5.1 定积分的概念与性质

1 / 1 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用

一． 定积分的定义

A）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

，

把区间[a,b]分成n个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211niiixxxnixxx在[iixx,1]上任意取一点i，作和式：)1.......()(1iniixf

如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[iixx,1]怎样选取，只要0有iniixf1)(I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做badxxf)(即I=badxxf)(其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

例：求曲边图形面积：3xy的图像在1,0x间与1x及x轴围成的图形面积。

注：

1、有定义知道badxxf)(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即badxxf)(=baduuf)(=badttf)(

2、定义中的0不能用n代替

3、如果iniixfLim10)(存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？

经典反例：中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(xxxf在[0，1]上不可积。

2 / 2 可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。

以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

定积分的概念与性质

在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积以及计算函数的平均值和总和。本文将介绍定积分的概念与性质，帮助读者更好地理解和应用该概念。

一、定积分的概念

定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。它是对函数在给定区间上的求和过程。我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。

定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界，f(x)是要进行积分的函数。定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和或者面积。

二、定积分的计算方法

1. 用基本定积分公式计算定积分。对于一些简单的函数，我们可以直接使用基本定积分公式进行计算。例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中C是常数。

2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。如果我们已知函数f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。 3. 利用定积分的性质进行计算。定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x)

+ g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。此外，如果函数f(x)在区间[a,

b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。

三、定积分的性质

1. 定积分与原函数的关系。如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。这个公式可以用来计算一些不易积分的函数。

2. 定积分的加法性质。对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx

第五章 定积分

Chapter 5 Definite Integrals

5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties）

一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral）

设在yfx区间,ab上非负、连续，由xa，xb，0y以及曲线yfx所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。

Let fx be continuous and nonnegative on the closed interval,ab. Then the region

bounded by the graph offx, the x-axis, the vertical linesxa, and xb is called the

trapezoid with curved edge.

黎曼和的定义（Definition of Riemann Sum）

设fx是定义在闭区间,ab上的函数，是,ab的任意一个分割，

011nnaxxxxb，

其中ix是第i个小区间的长度，ic是第i个小区间的任意一点，那么和

1niiifcx，1iiixcx

称为黎曼和。

Let fx be defined on the closed interval,ab, and let  be an arbitrary partition

of,ab,011nnaxxxxb, where ix is the width of the ith subinterval. If

ic is any point in the ith subinterval, then the sum

1niiifcx，1iiixcx,

5.1定积分的概念与性质

1．利⽤定积分的定义计算下列积分： ⑴

b

a

xdx ?

（a b <）

； 【解】第⼀步：分割

在区间[,]a b 中插⼊1n -个等分点：k b ax k n

-=，（1,2,,1k n =- ），将区间[,]a b 分为n 个等长的⼩区间[(1),]b a b a

a k a k n n

--+-+，

（12,,k n = ），每个⼩区间的长度均为k b an

-?=，

取每个⼩区间的右端点k b ax a k n

-=+，

（12,,k n = ）， 第⼆步：求和

对于函数()f x x =，构造和式1

()n n k k k S f x ==??∑1

n k k k x ==??∑1

()n

k b a b a

a k n n

=--=+

∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1

()n

k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2

b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+

-1

()()22b a b a b a a n --=-+-? 1

()()22b a b a b a n+-=--?

第三步：取极限

令n →∞求极限1

lim lim ()n

n k k n n k S f x →∞

→∞

==??∑1

lim()(

)22n b a b a b a n

→∞

+-=--? ()(0)22

b a b a b a +-=--?()

2b a b a +=-22

2b a -=， 即得

b

a

xdx ?

22

2

b a -=。 ⑵

1

x

e dx ?。

【解】第⼀步：分割

在区间[0,1]中插⼊1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =- ），将区间[0,1]分为n 个等长的⼩区间1[,]k k n n

-，

（12,,1k n =- ），每个⼩区间的长度均为1k n ?=， 取每个⼩区间的右端点k k