全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。
2.设 $f(x)$ 是连续函数，且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。
3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。
4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定，其中$f$ 具有二阶导数，且 $f'\neq 1$，则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。
二、（5分）求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。
三、（15分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$，$A$ 为常数，求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。
四、（15分）已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：1）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$；2）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。
2019朝阳一模理2020．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*． （Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；（Ⅲ）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1． 解：(I)9101000,1,1a a a ===．.……………………………….3分 (II)反证法：假设i ∀,0.i a ≠由于21n n n a a a ++=-， 记1,2max{}M a a =.则12,a M a M ≤≤.则32101a a a M <=-≤-，43201a a a M <=-≤-,54302a a a M <=-≤-，65402a a a M <=-≤-，，依次递推，有76503a a a M <=-≤-，87603a a a M <=-≤-…，则由数学归纳法易得21,.k a M k k *+≤-∈N当k M >时，210,k a +<与210k a +>矛盾. 故存在i ，使=0.i a所以，数列{}n a 必在有限项后出现值为0的项．………………………………………….8分 (III)首先证明：数列{}n a 中必有“1”项．用反证法，假设数列{}n a 中没有“1”项，由(II)知，数列{}n a 中必有“0”项，设第一个“0”项是m a(3)m ≥，令1m a p -=，1,p p >∈N *，则必有2m a p -=，于是，由1233||||m m m m p a a a p a ----==-=-，则32m a p -=，因此p 是3m a -的因数， 由2344|||2|m m m m p a a a p a ----==-=-，则4m a p -=或3p ，因此p 是4m a -的因数. 依次递推，可得p 是12,a a 的因数，因为1p >，所以这与12,a a 互质矛盾．所以，数列{}n a 中必有“1”项．其次证明数列{}n a 中必有无穷多项为“1”.假设数列{}n a 中的第一个“1”项是k a ，令1k a q -=，1,q q >∈N *， 则111k k k a a a q +-=-=-，若1k a +=11q -=，则数列中的项从k a 开始，依次为“1，1，0”的无限循环， 故有无穷多项为1；若111k a q +=->，则213212,1k k k k k k a a a q a a a +++++=-=-=-=， 若221k a q +=-=，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若221k a q +=->，则从k a 开始的项依次为1,1,2,1,3,4,1q q q q ----，……， 必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．2019东城一模理20（20）（本小题14分）已知L *∈N ，数列12:n A a a a L ，，，中的项均为不大于L 的正整数. k c 表示12,,,n a a a L 中k 的个数(1)k L =L ，2，，. 定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A 12:(),(),,()n t a t a t a 其中12()kc c c t k L n+++=⋅L .（Ⅰ）若4L =，对数列A ：1，1，2，3，3，4，写出i c 4)i ≤≤(1的值； （Ⅱ）已知对任意的(1,2,,)k k n =，存在A 中的项m a ，使得m a k =.求证： i i t a a =（）(1,2,,)i n =L 的充分必要条件为(12)i j c c i j L ==，，，，；L （Ⅲ）若l n =，对于数列12:,,,n A a a a L ，令12(()):,,,n T T A b b b L ，求证：()i i b t a =(1,2,,).i n =解：（Ⅰ）1=2c 2=1c 3=2c 4=1.c（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =. 所以12L c c c L ，，，均不为零.必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()kc c c t k L n+++=⋅L ，所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c ct L n +=⋅=；123(3)3c c c t L n++=⋅=；L ；12()Lc c c t L L n+++=⋅L .通过解此方程组，可得(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立. 充分性：若(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到h L n ⋅=. 所以有：(1)1h t L n =⋅=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3h t L n =⋅=；L ；()Lht L L L n=⋅=.所以()i i t a a =(1)i n ≤≤成立.（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，，，且满足：12m u u u <<<L . 不妨设12111212122212:,mr r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，，其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ；L ；12mm m mr u u u ==L =.又因为L n =，根据变换T 有：111112111()()()()u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；12221222212()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；;L121212()()()()mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；所以12111222():(),(),,()(),(),,()(),(),,().m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个个个，，即12111121212():,,,,,,,,,.m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，所以12111121212(()):(),(),,(),(),(),,()(),(),,().m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个个个，，因为11212,m r r r r r r <+<<+++所以有11121212(),(),,()m t r r t r r r r t r r r L =+=++++=.因此，112121211112,,,r r r r r b b b r b b b r r +++========+1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=即(()):T T A 12111121212,,,,,,,,,.m r r r r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，从而()(1,2,,)ii b t a i n ==.因此结论成立2019西城一模理2020．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，则称数表A 为完美数表. （Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，证明：kl n ≤.