专题10 圆锥曲线易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”如图，已知点0(1)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，求动点P 的轨迹．【错解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ．【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别． 【试题解析】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ．故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点(),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程．（4）参数法：若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．1．在直角坐标系中,以O 为圆心的圆与直线340x y --=相切.（1）求圆O 的方程;（2）圆O 与x 轴相交于A ,B 两点,圆O 内的动点P 使成等比数列,求P 点的轨迹方程,并指出轨迹的形状.【答案】（1）（2）P 点的轨迹方程为或), P点的轨迹为双曲线在圆内的一部分.（2）由（1）设由成等比数列得,,化简得.由于点P 在圆O 内,故222242x y x y ⎧+<⎨-=⎩， 由此得32x <≤23x ≤<所以P 点的轨迹方程为或), P 点的轨迹为双曲线在圆内的一部分.易错点2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围已知曲线C ：y ＝x 2－2x ＋2和直线l ：y ＝kx (k ≠0)，若C 与l 有两个交点A 和B ，求线段AB 中点的轨迹方程.【错解】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2，y ＝kx ，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有12212212121x x x k y y k y k +⎧==⎪⎪-⎨+⎪==⎪-⎩，故线段AB 中点的轨迹方程为220x y x --=.【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y 的允许值范围，故应对x ，y 加以限制．【试题解析】依题意，由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ＋2y ＝kx，分别消去x 、y 得，(k 2－1)x 2＋2x －2＝0，① (k 2－1)y 2＋2ky －2k 2＝0.②设AB 的中点为P (x ，y )，则在①②中分别有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝11－k 2， ③y ＝y 1＋y 22＝k1－k 2， ④又对②应满足22221222122144(2)(1)02121kk k kky ykky yk∆⎧-≠⎪=-⨯-⨯->⎪⎪⎨+=>-⎪⎪⎪=>-⎩，解得22<k<1.结合③④，则有x>2，y> 2.所以所求轨迹方程是x2－y2－x＝0(x>2，y>2)．【参考答案】轨迹方程是x2－y2－x＝0(x>2，y>2).1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y=的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x,y的取值范围.2．已知ABC△的三边a、b、c(a>b>c)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程.【答案】x24＋y23＝1(－2<x<0)．本题在求出顶点B的轨迹方程后，容易忽略了题设中的条件a >b>c，使变量x的范围扩大，从而导致错误．另外，注意当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形．易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件若方程22186x yk k+=--表示椭圆，则实数k的取值范围为________________．【错解】由8060kk->⎧⎨->⎩，可得68k<<，所以实数k的取值范围为(6，8)．【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a＞b＞0这一限制条件，当a＝b＞0时表示的是圆的方程．【试题解析】由806086kkk k->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得68k<<且7k≠，所以实数k的取值范围为(6，7)∪(7，8)．【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．【参考答案】(6，7)∪(7，8)．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.3．已知F 1，F 2为两定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段【答案】D平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F 1F 2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点M 的轨迹是椭圆.易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为2221(0)36x y k k +=>，并且焦距为8，则实数k 的值为_____________．【错解1】因为2c ＝8，所以c ＝4，由椭圆的标准方程知a 2＝36，b 2＝k 2，a 2＝b 2＋c 2， 所以36＝k 2＋42，即k 2＝20，又k ＞0，故25k =．【错解2】因为2c ＝8，所以c ＝4，由椭圆的标准方程知a 2＝k 2，b 2＝36，a 2＝b 2＋c 2，所以k 2＝36＋42，即k 2＝52，又k ＞0，故213k =．【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误． 【试题解析】因为2c ＝8，所以c ＝4，①当焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝36，b 2＝k 2，a 2＝b 2＋c 2， 所以36＝k 2＋42，即k 2＝20，又k ＞0，故25k =；②当焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝k 2，b 2＝36，a 2＝b 2＋c 2， 所以k 2＝36＋42，即k 2＝52，又k ＞0，故213k =． 综上，25k =或213．【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在x 轴上或y 轴上去求解． 【参考答案】25k =或213．1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.对于方程221x y m n+=，①表示焦点在x 轴上的椭圆⇔0,0m n >>且m n >； ②表示焦点在y 轴上的椭圆⇔0,0m n >>且m n <； ③表示椭圆⇔0,0m n >>且m n ≠．对于形如：Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B )的椭圆的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况，当B ＞A 时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当B ＜A 时，表示焦点在y 轴上的椭圆．2．求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B ).