2017高考一轮复习教案-函数及其表示

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. 第一节 函数及其表示

1．函数的概念及其表示

(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

2．分段函数及其应用

了解简单的分段函数，并能简单应用．

知识点一 函数与映射的概念

函 数 映 射

两集合A，B 设A、B是两个非空的数集 设A、B是两个非空的集合

对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

易误提醒 易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．

[自测练习]

1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是( )

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知识点二 函数的有关概念

1．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

2．函数的表示方法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

易误提醒 (1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．

(2)误把分段函数理解为几个函数组成．

必备方法 求函数解析式的四种常用方法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

[自测练习]

2．(2016·贵阳期末)函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为( )

A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)

C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)

3．f(x)与g(x)表示同一函数的是( )

A．f(x)＝x2－1与g(x)＝x－1·x＋1 B．f(x)＝x与g(x)＝x3＋xx2＋1

C．y＝x与y＝(x)2 D．f(x)＝x2与g(x)＝3x3 .

. 4．若函数f(x)＝ x2＋1，x≤0，log12x，x>0，则f(f(2))＝( )

A．－1 B．2

C．1 D．0

考点一 函数的定义域问题|

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：

1．求给定函数解析式的定义域；

2．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；

3．已知定义域确定参数问题．

探究一 求给定解析式的定义域

1．(2015·江西重点中学一联)函数f(x)＝3xx－2＋lg(3－x)的定义域是( )

A．(3，＋∞) B．(2,3)

C．[2,3) D．(2，＋∞)

探究二 已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域

2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝f3xx－1的定义域是( )

A．[0,1) B．[0,1]

C．[0,1)∪(1,9] D．(0,1)

探究三 已知定义域求参数范围问题

3．若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．

函数定义域的三种类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．

(3)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．

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. 考点二 函数解析式的求法|

(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)＋2f1x＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．

函数解析式求法中的一个注意点

利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．

求下列函数的解析式：

(1)已知f2x＋1＝lg x，求f(x)；

(2)2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．

考点三 分段函数| .

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1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ 2x－1－2，x≤1，－log2x＋1，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )

A．－74 B．－54

C．－34 D．－14

2．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )

分段函数“两种”题型的求解策略

(1)根据分段函数解析式求函数值

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．

(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

3.分段函数的定义理解不清致误 .

. 【典例】 已知实数a≠0，函数f(x)＝ 2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．

[易误点评] 本题易出现的错误主要有两个方面：

(1)误以为1－a<1,1＋a>1，没有对a进行讨论直接代入求解．

(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．

[防范措施] (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．

(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意

求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．

[跟踪练习] 设函数f(x)＝ x，x≥0，－x，x<0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )

A．－3

B．±3

C．－1 D．±1

A组 考点能力演练

1．(2015·高考陕西卷)设f(x)＝ 1－x，x≥0，2x，x<0，则f[f(－2)]＝( )

A．－1 B.14 C.12 D.32

2．(2015·北京朝阳模拟)函数f(x)＝1x－1＋x的定义域为( )

A．[0，＋∞) B．(1，＋∞)

C．[0,1)∪(1，＋∞) D．[0,1)

3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果f(x＋2 014)＝ 2sin x，x≥0lg－x，x<0，那么f2 014＋π4·f(－7 986)＝( )

A．2 014

B．4

C.14 D.12 014

4．(2016·岳阳质检)设函数f(x)＝lg3＋x3－x，则fx3＋f3x的定义域为( ) .

. A．(－9,0)∪(0,9) B．(－9，－1)∪(1,9)

C．(－3，－1)∪(1,3) D．(－9，－3)∪(3,9)

5．若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为( )

A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]

6．(2015·陕西二模)若函数f(x)＝ lg x，x>01－x，x≤0，则f(f(－99))＝________.

7．函数y＝f(x)的定义域为[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．

8．具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒 负”变换的函数．下列函数：

①y＝x－1x；②y＝x＋1x；③y＝ x，01.

其中满足“倒负”变换的函数是________．

9．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ x－1，x>0，2－x，x<0.

(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；

(2)求f(g(x))的解析式．

10．动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA的长时，求y关于x的解析式，并求f52的值．

B组 高考题型专练