解：（Ⅰ）答案不唯一.如：（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论： （1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.… 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示）， 则10x y z w +++=○1由120p =，得x y z w +=+；○2 由130p =，得x z y w +=+；○3 由230p =，得x w y z +=+.○4解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表.… （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X +++=，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，所以12k X X X l ====.又因为对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=.又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤.2019海淀一模理20(20)（本小题满分13分）首项为O 的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件：①1n n a a n +-=；②12n n a -≤ (Ⅱ)请直接写出4a 的所有可能值；(Ⅱ)记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式；(Ⅲ)对于给定的正整数k ，求12...k a a a +++的最大值．解：（Ⅰ）4a 的值可以取2,0,6-- （Ⅱ）因为2n n b a =，因为1n n b b +<对任意n *∈N 成立，所以{}n b 为单调递增数列， 即数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列，根据条件21a =-，40a = 所以当20n a ≥对2n ≥成立下面我们证明“数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数” 假设数列{}n a 中存在1,i i a a +同时为非负数，因为1|i i |a a i +-=，若1,i i a a i +-= 则有1(1)12i i i a a i i ++-=+≥>，与条件矛盾 若1,i i a a i +-=-则有112i i i a a i i +-=+≥>，与条件矛盾所以假设错误，即数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数，此时20n a ≥对2n ≥成立，所以当2n ≥时，21210,0n n a a -+≤≤，即212212,n n n n a a a a -+<<，∴22121n n a a n --=-，2122(22)n n a a n ---=--，所以2212122()()1n n n n a a a a ----+-=，即2221n n a a --=，其中2n ≥ 即11n n b b --=，其中2n ≥又121b a ==-，240b a ==，所以{}n b 是以11b =-，公差为1的等差数列， 所以1(1)2n b n n =-+-=- （Ⅲ）记1231k k k S a a a a a -=+++++，由（Ⅱ）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数当0n a ≥，则10n a +<，根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以112212n n n n a a a n n +-+=-≤-≤- 当10n a +≥，则0n a <，根据1||n n a a n +-=，得到+1n n a a n =-，所以11112202n n n n a a a n n +++-+=-≤-≤ 所以，总有10n n a a ++≤成立当n 为奇数时，1||n n a a n +-=，故1,n n a a -的奇偶性不同，则1n n a a ++1≤- 当n 为偶数时，10n n a a ++≤，当k 为奇数时，1231()()0k k k S a a a a a -=+++++≤考虑数列：01,1,2,2,--，，12k --，12k -⋯，可以验证，所给的数列满足条件，且0k S =所以k S 的最大值为0当k 为偶数时，121()()2k k k k S a a a a -=++++≤-考虑数列：01,1,2,2--，，，-22k -，22k -，2k -，可以验证，所给的数列满足条件，且2k k S =-，所以k S 的最大值为2k-2019石景山一模理2020.（本小题13分）若项数为n 的单调递增数列{}n a 满足：①11a =；②对任意k （*k ∈N ，2k n ≤≤），存在,i j （**,i j ∈∈N N ，1i j n ≤≤≤）使得k i j a a a =+，则称数列{}n a 具有性质P .（Ⅰ）分别判断数列1,3,4,7和1,2,3,5是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）若数列{}n a 具有性质P ，且36n a =，（ⅰ）证明数列{}n a 的项数7n ≥； （ⅱ）求数列{}n a 中所有项的和的最小值．解：（Ⅰ）因为311≠+ ，所以1,3,4,7 不具有性质P ；因为211=+，312=+ ，523=+ ，所以1,2,3,5 具有性质P ． （Ⅱ）（ⅰ）因为{}n a 是单调递增数列，又k i j a a a =+， 所以i j k a a a ≤< 即1i j k a a a -≤≤，所以12k k a a -≤，11a =，所以22a ≤，34a ≤，48a ≤，516a ≤，632a ≤，又因为36n a =，所以7n ≥．（ⅱ）因为361818=+，1899=+，936=+，633=+，312211=+=+，；所以可以构造数列123691836，，，，，，满足性质P ；或361818=+，1899=+，945=+，541=+，422211=+=+，， 所以可以构造数列124591836，，，，，，满足性质P ；上述两个数列的和为75，下面说明75为数列{}n a 中所有项的和的最小值． 若18在数列{}n a 中，要求数列{}n a 中所有项的和的最小值，则118i a -=， 若18不在数列{}n a 中，则36i j a a += ，由（ⅰ）知7n ≥，则数列{}n a 中所有项的和121(36)476=+++>+++=n i j s a a a a a a L ， 所以要求数列{}n a 中所有项的和的最小值，则118i a -=． 同理要求数列{}n a 中所有项的和的最小值，则29i a -=，981726354=+=+=+=+，同理可得36i a -=或4；依此类推要求数列{}n a 中所有项的和的最小值，其数列为123691836，，，，，，或124591836，，，，，，所以数列{}n a 中所有项的和的最小值为75．2019延庆一模理2020.（本小题满分13分）已知集合．对于，定义与之间的距离为．（Ⅰ）2,A B S ∀∈，写出所有(,)2d A B =的,A B ；（Ⅱ）任取固定的元素，计算集合中元素个数； （Ⅲ）设，中有个元素，记中所有不同元素间的距离的最小值为． 证明： ．解 （Ⅰ）(1,1)(0,0)A B (1,0)(0,1)A B (0,1)(1,0)A B (0,0)(1,1)A B （Ⅱ）当1k =时，0111n n M n C C =+=+…当2k =时，0122+n n nM C C C =+ … 写出， 特别的，．所以 K M 元素个数为 012k n n n n C C C C ++++（Ⅲ）记，我们证明．一方面显然有．另一方面，且， 假设他们满足．则由定义有，与中不同元素间距离至少为相矛盾．从而．这表明中任意两元素不相等．从而． 又中元素有个分量，至多有个元素．从而．证毕．12{|(,,),{0,1},1,2,,}n n i S X X x x x x i n ==∈=…，(2)n ≥1212(,,,),(,,)n n n A a a a B b b b S ==∈…A B 1(,)||ni i i d A B a b ==-∑n I S ∈{|(,)}(1)k n M A S d A I k k n =∈≤≤≤n P S ⊆P (2)m m ≥P d 12n d m -+≤01||kk n n n M C C C =+++||2n n M =121211'{(,,,)|(,,,,,)}n n d n d P c c c c c c c P -+-+=∈|'|||P P =|'|||P P ≤,n A B S ∀∈A B ≠112211,,,n d n d a b a b a b -+-+===(,)1d A B d ≤-P d 121211(,,,)(,,,)n d n d a a a b b b -+-+≠'P |'|||P P m =='P 1n d -+12n d -+12n d m -+≤。
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
