2021年高三上学期第四次月考月考数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2. 已知，为实数，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知、是两个不同平面，、是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ） A ． B ． C ．D ．4.已知实数a ，b ∈(0,1)，且满足cos πa <cos πb ，则下列关系式成立的是( ) A ．ln a <ln b B ．sin a <sin b C.1a <1bD ．a 3<b 35.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 6.已知点在曲线上，且，且，则的最大值等于（ ） A ．9B ．10C ．6D ．117.若满足且的最小值为-4，则的值为（ ）8.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎦⎤0，π3 9.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A. B. C. D.10.圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A ．2B ． 1或－ 2C ． 2－1或－2－1D ．1或－3 11.已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++, 2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数， 且函数的零点均在区间内，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________14.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 .15. 在中，为上一点，且为上一点，且满足 则的最小值是 .16.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
2021年高三上学期第四次月考数学（理）试题 Word 版含答案一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、“成立”是“成立”的 （ ）A ．充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2、已知命题p ：（ ）A ．B ．C ．D ．3、设是定义在实数集上的函数，它的图象关于直线1对称，且当x 1时，，则有 （ ）A ．B ．C ．D ．4、已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）A ．616a 2B ．C ．D ． 5、设向量，，若，则实数 （ ）A ．3B ．1C ．D ． 6、函数()sin()(0,0,||)2f x A x k A πωϕωϕ=++>><的图象如图所示，则的表达式是 （ ） A ． B ． C ． D ．7、已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 （ ）A ．若则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则8、等差数列{}前n 项和为，已知+-=0，=38,则m=（ ） A ．8B ．9C ．10D ．119、已知实数x 、y 满足约束条件则的取值范围是（ ）A ． B ．[0,2]C ．D ．10、由曲线与直线所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（ ） A ． B ． C ． D ．111、如图，在△ABC 中，设，，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若，则对应的值为（ ）A ． B. C. D.12、已知.若存在的极值点满足，则m 的取值范围是 （ ） A ．B. C. D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线与曲线相切，则 。
14.某简单组合体的三视图如图2，其中正视图与侧视图相同 （尺寸如图，单位：cm ），则该组合体的体积是 （结果保留）15．函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 16．下列说法： ①已知则方向上的投影为；②关于的不等式恒成立，则的取值范围是； ③函数为奇函数的充要条件是；④将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像 ⑤在△ABC 中，若，则；其中正确的命题序号是 （填出所有正确命题的序号）。
卜人入州八九几市潮王学校南康2021～2021第一学期高三第四次大考数学〔理科〕试卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的) 1、函数122+--=x x y 的定义域为集合A ，集合{}Z n n x x B ∈-==,12，那么A B ⋂为〔〕 A.{}3,1B.{}3,1,1,3--C.{}3,1,1-D.{}1,1,3--2、x R ∈，当复数Z=(1)x x i +-的模长最小时，z 的虚部为()A.21-B.21C.1D.21-i 3=1tan tan αα+等于〔〕A.8-B.8C.18D.18-4、小正方形按照以下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a ，有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递推公式()*11,n n a a n n N +=++∈其中正确的选项是〔〕 A.①②④B.①③④C.①②D.①④5、函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,假设要得到一个奇函数的图象，那么可以将函数()f x 的图象()A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度D.向右平移12π个单位长度6、,x y 满足不等式组⎧⎪⎨⎪⎩240,{20, 30,x y x y y +-≥--≤-≤那么1z x y =+-的最小值为〔〕 7、2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+*x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为〔〕.A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+ 8、假设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=36sin 2ππx x f ()102<<-x 的图像与x 轴交与点A ，过点A 的直线交)(x f 的图像于C B ,两点，那么()=•+OA OC OB 〔〕9、如图，ABC ∆与ACD ∆都是等腰直角三角形，且BC AC DC AD ===,2.