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.4．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e ＝32，且过点P (2,3)，求此椭圆的标准方程. 【答案】x 240＋y 210＝1或y 225＋4x225＝1.本题在求解时容易忽略焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x 轴上，从而求出椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1.为了避免讨论，也可以如下方法设椭圆方程：与椭圆22221x y a b +=有相同焦点的椭圆方程可设为222221(x y k a a k b k +=<--且2)k b <，与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为2222(0x y m m a b+=>，焦点在x 轴上)或2222(0y x n n a b+=>，焦点在y 轴上)． 易错点5 忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率32e =，已知点3(0,)2P 到椭圆的最远距离7，求椭圆的标准方程．【错解】由题意可设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22222222314c a b b e a a a -===-=，故2214b a =，即2a b =．设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则222222222331()(1)()3()43222y d x y a y y b b =+-=-+-=-+++，所以当12y =-时，2d 取得最大值，从而d 取得最大值， 所以2243(7)b +=，解得21b =，24a =．故所求椭圆的标准方程为2214x y +=．【错因分析】错解中“当12y =-时，2d 取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y 的取值范围，事实上，由于点(,)x y 在椭圆上，所以b y b -≤≤，因此在求2d 的最大值时，应分类讨论．【试题解析】由题意可设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22222222314c a b b e a a a -===-=，故2214b a =，即2a b =． 设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则222222222331()(1)()3()43222y d x y a y y b b =+-=-+-=-+++，若12b <，则当y b =-时，2d 取得最大值，从而d 取得最大值， 于是223(7)()2b =--，解得31722b =->，与12b <矛盾，故12b ≥，所以当12y =-时，2d 取得最大值，从而d 取得最大值，所以2243(7)b +=，解得21b =，24a =．故所求椭圆的标准方程为2214x y +=．【方法点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能避免出错．【参考答案】2214x y +=.1．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的范围就是方程中变量x ,y 的范围，由22221x y a b +=得222211x y a b =-≤，则||x a ≤；222211y x b a=-≤，则||y b ≤.故椭圆落在直线x =±a ，y =±b 围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x ，y 的取值范围.2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处．3．（1）解决椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有：①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0<e <1；③一元二次方程有解，则判别式0∆≥.（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种：①利用定义转化为几何问题处理；②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理；③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；④利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x、y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.5．已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.（1）求椭圆C的标准方程;（2）已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1,试证:当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.【答案】（1）225x+216y=1.（2）152≤L≤465.（2）因为点P(m,n)在椭圆C上,所以225m+216n=1,即n2=16-21625m.又原点到直线l:mx+ny=1的距离222191625dm n m==<++,所以直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1恒相交,则()222214141)9162(5L dm=-=-+,因为-5≤m≤5,所以15≤L≤46.易错点6 忽略双曲线定义中的限制条件已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，点P 的轨迹分别为A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线【错解】依题意得1210F F =，当3a =时，1226a F F =<，故点P 的轨迹为双曲线；当5a =时，12210a F F ==，故点P 的轨迹为一条射线．故选B ．【错因分析】错解中忽略了双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”，从而导致错误．【试题解析】依题意得1210F F =，当3a =时，1226a F F =<，且1260PF PF =>-，点P 的轨迹为双曲线的右支；当5a =时，12210a F F ==，故点P 的轨迹为一条射线．故选D ． 【参考答案】D ．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线； 当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．6．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？易错点7 忽略双曲线中的隐含条件已知M 是双曲线2216436x y -=上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且1||17MF =，则2MF =_____________．【错解】由双曲线的定义可知，12||||216||MF MF a ==-，因为1||17MF =，所以2||1MF =或33． 【错因分析】错解忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c －a ，从而两解中要舍去不满足要求的那个．【试题解析】由双曲线方程2216436x y -=可得8a =，6b =，10c =，由双曲线的图形可得点M 到右焦点F 2的距离2d c a ≥-=．因为12||||216||MF MF a ==-，1||17MF =，所以2||1MF =(舍去)或2||33MF =． 【参考答案】331．