B A =，且A B C π++= 得tan[()]3tan A C A π-+=即tan tan tan()3tan 3tan 1tan tan A CA C A AA C +-+=⇒-=-即tan 23tan 2tan 1A AA +=-所以tan 1A =或1tan 3A =-。

1.在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在△ABC中，若A=，B=，BC=3，则AC=()A. B. C.2 D.4【解析】选C.由正弦定理可得:=，即有AC===2.3.在△ABC中，若a2+b2<c2，则△A BC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】选C.由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2，因为a2+b2<c2，所以2abcosC<0，所以C为钝角，△ABC是钝角三角形.4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=()A. B. C. D.【解析】选C.将已知等式利用正弦定理化简得:=，即c2-b2=ac-a2，所以a2+c2-b2=ac，所以cosB==.因为B为三角形的内角，所以B=.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C=120°，c=a，则()A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定【解析】选A.由余弦定理得2a 2=a 2+b 2-2abcos120°，b 2+ab-a 2=0，即+-1=0，=<1，故b<a.6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC= ( ) A.B.-C.±D.【解析】选A.由C=2B 得sinC=sin2B=2sinBcosB ，由正弦定理及8b=5c 得cosB===，所以cosC=cos2B=2cos 2B-1=2×-1=.7.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B=A+，b=2a ，则角B= ( ) A.B.C.D.8.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3C.2 3D.2 【解析】因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，BC ＝ 3.【答案】B9.在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】因为cos 2B 2＝a ＋c2c，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝ac ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，所以c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形. 【答案】B10.设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( )A.2512πB.2524πC.3＋32πD.3＋34π【答案】D11.在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A.6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3C.23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3【解析】设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－A .于是△ABC 的周长为23⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3.【答案】C12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【答案】3 413.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BA C=，AB=3，AD=3，则BD的长为.【解析】因为sin∠BAC=，且AD⊥AC，所以sin=，所以cos∠BAD=，在△BAD中，由余弦定理得，BD===.【答案】[14.在△ABC中，C=90°，M是BC的中点.若sin∠BAM=，则sin∠BAC=.【解析】设AC=b，AB=c，BC=a，【答案】15.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=.【解析】由正弦定理可得=，所以sinB=，再由b<a，可得B为锐角，所以cosB==.【答案】16.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC，则B=.【解析】在△ABC中，因为sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC，所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=ac，所以cosB==，所以B=.【答案】17.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为.【答案】18.△ABC中，点D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.(1)求.(2)若∠BAC=60°，求B.【解析】(1)如图，由正弦定理得:==，因为AD平分∠BAC，BD=2DC，所以==.(2)因为C=180°-(∠BAC+B)，∠BAC=60°，所以sinC=sin(∠BAC+B)=cosB+sinB，由(1)知2sinB=sinC，所以tanB=，即B=30°.19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若·=2，且b=2，求a和c的值.20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sinA-sinB)+ysi nB=csinC 上.(1)求角C的值.(2)若2cos2-2sin2=，且A<B，求.【解析】(1)将(a，b)代入直线解析式得:a(sinA-sinB)+bsinB=csinC，由正弦定理==得:a(a-b)+b2=c2，即a2+b2-c2=ab，由余弦定理得cosC==，因为0<C<π，所以C=.(2)因为2cos2-2sin2=1+cosA-1+cosB=cosA+cos=cosA+sinA=sin=，因为A+B=，且A<B，所以0<A<，所以<A+<，即A+=，所以A=，B=，C=，则===.21.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.(1)求cos∠CAD的值.(2)若cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的长.sin∠BAD===.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×-×=.在△ABC中，由正弦定理得，=.故BC===3.22.在△ABC 中，a=3，b=2，B=2A.(1)求cosA 的值. (2)求c 的值.23.已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝3＋23sin x cos x ＋2cos 2x ，且f (A )＝5.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可得：f (A )＝3＋23sin A cos A ＋2cos 2A ＝5， ∴23sin A cos A ＝2(1－cos 2A )， ∴sin A (3cos A －sin A )＝0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，A ＝π3.(2)由余弦定理可得：4＝b 2＋c 2－2bc cos π3，4＝b 2＋c 2－bc ≥bc (当且仅当b ＝c ＝2时“＝”成立)， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，故△ABC 面积的最大值是 3.24.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.25.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .(1)证明 由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ， 则a c os C ＋c cos A ＝b . ∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)解 ∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝⎛⎭⎫1＋14，∴b ＝4. 26.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m(取3＝1.732).【答案】6 34027.如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449).解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里).在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得。

