2019新课标高考理科数学1卷详细解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．AB =∅【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为 a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221()228a a ππ⨯⨯=，选B. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】由已知，使1()1f x -≤≤成立的x 满足11x -≤≤，所以由121x -≤-≤得13x ≤≤，即使1(2)1f x -≤-≤成立的x 满足13x ≤≤，选D.6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】621(1)(1)x x ++展开式中含2x 的项为224426621130C x C x x x⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C.. 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +2 【答案】D【解析】由题意选择321000nn->，则判定框内填1000A ≤，由因为选择偶数，所以矩形框内填2n n =+，故选D.9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++221222222212121224244416482816k k k k k k k k ++=++=++≥+= 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，学科*网其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +的部分和，即1212221t t k -+=+++=-，所以2314tk =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设z=1-i1+i+2i ，则|z|= A ．0 B ．12 C ．1 D ． 2解析：选C z=1-i1+i+2i=-i+2i=i2．已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则∁R A =A ．{x|-1<x<2}B ．{x|-1≤x ≤2}C ．{x|x<-1}∪{x|x>2}D ．{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 解析：选B A={x|x<-1或x>2}3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选A4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=A ．-12B ．-10C ．10D ．12 解析：选 ∵3(3a 1+3d)=(2a 1+d )+(4a 1+6d) a 1=2 ∴d=-3 a 5=-105．设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A ．y=-2x B ．y=-x C ．y=2x D ．y=x解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x 3+x f′(x)=3x 2+1 f′(0)=1 故选D 6．在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →= A ．34AB → - 14AC →B ． 14AB → - 34AC →C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → + 34AC →解析：选A 结合图形，EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC →7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．2 5C ．3D ．2解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →=A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D F(1,0)，MN 方程为y=23 (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则FM →=(0,2),FN →=(3,4) ∴FM →·FN →=89．已知函数f(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0lnx ，x>0，g(x)=f(x)+x+a ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）解析：选C g(x)=0即f(x)=-x-a ，即y=f(x)图象与直线y=-x-a 有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<1 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p1，p2，p3，则A ．p1=p2B ．p1=p3C ．p2=p3D ．p1=p2+p3BC=52+12×π×22=258π(52)2- 12×3×-6；-(258π-6)=6=ΔABC 面积∴p1=p211．已知双曲线C ：x 23 - y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|=A ．32B ．3C ．2 3D ．4解析：选B 依题F(2,0),曲线C 的渐近线为y=±33x,MN 的斜率为3，方程为y=3(x-2),联立方程组解得M(32,- 32),N(3, 3),∴|MN|=3 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．334 B ．233 C ．324 D ．32解析：选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D.22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.300.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则26261105x x y +==+，得42.07, 5.15x cmy cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以c o s θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D.A =112A+【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2s i n fx x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()s i n s i n 2s i nfx xx x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R == 3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D .