巧解反函数问题
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投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ １６３．ｃｏｍ一‘一 数学教学通讯（教师版） 一－一一试题研究＞试题探究
利用反函数的性质求函数值 倒１￣＝ｆ（２ｘ－１） ＋１，贝 。（２）＝——． 分析令ｘ＋１＝２，则ｘ＝ｌ，则２ｘ一１＝１，即 ，（１）＝２，因此 （２）＝１． 点评由上面的解答即可看出求反函 数的解析式是不必要的，充分利用反函数 的性质‘ ａ）－－ｂｃ＝＞ｆ－。（６） ”即可解决此类 问题． 求原函数与其反函数的交点 侧２若， ）＝、／ ）都过 （１，２），贝 ）与 ）图象交点的个数为 ——个． 分析解方程组｛ 得 一３， Ｉ２＝、／叶６， ｉ１＝、丽， ｂ＝７，则 ｘ）＝Ｘ／－３ｘ＋７．由，（ ）与厂‘ ）的 图象关于直线ｙ＝ｘ对称知 ） 广。 ）均 过（２，１）．又因为２条曲线与ｙ＝ｘ点也是 同一点，故共有３个交点． 点评函数厂（ ）与厂‘ ）的交点若为 （ｎ，ｂ），则点（ｂ，ｎ）也为它们的交点． 利用反函数求函数值域 在反函数存在的前提下。某些函数运 用反函数法求函数的值域的确是一种好 董晖 甘肃武威六中７３３０００ 万秸 ． 例３求函数 的值域． 分析由函数ｙ： ３ｘ＋ｌ可求得其反函 数为 —１－２＝＿ｘ．又反函数定义域为 Ｅ（一∞， ｊ ３）ｕ（３，＋∞），从而原函数的值域为｛ｙ）ｙ∈ Ｒ＿Ｅｙ≠３｝． 点评反函数的定义域就是原函数的 值珐 （ 利用函数与其反函数的图 象的对称性 例４若函数，（ （ ） ，则ｙ＝ｆ－＇（４－ ）的单调减区间是 ． 分析（１）ｉ￣．ｕ－－４－ｘ ，ｆ－。（ ）＝ｌｏｇ￣ｘ， 令ｕ＞Ｏ，４－ｘ ＞０，得一２＜ｘ＜２．当 ∈（－２，０） 时，ｕ是增函数，而广 （ｘ）＝ｌｏｇ￣ｘ３／减函数， 贝 （４ ）是单调递减函数，即单减区间 为（－２，０）． （２ ）在定义域内为减函数，由于 原函数与其反函数的图象关ｆｆ－ｙ＝ｘ对称． 单调性不变．则其反函数在定义域内也为 减函数；因此只需考虑４ 的增区间，由 复合函数“同增异减”可得４ 的增区间 即为 （４ ）的减区间．解法同上． 点评（１）函数ｙ ｇ＠）），若），：ｊｒ（ ）是 递减的，则ｕ＝ｇ（ｘ）的增区间就是 ｇ ）） 的减区间，ｕ＝ｇ（ｘ）的减区间就是 ｒ（ｇ ）） 的增区间；（２）互为反函数的两个函数在 对应的区间内的单调性相同（对应区间指 原函数的定义域区间对应为反函数的值 域区间）． 当然．有关反函数的一些常识应该熟 悉，例如： １．，（ａ）－－ｂｃ＝：ｆ－＇（ｂ） ｚ ）］ ［广Ｉ（ ）］ ３．ｙ＝ｆ－ ）与ｙ＿，（ ）的图象关于ｙ 对称． ４若点Ｐ（ａ，ｂ）在ｙ＝ｆ－‘ ）的图象上， ￣ＵＰ（ｂ，０）在 ）的图象上． ５．原函数在定义域上的单调性与其 反函数在相应定义域上的单调性相同． ６奇函数的反函数也是奇函数． ７．定义域为非单元素集的偶函数不 存在反函数． ＆周期函数不存在反函数． 以上只是笔者在高三教学中的一点 看法．当然，学生是学习的主体，教师在 教学中是主导，引导学生主动去探索问 题，发现问题，思考问题，解决问题，提高 教学效率才是最根本的． 傲 黻 敞 们 一 的规 溅啵 剃 点数握婚交蝴碱卜峨 刘削 舢淳