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考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则b c=( )A.6B.5C.4D.3【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.【解题指南】利用余弦定理推论得出a ,b ,c 的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【解析】选A .由已知及正弦定理可得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理推论可得-14=cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2-4c 22bc =-14,所以3c 2b =14,所以b c =32×4=6,故选A .二、填空题2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 . 【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用. 【解析】因为cos B =a 2+c 2-b 22ac , 又因为b =6,a =2c ,B =π3,可得c 2=12, 解得c =2√3,a =4√3,则△ABC 的面积S =12×4√3×2√3×√32=6√3.答案:6√33.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知b sin A +a cos B =0,则B = . 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用.【解析】已知b sin A +a cos B =0,由正弦定理可得sin B sin A +sin A cos B =0,即sin B =-cos B , 又因为sin 2B +cos 2B =1,解得sin B =√22,cos B =-√22,故B =3π4.答案:3π44.(2019·浙江高考·T14)在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上,若∠BDC =45°,则BD = ,cos ∠ABD = .【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 【解析】在△ABD 中,由正弦定理有:AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAC,而AB =4,∠ADB =3π4,AC =√AB 2+BC 2=5,sin∠BAC=BCAC =35,cos∠BAC=ABAC=45,所以BD=12√25.cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cosπ4cos∠BAC+sinπ4sin∠BAC=7√210.答案:12√257√2 10三、解答题5.(2019·全国卷Ⅰ理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C.(1)求A.(2)若√2a+b=2c,求sin C.【命题意图】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.【解题指南】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:b2+c2-a2=bc,从而可求出cos A,根据A∈(0,π)可求得结果;(2)利用正弦定理可得√2sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sin C和cos C的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc =1 2 .因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)方法一:由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C,即√62+√32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=√6+√24.方法二:因为√2a+b=2c,由正弦定理得:√2sin A+sin B=2sin C,又sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,A=π3,所以√2×√32+√32cos C+12sin C=2sin C,整理可得:3sin C-√6=√3cos C,即3sin C-√3cos C=2√3sin(C-π6)=√6,所以sin(C-π6)=√22,所以C=5π12或11π12,因为A=π3且A+C<π,所以C=5π12,所以sin C =sin 5π12=sin (π6+π4)=sin π6cos π4+ cos π6sin π4=√6+√24.6.(2019·全国卷Ⅲ理科·T18同2019·全国卷Ⅲ文科·T18)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A+C2=b sin A. (1)求B.(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.【命题意图】本题考查三角恒等变换、正弦定理、面积公式,意在考查考生综合应用三角知识运算求解能力. 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin A+C2=sin B sin A. 因为sin A ≠0,所以sinA+C2=sin B. 由A +B +C =180°,可得sin A+C 2=cos B2, 故cos B 2=2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B =60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a.由正弦定理得a =csinA sinC =sin (120°-C )sinC =√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°,由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故12<a <2,从而√38<S △ABC <√32.因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32).7.(2019·北京高考理科·T15)在△ABC 中,a =3,b -c =2,cos B =-12. (1)求b ,c 的值.(2)求sin (B -C )的值.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】(1)由已知及余弦定理,cos B =c 2+a 2-b 22ca =9+(c+b )(c -b )6c =9-2(c+b )6c =-12,即9-2b +c =0,又b -c =2,所以b =7,c =5. (2)由(1)及余弦定理,cos C =a 2+b 2-c 22ab =32+72-522×3×7=1114,又sin 2C +cos 2C =1,0<C <π, 所以sin C =5√314,同理sin B =√32,所以sin (B -C )=sin B cos C -sin C cos B =√32×1114-5√314×(-12)=4√37. 【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:sin(A +B )=sin(π-C )=sin C ,sin(A +B )=sin A cos B +sin B cos A , cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ,cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B.8.(2019·北京高考文科·T15)在△ABC 中,a =3,b -c =2,cos B =-12. (1)求b ,c 的值.(2)求sin (B +C )的值.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】(1)由已知及余弦定理, cos B =c 2+a 2-b 22ca =9+(c+b )(c -b )6c =9-2(c+b )6c =-12,即9-2b +c =0,又b -c =2,所以b =7,c =5. (2)由(1)及余弦定理, cos C =a 2+b 2-c 22ab =32+72-522×3×7=1114, 又sin 2C +cos 2C =1,0<C <π, 所以sin C =5√314,同理sin B =√32,所以sin (B +C )=sin B cos C +sin C cos B =√32×1114+5√314×(-12)=3√314. 【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:sin(A +B )=sin(π-C )=sin C , sin(A +B )=sin A cos B +sin B cos A , cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ,cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B.9.(2019·天津高考理科·T15同2019·天津高考文科·T16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b +c =2a ,3c sinB =4a sin C.(1)求cos B 的值.(2)求sin (2B +π6)的值.【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理b sinB =csinC,得b sin C =c sin B ,又由3c sin B =4a sin C ,得3b sin C =4a sin C ,因为sin C ≠0,所以3b =4a.又因为b +c =2a ,得到b =43a ,c =23a.由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=-14. (2)由(1)可得sin B =√1-cos 2B =√154,sin 2B =2sin B cos B =-√158,cos 2B =cos 2B -sin 2B =-78,故sin (2B +π6)=sin 2B cos π6+cos 2B sin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716. 10.(2019·江苏高考·T15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c. (1)若a =3c ,b =√2,cos B =23,求c 的值. (2)若sinA a =cosB2b,求sin (B +π2)的值.【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.【解题指南】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程,解方程可得边长c的值.(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B的值,然后由诱导公式可得sin(B+π2)的值.【解析】(1)因为a=3c,b=√2,cos B=23,由cos B=a2+c2-b22ac ,得23=(3c)2+c2-(√2)22×3c×c,即c2=13.所以c=√33.(2)因为sinAa =cosB2b,由正弦定理asinA =bsinB,得cosB2b=sinBb,所以cos B=2sin B.从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=45.因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=2√55.因此sin(B+π2)=cos B=2√55.。

