飞行问题

浅谈变分法与飞机飞行引言：作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。

它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。

这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。

约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。

后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。

有趣的是，在1690年约翰伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。

在大自然中，除了悬垂的项链外，我们还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。

伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。

惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。

到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分。

悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。

变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。

求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日定理，它对应于泛函的临界点。

在寻找函数的极大和极小值时，对一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似解。

它不能分辨是否找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

固定边界点的变分问题在高等数学中讨论过函数的极值问题，这里将扼耍讨论更为广泛的一类极值问题，称为泛函的极值问题。

后者的一些思路以及运算方式与函数的极值问题十分相似。

下面我们以“最速下降线问题”为例来说明泛函的基本性质。

例如在任一铅垂平面xy 中，指定A 、B 两点。

要求在两点间连接一条曲线使得重球自A 点沿此曲线下滑时，从A 到B 所需的时间为最小(忽略摩擦力)。

从直观上看，由于A 、B 间的直线距离最短，似乎重球沿此直线下滑至B 所需的时间最少；实际上在A ，B 之间存在着某一曲线AB ，虽然长度大于直线，然而重球沿此曲线下滑时，其速度较大因此到达B 点时所需时间最少。

假设 所求的曲线为y(x)，它经过A ，B 两点： A 点 x ＝a ． y ＝αB 点 x ＝b ， y ＝β (3.1)设重球经过曲线上任一点p(x ，y)时的速度为v ，由能量守恒原理可得：1/2mv^2＝mgy,其中g 为重力加速度。

由此得到 v ＝(2gy)^0.5令ds 为曲线的微分弧长，于是 ds/dt=v 所以：dt=ds/v因此重球自A 下沿至B 所需的时间T 为，T=§ds/v (§表示积分） （３.２）以上所讨论的最速下降线问题，可表示成如下的数学问题：在a<＝x<＝b 的区间内找一个函数y(x)，使它满足边界条件(3．1)，并使(3．2)定义的T 取最小值。

自式(3.2)可以看出，T 值随函数y(x)的变化而变化，这些可变化的函数y(x)称为自变函级，依赖于自变函数而变的量T ，则称为自变函数y(x)的泛函。

目前所求的自变函数y(x)需满足固定边界条件(3．1）这样的变分问题称作为固定边界的变分问题。

从以上讨论可知，在一般情况下满足边界条件(3．1）的泛函T 可以写成如下的形式：T=§F(x,y,y')dx当变量x 不变，而仅仅由于曲线y(x)的无穷小变化而引起的纵坐标的增加称为自变函数y(x)的变分，记为δy ；其次，当曲线y(x)不变，由于自变量x 的变化dx 所引起的纵坐标的增加则以常用的函数微分符号ｄy 表示。

由于这两个纵坐标是相等的，因而 (δy)’＝δy’ 上式表明，一个函数的微分运算与变分运算的顺序是可以交换的。

在做变分运算时，这一公式是经常用到的。

基本问题：1.设一质量为m 的飞机作水平飞行，用s(t)表示飞行距离，其升力与重力mg 相平衡，空气阻力F 与飞机飞行速度v=dt ds及其升力L 有以下关系F=22bL av + (1) 式中0,0>>b a 为常数。

试求飞机飞行的最大距离。

解：因为升力与重力平衡,即L=mg ∴ F=22bL av +=222g bm av +(2)飞机飞行时的推力为T dtdmc-= (3) (式中c>0为常数。

飞机飞行时随着推进器燃料的燃烧，其质量是在不断减少的，所以推进器的燃速dm/dt<0,故（3）式等号右边应有一个负号。

） 由牛顿第二定律可知，飞机的运动方程为F dtdmcF T dt dv m --=-= (4) 显然这个微分方程是很难解的，这个时候可考虑用变分学的泛函求解。

因为v =ds/dt,可得vdsF cdm mdv --= （5）将阻力R 的表达式代入式（5），整理得)(222dmdvm c m bg av v ds ++-=dm （6） 令dm dv v /='于是，从时刻0=t 到1t t =,飞机的飞行距离为下列泛函 ()[]())0(1S t S m v J -=()dm v m c g bm av vm m '++⎰01222 （7） 令=F ()v m c g bm av v'++222，则欧拉方程为()()()02222222=+++-=-'gbm av v c g bm av F dm d F v v （8） 求解式（8），得c v -= （9） 因为c>0,得v<0,此解不合理，舍去。

还有两个解是 mg abv ±= （10） 显然（10）式应该取正号。

于是容易求出其导数为 g abv =' （11） 将（10）式和（11）式代入（7），得()[]a m m m m ab g cdm a mg ab c m v J m m 2ln 2212101001-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ （12） 式（12）就是飞机飞行的最大距离()22=2sin =1+y x ds dx y x μρθμρμθ'假设飞机是水平飞行的，所以飞机来自空气的阻力会集中在机头。

假设机头是一个旋转体，为飞机飞行的速度，p 为机头所受压强,为空气中气体的密度，为气流速度与旋转体表面切向方的夹角。

假设气体分子与旋转体表面接触时无摩擦我们可以把旋转体看做静止的，气体以速度向轴方向流动。

由气流速度引起的压强在旋转体表面法向方向的分量为p ，取弧长微元，在半径为的环面上沿轴方向[]()()()()()22233233y 3122sin 2sin 21+y sin sin 1+y 400,,032L Fx y dF yds y dx x y dF yy dx y y L R x dF y F yy y yy c ydy cdx dxy c x c πθρμθπθθπρμ'''=⋅⋅=⋅=''====''''--=⇒-=-⇒==+⎰⎰的压力分量即阻力为p ，所以作用在旋转体表面轴方向的全部阻力是泛函J 泛函的边界条件为。

因为泛函的被积函数不含故欧拉方程的首次积分为F 积分得()()()[][]44321343342222243423022min 3200,=0=,=43LFRy y L R c c Lx y R L x x y x R y x R L L x y R F y dF yy dx L R F y Lπρμπρμ==⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫'==== ⎪⎝⎭=⎰⎰利用边界条件，可得，于是极值曲线为即飞机所受压力最小的边界轮廓线是四分之三次抛物线。

推广到三维空间可得飞机所受压力最小的旋转曲面为即。

将带入泛函J 中可得=J 12222Lx dx R πρμ=⎰所以飞机的机头部分最好设计成旋转曲面。

()22222min 222))dsbm ds c m dm bm πρμμπρμμμμπρμ+'=-++把F =2R 代入一题中可得md =-cdm-(2R 即(2R()01222)0m m c m ds dmbm dF dm μμμμπρμ''+∴=+-=⎰(2R 泛函的欧拉方程为F()()222220)bm c bm πρμμπρμ-++=+2R 即(2R2bm μπρ∴=2R2b μπρ'∴=2R()001210ln22m m m c J m m ag b μπρ-∴=+⎡⎤⎣⎦飞机飞行的最大距离为2R10=(m m kt k -又飞机是以不变的速度飞行的，所以为飞机在单位时间里消耗的燃料质量）。

()210ln 122ckt ktJ m m ag b μπρ⎛⎫∴=-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭2R参考文献：1.变分法基础, 作者: 老大中, 版本: 第2版, 国防工业出版社。