2018-2019年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法评估验收卷 新人教A版选修4-5

教育资料

教育资料一 第二讲 证明不等式的基本方法

评估验收卷(二)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设t＝a＋2b，S＝a＋b2＋1，则下列t与S的大小关系中正确的是( )

A．t＞S B．t≥S C．t＜S D．t≤S

解析：t－S＝a＋2b－(a＋b2＋1)＝－(b2－2b＋1)＝－(b－1)2≤0.故应选D.

答案：D

2．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则( )

A．a＞b B．a＜b

C．a≤b D．a≥b

解析：因为a－b＝(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝4m2＋n2－4mn＝(2m－n)2≥0，所以a≥b.

答案：D

3．已知a＝6＋7，b＝5＋8，c＝5，则a，b，c的大小关系排列为( )

A．a＞b＞c B．a＞c＞b

C．b＞a＞c D．c＞a＞b

解析：由已知得a2＝6＋7＋242＝13＋242；b2＝8＋5＋410＝13＋240；c2＝25＝13＋12＝13＋236，因为236＜240＜242.所以a＞b＞c.

答案：A

4．已知a，b∈R，则使1a3＜1b3成立的一个充分不必要条件是( )

A．ab＞0 B．ab(a－b)＞0

C．b＜a＜0 D．a＞b

解析：1a3＜1b3⇔1a＜1b⇔a＞b＞0或b＜a＜0或a＜0＜b，

所以使1a3＜1b3成立的一个充分不必要条件是b＜a＜0.

答案：C

5．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝1，则下列不等式中恒成立的是( )

A．xy＞yz B．xz＞yz 教育资料

教育资料一 C．x|y|＞z|y| D．xy＞xz

解析：法一(特殊值法) 令x＝2，y＝0，z＝－1，可排除A、B、C，故选D.

法二 3z＜x＋y＋z＜3x，所以x＞13＞z，

由x＞0，y＞z，得xy＞xz.

答案：D

6．要使3a－3b＜3a－b成立，a，b应满足的条件是( )

A．ab＜0且a＞b

B．ab＞0且a＞b

C．ab＜0且a＜b

D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b

解析：3a－3b＜3a－b⇔(3a－3b)3＜a－b⇔33ab2＜33a2b ⇔ab(a－b)＞0.

当ab＞0时，a＞b；当ab＜0时，a＜b.

答案：D

7．已知b>a>0，且a＋b＝1，那么( )

A．2ab

C.a4－b4a－b<2ab

解析：取特殊值法．令a＝14，b＝34，

则2ab＝38，a4－b4a－b＝58，a＋b2＝12，故选B.

答案：B

8．若a、b、c是直角三角形的三边长，h是斜边c上的高，则有( )

A．a＋b＜c＋h B．a＋b＝c＋h

C．a＋b≥c＋h D．a＋b＞c＋h

解析：因为a，b，c为直角三角形的三边长，

所以a2＋b2＝c2，所以a2＋b2＜c2＋h2，

又ab＝ch，所以a2＋2ab＋b2＜c2＋2ch＋h2，

所以(a＋b)2＜(c＋h)2，所以a＋b＜c＋h.

答案：A

9．使不等式3＋8＞1＋a成立的正整数a的最大值为( )

A．10 B．11 C．12 D．13 教育资料

教育资料一 解析：用分析法可证a＝12时不等式成立，a＝13时不等式不成立．故应选C.

答案：C

10．已知x＝a＋1a－2(a＞2)，y＝12b2－2(b＜0)，则x，y之间的大小关系是( )

A．x＞y B．x＜y

C．x＝y D．不能确定

解析：因为x＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4(a＞2)．

又b2－2＞－2(b＜0)，

即y＝12b2－2＜12－2＝4，所以x＞y.

答案：A

11．M＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n（n＋1）与1的大小关系是( )

A．M＞1 B．M＜1

C．M＝1 D．不确定

解析：M＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n（n＋1）＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＜1.

答案：B

12．在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则角B适合的条件是( )

A．0＜B≤π4 B．0＜B≤π3

C．0＜B≤π2 D.π2＜B＜π

解析：由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c，

所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－（a＋c）242ac＝3（a2＋c2）－2ac8ac＝3（a2＋c2）8ac－14≥12.

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

所以cos B的最小值为12.

又y＝cos B在0，π2上是减函数，所以0＜B≤π3.