【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ） A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D. 22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（ ）A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm5.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为（ ）A.B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.11167.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a–b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A. A =12A + B. A =12A +C. A =112A+D. A =112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A. 25n a n =-B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y +=11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）A. B. C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】 2019年全国统一高考数学试卷（理）（新课标Ⅰ）一、选择题1. 已知集合M ={x|−4<x <2}，N ={x|x 2−x −6<0}，则M ∩N =( ) A.{x|−4<x <3} B.{x|−4<x <−2} C.{x|−2<x <2} D.{x|2<x <3}2. 设复数z 满足|z −i|=1，z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( ) A.(x +1)2+y 2=1 B.(x −1)2+y 2=1 C.x 2+(y −1)2=1 D.x 2+(y +1)2=13. 已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是√5−12（√5−12=0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚挤的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5. 函数f(x)=sinx+x cosx+x 2的[−π,π]图像大致为( )A.B.C.D.6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132 C.2132 D.11167. 已知非零向量a→,b→满足|a→|=2|b→|，且(a→−b→)⊥b→，则a→与b→的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入( )A.A=12+A B.A=2+1AC.A=11+2A D.A=1+12A9. 记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S4=0，a5=5，则( )A.a n=2n−5B.a n=3n−10C.S n=2n2−8nD.Sn =12n2−2n10. 已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A,B两点，若|AF2|= 2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1C.x24+y23=1 D.x25+y24=111.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π2,π)单调递增；其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③12. 已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，EF分别是PAAB的中点，∠CEF=90∘，则球O的体积为( )A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π二、填空题曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=12，a42=a6，则S5=________.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4:1获胜的概率是________.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点. 若F1A→=AB→，F1B→⋅F2B→=0，则C的离心率为________.三、解答题△ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b,c，设(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC.(1)求A；(2)若√2a+b=2c，求sinC.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,∠BAD=60∘，E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明：MN//平面C 1DE ;(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值.已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A,B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；(2)若AP →=3PB →，求|AB|.已知函数f(x)=sinx −ln(1+x)，f ′(x)为f(x)的导数.证明： (1)f ′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X . (1)求X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i (i =0,1,⋯,8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则p 0=0,p 8=1,p i =ap i−1+bp i +cp i+1(i =1,2,⋯,7),其中a =P(X =−1),b =P(X =0), c =P(X =1).