高考反函数问题常见类型解析

反函数[重点难点]概念的把握,求反函数一、定义高中数学对函数的研究是以映射的观点来进行的，回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映射.一一映射.若将某映射f:的对应关系调转，只有一一映射能够保证调转后的对应仍是映射，称这一映射f-1:为原映射的逆映射.若将前述一一映射限制在数集到数集上，就可以得到我们这里研究的反函数.定义:如果确定函数y=f(x)，x∈A的映射f:A→B(f:y=f(x), x∈A)是从A到B上的一一映射，则它的逆映射f-1:B→A(f-1:y→x=f-1(y), y∈B).所确定的函数y=f-1(x), x∈B称为y=f(x),x∈A的反函数.二、说明及性质1．由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射.如f(x)=x2(x∈R)无反函数（非一一），g(x)=x2+1(x≤0)有反函数，因为它是到[1，+∞）上的一一映射.2．f(x),x∈A和f-1(x), x∈B互为反函数.3．原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域.4．单调函数具有反函数，因为单调一一映射有反函数.可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件.如函数y=(x≠0), 其反函数与自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性.5．若b=f(a), 则a=f-1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题.6．x∈A, f-1[f(x)]=x; x∈B, f[f-1(x)]=x.7．原函数与反函数图象关于y=x对称.8．单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性.奇函数如果有反函数，则其反函数也是奇函数.需要认识到，奇函数不一定有反函数.如：y=x3-x, 当y=0时x=0, ±1,这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）.三、求反函数的一般步骤1．求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的.2．在原函数的解析式中反求x，写成x=g(y).3．x, y互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.4．下结论（注意给出反函数定义域）四、例题.例1．已知f(x)=(0≤x≤4), 求f(x)的反函数.分析：这里要先求f(x)的范围（值域）.解：∵0≤x≤4,∴0≤x2≤16, 9≤25-x2≤25,∴3≤y≤5,∵y=, y2=25-x2,∴x2=25-y2.∵0≤x≤4,∴x=(3≤y≤5)将x, y互换，∴f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).例2．已知.f(x+1)=x2-3x+2, x∈(-∞,),求.f-1(x).分析：本题是求函数解析式与求反函数两类问题的稼接，因此可套用相应方法分别处理. 解：(1)求f(x)解析式（用换元法）令t=x+1, ∴t<, x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, t∈(-∞,).即y=f(x)=x2-5x+6, x∈(-∞,).这是f(x)的单调区间，存在反函数.(2)求反函数易知y∈(-,+∞).y=(x-)2-, (x-)2=y+,∵x<, x-<0,∴x-=-(y>-).∴x=-(y>-).∴f-1(x)=-(x>-).例3．已知f(x)=，求f-1(x).分析：求分数函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当x≥0时，y=x+1≥1,∴y∈[1,+∞),∴f-1(x)=x-1 (x≥1)当x<0时，y=1-x2<1,∴y∈(-∞,1).反解x2=1-y, x=-(y<1)∴f-1(x)=-(x<1)∴综上f-1(x)=.例4．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).分析：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设f-1(5)=x0, 则f(x0)=5,即=5 (x0≥3)∴x02+1=5x0-5, x02-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴f-1(5)=3.例5．设点（4，1）既在f(x)=ax2+b (a<0,x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.分析：由前面总结的性质我们知道.点（4，1）在反函数的图象上，则点（1，4）必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a,b的点，也就有了两个求解a,b的方程.解：解得.a=-, b=,∴f(x)=-x+.另这个题告诉我们.函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x上.这一点好些同学弄不清楚.例6．已知f(x)=的反函数为f-1(x)=,求a,b,c的值.分析：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f-1(x)=的反函数就是含字母的反函数f(x).解：求f-1(x)=的反函数，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.∴(y-2)x=3y+5∴x=(y≠2),f-1(x)的反函数为y=.即=，∴a=3, b=5, c=-2.参考题目：求f(x)=-2x2-4x+1 (x≤-1)的反函数.（答案.f-1(x)=-1-(x≤3)）求f(x)=x(x<0)的反函数.（答案.f-1(x)=-x(x>0)）.在线测试选择题1．已知函数y=(x∈R且x≠1) ，那么它的反函数为（）A、y=(x∈R且x≠1)B、y=(x∈R且x≠6)C、y=(x∈R且x≠-)D、y=(x∈R且x≠-5) 2．若f(x-1)=x2-2x+3(x≤0)则f-1(x)为（）A、(x≥2)B、1-(x≥2)C、-(x≥3)D、(x≥3)3．欲使y=x2+4x(x≥a)有反函数，则a的最小值为（）A、-2B、2C、0D、44．f(x)=(x<-1)的反函数是（）A、f-1(x)=-B、f-1(x)=-,(x>0)C、f-1(x)=,(x<0)D、f-1(x)=,(x>0) 5．f(x+1)=则f-1(x+1)的解析式是（）A、B、-C、-D、答案与解析答案：1、B 2、C 3、A 4、C 5、B解析：1．解答：由y=x=y=, x≠6．选B．2．解答：由f(x-1)=x2-2x+3,x≤0 f(x)=(x+1)2-2(x+1)+3=x2+2,x≤-1 y≥3,又由y=x2+2,x≤-1 x=-y=-, x≥3.选C．3．解答：由y=x2+4x=(x+2)2-4, x≥a有反函数，则a≥-2，因此选A．4．解答：由y=x2=1-,∵ x<-1, ∴x2>1 1->1且x=-y<0, f-1(x)=, x<0，选C．5．解答：由f(x+1)=f(x)=x=f-1(x)=f-1(x+1)==-．选B．反函数1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