在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d c a ≥-这一隐含条件． 2．双曲线方程中,a b 的大小关系是不确定的，但必有0,0c a c b >>>>.3．由22221(0,0)x y a b a b-=>>,知≥1,所以x ≤-a 或x ≥a ,因此双曲线位于不等式x ≥a 和x ≤-a 所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.关于双曲线内线段最长或最短（距离最远或最近）问题，有以下结论： （1）双曲线的左、右顶点距离相应焦点最近； （2）双曲线上一点与某焦点的距离的值最小为c -a ；（3）对于已知双曲线内（或外）一定点M ，求双曲线上一点P ，使得点P 与相应焦点的距离与PM 的和最小的问题，当涉及的三点共线时取得最值.7．已知双曲线x 2-23y =1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则·的最小值为_______.【答案】-2易错点8 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论已知双曲线的渐近线方程是23y x =±，焦距为226，求双曲线的标准方程． 【错解】由题意知23b a =，且22226c a b =+=，两式联立解得218a =，28b =，所以所求双曲线的标准方程为221188x y -=．【错因分析】错解的原因是未审清题目条件，而误认为焦点一定在x 轴上，从而导致漏解． 【试题解析】当双曲线的焦点在x 轴上时，由23b a =且22226c a b =+=，两式联立解得218a =，28b =，所以所求双曲线的标准方程为221188x y -=；当双曲线的焦点在y 轴上时，由23a b =且22226c a b =+=，两式联立解得28a =，218b =，所以所求双曲线的标准方程为221818y x -=．综上，所求双曲线的标准方程为221188x y -=或221818y x -=．【参考答案】221188x y -=或221818y x -=．1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.对于方程表示焦点在x 轴上的双曲线⇔0,0m n ><表示焦点在y 轴上的双曲线⇔0,0m n <>221x y m n+=(0)mn ≠ 表示双曲线⇔0mn <对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解. 注意：焦点在x 轴上，渐近线方程为b y x a =±；焦点在y 轴上，渐近线方程为ay x b=±． 2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论，可设双曲线方程为2222(0)x y a bλλ-=≠．因此，与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程为2222(0)y x a b λλ-=≠．8．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为A ．5B ．5 C ．53或54 D ．52或153【答案】C由条件寻找,a c满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即2222111c b e a abc ==+=-，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.易错点9 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况若过点(1,1)P 且斜率为k 的直线l 与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则k =___________．【错解】由题意可得:(1)1l y k x =-+，代入双曲线方程得2222(4)2()250k x k k x k k ----+-=．由题意可知22224()4(4)(25)0k k k k k ∆=----+-=，解得52k =． 【错因分析】错解中忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点．【试题解析】由题意可得:(1)1l y k x =-+，代入双曲线方程得2222(4)2()250k x k k x k k ----+-=． 当240k -=，即2k =±时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当240k -≠时，22224()4(4)(25)0k k k k k ∆=----+-=，解得52k =． 综上，当52k =或2k =±时，直线与双曲线只有一个公共点． 【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况．【参考答案】52k=或2k=±.1．直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．9．已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).（1）若直线l过点P,求当直线l与双曲线C分别有一个交点、两个交点、没有交点时直线l的斜率k满足的条件;（2）若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在.【答案】（1）见解析；（2）以Q为中点的弦不存在.②当Δ>0时,k <32,且k ≠±2,即当k <-2或-2<k <2或2<k <32时,方程(*)有两个不相等的实根,即l 与C 有两个交点.③当Δ<0,即k >32时,方程(*)无解,即l 与C 没有交点. 综上,当k =±或k =32时,l 与C 只有一个交点; 当<k <32或-<k <或k <-时,l 与C 有两个交点;当k >32时,l 与C 没有交点.易错点10 忽略抛物线定义中的限制条件已知点P 到F (4，0)的距离与到直线5x =-的距离相等，求点P 的轨迹方程．【错解】由抛物线的定义，可知点P 的轨迹是抛物线．因为焦点在x 轴上，开口向右，焦点到准线的距离9p =，所以抛物线的方程为218y x =．【错因分析】点P 到F (4，0)的距离与到直线5x =-的距离相等，满足抛物线的定义，但45≠-，故此抛物线的方程不是标准方程．【试题解析】设点P (x ，y )，则由题意，得22(4)|5|x y x -+=+， 化简整理得2189y x =+，此即所求的轨迹方程． 【参考答案】2189y x =+.1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．2．抛物线定义中要求直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．因此当动点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．10．动点P 到定点F (1，1)的距离与它到直线:340l x y +-=的距离相等，则动点P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【答案】D易错点11 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程.【错解】易知准线方程为x ＝－m4，因为准线与直线x ＝1的距离为3， 所以准线方程为x ＝－2， 所以－m4＝－2，解得m ＝8，故抛物线方程为y 2＝8x .【错因分析】题目条件中未给出m 的符号，当m >0或m <0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周到．【参考答案】y 2＝8x 或y 2＝－16x .1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：图 形标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦点坐标 (,0)2p(,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =注：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0． 