假设α=0.5, β=0.8.(i)证明：{p i+1−p i }(i =0,1,2,⋯,7)为等比数列; (ii)求p 4，并根据p 4的值解释这种试方案的合理性.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1.证明： (1)1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2;(2)(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥24.参考答案与试题解析2019年全国统一高考数学试卷（理）（新课标Ⅰ）一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵M={x|−4<x<2}；N={x|x2−x−6<0}={x|(x−3)(x+2)<0}={x|−2<x<3}，∴ M∩N={x|−4<x<2}∩{x|−2<x<3}={x|−2<x<2}.故选C.2.【答案】C【考点】复数的模复数代数形式的加减运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设z=x+yi,x,y∈R，∴z−i=x+(y−1)i,∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，∴x2+(y−1)2=1.故选C.3.【答案】【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得：a=log20.2<log21=0；b=20.2>20=1；c=0.20.3<0.20=1且0<c<1；∴a<c<b，故选B.4.【答案】B【考点】黄金分割法—0.618法【解析】此题暂无解析【解答】解：记其咽喉至肚挤的长度为xcm，依题，有：26x=√5−12，则：x=√5−1≈42.07，记其身高为y，则y=26+x+105=131+x≈173.08，故选B.5.【答案】D【考点】函数图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)2=−sinx+xcosx+x2=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，可排除A，而f(π)=π>0，∴ 可排除B 和C . 故选D . 6.【答案】 A【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：对六个位置放置“阴爻”和“阳爻”，共有26=64种方法；然后从六个位置中选出三个放置“阳爻”，共有C 63=20种方法； 因而，满足条件的概率为：C 6326=2064=516.故选A . 7.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ (a →−b →)⊥b →，|a →|=2|b →|，∴ (a →−b →)⋅b →=a →⋅b →−b →2 =|a →||b →|cos <a →,b →>−|b →|2=(2cos <a →,b →>−1)|b →|2=0， 而：|b →|≠0，∴ 2cos <a →,b →>−1=0，由：<a →,b →>∈[0,π]知：<a →,b →>=π3.8.【答案】A【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：空白框填12+A 时， 当k =1, A =12+12,当k =2,A =12+12+12,满足题意. 故选A . 9.【答案】A【考点】等差数列的前n 项和等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得： {4a 1+6d =0a 1+4d =5得a 1=−3,d =2，得a n =2n −5，S n =n 2−4n . 故选A . 10.【答案】 B【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的定义和性质 余弦定理此题暂无解析【解答】解：由定义|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，|BF2|+|BF1|=2a，|AF2|=2|F2B|及|AB|=|BF1|，得|AF1|=|AF2|=a，|BF1|=3a2，|BF2|=a2，由∠AF2F1+∠BF2F1=π，得cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0，(2c)2+(a2)2−(32a)22×2c×a2+(2c)2+a2−a22×2c×a=0，解得a2=3, b2=2.故选B.11.【答案】C【考点】三角函数的最值复合三角函数的单调性函数的零点函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，∴f(x)是偶函数，故①正确；当x∈(π2,π)时，f(x)=sinx+sinx=2sinx，此时f(x)在(π2,π)递减，故②错误；当x∈[0,π]时，f(x)=2sinx，此时有2个零点，根据偶函数可知，在x∈[−π,π]时只有3个零点，故③错误；当x>0时，f(x)=sinx+|sinx|≤|sinx|+|sinx|≤2，当x=π2+2kπ(k≥0,k∈Z)等号成立，故④正确.故选C.12.【答案】D 球内接多面体球的体积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接EFEC，取AC的中点N，连接PNBN，取△ABC的内心O1,连接PO1，O1C,在PO1上取点O，使PO=OC，则点O即为三棱锥的外接球的球心. ∵∠CEF=90∘，∴CE⊥EF.∵EF分别是PA,AB的中点,∴EF//PB.∴CE⊥PB.∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AC⊥BN.∵PA=PB=PC,∴AC⊥PN.∵PN∩BN=N,∴AC⊥面PBN.∴AC⊥PB.又CE⊥PB，AC∩CE=C,∴BP⊥面PAC,∴BP⊥PC∴△PBC是等腰直角三角形，∴PB=PC=√2在Rt△O1NC中，O1C=NCcos30∘=√32=2√33在Rt△O1CP中，O1P=√PC2−O1C2=√2−43=√63.∴在Rt△OO1C中，(√6 3−R)2+(2√33)2=R2,解得R=√62故球的体积为43πR3=√6π.故选D.二、填空题【答案】y=3x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵点(0,0)在曲线上，∴(0,0)是切点.对y=3(x2+x)e x求导得：y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x =3e x(x2+3x+1),∴切线斜率k=y′|x=0=3.