反函数常见考点一．利用反函数的概念求函数值例1.若f(2x-1)=x+1，则1(2)f -= 。

分析：令x+1=2，则x=1，则2x-1=1即f(1)=2，因此1(2)f -=1.点评：此题是否不必有求反函数的解析式呢？由上解答看出是不必要的。

充分利用反函数的性质：f(a)=b ⇔1()f b a -=即可解决此类问题。

二．求原函数与其反函数的交点例2.若与1()f x -都过（1，2）点，则f(x)与1()f x -图象交点的个数为 个。

分析：解方程组21⎧=⎪⎨=⎪⎩解得a=-3,b=7，则由f(x)与1()f x -的图象关于直线y=x 对称知f(x)与1()fx -均过（2，1）点，又因为2条曲线与y=x 交点也是同一点，故共有3个交点。

点评：函数f(x)与1()f x -的交点若为（a,b ），则点（b,a ）也为它们的交点；三．利用函数与其反函数的图象的对称性解决函数性质问题例3.函数f(x)=12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12(4)f x --的单调减区间是 。

分析：（1）设u=4-x 2，1()fx -=12log x ，令u>0，4- x 2>0，得-2<x<2。

当x ∈(-2,0)时，u 是增函数，而1()f x -=12log x 为减函数，则12(4)fx --是单调递减函数。

即（-2，0）。

（2）f(x)在定义域内为减函数，由于原函数与其反函数的图象关于y=x 对称，单调性不变，则其反函数在定义域内也为减函数；因此只需考虑4- x 2的增区间，由复合函数“同增异减”可得4- x 2的增区间即为12(4)f x --的减区间。

解法同上。

点评：（1）函数y=f(g(x))，若y=f(x)是递减的，则u=g(x)的增区间就是y=f(g(x))的减区间，u=g(x)的减区间就是y=f(g(x))的增区间；（2）互为反函数的两个函数在对应的区间内的单调性相同（对应区间指原函数的定义域区间对应为反函数的值域区间）。

函数专题（一）、反函数1.原函数存在反函数的条件：原函数从定义域到值域上要满足一对一的对应关系，而不能有多对一的的对应关系。

因此单调函数一定有反函数，存在反函数的原函数不一定是单调函数。

偶函数一定没有反函数。

2.)1(+=x f y 的反函数不是)1(1-+=x f y 而是1)(1--=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1-1-1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y . 同理，)1(1-+=x f y 的反函数不是)1(+=x f y ，而是1)(-=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y .3.原函数和反函数在相同定义域内的单调性相同。

4.原函数与反函数的交点不一定都在直线y =x 上，它们还可以位于直线y =x 的两侧，且以（a ，b ）、（b ，a ）的形式成对出现，如x x f ）（161)(=与其反函数x x f 1611-log )(=的交点有），（4121和），（2141，这两个交点就不在直线y =x 上。