2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.11．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为________.【答案】y 2＝±6x .本题若只考虑焦点在x 轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x 轴的负半轴上的情况，则会出现漏解．易错点12 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求过定点(11)P -,，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线l 的方程． 【错解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1)1()(0y k x k -=+≠，由2()121y y k x x⎧⎨=-=+⎩消去x ，得22220ky y k -++=， 则44220()k k ∆=+=－，解得132k -±=． 故所求直线l 的方程为(31)2310x y --++=或(31)2310x y +++-=．【错因分析】错解中忽略了与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点，故产生漏解． 【试题解析】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设l ：(11)y k x -=+，当0k =时，直线l 的方程为1y =，此时直线l 与抛物线只有一个公共点． 当0k ≠时，与抛物线方程联立消去x ，得22220ky y k -++=， 则44220()k k ∆=+=－，解得132k -±=， 此时直线l 的方程为(31)2310x y --++=或(31)2310x y +++-=．综上，直线l 的方程为1y =或(31)2310x y --++=或(31)2310x y +++-=． 【参考答案】直线l 的方程为1y =或(31)2310x y --++=或(31)2310x y +++-=．直线l y kx b =+：与抛物线22(0)y px p =>公共点的个数等价于方程组22y x p bxy k ⎧⎨==+⎩的解的个数．（1）若0k ≠，则当0∆>时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0∆＝时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0∆<时，直线和抛物线相离，无公共点．（2）若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设x m =，则当0m >时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；当0m =时，直线l 与抛物线相切，有一个公共点；当0m <时，直线l 与抛物线相离，无公共点．12．若直线y =kx -1与抛物线y 2=4x 有且只有一个公共点,则k 的值为_______.【答案】-1或0本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉k =0.一、曲线与方程 1．求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 2．两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.二、椭圆 1．椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.3．椭圆的几何性质标准方程22221x y a b +=(a ＞b ＞0) 22221y x a b+=(a ＞b ＞0) 图形范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1 (－c ，0)，右焦点F 2 (c ，0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --轴线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，长半轴长为a ，短半轴长为b离心率e22c ce a a==(01)e <<椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式c e a=. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值。
专题07 不等式易错点1 忽视不等式隐含条件致误设2()f x ax bx =+，若1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，则(2)f -的取值范围是________．【错解】由1(1)22(1)4f f ≤-≤⎧⎨≤≤⎩得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩①②，①＋②得：332a ≤≤， ②−①得：112b ≤≤.由此得4≤(2)f -=4a −2b ≤11，所以(2)f -的取值范围是[4,11]．【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了(2)f -的范围扩大．【试题解析】解法一：设(2)f -=m (1)f -＋n (1)f (m 、n 为待定系数)，则4a −2b =m (a −b )＋n (a ＋b )，即4a −2b =(m ＋n )a ＋(n −m )b ，于是得42m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩.∴(2)f -=3(1)f -＋(1)f ．又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法二：由(1)(1)f a b f a b -=-⎧⎨=+⎩，得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2a f fb f f ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∴(2)f -=4a −2b =3(1)f -＋(1)f ．又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法三：由题意，得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当(2)f -=4a −2b 过点31(,)22A 时，取得最小值3142522⨯-⨯=；当(2)f -=4a −2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤(2)f -≤10. 【答案】[5,10]（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．1．已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是A ．[]1,7B ．[]5,13-C ．[]5,7-D ．[]1,13【答案】A【解析】设3αβ+=λ（α+β）+v （α+2β）=（λ+v ）α+（λ+2v ）β．比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩，从而解出λ=﹣1，v =2．由11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩得112246αβαβ-≤--≤⎧⎨≤+≤⎩，两式相加，得1≤3αβ+≤7．故3αβ+的取值范围是[1，7]．故选A.【名师点睛】本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．