答案：B 教育资料

教育资料一 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________．

解析：“三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角或3个全是钝角”．故应填三角形中至少有两个内角是钝角．

答案：三角形中至少有两个内角是钝角

14．用分析法证明：若a，b，m都是正数，且a＜b，则a＋mb＋m＞ab.完成下列证明过程．

因为b＋m＞0，b＞0，

所以要证原不等式成立，只需证明

b(a＋m)＞a(b＋m)，

即只需证明________．

因为m＞0，所以只需证明b＞a，

由已知显然成立，所以原不等式成立．

解析：b(a＋m)＞a(b＋m)与bm＞am等价，因此欲证b(a＋m)＞a(b＋m)成立，只需证明bm＞am即可．

答案：bm＞am

15．已知数列{an}的通项公式an＝anbn＋1，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是________．

解析：an＋1－an＝a（n＋1）b（n＋1）＋1－anbn＋1＝a（bn＋b＋1）（bn＋1）.

因为a＞0，b＞0，n＞0，n∈N＋，

所以an＋1－an＞0，因此an＋1＞an.

答案：an＋1＞an

16．已知a，b，c，d大于0，且S＝aa＋b＋c＋bb＋c＋d＋cc＋d＋a＋da＋b＋d，则S的取值范围是________．

解析：由放缩法，得aa＋b＋c＋d＜aa＋b＋c＜aa＋c；

ba＋b＋c＋d＜bb＋c＋d＜bd＋b；

ca＋b＋c＋d＜cc＋d＋a＜cc＋a；

da＋b＋c＋d＜dd＋a＋b＜dd＋b.

以上四个不等式相加，得1＜S＜2. 教育资料

教育资料一 答案：(1，2)

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知a，b，c∈(0，＋∞)，比较a2＋b2与ab＋a＋b－1的大小．

解：因为(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝12(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)＝12[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，

所以a2＋b2≥ab＋a＋b－1.

18．(本小题满分12分)设|a|＜1，|b|＜1，求证：|a＋b|＋|a－b|＜2.

证明：当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|＜2；

当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－(a－b)|＝2|b|＜2.

所以|a＋b|＋|a－b|＜2.

19．(本小题满分12分)若a，b，c均为正数，a＋b＋c＝3，求证：a＋b＋c≤3.

证明：假设a＋b＋c＞3，则(a＋b＋c)2＞9，

即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac＞9，

因为a＋b＋c＝3，

所以ab＋bc＋ac＞3.

又因为ab≤a＋b2，bc≤b＋c2，ac≤a＋c2，

所以ab＋bc＋ac≤a＋b＋c＝3(当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立)，这与ab＋bc＋ac＞3矛盾．

故a＋b＋c≤3.

20．(本小题满分12分)设a＋b＝2，b＞0，当12|a|＋|a|b取得最小值时，求a的值．

解：由于a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝

a4|a|＋b4|a|＋|a|b，

由于b＞0，|a|＞0，所以b4|a|＋|a|b≥2b4|a|·|a|b＝1，因此当a＞0时，12|a|＋|a|b的最小值是14＋1＝54；

当a＜0时，12|a|＋|a|b的最小值是－14＋1＝34. 教育资料

教育资料一 故12|a|＋|a|b的最小值为34，此时b4|a|＝|a|b，a＜0

即a＝－2.

21．(本小题满分12分)已知x，y∈R，且|x|＜1，|y|＜1，求证：11－x2＋11－y2≥21－xy.

证明：因为|x|＜1，|y|＜1，

所以11－x2＞0，11－y2＞0.

所以11－x2＋11－y2≥2（1－x2）（1－y2）.

故要证明结论成立，只需证2（1－x2）（1－y2）≥21－xy成立，

即证1－xy≥（1－x2）（1－y2）成立即可，

因为(y－x)2≥0，有－2xy≥－x2－y2，

所以(1－xy)2≥(1－x2)(1－y2)，

所以1－xy≥（1－x2）（1－y2）＞0，

所以不等式成立．

22．(本小题满分12分)等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn.等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{ban}是公比为64的等比数列．

(1)求an与bn；

(2)证明：1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn＜34.

(1)解：设{an}的公差为d(d∈N)，{bn}的公比为q，

则an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.

依题意ban＋1ban＝q3＋nd－1q3＋（n－1）d－1＝qd＝64， ①S2b2＝（6＋d）q＝64. ②

由①知，q＝641d＝26d.③

由②知，q为正有理数．所以d为6的因子1，2，3，6中之一，因此由②③知d＝2，q＝8，

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.

(2)证明：Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，

则1Sn＝1n（n＋2）＝121n－1n＋2.