例1.（2010长宁区二模）如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上例2.设)(1x f -是函数f (x )＝2x －(13)x ＋x 的反函数，则)(1x f ->1成立的x 的取值范围是________例3.已知132)(-+=x x x f ，函数)(x h y =的图像与)1(1-=-x f y 的图像关于直线x y =对称，则)8(h =__________变式训练：1.已知函数()221f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，则实数t 的值为_________2.已知函数()log (2)log (2)(0,1)a a f x x x a a =+-->≠，设()f x 的反函数为1()f x -.若关于x 的不等式1()()f x m m R -<∈有解，则m 的取值范围是________3.的反函数1()f x -的对称中心为（－1，3），则实数a 的值为4.()1x y a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B 两点，若，则实数a 为____________5.已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，1(5)2f -=，若函数(1)y f x =-是 奇函数，那么1(5)f --=________6.函数)(x f y =的图像与x y 2=的图像关于y 轴对称，若)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)2(21x x f y -=-的单调递增区间是_______________7.（2013上海）对区间I 上有定义的函数)(x g y =，记)(I g ={y |)(x g y =，x ∈I}．已知定义域为[0，3]的函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，且)2,1[))1,0([1=-f ，)1,0[])4,2((1=-f ．若方程0)(=-x x f 有解0x ，则0x =__________8.若1x 满足233=+xx ，2x 满足2)1(3log 33=-+x x ，则21x x +=_________9．（2007陕西）若函数)(x f 的反函数为)(1x f -,则函数)1(-x f 与)1(1--x f 的图像可能是（）10.已知函数存在反函数，方程－＝0的解集是P ，方程－＝0的解集是Q ，则一定有（） A.P QB.Q P C.P ＝Q D.P∩Q ＝11．函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=，则)1(+=x f y 的图像与)1(1-+=x f y 的图像（）A.关于直线x y =对称B.关于直线1+=x y 的对称C.关于直线1-=x y 对称D.关于直线1=x 对称)(x f )(1x f -)(x f x )(x f )(1x f -⊆⊆Φ12.（2016闵行区二模）设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：（1）若()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则()()y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是单调递减函数，则()()y ff x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点。

高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一. 本周教学内容： 函数的单调性、反函数【基本知识】一. 函数的单调性1. 函数的单调性及单调区间 （1）增函数：对任意，则为上的增函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒<[]()()()[] （2）减函数：对任意，则为上的减函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒>[]()()()[] 单调区间：在某个区间M 上的递增函数或递减函数统称在区间M 上的单调函数，而这个区间M 称为单调区间。

图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。

注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。

2. 基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b ，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。

（2）二次函数y=ax 2+bx+c ，当a>0，在()[)-∞--+∞，，单减，在b a ba22 单增，当时，在上单增，在上单减。

，，a b a ba<-∞--+∞022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000y kxk =>-∞+∞()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。

（4）指数函数y=a x ，当a>1时，在R 上单增，当0<a<1时，在R 上单减。

（5）对数函数y=log a x ，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0<a<1时，在（0，＋∞）单减。

（6）幂函数y=x a ，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x ∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。

3. 复合函数的单调性（不要求证明）4. 单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明） （3）步骤：第一步：任取且，，；x x a b x x 1212∈<[] 第二步：证明（或）f x f x f x f x ()()()()1212<> 第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。

高考数学中的三角函数反函数及其应用随着社会的不断发展，高考已经成为了众多学子们追求的目标。

其中，数学作为其中一门重要的科目，是检验学生数学素养的关键。

而在数学当中，三角函数及其反函数无疑是数学知识的重要组成部分之一。

本文旨在深入探讨高考数学中三角函数反函数及其应用。

1.三角函数反函数的引入在高一数学学习的时候，我们已经接触到了三角函数。

三角函数是一种周期函数，它们分别为正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)。

在三角函数中常常用来描述直角三角形的关系。

但是，我们在实际应用中常常需要求解三角函数的反函数问题。

下面我们来看一下三角函数的反函数定义。

2.三角函数反函数的定义正弦函数sin(x)在区间[-π/2，π/2]上单调递增且连续，余弦函数cos(x)在区间[0，π]上单调递减且连续。

正切函数tan(x)在区间(-π/2，π/2)上单调递增且连续。

因此，这三个三角函数在这些区间上都可以有反函数，这就是它们的反函数：正弦函数反函数y=sin⁻¹(x)，余弦函数反函数y=cos⁻¹(x)，正切函数反函数y=tan⁻¹(x)。

值得注意的是，在定义反函数时应注意反函数的定义域和值域问题。

其中，正弦函数反函数y=sin⁻¹(x)的定义域为[-1，1], 值域为[-π/2，π/2]; 余弦函数反函数y=cos⁻¹(x)的定义域为[-1，1], 值域为[0，π]; 正切函数反函数y=tan⁻¹(x)的定义域为R, 值域为(-π/2，π/2)。