易错点2 忽略不等式性质成立的条件给出下列命题：①若,0a b c <<,则c ca b<； ②若33acbc -->，则a b >；③若a b >且*k ∈N ,则kka b >； ④若0c a b >>>,则a b c a c b>--其中正确命题的序号是【错解】①11a b a b <⇒>,又0c <,则c ca b<，故①正确；②当0c <时，a b <,故②不正确；③正确；④由0c a b >>>知0c a c b ->->,∴110c a c b <<--，故a a bc a c b c b<<---,故④不正确.故填①③【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确【试题解析】①当ab <0时，c ca b<不成立，故①不正确； ②当c <0时，a >b 不成立,故②不正确；③当a =1,b =−2,k =2时，命题不成立，故③不正确； ④由a >b >0⇒−a <−b <0⇒0<c −a <c −b ,两边同乘以1()()c a c b --,得110c b c a<<--,又0a b >>, ∴a a bc a c b c b>>---,故④正确.故填④【答案】④不等式的性质的几点注意事项(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a ≤b ，b <c ⇒a <c .(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．(3)“a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n >1)”成立的条件是“n 为大于1的自然数，a >b >0”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取n ＝－1，a ＝3，b ＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b >0”这个条件，取a ＝3，b ＝－4，n ＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．2．下列不等式中，正确的是A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d> 【答案】A【解析】若a b >，则a c b c +>+,故B 错； 设3,1,1,2a b c d ===-=-,则ac bd <，a bc d<，所以C 、D 错. 故选A.【名师点睛】本题考查不等式的性质，注意正、负号的应用.根据不等式的性质和代特殊值逐一排除即可.错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误已知关于x 的不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0恒成立，则m 的取值范围为______________．【错解】由于不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0对一切实数x 都成立， 所以m ＜0且Δ＝m 2－4m (m －1)＜0，解得m ＜0．故实数m 的取值范围为(－∞，0)．【错因分析】由于本题中x 2的系数含有参数，且当m ＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m 的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．【试题解析】由于不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0对一切实数x 都成立，当m ＝0时，－1＜0恒成立；当m ≠0时，易知m ＜0且Δ＝m 2－4m (m －1)＜0，解得m ＜0．综上，实数m 的取值范围为(－∞，0]． 【答案】(－∞，0]解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 二判：计算对应方程的判别式．三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． 四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．3．已知命题“2,10x ax ax ∀∈-+>R ”为真命题,则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[)0,4【解析】由题意得不等式210ax ax -+>对x ∈R 恒成立． ①当0a =时，不等式10>在R 上恒成立，符合题意． ②当0a ≠时，若不等式210ax ax -+>对x ∈R 恒成立，则2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，所以实数a 的取值范围是[)0,4．【名师点睛】不等式20ax bx c >＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0b c >＝或当0a ≠时，00a >⎧⎨∆<⎩；不等式20ax bx c <＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0b c <＝或当0a ≠时，00a <⎧⎨∆<⎩．解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误解不等式(2)1()1a x a x ->∈-R ．【错解】原不等式可化为(2)101a x x -->-，即(2)(1)01a x x x --->-， 等价于[(1)(21)](1)0a x a x ---->，即21()(1)01a x x a --->-， 因为21111a aa a --=--，所以 当01a a >-，即1a >或0a <时，2111a a ->-； 当01a a =-，即0a =时，2111a a -=-； 当01a a <-，即01a <<时，2111a a -<-． 综上，当1a >或0a <时，原不等式的解集为{|1x x <或21}1a x a ->-； 当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠； 当01a <<时，原不等式的解集为21{|1a x x a -<-或1}x >． 【错因分析】显然当a ＝0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同解变形，因为a －1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a －1＞0时的情况． 【试题解析】显然当0a =时，原不等式是不成立的． 当a ≠0时原不等式可化为(2)101a x x -->-，即(2)(1)01a x x x --->-， 等价于[(1)(21)](1)0a x a x ---->(*)，当1a =时，(*)式可转化为(1)0x -->，即10x -<，即1x <．当1a >时，(*)式可转化为21()(1)01a x x a --->-． 当1a <时，(*)式可转化为21()(1)01a x x a ---<-． 又当1a ≠时，21111a aa a --=--， 所以当1a >或0a <时，2111a a ->-； 当01a <<时，2111a a -<-． 综上，当1a >时，原不等式的解集为{|1x x <或21}1a x a ->-； 当1a =时，原不等式的解集为{|1}x x <； 当01a <<时，原不等式的解集为21{|1}1a x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集为∅； 当0a <时，原不等式的解集为21{|1}1a x x a -<<-．在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错．4．已知()()21210m x m x -+-+->，其中02m <<. （1）解关于x 的不等式；（2）若1x >时，不等式恒成立，求实数m 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）12m ≤<.【解析】（1）()()[11]10m x x -+->，02m <<.