又∵切线过切点(0,0)，∴切线方程为y=3x.故答案为：y=3x.【答案】312【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析解：∵{a n}是等比数列，且a42=a6，∴(a1q3)2=a1q5，∵a1=12，故解出q=2，∴S5=a1(1−q5)1−q=12(1−25)1−2=312.故答案为：312.【答案】0.18【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，比赛共进行了5场，且前4场中甲胜出3场，乙胜出1场；记甲在主场胜出为事件A1，甲在客场胜出为事件A2;则乙在主场胜出为事件A1，乙在客场胜出为事件A2;由于各场比赛结果相互独立，则根据独立事件的概率甲以4:1胜出的概率P为：P=P(A1A1A2A2A1)+P(A1A1A2A2A1)+P(A1A1A2A2A1) +P(A1A1A2A2A1)=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6+0.6×0.4×0.5×0.5×0.6+ 0.6×0.6×0.5×0.5×0.6+0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.6×0.5×0.5×0.6×(0.4+0.4+0.6+0.6)=0.18.故答案为：0.18.【答案】2【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：设点B在第二象限，∵ BF 1→⋅BF 2→=0，∴ BF 1⊥BF 2，在Rt △F 1BF 2中，|OB|=|OF 1|=|OF 2|=c ， 又因为点B 在直线y =ba x 上，则B(a,b)； ∵ F 1A →=AB →，∴ 点A 为线段BF 1的中点，且有OA//BF 2，渐近线OA 的斜率为k OA =−|F 1A ||OA|=−ba ，并且|OA|2+|F 1A |2=|OF 1|2=c 2，得到|F 1A |=b ，|OA|=a ，|F 1B |=2b ,|F 2B |=2a ； 在Rt △F 1BF 2中，由等面积法12⋅|F 1F 2|⋅|y B |=12⋅|F 1B |⋅|F 2B |， 得到y B =2ab c ,∴ b =2abc ，解得e =ca =2,故答案为：2. 三、解答题【答案】解：(1)由题意得：(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ， ∴ sin 2B −2sinBsinC +sin 2C =sin 2A −sinBsinC ， 由正弦定理可得：asinA =bsinB =csinC =2R ， ∴ b 2−2bc +c 2=a 2−bc ， ∴ cosA =12(A 为三角形内角)， ∴ A =π3；(2)∵ √2a +b =2c ，∴ √2sinA +sinB =2sinC ，∴ √2sinA +sin(A +C)=2sinC ，∴ √2sinA +sinAcosC +cosAsinC =2sinC ， ∴ √62+√32cosC −32sinC =0，√3cos (C +π3)=−√62, ∴ cos (C +π3)=−√22，∴ C =3π4−π3=5π12，∴ sinC =sin (π6+π4) =sin π6cos π4+cos π6sin π4=√2+√64. 【考点】两角和与差的正弦公式 两角和与差的余弦公式 余弦定理的应用 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意得：(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ， ∴ sin 2B −2sinBsinC +sin 2C =sin 2A −sinBsinC ， 由正弦定理可得：asinA =bsinB =csinC =2R ， ∴ b 2−2bc +c 2=a 2−bc ， ∴ cosA =12(A 为三角形内角)， ∴ A =π3；(2)∵ √2a +b =2c ，∴ √2sinA +sinB =2sinC ，∴ √2sinA +sin(A +C)=2sinC ，∴ √2sinA +sinAcosC +cosAsinC =2sinC ， ∴ √62+√32cosC −32sinC =0，√3cos (C +π3)=−√62, ∴ cos (C +π3)=−√22，∴ C =3π4−π3=5π12，∴sinC=sin(π6+π4)=sin πcosπ+cosπsinπ=√2+√64.【答案】(1)证明：连接ME,B1C，在△B1BC中，M,E为BB1和BC中点，∴ME//B1C，且ME=12B1C,∵A1D//B1C且N为A1D的中点，∴ND//ME且ND=ME，∴四边形NDEM是平行四边形，∴NM//DE.∵NM平面C1DE且DE⊂平面C1DE，∴MN//平面C1DE.(2)解：取AC与BD的交点O，四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，以OA为x轴，OB为y轴，过原点O平行于BB1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴A(√3,0,0) M(0,1,2)，A(√3,0,4), N(√3,−1,2), ∴MA1→=(√3,−1,2)，MA→=(√3,−1,−2)，MN→=(√32,−32,0)，设m→,n→分别为平面AMA1和平面MA1N的一个法向量，∴设m→=(x1,y1,z1)，n→=(x2,y2,z2)，∴{m→⋅MA1→=0m→⋅MA→=0当x1=1时，m→=(1,√3,0)，∴{n→⋅MA1→=0n→⋅MN→=0当x2=√3时，n→=(√3,1,−1)，∴cos⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=√3+√3+0√1+(√3)2+0⋅√(√3)2+1+1=√155，∴sin⟨m→,n→⟩=√1−(√155)2=√105,∴二面角A−MA1−N的正弦值为√105.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：连接ME,B1C，在△B1BC中，M,E为BB1和BC中点，∴ ME//B 1C ，且ME =12B 1C ,∵ A 1D//B 1C 且N 为A 1D 的中点， ∴ ND//ME 且ND =ME ，∴ 四边形NDEM 是平行四边形， ∴ NM//DE .∵ NM 平面C 1DE 且DE ⊂平面C 1DE ， ∴ MN//平面C 1DE .