《函数的单调性与导数》教学设计
教学设计：函数的单调性与导数
一、教学目标：
1.了解函数的单调性的定义，并能够判断函数在给定区间内的单调性；
2.理解导数的定义，了解导数与函数的单调性之间的关系；
3.能够利用导数的性质判断函数在给定区间内的单调性；
4.能够运用函数的单调性和导数的概念解决实际问题。
二、教学内容：
1.函数的单调性的概念与判断方法；
2.导数的概念与计算方法；
3.导数与函数的单调性之间的关系；
4.运用函数的单调性和导数解决实际问题。
三、教学过程：
第一课时：函数的单调性的概念与判断方法
1.引入函数的单调性的概念：什么是单调函数？如何判断函数的单调性？
2.通过绘制函数图像来观察函数的单调性，并引入函数的增减性的概念。
3.讲解函数单调性的判断方法： a.若在一些区间[a,b]上，对于任意x1,x2满足x1
b.若在一些区间[a,b]上，对于任意x1,x2满足x1f(x2)，则函数在该区间上为递减函数；
c.根据函数的单调性定义，讲解如何利用函数的增减性判断函数的单调性。
第二课时：导数的概念与计算方法
1.引入导数的概念：什么是导数？为什么要引入导数？
2.解释导数的物理意义：导数表示函数在其中一点的瞬时变化率。
3.讲解导数的计算方法：
a. 介绍导数的定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h；
b.使用导数的定义计算简单函数的导数；
c.利用导数的性质计算复合函数的导数。
第三课时：导数与函数的单调性之间的关系
1.引入导数与函数的单调性之间的关系：导数能够刻画函数的增减性。
2.介绍导数的几何意义：导数表示函数曲线在其中一点的斜率。
3.讲解导数与函数的单调性的关系：
a.若函数在[a,b]上的导数大于0，则函数在该区间上是递增函数；
b.若函数在[a,b]上的导数小于0，则函数在该区间上是递减函数；
c.引入导数的零点定理，讲解如何利用导数的零点判断函数的单调性。 第四课时：运用函数的单调性和导数解决实际问题
函数的单调性
【第1课时】
单调性的定义与证明
【教学目标】 【核心素养】
1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．（重点）
2．会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．（重点、难点）
3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．（重点、难点） 1．借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．
2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．
3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，且M⊆A：如果对任意x1，x2∈M，当x1＞x2时
都有f（x1）＞f（x2）
都有f（x1）＜f（x2）
结论 y＝f（x）在M上是增函数（也称在M上单调递增） y＝f（x）在M上是减函数（也称在M上单调递减）
图示
思考1：增（减）函数定义中的x1，x2有什么特征？
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征
（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
（2）有大小，通常规定x1＞x2；
（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f（x）在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在M上具有单调性（当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）．
思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？
提示：不是．y＝1x在（－∞，0）上递减，在（0，＋∞）上也递减，但不能说y＝1x在（－∞，0）∪（0，＋∞）上递减．
3．函数的最值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数f（x）的定义域为D：且x0∈D，如果对任意x∈D
都有f（x）≤f（x0） 都有f（x）≥f（x0）
结论 称f（x）的最大值为f（x0），记作fmax＝f（x0），而x0称为f（x）的最大值点 称f（x）的最小值为f（x0），记作fmin＝f（x0），而x0称为f（x）的最小值点
9 第4课时 函数的单调性
一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的.
例1 (1)如图是定义在区间[5,5上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
(2)函数y＝1x－1的递减区间是________.
(3)画函数y＝|x2－2x－3|的图像，试写出它的单调区间，并指出单调性.
(4)求函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间.
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例2 求证：函数f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上是增函数.
例3 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围.
变式1 若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的递减区间为(－∞，4]，则a的值是什么？
变式2 若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[4,2]上单调，则a的取值范围是什么？
变式3 若y＝f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，且f(1－a)
1.函数y＝6x的减区间是( )
A.[（0，＋∞)) B.((－∞，0])
C.(－∞，0)，(0，＋∞) D.(－∞，0)∪(0，＋∞)
2.函数y＝x2－6x的递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[3，＋∞) D.(－∞，3]
3.若函数y＝f(x)在R上是减函数，且f(2m)>f(1＋m)，则实数m的取值范围是__________. 11
4.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A.y＝3－x B.y＝x2＋1
C.y＝1x D.y＝－|x＋1|
5.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么－1
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组
第 课时 2.2函数的性质(单调性)
考纲定位 理解函数的单调性及其几何意义；掌握判断函数单调性的基本方法；并能利用函数的单调性解题.
疑难提示 1、单调区间表示的误区：函数在区间(,),(,)abcd上单调,不能说在(,)(,)abcd上单调；2、在求函数单调区间时，首先要考虑定义域.
【考点整合】
1、函数的单调性及其几何意义
一般地，设函数()fx的定义域为I：如果对定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，(1)若都有12()__()fxfx，则称函数()fx在区间D上是增函数；
(2)若都有12()__()fxfx，则称函数()fx在区间D上是减函数；
函数单调递增的几何意义是：
2、单调函数及单调区间：如果函数()fx在区间D上是增函数(或减函数)我们就说()fx在这个区间上具有严格的单调性，区间D叫做()fx的 ，统称为单调区间.
3、复合函数的单调性：复合函数[()]yfgx由内、外两层(分别是()()ugxyfu和)函数构成，其单调性可按 的原则进行判断，即内、外两层函数在公共定义域上，若同是增函数或同是减函数，则[()]yfgx为 函数；若一增一减，则[()]yfgx为 函数.
【真题演练】
1、(2012 广东)下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是（ ）
A.ln(2)yx B.1yx C.1()2xy D.1yxx
2、(2011 课标)下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是（ ）
A.3yx B.||1yx C.21yx D.||2xy
