初高中数学衔接

初高中数学衔接专项训练
★ 专题一 数与式的运算
【要点回顾】

1．绝对值
[1]绝对值的代数意义： ．即
||a
．

[2]绝对值的几何意义： 的距离．
[3]两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示 的距离．
[4]两个绝对值不等式:||(0)xaa；
||(0)xaa
．

2．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
[公式1]2()abc

[公式2]33ab(立方和公式)
[公式3]33ab (立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”．
例1 解下列不等式：（1）21x （2）13xx＞4．

例2 计算：
（1）221(2)3xx （2）2211111()()5225104mnmmnn

（3）42(2)(2)(416)aaaa （4）22222(2)()xxyyxxyy
例3 已知2310xx，求331xx的值．
专题二 因式分解
常用的乘法公式：
[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ．

[4]2()abc
[5]33ab(立方和公式)
[6] 33ab (立方差公式)
例1 （公式法）分解因式：(1) 34381abb；(2) 76aab

例2 （分组分解法）分解因式：
（1）2222()()abcdabcd （2）2222428xxyyz

例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：
(1) 2524xx (2) 2215xx

(3) 226xxyy (4) 222()8()12xxxx
例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 21252xx ；(2) 22568xxyy
例5 （拆项法）分解因式3234xx
【巩固练习】
1．把下列各式分解因式：
(1) 2222()()abcdcdab (2) 22484xmxmnn

(3) 464x (4) 32113121xxx (5) 3223428xxyxyy

专题三 一元二次方程根与系数的关系
例1 已知关于x的一元二次方程2320xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根
（3）方程有实数根； （4）方程无实数根．

例2 已知实数x、y满足22210xyxyxy，试求x、y的值．
例3 若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2212xx； (2) 1211xx； (3) 12(5)(5)xx； (4) 12||xx．

例4 已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．
(1) 是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，
请说明理由．

(2) 求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．

★ 专题四 二次函数的最值问题
【要点回顾】
1．二次函数2 (0)yaxbxca的最值．
二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最

小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小
值．
2．二次函数最大值或最小值的求法．
第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
3．求二次函数在某一范围内的最值．
如：2yaxbxc在mxn（其中mn）的最值．
第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0xx；
第二步：讨论：
[1]若0a时求最小值或0a时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即0xm，即对称轴在mxn的左侧；

②对称轴0mxn，即对称轴在mxn的内部；
③对称轴大于n即0xn，即对称轴在mxn的右侧。
[2] 若0a时求最大值或0a时求最小值，需分两种情况讨论：
①对称轴02mnx，即对称轴在mxn的中点的左侧；

②对称轴02mnx，即对称轴在mxn的中点的右侧；
说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位
置，具体情况，参考例4。
【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）5322xxy； （2）432xxy．

例2当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．

例3当0x时，求函数(2)yxx的取值范围．
例4当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．
★ 专题五 不 等 式
【要点回顾】
1．一元二次不等式及其解法

[1]定义：形如 为关于x的一元二

次不等式．
[2]一元二次不等式20(0)axbxc或与二次函数2 (0)yaxbxca及一元
二次方程20axbxc的关系(简称：三个二次)．
（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如
下：
(1) 将二次项系数先化为正数；
(2) 观测相应的二次函数图象．

①如果图象与x轴有两个交点12(,0),(,0)xx，此时对应的一元二次方程有两个不相等

的实数根12,xx(也可由根的判别式0来判断) ．则

②如果图象与x轴只有一个交点(,0)2ba，此时对应的一元二次方程有两个相等的实

数根22xbxxa(也可由根的判别式0来判断) ．则：

③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式
0
来判断) ．则：

（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：
(1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,xx．那么“0”型的

解为12xxxx或(俗称两根之外)；“0”型的解为12xxx(俗称两根之间)；

则，对二次三项式进行配方，变成2224()24bacbaxbxcaxaa，结合完全平方式
为非负数的性质求解．
2．简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应
当注意分母不为零.
3．含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为 axb的形式．

[1]当0a时，不等式的解为：bxa；

[2]当0a时，不等式的解为：bxa；
[3]当0a时，不等式化为：0xb；
① 若0b，则不等式的解是全体实数；② 若0b，则不等式无解．

【例题选讲】

例1 解下列不等式：(1) 260xx (2) (1)(2)(2)(21)xxxx

例2 解下列不等式：(1) 2280xx (2) 2440xx (3) 220xx

例3 已知对于任意实数x，22kxxk恒为正数，求实数k的取值范围．
例4 解下列不等式： (1) 2301xx (2) 132x

例5 求关于x的不等式222mxmxm的解．
【巩固练习】
1．解下列不等式：
(1) 220xx (2) 23180xx

(3) 231xxx (4) (9)3(3)xxx
2．解下列不等式：
(1) 101xx (2) 31221xx (3) 21x (4) 221021xxx

3．解下列不等式：
(1) 22222xxx (2) 21110235xx

4．解关于x的不等式(2)1mxm．
5．已知关于x的不等式20mxxm的解是一切实数，求m的取值范围．