平面⊥ACD ABC 平面，假设以平面ABC 为程度平面，正视图的观察方向与AB 垂直，那么三棱锥ABC D -的三视图的面积和为〔〕A ．4+23B ．4+23C ．4+2D.4+3310、假设0,,>cb a 且()324-=+++bc c b a a ,那么c b a ++2的最小值为()A ．3-1 B ．3+1C ．23+2D ．23-211、假设数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为a a n n •-=+2018)1(，nb n n 2019)1(2+-+=，且n nb a <，对任意*∈N n 恒成立，那么实数a 的取值范围是()A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1 B.[)1,1-C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2 D.[)1,2-12、把函数())1(log 2+=x x f 的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()x g 的图象关于直线x y =对称；偶函数()x h满足()()11--=-x h x h ，当[]1,0∈x 时，()()1-=x g x h ；假设函数()()x h x kf y -=有五个零点，那么k 的取值范围是〔〕A.()1,2log 3B.[)1,2log 3C.61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.⎥⎦⎤ ⎝⎛21,2log 6二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题卷上) 13、由曲线x y 1=及直线0,1,21===y x x 围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得几何体体积为. x R ∃∈，使012≤++ax ax a 的取值范围是．15、长方形ABCD 中，3,4==BC AB ,将ACD ∆沿AC 折起，使二面角B AC D --大小为θ，那么四面体ABC D -的外接球的外表积为________ 16、ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,且6,4sin 5sin aB C ==①ABC ∆的面积的最大值为40；②满足条件的ABC ∆不可能是直角三角形； ③当C A 2=时，ABC ∆的周长为15；④当C A 2=时，假设O 为ABC ∆的内心，那么AOB ∆的面积为7.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤) 17、〔本小题总分值是10分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S .〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记()()1121++=+n n nna a ab ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、〔本小题总分值是12分〕ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .〔1〕求角A 的值；〔2〕ABC ∆233ABC ∆周长的取值范围. 19、〔本小题总分值是12分〕如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，2BC =12AB BB ==，14BCC π∠=，点E 在棱1BB 上.〔Ⅰ〕求证：1C B⊥平面ABC ；〔Ⅱ〕试确定点E 的位置，使得二面角1A C E C --5520、〔本小题总分值是12分〕函数()()()4log 41x f x kx k R =++∈是偶函数.〔1〕求k 的值； 〔2〕假设函数()y f x =的图像与直线12y x a =+没有交点，求a 的取值范围； 〔3〕假设函数()1()2421f x xx hx m +=+-，[]3log ,02∈x ，是否存在实数m ，使得()h x 最小值为0，假设存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由.21、〔本小题总分值是12分〕B A ,是椭圆C ：93222=+y x 上两点，点M 的坐标为()0,1.⑴当B A ,两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；⑵当B A ,两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.22、〔本小题总分值是12分〕函数()ln f x x =，()()()11F x f x f x =+--．〔Ⅰ〕当*n ∈N 时，比较()132ni F i =∑与()3112133n +-的大小〔注：121ni n i a a a a ==+++∑〕；〔Ⅱ〕设()()()121e e -⎛⎫+=-≤- ⎪⎝⎭ax f x g x x a a ，假设函数()g x 在()0,+∞上的最小值为21e a -，求a 的值．南康2021～2021第一学期高三第四次大考数学〔理科〕答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAADCBBDADCC二、填空题 13,π; 14,[)4,0;15,π25;16,③④16、③④【解析】①由题，，由余弦定理得：当且仅当即取等号，此时．的面积的最大值为24；不正确②由题，假设是直角三角形，那么解得故可能是直角三角形；②不正确③当时，有正弦定理，结合由余弦定理可得，的周长为15；正确；④当时，假设为的内心，那么设的内接圆半径为由可得故那么即的面积为.正确故答案为③④. 三、解答题 17、〔1〕当时，，得当时，有，所以即，满足时，，所以是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式为．〔2〕，．18、解：〔1〕由//m n ，得(2)cos cos 0b c A a B -+=.由正弦定理，得2sin sin cos 0sinBcosA CcosA A B -+=，即()2sin CcosA sin A B sinC =+=.在ABC ∆中，由0sinC >，得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=. 〔2〕根据题意，得4332sin 232a R A ==⨯=.由余弦定理， 得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤.所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.19、〔Ⅰ〕证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=，∴C 1B 2+BC 2=，即C 1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC 1B 1，故AB⊥BC 1，又CB∩AB=B，所以C 1B⊥平面ABC ；〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如以下图的坐标系， 那么B 〔0，0，0〕，A 〔0，2，0〕，C 〔，0，0〕，C 1〔0，0，〕，B 1〔﹣，0，〕，∴=〔0，2，﹣〕，设1BEBB λ=，那么=+λ=〔0，0，﹣〕+λ〔﹣，0，〕=〔﹣λ，0，﹣+λ〕设平面AC 1E 的一个法向量为m =〔x ，y ，z 〕，由1100m C A m C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得，令z=，取m =〔，1，〕，又平面C 1EC 的一个法向量为=〔0，1，0〕所以cos ＜，＞=m n m n⋅⋅==，解得λ=．所以当λ=时，二面角A ﹣C 1E ﹣C 的余弦值为．20、解：〔1〕∵()()f x f x -=，即()()44log 41log 41x x kx kx-+-=++对于任意x R∈恒成立.∴()()444412log 41log 41log 41x xxx kx --+=+-+=+∴2kx x =-∴12k =-〔2〕由题意知方程()411log 4122x x x a +-=+即方程()4log 41x a x =+-无解. 令()()4log 41x gx x =+-，那么函数()y g x =的图象与直线y a =无交点.∵()()444411log 41log log 144x xx xg x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭任取12x x R ∈、，且12x x <，那么12044x x <<，∴121144x x > ∴()()12124411log 1log 1044x x gx g x ⎛⎫⎛⎫-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()gx 在(),-∞+∞上是单调减函数.∵1114x +>，∴()41log 104xg x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭∴a 的取值范围是(],0-∞〔3〕由题意()[]24?21,0,log 3x xh x m x =+-∈，)[]24?21,0,log 3x x h x m x =+-∈令[]21,3x t =∈， ()2t t mt ϕ=+[]1,3t ∈∵开口向上，对称轴2mt =-， 当12m-≤，即2m ≥-，()()min 110,1t m m ϕϕ==+==- 当132m <-<，即62m -<<-，()2min 0,024m m t m ϕϕ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭〔舍去〕 当32m-≥，即6m <-，()()min 3930,3t m m ϕϕ==+==-〔舍去〕 ∴存在1m=-得()h x 最小值为0.21．解：⑴设A 〔x 0，y 0〕，B 〔x 0，-y 0〕，因为△MAB 为等边三角形，所以|y 0|=33|x 0-1|，又点A 〔x 0，y 0〕在椭圆上， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=932|1|33||202000y x x y ，消去y 0，得3x 20-2x 0-8=0，解得x 0=2或者x 0=-34， 当x 0=2时，|AB |=332；当x 0=-34时，|AB |=9314.⑵根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB ：y =kx +m ，A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，AB 中点为N 〔x 0，y 0〕，联立⎩⎨⎧+==+mkx y y x 93222，消去y 得〔2+3k 2〕x 2+6kmx +3m 2-9=0， 由△＞0得2m 2-9k 2-6＜0，①所以x 1+x 2=-2326k km +,y 1+y 2=k 〔x 1+x 2〕+2m =2324k m +,所以N 〔-2323k km +，2322k m +〕，又M 〔1，0〕，假设△MAB 为等边三角形，那么有MN ⊥AB ，所以k MN ×k =-1，即132332222-+-+kkm k m×k =-1， 化简得3k 2+2+km =0，②由②得m =-k k 232+，代入①得2222)23(k k +-3〔3k 2+2〕＜0，化简得3k 2+4＜0，矛盾，所以原假设不成立，故△MAB 不可能为等边三角形.22、解：〔1〕()()()()()122462ni F i F F F F n ==++++∑()35721ln ln 2113521n n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=+ ⎪-⎝⎭，构造函数()()()313ln 133h x x x x =--≥，()3233x h x x x x -'=-=， 当3x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[)3,+∞上单调递减．∴()()133ln 3903hx h ≤=-+<， 故当()*21xn n =+∈N 时，()()313ln 2121103n n ⎡⎤+-+-<⎣⎦，即()()313ln 212113n n ⎡⎤+<+-⎣⎦，即()132ni F i =<∑()3112133n +-． 〔2〕由题可得()1e ln ax gx x ax x -=--，那么()111e e ax ax g x ax a x --'=+--=()111e ax ax x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由11e0ax x --=得到1ln x a x -=，设()1ln x p x x -=，()2ln 2x p x x -'=． 当2e x >时，()0p x '>；当20e x <<时，()0p x '<．从而()p x 在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增．∴()()22min 1e e p x p ==-．当21e a ≤-时，1ln x ax -≤，即11e 0ax x--≤ 〔或者111e 1eax ax x x x ----=，设()1e 1ax p x x -=-，证明()0p x ≤亦可得到11e 0ax x--≤〕． 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上，10ax +>，()0g x '≤，()g x 递减； 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，10ax +<，()0g x '≥，()g x 递增． ∴()2min 11e gx g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2111ln e a a ⎛⎫+--=- ⎪⎝⎭，∴1ln 1a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得1e a =-．。