(2)解：取AC 与BD 的交点O ，四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，过原点O 平行于BB 1的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴A(√3,0,0) M(0,1,2)，A 1(√3,0,4), N (√32,−12,2),∴ MA 1→=(√3,−1,2)，MA →=(√3,−1,−2)，MN →=(√32,−32,0)，设m →,n →分别为平面AMA 1和平面MA 1N 的一个法向量，∴ 设m →=(x 1,y 1,z 1)，n →=(x 2,y 2,z 2)， ∴ {m →⋅MA 1→=0m →⋅MA →=0当x 1=1时，m →=(1,√3,0)，∴ {n →⋅MA 1→=0n →⋅MN →=0当x 2=√3时，n →=(√3,1,−1)， ∴ cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√3+√3+0√1+(√3)2+0⋅√(√3)2+1+1=√155， ∴ sin ⟨m →,n →⟩=√1−(√155)2=√105, ∴ 二面角A −MA 1−N 的正弦值为√105.【答案】解：(1)设直线l 的方程：y =32x +n,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 联立方程组{y =32x +ny 2=3x，整理化简得9x 2+(12n −12)x +4n 2=0， 由题意，Δ=(12n −12)2−4×9×4n 2=−288n +144>0， 则n <12.由韦达定理得，x 1+x 2=−4n−43，由抛物线的性质得，|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =−4n−43+32=4，解得n =−78， 经检验，满足Δ>0. 故直线l 的方程：y =32x −78. (2)设P(m,0)，则AP →=(m −x 1,−y 1)，PB →=(x 2−m,y 2)， 由于AP →=3PB →， 易知y 1=−3y 2.由题意可设直线AB ：x =23y +m . 联立方程组{x =23y +my 2=3x 整理化简得：有韦达定理可得：y 1+y 2=2,y 1y 2=−3m . ∵ y 1=−3y 2，∴ y 1=3,y 2=−1， ∴ y 1y 2=−3m =−3， ∴ m =1.计算可得：A(3,3), B (13,−1)， 故|AB|=√(3−13)2+(3+1)2=4√133.【考点】圆锥曲线的综合问题向量数乘的运算及其几何意义 两点间的距离公式 直线的一般式方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设直线l 的方程：y =32x +n,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 联立方程组{y =32x +ny 2=3x， 整理化简得9x 2+(12n −12)x +4n 2=0， 由题意，Δ=(12n −12)2−4×9×4n 2=−288n +144>0， 则n <12.由韦达定理得，x 1+x 2=−4n−43，由抛物线的性质得，|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =−4n−43+32=4，解得n =−78， 经检验，满足Δ>0. 故直线l 的方程：y =32x −78. (2)设P(m,0)，则AP →=(m −x 1,−y 1)，PB →=(x 2−m,y 2)， 由于AP →=3PB →， 易知y 1=−3y 2.由题意可设直线AB ：x =23y +m . 联立方程组{x =23y +my 2=3x 整理化简得：y 2−2y −3m =0. 有韦达定理可得：y 1+y 2=2,y 1y 2=−3m . ∵ y 1=−3y 2，∴ y 1=3,y 2=−1， ∴ y 1y 2=−3m =−3， ∴ m =1.计算可得：A(3,3), B (13,−1)， 故|AB|=√(3−13)2+(3+1)2=4√133.【答案】证明：(1)易知f(x)的定义域为(−1,+∞)， 设g(x)=f ′(x)=cosx −1x+1， 则g ′(x)=−sinx +1(x+1)2，设g ′(x)的导函数为g ′′(x)， g ′′(x)=−cosx −2(x+1)3,当x ∈(−1,π2)时，cosx >0，2(x+1)3>0, 则g ′′(x)<0在(−1,π2)上恒成立. 所以g ′(x)在(−1,π2)上单调递减， 当x →−1时，g ′(x)→+∞，当x →π2时，g ′(x)→−1+1(π2+1)2<0，由零点存在定理，在区间(−1,π2)内，g′(x)存在唯一零点，记为x0，当x∈(−1,x0)时，g′(x)>0，当x∈(x0,π2)时，g′(x)<0，从而x0为f′(x)的极大值点，故f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点.(2)由f(x)解析式易知f(0)=0，故0为f(x)的一个零点，由(1)知f′(x)=cosx−1x+1，以下分四种情况进行讨论：i)当x∈(−1,0)时，cos1<cosx<1，1x+1>1，∴f′(x)<0在(−1,0)上恒成立，∴ f(x)>f(0)=0,即在(−1,0)上，f(x)>0恒成立，不存在零点；ii)当x∈(0,π2)时，由(1)的证明可知，f′(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,π2)单调递减，∵f′(0)=0, ∴f′(x0)>0,∵f′(π2)=−1π2+1<0,由零点存在定理，f′(x)在区间(x0,π2)存在唯一零点，记为m，当x∈(x0,m)时，f′(x)>0,∴ f(x)在(x0,m)内单调递增；当x∈(m,π2)时，f′(x)<0,∴ f(x)在(m,π2)内单调递减.∵f′(x)在(0,x0)单调递增，∴f′(x)>f′(0)=0,即f(x)在(0,x0)单调递增，从而f(x)在(0,m)单调递增，(m,π2)单调递减，∵ f(0)=0,f(π2)=1−ln(1+π2)>0,∴ f(x)>0在(0,π2)内恒成立，没有零点；iii)当x∈(π2,π)时，f′(x)<0恒成立，f(π2)=1−ln(1+π2)>0,f(π)=−ln(π+1)<0,由零点存在定理，f(x)在(π2,π)内存在唯一零点.iv)当x∈(π,+∞)时，由于sinx≤1,ln(x+1)>1，f(x)<0恒成立，故f(x)在(π,+∞)内无零点.综上所述，f(x)在(−1,+∞)内有且仅有两个零点.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的极值函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)易知f(x)的定义域为(−1,+∞)，设g(x)=f′(x)=cosx−1x+1，则g′(x)=−sinx+1(x+1)2，设g′(x)的导函数为g′′(x)，g′′(x)=−cosx−2(x+1)3,当x∈(−1,π2)时，cosx>0，2(x+1)3>0,则g′′(x)<0在(−1,π2)上恒成立.所以g′(x)在(−1,π2)上单调递减，当x→−1时，g′(x)→+∞，当x→π2时，g′(x)→−1+1(π2+1)2<0，由零点存在定理，在区间(−1,π2)内，g′(x)存在唯一零点，记为x0，当x∈(−1,x0)时，g′(x)>0，当x∈(x0,π2)时，g′(x)<0，从而x0为f′(x)的极大值点，故f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点.