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§1.3.1 函数的单调性与导数（第二课时）【学习目标】1、进一步掌握函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不定式；3、 会求函数的单调区间（其中多项式函数次数一般不超过三次）。
【自主学习】1、 函数的单调性与其导数的正负关系一般地，设函数y=f(x),在区间（a,b ）上()0,()____________;(2)()0,()f x f x f x f x '>'<(1)如果则在该区间上如果则在该区间上_____________.2、 函数单调性与导数值大小的关系一般地，设函数y=f(x),在区间（a,b ）上1(),(),f x a b f x a b ''（）如果越大，函数在区间（）上变化得_________,函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；(2)如果越小，函数在区间（）上变化得_________,函数的图像就比较“平缓”（向上或向下）.3、(f 'x)>0是f(x)在此区间为增函数的充要条件吗？4、怎样证明函数f(x)在一个区间上是增函数？5、求下列函数的单调区间：1ln ;y x x =-（） (2).y =【质疑探究】探究一 证明函数ln ()x f x x=在区间（0,2）上是单调递增函数。
探究二 已知0,1,a a >≠且证明函数()ln - 0)x f x a x x =-∞在(，内是减函数。
3.(1)+(2)1+y x ax b y a y a =-+∞∞探究三 已知函数若函数在（1，）内是增函数，求的取值范围.若函数的一个单调递增区间为（，），求的值。
1,ln(1)x x x >>+探究四 已知证明:。
课时）1.3.1函数的单调性与导数（2教学目标：．了解可导函数的单调性与其导数的关系；1 ．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；2 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授，它表示跳水运动1）．问题：图3.3-1（ 1th数函变化的中高度随时间20?.51?4.t9?6th(t)?3.3-1的图像，图t v随时间2）表示高台跳水运动员的速度（'6.5?t()??9.8tv(t)?h图变化的函数的像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：t)th(h是增函（1）随时间运动员从起点到最高点，离水面的高度的增加而增加，即'0)?hv(t)?(t数．相应地，．t)h(t h是减函从最高点到入水，运动员离水面的高度（2）的增加而减少，即随时间'0?h(vt)?(t)数．相应地，．．函数的单调性与导数的关系2观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．- 1 -专心爱心用心．')xf(，导数3.3-3图如0),yx()xf(处的切线的斜率．表示函数在点00'xxx?0x)?f()(xf附近单调递处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在在000增；'xxx?0f()?x)(xf 附近单调递处，在，切线是“左上右下”式的，这时，函数在101减．结论：函数的单调性与导数的关系'0f(x)?)f?(ba(,)xy在这个区间内单调递增；如果在某个区间内，如果，那么函数- 2 -专心爱心用心．'0)?(xf)x(y?f，那么函数在这个区间内单调递减．'0x)?f()f(xy?）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．说明：（1)x?f(y单调区间的步骤：3．求解函数)x?f(y 1）确定函数的定义域；（'')fxy(?；（2）求导数'0?x)f(）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（3'0?xf)(，解集在定义域内的部分为减区间．（4）解不等式三．典例分析')fx(：例1．已知导函数的下列信息'0?(x)f4x?1?时，；当'0?(x)f1x?x?4当时，，或；'0(x)f?1?x?4x，或当时，)?f(xy图像的大致形状．试画出函数'0x)f?()f(xy?41?x?解：当时，，可知在此区间内单调递增；'0)f?(x)(xy?f1x?x?4可知在此区间内单调递减；，或当时，；'0)f?(x1x?4x?时，．当，或，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”)xy?f(综上，函数所示．图像的大致形状如图3.3-4 判断下列函数的单调性，并求出单调区间．例2．233?2xx3f(x)?x(fx)?x??（1）；（2）23?1x??24xf(x)?2x?3)x?(0,xxf()?sin?x4）；（3（）3x?x3(fx)?，所以，1）因为（解：2'203(?x??1)f)(x?3x?33x?3)f(x?x R 1因此，在上单调递增，如图3.3-5（）所示．- 3 -专心爱心用心．??'21?2x?2?2xf?(x)3??2x(fx)?x，所以，2）因为（'23?(x)?x?2xff(x)?01x?，即时，函数当单调递增；2'3?x?2x)f(x)?0f(x?1x?时，函数，即当单调递减；23?2xxf(x)??函数）所示．（2的图像如图3.3-5'?0xf()?cos x?1?)(0,x(fx)?sin x?x?，所以，3）因为（?x sin?x?f(x))(0,）所示．在3.3-5（因此，函数3单调递减，如图231x?24x??f(x)?2x3．）因为（4，所以2'3fxf()?0(x)?x?2x?；当，即时，函数2'3?)?x2x?xf?f(x)0(时，函数当；，即231xxf()?2?3x?24x?）所示．4的图像如图函数3.3-5（ 4）生练（）（注：3、例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相th的函数关系图像．与时间同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度- 4 -专心爱心用心．分以析：器容）（2为例，于由器容细上下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图 A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．像上，（????????????????C,3,?1??AB?,D24解：结不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．思考：例3表明，通过函数图像，合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．????0ba,0,)xy?f(所示，函数如图3.3-7，在或内的图像“陡峭”????a????,b,在．