3. 三角函数反函数的性质对于三角函数的反函数来说，有以下分类讨论：（1）正弦函数反函数sin⁻¹(x)的性质i. sin(sina⁻¹x) = x，a∈[-π/2,π/2]ii. sina⁻¹sinx = x或π-x,x∈[-π/2,π/2],a∈[-π/2,π/2]（2）余弦函数反函数cos⁻¹(x)的性质i. coscosa⁻¹x = x，a∈[0,π]ii. cosa⁻¹cosx = x或2π-x,x∈[0,π],a∈[0,π]（3）正切函数反函数tan⁻¹(x)的性质i. tantana⁻¹x = x, a∈(-π/2,π/2)ii. tana⁻¹tanx = x+kπ,x∈(-π/2,π/2),k∈Z从上面的性质可以看出，三角函数反函数的性质是与原函数有密切关系的。

利用反函数与原函数之间的关系在函数的反函数定义中，能体现反函数实质的是将x ，y 的互换，由此确定了反函数与原函数的定义域与值域、对应法则及图象之间都渗透着互换关系.如果能充分利用好这种互换关系，能起到化繁为简，化生为熟，快速解题的目的.下面以近三年的高考题为例说明这种互换关系的应用.一、利用反函数与原函数的定义域与值域的互相性性质：函数y ＝f(x)的定义域为A ，值域为B ，则其反函数y ＝f -1(x)的定义域为B ，值域为A.例1(2005年天津高考题）设f -1(x)是函数f(x)＝12(a x －a -x )(a ＞1)的反函数，则使f -1(x)＞1成立的x 的取值范围为( A )A.(a 2－12a ，＋∞)B.(－∞，a 2－12a )C.(a 2－12a ，a)D.(a ，＋∞)解析：求“使f -1(x)＞1成立的x 的取值范围”，实为求“求函数f -1(x)的值域为(1，＋∞)时的定义域”，根据反函数与原函数的定义域与值域的互换性，转化为“求函数f(x)＝12(a x －a -x )(x ＞1)的值域”. 而函数f(x)＝12(a x －a -x )(a ＞1)在(1，＋∞)上为增函数，所以f(x )≥12(a 1－a -1)＝a 2－12a.故选A. 点评：本题也可以通过求出反函数进行求解，但其过程较为繁琐.解答本题的关键是要充分利用转化的思想，将问题转化为求原函数的值域问题.二、利用反函数与原函数对应法则的互逆性性质：f (a)＝b ⇔f -1(b)＝a .例2（2004年上海春季高考）已知函数f(x)＝log 3(4x＋2)，则方程f -1(x)＝4的解x ＝__________. 解析：求解问题实质是“已知反函数的函数值f -1(x)＝4，求自变量x 值”根据反函数与原函数对应法则的互逆性，问题转化为“已知原函数f(x)的自变量x ＝4时，求函数值f(4)”，即f -1(x)＝4转化为x ＝f(4)而f(4)＝log 3(44＋2)＝1，即方程f -1(x)＝4的解x ＝1. 点评：f (a)＝b 与f -1(b)＝a 实质上都反映的是a ，b 的同一关系.此关系还可体现为f[f -1(x)]＝x(x ∈C ，C 为原函数的值域)，f -1[f(x)]＝x(x ∈A ，A 为原函数的定义域)，在反函数的求值问题中有广泛的应用.三、利用反函数与原函数图象之间的对称性性质：若(a ，b)在函数y ＝f(x)的图象上，则(b ，a)在反函数y ＝f -1(x)的图象上.例3（2006年广东高考题）函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的图像与y 轴交于点P(0，2)（如图2所示），则方程f(x)＝0在[1，4]上的根是x ＝ A.4 B.3 C.2 D.1解析：由条件知点P(0，2)y ＝f -1(x)的图像上，则点(2，0)在函数y ＝f(x)的图象上， 所以，f(2)＝0，即f(x)＝0的根是x ＝2，故选C . 点评：解答本题的关键是确定y ＝f -(x)的图像过点(2，0)，代入函数y ＝f(x)，即知x ＝2是方程f(x)＝0的根，由反函数定义知，定义域与值域之间是一对一的，故只有一个解(由于是选择题，是否只有一根上面解答可不作进一步判断).例4(2006年陕西高考题)设函数f(x)＝log a (x ＋b)(a ＞0，a ≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图像过点(2，8)，则a ＋b 等于( )A.6B.5C.4D.3解析：因为反函数的图象过点(2，8)，所以函数f(x)＝log a (x ＋b)过点(8，2)，)又函数f (x )=log a (x ＋b )(a ＞0，a ≠1)的图象过点(2，1)，则⎩⎨⎧ log a (2＋b )＝1log a (8＋b )＝2，∴⎩⎨⎧ 2＋b ＝a 8＋b ＝a 2，a ＝3或a ＝－2(舍)，b ＝1，∴a ＋b ＝4，选C ． 点评：确定多个(两个或两个以上)参数之间的关系，一般是通过建立关于参数的方程或不等式(组)来确定的，而本题则是通过确定出原函数过两定点(2，1)与(8，2)，建立方程组，解出a ，b 的值来确定的.此解法体现了一种数学思想——方程的思想.例5(2006年重庆高考题)设函数y ＝f(x)的反函数为y ＝f -1(x)，且y ＝f(2x －1)的图像过点(12，1)，则y ＝f -1(x)的图像必过（A ）(12，1) （B ）(1，12) （C ）(1，0) （D ）(0，1)解析：当x ＝12时，2x －1＝0，即y ＝f(x)的图象过点(0，1)，所以y ＝f －1(x)的图像必过(1，0)，故选C . 点评：本题是一道关于抽象函数的反函数问题，解答此问题的关键是由y ＝f(2x －1)图象上的定点确定出f(x)的图象过定点(0，1).四、利用反函数与原函数单调性的一致性性质：增函数的反函数是增函数；减函数的反函数是减函数例6（2006年山东高考题）函数y ＝1＋a x (0＜a ＜1)的反函数的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）解：由于y ＝1＋a x ＞1，所以反函数的定义域为(1，＋∞)，排除B 、D.又0＜a ＜1，所以y ＝1＋a x 在R 上是减函数，于是y ＝1＋a x 的反函数在(1，＋∞)上是减函数，排除C ，选A .点评：对函数图象的选择，一般在解答时都不通过作出函数的图象，然后与选择支对照进行选择，而是利用函数的性质(定义域、值域、单调性、反函数与原函数的关系以及图象上的定点等)进行判断.。