(2)由f(x)解析式易知f(0)=0，故0为f(x)的一个零点，由(1)知f′(x)=cosx−1x+1，以下分四种情况进行讨论：i)当x∈(−1,0)时，cos1<cosx<1，1x+1>1，∴f′(x)<0在(−1,0)上恒成立，∴ f(x)>f(0)=0,即在(−1,0)上，f(x)>0恒成立，不存在零点；ii)当x∈(0,π2)时，由(1)的证明可知，f′(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,π2)单调递减，∵f′(0)=0, ∴f′(x0)>0,∵f′(π2)=−1π2+1<0,由零点存在定理，f′(x)在区间(x0,π2)存在唯一零点，记为m，当x∈(x0,m)时，f′(x)>0,∴ f(x)在(x0,m)内单调递增；当x∈(m,π2)时，f′(x)<0,∴ f(x)在(m,π2)内单调递减.∵f′(x)在(0,x0)单调递增，∴f′(x)>f′(0)=0,即f(x)在(0,x0)单调递增，从而f(x)在(0,m)单调递增，(m,π2)单调递减，∵ f(0)=0,f(π2)=1−ln(1+π2)>0,∴ f(x)>0在(0,π2)内恒成立，没有零点；iii)当x∈(π2,π)时，f′(x)<0恒成立，f(π2)=1−ln(1+π2)>0,f(π)=−ln(π+1)<0,由零点存在定理，f(x)在(π2,π)内存在唯一零点.iv)当x∈(π,+∞)时，由于sinx≤1,ln(x+1)>1，f(x)<0恒成立，故f(x)在(π,+∞)内无零点.综上所述，f(x)在(−1,+∞)内有且仅有两个零点.【答案】解：(1)设一轮试验中甲药治愈了白鼠为事件A；乙药治愈了白鼠为事件B.P(x=0)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+[1−P(A)][1−P(B)]=αβ+(1−α)(1−β),P(x=−1)=P(AB)=P(A)P(B)=[1−P(A)]P(B)=(1−α)β,P(x=1)=P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=α(1−β),故可列X的分布列如下:(2)(i)由(1)知a=P(X=−1)=(1−α)β=0.4；b=P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)=0.5；c=P(X=1)=α(1−β)=0.1，由P i=aP i−1+bP i+cP i+1可得P i+1−5P i+4P i−1=0，即P i+1−P i=4(P i−P i−1)，故P i+1−P iP i−P i−1=4；所以{P i+1−P i}是以(P1−P0)为首项,4为公比的等比数列；(ii)由(i)知P i−P i−1=(P1−P0)4i−1；∴P i−P1=(P1−P0)(4+42+⋯+4i−1) =(P1−P0)4i−43,∵P0=0,∴P i=4i−13P1,∵P8=1,∴P8=48−13P1,∴P1=348−1,∴P4=44−13P1=44−148−1=144+1=1257,∴P4≈0.039.由于P4的值很小，说明这种试验方案可以将更有效的乙药分辨出来，所以此方案合理. 【考点】离散型随机变量及其分布列等比数列的前n项和等比关系的确定等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设一轮试验中甲药治愈了白鼠为事件A；乙药治愈了白鼠为事件B.P(x=0)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+[1−P(A)][1−P(B)]=αβ+(1−α)(1−β),P(x=−1)=P(AB)=P(A)P(B)=[1−P(A)]P(B)=(1−α)β,P(x=1)=P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=α(1−β),故可列X的分布列如下: (2)(i)由(1)知a=P(X=−1)=(1−α)β=0.4；b=P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)=0.5；c=P(X=1)=α(1−β)=0.1，由P i=aP i−1+bP i+cP i+1可得P i+1−5P i+4P i−1=0，即P i+1−P i=4(P i−P i−1)，故P i+1−P iP i−P i−1=4；所以{P i+1−P i}是以(P1−P0)为首项,4为公比的等比数列；(ii)由(i)知P i−P i−1=(P1−P0)4i−1；∴P i−P1=(P1−P0)(4+42+⋯+4i−1)=(P1−P0)4i−43,∵P0=0,∴P i=4i−13P1,∵P8=1,∴P8=48−13P1,∴P1=348−1,∴P4=44−13P1=44−14−1=14+1=1257,∴P4≈0.039.由于P4的值很小，说明这种试验方案可以将更有效的乙药分辨出来，所以此方案合理. 【答案】解：(1)∵直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0由{x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得直线l的直角坐标方程为2x+√3y+11=0,∵曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2,y=4t1+t2,(t为参数)∴x2=(1−t2)2(1+t2)2, y2=16t2(1+t2)2，∴x2+y24=(1−t2)2(1+t2)2+4t2(1+t2)2=(1+t2)2(1+t2)2=1,∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1.(2)∵ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1∴ 可设曲线C 上任意一点P(cosα, 2sinα)(0≤α<2π), ∴ 点P 到直线l 的距离 d =|2cosα+2√3sinα+11|√4+3 =|4sin(α+π6)+11|√7.∵ 0≤α<2π,∴ 当sin(α+π6)=−1时， d 取得最小值.∴ 曲线C 上的点到l 距离的最小值 d min =√7=√7.【考点】两角和与差的正弦公式 椭圆的参数方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,可得直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0, ∵ 曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t 1+t 2,(t 为参数) ∴ x 2=(1−t 2)2(1+t 2)2, y 2=16t 2(1+t 2)2， ∴ x 2+y 24=(1−t 2)2(1+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=(1+t 2)2(1+t 2)2=1,∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1.