2021年高三上学期月考（四）数学（理）试题 Word版含答案本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求对的.1.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则为A.2B.C.D.2.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数y=f(x)对任意自变量x都有f(x+1)=f(1-x)，且函数f(x)在上单调.若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前25项之和为A.0B.C.25D.504.为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是A. B. C. D.5.如图，若是长方体被平面EFGH截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F 为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C.是棱柱D.四边形EFGH可能为梯形6.某班有24名男生和26名女生，数据，，，是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A，男生平均分M，女生平均分W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数（负数），那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入A.T>0？，B.T<0？，C.T<0？，D.T>0？，7.如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.8.设实数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.9.设的最大值为3，则常数a=A.1B.a=1或a=-5C.a=-2或a=4D.10.已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在边BC，DC上，，.若，，则A. B. C. D.11.已知点P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，G为三角形的内心，若成立，则的值为A. B. C. D.12.设函数对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数a的最小值是A. B. C.2 D.4选择题答题卡二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_____.14.在四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为_____.15.在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边，如果，则角A的取值范围为_____.16.设数列满足：，，其中，、分别表示正数的整数部分、小数部分，则_____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且对一切正整数n都成立.（1）求，的值；（2）设，数列的前n项和为，当n为何值时，最大？并求出的最大值.18.（本小题满分12分）某商场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）求表中a，b的值；（2）若以上表中的频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求：①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和期望.19.（本小题满分12分）为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形，，，，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与重合，F与重合，G与重合，H与重合（如图所示）.（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；（2）当时，求二面角E-SH-F的余弦值.20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)已知函数在定义域上单调且函数的零点为1.（1）求的取值范围；（2）若曲线与轴相切，求证（且)．选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥DC，DC的延长线交PQ于点Q.（1）求证：；（2）若AQ＝2AP，AB＝2，BP＝2，求QD.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线C，动圆.（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.（1）求a＋b＋c的取值范围；（2）若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．炎德·英才大联考湖南师大附中xx届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题13.2 14.5 15. 16.三、解答题17.【解析】（1）当n=1时，，当n=2时，两式相减，或， ...............3分解方程组可得：，或，或. ..........5分（2）由（1）及知， ................6分当n≥2时，，，，，， ..............8分 令，所以数列是单调递减的等差数列，公差为， (10)分 ，所以当n≥8时，，所以数列的前7项和最大，. .........12分18.【解析】（1）由题意知：a =0.5，b =0.3. ....................2分 （2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5， （3）设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨， 则X ～B （5，0.5），3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P . ..............6分②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以的可能取值为4，5，6，7，8， 则：，， ，，， ............9分 的分布列为：........11分2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . ........12分又∵平面SFH ，SO ∩FH ＝O ，∴EG ⊥平面SFH .