或内的图像“平缓”??232,1?1?12xx?3x?y?24．求证：函数内是减函数．在区间例??????2'22?1?6x?6x?12?6x?x?2?xx?y6证明：因为????23'2,1??x?2,11?y?2x?3x?12x0?y12??x?内时，即所以函数在区间当，是减函数．????b,fax在说明：证明可导函数内的单调性步骤：??'xf）求导函数；（1????'bxfa,内的符号；（2）判断在????''0f?xx?0f为增函数，（3）做出结论：为减函??321,1?)?Rx()f(x?4x?ax?x a的在区间上是增函数，求实数5例．已知函数3取值数．2范围．????2''1,1xf?0)?f(xax?f(x)4?2?2x对解：上是增函数，所以在区间，因为????21,1?1,1?xx??02x?ax??1?a?1?对恒成立，即恒成立，解之得：??1,1?a的取值范围为．所以实数- 5 -专心爱心用心．已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调说明：''0(x)?ff(x)?0”来求解，注；若函数单调递减，则性关系：即“若函数单调递增，则意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．1xy. =，试讨论出此函数的单调区间+例6．已知函数x1xy=()+解：′′x2)x?11(x?1)(x??2－x==1－1·22xx(x?1)(x?1)＞令0.2xxx1. 1或解得＜－＞1xy). ∞，+(－∞，－∴1)=和+(1的单调增区间是x)1x?x?1)((xx1. ＜0或00令＜，解得－1＜＜＜2x1xy，1)0)和+(0的单调减区间是(－1∴，=x四．课堂练习．求下列函数的单调区间11?23]2[?0,y=xlnxfxfx fxxxx x 1.(()=2 －6)=sin+7 2.4.()=, +2x 3. x练习2．课本五．回顾总结）函数的单调性与导数的关系????baf,x 3（）证明可导函数在内的单调性（1)xf(y? 2）求解函数单调区间（六．布置作业- 6 -专心爱心用心．- 7 -专心爱心用心．。
1．1．3函数的单调性与导数（二）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程（一）复习1．确定下列函数的单调区间：⑴ y ＝x 3－9x 2＋24x ； ⑵ y ＝x －x 3．（4）f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －32．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的单调区间．3．在区间(a , b )内f'(x )＞0是f (x )在(a , b )内单调递增的 ( A )A ．充分而不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（二）举例例1．求下列函数的单调区间(1) f (x )＝x －ln x (x ＞0)；(2) )253log()(2-+=x x x f(3) 32)1)(12(x x y --=. （4）)3ln()(b x x f -= （b>0）（5）判断)lg()(2x x x f -=的单调性。
分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）例2．（1）求函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间. （2）讨论函数2()(11,0)1bx f x x b x =-<<≠-的单调性. （3）设函数f (x ) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a ≥–1，求f (x )的单调区间.（1）解：y ′ = x 2 – (a + a 2) x + a 3 = (x – a ) (x – a 2)，令y ′＜0得(x – a ) (x – a 2)＜0.1）当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；2）当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a 此时函数的单调减区间为(a 2, a )；3）当a ＞1时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；4）a = 0，a = 1时，y ′≥0此时，无减区间.综上所述：当a ＜0或a ＞1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a , a 2)； 当0＜a ＜1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a 2, a )； 当a = 0，a = 1时，无减区间.（2）解：∵22()()()11bx bx f x f x x x --==-=----， ∴f (x )在定义域上是奇函数. 在这里，只需讨论f (x )在(0, 1)上的单调性即可.当0＜x ＜1时，f ′ (x ) =2222222221(1)21()1(1)(1)x x x x x x b b b x x x '-----'==---=2221(1)x b x +--. 若b ＞0，则有f ′ (x )＜0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递减的； 若b ＜0，则有f ′ (x )＞0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论： 当b ＞0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递减的；当b ＜0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递增的.（3）解：由已知得函数f (x )的定义域为 (–1, +∞)，且1()1ax f x x -'=+(a ≥–1). （1）当–1≤a ≤0时，f ′ (x )＜0，函f (x )在(–1, +∞)上单调递减.（2）当a ＞0时，由f ′ (x ) = 0，解得1x a =. f ′ (x )、f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈1(1,)a -时，f ′ (x )＜0，函数f (x )在1(1,)a-上单调递减. 当x ∈1(,)a +∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在1(,)a +∞上单调递增. 综上所述，当–1≤a ≤0时，函数f (x )在(–1, +∞)上单调递减；当a ＞0时，函数f (x )在1(1,)a -上单调递减，函数f (x )在1(,)a+∞上单调递增.作业：《习案》作业八。