2019年高考试题训练一：2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

设C B A C B sin sin sin )sin (sin 22-=-。

（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若c b a 22=+，求C sin 。

本题解析：（Ⅰ）本题目是边角转化和余弦定理四项式综合的经典题型。

半角转化：方程中每一项都有内角的正弦，每一项中正弦次数相加相等，可以把每一项中的正弦全部转化为对边，保持次数不变。

CC B B C B A C B 2222sin sin sin 2sin sin sin sin )sin (sin +-⇒-=-CB AC B C B A sin sin sin sin sin sin sin sin 2222=-+⇒-=bc a c b =-+⇒222。

根据余弦定理得到：32122cos 222π=⇒==-+=A bc bc bc a c b A 。

（Ⅱ）本题目是边角转化和一个角的正弦等于另外两个角和的正弦综合的经典题型。

边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把每一项中的边全部转化为对角的正弦，保持次数不变。

C B A c b a sin 2sin sin 222=+⇒=+。

C C A C C A C A B sin 21cos 23cos sin cos sin )sin(sin +=+=+=C C C C C sin 23cos 2326sin 2sin 21cos 23232=+⇒=++⨯⇒6sin 3cos 3sin 3cos 36-=⇒=+⇒C C C C 2sin 3cos -=⇒C C 2cos sin 3=-⇒C C 2)6sin(22)cos 6sin sin 6(cos 2=-⇒=-⇒πππC C C 4622)6sin(πππ=-⇒=-⇒C C 或125436πππ=⇒=-C C 或1211π=C 。

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考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2018·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=13,则sinB=( ) A.15 B.59【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。

【解析】选B 。

由正弦定理得355,,sin 1sin sin sin 93所以所以===a b B A BB 。

2.（2018·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ4）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A.2B.1C.21 【解题指南】利用正弦定理和三角形的面积公式可得 【解析】选B.因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sinsin64b c ππ=，解得c =形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯.因为711sinsin())123422πππ=+==+，所以11sin ()12222bc A =+=，选B. 3.（2018·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ）A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A .由正弦定理C c A a sin sin =得，Csin 65627=. 35612sin =C ，3519cos =C .又)(C A B +-=π，所以C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，17565035612513519562sin =⨯+⨯=B .由正弦定理B b A a sin sin =得, 1756505627b =，解得5=b . 方法二:由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，51cos =A ，则495112362=⨯-+b b ，解得5=b 4.（2018·陕西高考文科·Ｔ9）【备注：（2018·陕西高考理科·Ｔ7）与之题干相同】设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向. 【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,所以sin(B+C)=sin 2A, sinA=sin 2A, sinA=1,所以三角形ABC 是直角三角形.5.（2018·安徽高考文科·Ｔ9）【备注：（2018·安徽高考理科·Ｔ12）与之题干相同】 设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,则3sinA=5sinB,则角C= ( ) A.π3 B. 2π3C. 3π4D. 5π6 【解题指南】 根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。

正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)； (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)． 【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3 (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________.[答案] (1) B (2) π6[解析] (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4. 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin 3π4＝2sin C ， 则sin C ＝12，得C ＝π6.(2)由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理得，c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc 得，a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32， ∴A ＝π6. 【类题通法】在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 【对点训练】1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3 [答案] D[解析] 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.考点二、判断三角形的形状【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 [答案] D[解析] 因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 【类题通法】1．判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 【对点训练】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .考点三、与三角形面积有关的问题【例3】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解析] (1)由已知及正弦定理得 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知得12ab sin C ＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.【类题通法】三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点训练】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解析](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.。