(2)∵ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1∴ 可设曲线C 上任意一点P(cosα, 2sinα)(0≤α<2π), ∴ 点P 到直线l 的距离 d =|2cosα+2√3sinα+11|√4+3=|4sin(α+π6)+11|√7.∵ 0≤α<2π,∴ 当sin(α+π6)=−1时， d 取得最小值.∴ 曲线C 上的点到l 距离的最小值 d min =√7=√7.【答案】解:(1)∵ a,b,c 为正数，且满足abc =1， ∴ 1a +1b +1c =(1a +1b +1c )⋅abc =bc +ac +ab =12(2bc +2ac +2ab) ≤12(b 2+c 2+a 2+c 2+a 2+b 2) =12(2a 2+2b 2+2c 2) =a 2+b 2+c 2.当且仅当a =b =c =1时，等号成立. (2)由基本不等式得：(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥(2√ab)3+(2√bc)3+(2√ca)3 ≥3√(2√ab)3⋅(2√bc)3⋅(2√ca)33=24. 当且仅当a =b =c =1时，等号成立. 【考点】 不等式的证明 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解:(1)∵ a,b,c 为正数，且满足abc =1，∴ 1a +1b +1c =(1a +1b +1c )⋅abc =bc +ac +ab =1(2bc +2ac +2ab) ≤12(b 2+c 2+a 2+c 2+a 2+b 2) =12(2a 2+2b 2+2c 2) =a 2+b 2+c 2.当且仅当a =b =c =1时，等号成立. (2)由基本不等式得：(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥(2√ab)3+(2√bc)3+(2√ca)3 ≥3√(2√ab)3⋅(2√bc)3⋅(2√ca)33=24. 当且仅当a =b =c =1时，等号成立.。

2019 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1 卷参考版）【含答案及解析】姓名 _____________ 班级 ________________ 分数 ____________、选择题1. 设集合 ， ，则（ A ） （ B ）（ C ）（ D ）2. 设，其中， 实数，则（ A ） 1 （ B ）（ C ）（ D ） 2前 9 项的和为 27， B ） 99 （ C ） 984. 某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ）5. 已知方程 表 示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ） （ B ）（ C ） （ D ）6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是 ，则它的表面积是3. 已知等差数列 （ A ） 100，则 （ D ） 978. 若，则（ A ）（ B ）B ）（C ），则输出 x，y 的值满足9. 执行右面的程序框图，如果输入的A )B )C )D )10.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、 B两点，交 C 的准线于 D、E两点. 已知|AB|= ， |DE|= ，则 C的焦点到准线的距离为（ A ） 2 （ B ） 4 （ C ） 6 （ D ） 811.平面过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A，// 平面 CB 1 D 1 ，平面 ABCD=，m 平面 AB B 1 A 1 =n ，则 m、n 所成角的正弦值为（ A ） _______________________ （ B ）_________________ （ C ）________________ （ D ）12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ A ） 11 （ B ） 9 （ C ） 7 （ D ） 5二、填空题13.设向量 a= （ m，1 ），b= （ 1，2 ），且|a+b| 2 =|a| 2 +|b| 2 ，则m= ____________________________________ .14.的展开式中， x 3 的系数是 __________________________ . （用数字填写答案）15.设等比数列满足 a 1 +a 3 =10 ，a 2 +a 4 =5 ，则 a 1 a 2 ⋯a n 的最大值为 _____________________________________ ．16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3个工时．生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元三、解答题17.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（Ⅰ）求 C；（Ⅱ）若的面积为，求的周长．18.如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是．Ⅰ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；Ⅱ）求二面角 E-BC-A 的余弦值．19.某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ ）若要求，确定的最小值；（Ⅲ ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？20.设圆的圆心为 A，直线 l 过点 B （ 1,0 ）且与 x 轴不重合， l 交圆 A于 C，D两点，过 B 作 AC的平行线交 AD于点 E.（Ⅰ）证明为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M,N两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围 .21.已知函数有两个零点（Ⅰ）求 a 的取值范围；Ⅱ）设 x 1 ，x 2 是的两个零点，证明：22.选修 4-1 ：几何证明选讲如图，△ OAB是等腰三角形，∠ AOB=12°0 .以 O为圆心，OA为半径作圆 .Ⅰ）证明：直线 AB 与O 相切；Ⅱ）点 C,D 在⊙O上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB∥CD.23.选修 4— 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 C 1 的参数方程为（ t 为参数， a>0 ）．