当10m -=时，不等式为10x ->，不等式的解集为{}|1x x >； 当10m ->时，不等式的解集为1{|1}1x x x m><-或； 当10m -<时，不等式的解集为1{|1}1x x m<<-. 综上得：当1m =时，不等式的解集为{}|1x x >；当01m <<时，不等式的解集为1{|1}1x x m<<-；当12m <<时，不等式的解集为1{|1}1x x x m><-或. （2）1x >时,不等式恒成立即为()110m x -+>恒成立, ∴11m x-->， ∴1m ≥， ∴12m ≤<.【名师点睛】（1）本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.（2）解答第2问的关键是转化，先转化为()110m x -+>恒成立，再转化为11m x-->恒成立，即得m的取值范围.解含有参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z =3x −2y 的最小值为A ．−5B ．−4C ．−2D ．3【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z =3x −2y 平移到过点(1,0)时取得最小值，即z min =3×1−2×0=3.故选D.【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z ”跟“截距”画上等号，没有正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致目标函数的最小值求解错误．【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x −2y =z 平移到过点(0,2)时，z =3x −2y 的值最小，最小值为−4，故选B.形如z =Ax ＋By (B ≠0)，即A z y x B B =-+，zB为该直线在y 轴上的截距，z 的几何意义就是该直线在y 轴上截距的B 倍，至于z 与截距能否同时取到最值，还要看B 的符号．5．若实数x ，y 满足约束条件2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22z x y =+的最大值是AB ．4C ．9D ．10【答案】D【解析】由实数x ，y 满足约束条件2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图.()03A -，，()02C ，，联立2239x y x y +=⎧⎨-=⎩解得()31B -，，22x y +的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值为()2223110OB =+-=.故选D.【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据22z x y =+的几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误若x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11x y+的最小值为_______________．【错解】因为x ＞0，y ＞0，所以1＝x ＋2y ≥8xy ≤1，即xy ≤18，故1xy ≥8．因为11x y +≥11x y +≥=11x y +的最小值为【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x ＋2y ≥，11x y +≥“＝”需满足x ＝2y 与x ＝y ，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误．【试题解析】因为x ＋2y ＝1，x ＞0，y ＞0，所以1111(2)()x y x y x y +=++＝233x yy x++≥+且仅当2x y y x =，即x =，即1,12x y ==-时取等号．故11x y +的最小值为3+．连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．6．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13 B ．38C ．37D ．1【答案】A【解析】因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得141y x +=.求3x y+的最大值，可先求333x y x y+=+的最小值.因为1413333x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4143333x y y x =+++1433≥+3≥，当且仅当433x y y x =时取等号.所以3x y +的最大值为13.故选A.【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式 1．比较大小的常用方法（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. 2．不等式的性质及应用（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性. （2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 3．求代数式的取值范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用. 二、一元二次不等式及其解法 1．解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． （2）二判：计算对应方程的判别式．（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． （4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含有参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 3．解不等式恒成立问题的技巧（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤); ③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到.（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.4．已知不等式的解集求参数的解题方法已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.5．简单分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或; ()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或;()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或. 对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 6．简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种： （1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集． （2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集． 三、简单的线性规划问题1．画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域. 2．复杂不等式(组)表示的平面区域高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组)，从而画出这些不等式(组)表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式(组)，然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域. 3．求平面区域面积问题的步骤（1）画出不等式组表示的平面区域.