又∵平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . ......................6分 (2)法1：过O 作OM ⊥SH 交SH 于M 点，连接EM ，∵EO ⊥平面SFH ，∴EO ⊥SH ， ∴SH ⊥平面EMO ，∴∠EMO 为二面角E －SH －F 的平面角. ...............8分ξ 4 5 6 7 8 P0.040.20.370.30.09当时，即，Rt△SHO 中，SO ＝5，，∴， Rt△EMO 中，，.所以所求二面角的余弦值为. ......................12分法2：由（1）知EG ⊥FH ，EG ⊥SO ，并可同理得到HF ⊥SO ，故以O 为原点，分别以OF ，OG ，OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，在原平面图形中，，则底面正方形EFGH 的对角线EG ＝5， ∴，，，，.在原平面图形中，可求得，在Rt△SOE 中，可求得， ∴S (0，0，5)，. ...............8分 设平面SEH 的一个法向量为，则得令x ＝2，则，...............10分∵EG ⊥平面SFH ，∴是平面SFH 的一个法向量，设二面角E －SH －F 的大小为θ， 则，∴二面角E －SH －F 的余弦值为.12分 20.【解析】（1）设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，由题意得e ＝32，∵b ＝1，∴a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 21＝1. ...............5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 21＝1消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－41＋4k2.|PQ |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 2·1＋4k 2－m21＋4k2. ...............8分原点O 到直线l 1的距离d ＝|m |1＋k 2，则S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝2|m |·1＋4k 2－m21＋4k 2＝1， ∴2|m |·1＋4k 2－m 2＝1＋4k 2，令1＋4k 2＝n ，∴2|m |·n －m 2＝n ， ∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2. ∵N 为PQ 中点，∴x N ＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y N ＝y 1＋y 22＝m1＋4k2，∵1＋4k 2＝2m 2，∴x N ＝－2k m ，y N ＝12m .∴x 2N 2＋2y 2N ＝1. ...............10分假设x 轴上存在两定点A (s ，0)，B (t ，0)(s ≠t )，则直线NA 的斜率k 1＝y Nx N －s，直线NB 的斜率k 2＝y Nx N －t，∴k 1k 2＝y 2N（x N －s ）·（x N －t ）＝12·1－x 2N2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st ＝－14·x 2N －2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st.当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝－14，则s ＝2，t ＝－ 2.综上所述，存在两定点A (2，0)，B (－2，0)，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值. ...............12分 21.【解析】（1）由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， .又函数f (x )的零点为1，由f (1)＝0，故，. ...............2分 ∵函数单调，若为增函数，则对任意，且不恒为0， ∴，，∴，∴.若为减函数，则对任意，且不恒为0， 则，，又，∴不恒成立． 综上所述，∴. 又∵，∴.∴的取值范围是. ............6分 （2）∵曲线与轴相切，切点为(1，0)且，∴. 由(1)得函数在上是增函数， 又，∴当时，， ∴.令，有， ∴；∴当时，令k ＝1，2，3，…，n －1，，，…，以上各式累加得：． ...............10分 ∵，∴n n n ln 122523221514131<-+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+++， ∴成立. ...............12分22.【解析】（1）∵AB ∥CD ，∴∠PAB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴∠PAB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴，即. ............... 5分(2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴，(3)由，BP ＝2，得，PC ＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴，∴，∴，又∵AQ 为圆O 的切线 ，∴. ...............10分23.【解析】∵，∴．所以的直角坐标方程为. ......2分∵所以的直角坐标方程. .....4分（2）联立关于的一元二次方程在[0，＋∞)内有两个实根. ..........6分即 ..........8分得即. .........10分24.【解析】（1）由柯西不等式得，3))(111()(2222222=++++≤++c b a c b a ， ∴，∴a ＋b ＋c 的取值范围是. ...............5分（2）同理，3)](1)1(1[)(2222222=+++-+≤+-c b a c b a . ...............7分 若不等式对一切实数a ，b ，c 恒成立，则，解集为. ...............10分33005 80ED 胭36215 8D77 起22011 55FB 嗻25137 6231 戱37916 941C 鐜g33982 84BE 蒾=36661 8F35 輵X6"20056 4E58 乘31388 7A9C 窜。