在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 ：ρ=.（Ⅰ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C 3 的极坐标方程为，其中满足 tan =2 ，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a ．24.选修 4— 5：不等式选讲已知函数 .（Ⅰ）在图中画出的图像；（Ⅱ）求不等式的解集．参考答案及解析第1 题【答案】第2 题【答案】第3 题【答案】第4 题【答案】第5 题【答案】第6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第 10 题【答案】第 11 题【答案】第 12 题【答案】第 14 题【答案】第 15 题【答案】第 13 题【答案】第 16 题【答案】216000【解析】 试题分析：设生产产品/、产品E 分别为工、•匸件，束厢之和为二元，那么1.5x+0.5r n 150.x÷0 3.V M 90.■ 5工十3儿600. ①x...0,Iy-O-目⅛⅛数二= 210(k + 900)∙・二元一次不尊式组①竽价于3x+.v n 300.10x + 3.v n 900,• 5x÷3y n 600,② x..0,L y... 0.作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如團)，即可行域.7 7 7p ■ =2100r + 900v 变形，得尸-丁十扁，平行直线―-丁 ,当直线JU 一丁十硫 经过 点M 时J -取得最大值， 10r + 3υ = 900V5x+3v≡600U •解方程组 ,得M 的坐标(6(HOO).所以当X =60 , 3 =100 时，∑aaχ=2100×60 + 900×100 = 216000 .第 17 题【答案】第 18 题【答案】（I ）见解析（∏） 一匹19【解析】试题分析；（I ＞证明AF 丄平面EFDC ,结合AFU 平面ABEF 、可得平面ABEF 丄平面 EFDC .（II ）建立空间坐标系，利用向量求.试题解析：（I 〉由已知可得AF 丄DF ,AFdFE ,所以AF 丄平面EFDC .又AFU 平面ABEF ；故平面ABEF 丄平面EFDC •〈II 〉过D 作DG 丄EF ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面ABEF ・以G 为坐标原点、，GF 的方向为X 轴正方向，IGFl 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 由(I > 知ZDFE 为二面角D-AF-E 的平面角，故ZDFE = 60。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =−<<=−−<，，则MN =A ．}{43x x −<<B ．}42{x x −<<−C ．}{22x x −<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z −，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=−C ．22(1)1y x +−=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512−（512−≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]−ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()−a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =−B ． 310n a n =−C ．228n S n n =−D ．2122n S n n =− 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F −()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]−ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年高考全国1卷理科数学及答案2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，请先将自己的姓名和准考证号码填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持答题卡清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合$M=\{x-4<x<2\}$，$N=\{x|x^2-x-6<0\}$，则$M\cap N$=A。

$\{x-4<x<-3\}$B。

$\{x-4<x<-2\}$C。

$\{x-2<x<2\}$D。

$\{x^2<x<3\}$2.设复数$z$满足$z-i=1$，$z$在复平面内对应的点为$(x,y)$，则$(x-1)+y=$A。

$1$B。

$x+1$C。

$x+(y-1)\sqrt{2}$D。

$x+(\sqrt{2}-1)y$3.已知$a=\log_2 0.2$，$b=20.2$，$c=0.20.3$，则$a<b<c$。

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为$0.618$，称为黄金分割比例。

最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比为$5:3$。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为$105\mathrm{cm}$，头顶至脖子下端的长度为$26\mathrm{cm}$，则其身高可能是$165\mathrm{cm}$，$175\mathrm{cm}$，$185\mathrm{cm}$或$190\mathrm{cm}$中的一个。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（ ）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm 5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A +B ．A =12A +C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212xy += B ．22132x y += C ．22143x y+= D ．22154x y+= 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．6πB ．64πC ．6πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。