（2）判断平面区域的形状(三角形区域是比较简单的情况)，求出各边界交点的坐标.（3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式. 4．简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)； （2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点； （3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值； （4）答：给出正确答案． 5．解答线性规划实际应用题的步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． （3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 6．求线性目标函数最值的两种方法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. （2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值. 求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解. 四、基本不等式1．利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形手段有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. （2）并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值. （3）配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 注意：①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到．②分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值.取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法. 2．有关函数最值的实际问题的解题技巧（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.1．[2018北京文]设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 A ．对任意实数a ，()2,1A ∈B ．对任意实数a ，（2,1）A ∉C ．当且仅当a <0时,（2,1）A ∉D ．当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 2．已知集合{}{}22|230,|4A x x x B x x =--≥=≤，则A B =A ．[−2，−1]B ．[−1，2)C ．[−1，1]D ．[1，2)3．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是A ．2a aa b b >> B ．2a a a b b >> C ．2a aa b b>>D ．2a a a b b>>4．对于任意实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．5．已知 lg a ＋lg b ＝0，则 lg(a ＋b )的最小值为 A ．lg 2B ．C ．－lg 2D ．26．[2018天津文]设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为A ．6B ．19C ．21D ．457．已知,若,则当取得最小值时,A ．2B ．4C ．6D ．88．设实数满足,则的最小值为 A ．4 B ．C ．D ．09．若存在实数使不等式组与不等式都成立,则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．10．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为 A ．B ．32 C ．D ．5211．已知关于x 的不等式x 2−4ax ＋6a 2<0(a >0)的解集为(x 1,x 2),则x 1＋x 2＋的最小值是A ．B ．C ．D ．12．若函数y =R ，则实数k 的取值范围是______．13．能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a+b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为 . 14．已知是任意实数,则关于的不等式的解集为 .15．[2018天津文]已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 16．已知,若,则的最小值为 .17．已知实数x ,y 满足不等式组则z =x 2+y 2-10y+25的最大值为 .18．设实数x ,y 满足则u =的取值范围是 .19．[2018江苏卷]在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．20．[2018北京文]若 ,y 满足12x y x +≤≤，则2y − 的最小值是_________.21．[2018新课标I 文]若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．22．[2018新课标II 文]若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，， 则z x y =+的最大值为__________．23．[2018新课标Ⅲ文]若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．24．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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高考状元是如何学习的学习方法是通过学习实践总结出的快速精通知识的方法。
因其与学习精通知识的效率有关，越来越受到人们的重视。
以下是我整理的高考状元是如何学习的，希望可以提供给大家进行参考和借鉴。
高考状元是如何学习的一、明确自己的目标你希望考上的学校是什么?那应该是需要跳起来才能够得着的果子。
顺手就能摘到或跳得再高也够不着的都不叫目标。
学习目标也是一样，目标不能太高，也不能太低。
太高了，会觉得太难而丧失信心;太低了，会觉得太容易而丧失积极性。
如果你目前是中下游水平，那么学习目标就应该是进步，如果是上游水平，那么学习目标就应该是稳步发展。
根据自己的状况制订自己的目标，只有当你总想跳起来去摘学习果子的时候，才是找到了方向。
学习成绩的提高需要一个过程，不会立竿见影。
我们要坚信只要尽力，就有进步，坚持下去，一定会有效果。
我在高二时，英语阅读和完形很薄弱，我订了一个打算，每天做两篇阅读、一篇完形，两个月后还是没起色。
一位英语老师告知我量变积累到一定程度才能引起质变，我静下心，继续按打算做，高三英语有明显突破，尤其是考试中完形基本上没有再错过。
我想告知大家的是即使你的成绩暂时不是很好，也千万别对自己绝望而放弃努力。
大目标短时间内不能很快见效，但是你可以看到自己每天在努力，在完成每天制订的学习任务，距离胜利又近了一步。
基础差并不可怕，关键是要坚持不懈。
你可能走了一千步还没有看到胜利，但是不要放弃，坚持不懈，你会发现，也许胜利就在一千零一步。
二、制订学习打算并学会定期小结可能大家会有这样的体会：在一段长时间自习(例如周六下午从2点到6点的4个小时自习的时间)开始时，只做了10分钟练习就坐不住了，总想着去看电视、上网或是逛街，结果大好时光就这样被白白浪费掉了。
这是因为你没有给自己制订好学习打算。
打算有短期的和长期的，在开始任何学习前，我都会为自己制订一个周密的打算。
短期的，比如刚才说的4个小时自习，分成若干段，每段时间做一科，小结或是做题，都一一打算好;长期的，比如5月看课本打算，用半个月看完一本课本，每天看几页，一天中的哪个时段看，都事先拿一张大白纸写下来，每天完成后都做好标记。