关于互为反函数的两个函数图象公共点的结论及其应用定理1 (1)若函数)(x f y =是增函数，则 ①方程x x f f f fn =个)))(((与x x f =)(同解；②方程)()(()(11x f x fx f --=表示函数)(x f y =的反函数，下同)与x x f =)(同解；(2)增函数与其反函数图象的公共点在直线x y =上．证明 (1)①只需证明：方程x x f f f fn =个)))(((的解是方程x x f =)(的解．若方程x x f f f fk =+个1)))(((有解a x =，得a a f f f fk =+个1)))(((．假设a a f >)(，由函数)(x f y =是增函数，得a a f a f f >>)())((，再得a a f a f f f >>)()))(((，…，得a a f f f fk >+个1)))(((．假设a a f <)(，同理可得a a f f f fk <+个1)))(((．均与a a f f f fk =+个1)))(((矛盾！所以a a f =)(．即欲证成立．②因为函数)(x f y =是增函数，所以方程)()(1x fx f -=即方程))(())((1x f f x f f -=也即方程x x f f =))((，由①中2=n 时的结论知也即方程x x f =)(，所以欲证成立．(2)由(1)②可得．用定理1可方便地解决求增函数与其反函数图象的公共点问题：若)(x f y =是增函数，则方程组⎩⎨⎧==-)()(1x f y x f y 与⎩⎨⎧==xy x f y )(同解． 例如，求0)1(2≥-=x x y 与其反函数图象的公共点坐标．由定理1-3可得答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++251,251． 注 减函数与其反函数的图象的公共点不一定在直线x y =上．反例 1 函数⎪⎭⎫⎝⎛≤-=3737x x y 与其反函数372x y -=)0(≥x 图象的公共点)1,2(),2,1(均不在直线x y =上．反例 2 函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=161与其反函数x y 161log =图象的公共点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21,21,41均不在直线x y =上．但我们有较定理1更普遍的结论成立：定理2 若互为反函数的两个函数图象有公共点(,)a b ，则它们也有公共点(,)b a ．证明 若曲线()y f x =与1()y f x -=有公共点(,)a b ，得⎩⎨⎧==-)()(1a fb a f b ，所以⎪⎩⎪⎨⎧====---aa f fb f aa f fb f ))(()())(()(111即函数()y f x =与1()y f x -=也有公共点(,)b a ． 下面用定理1,2来解答三道高考题．题1 (2013年高考四川卷文科第10题)设函数()e (x f x x a a =+-∈R ,e 为自然对数的底数)．若存在]1,0[∈b 使得(())f f b b =，则a 的取值范围是( ) A.[1,e] B.[1,1e]+ C.[e,1e]+ D.[0,1]答案 A解 因为函数()f x 在定义域内是增函数，所以由定理1(1)①知题设即方程()f x x =([0,1])x ∈也即2(e [0,1])x x a x x ∈=+-有解．设函数2([0,1])()e x g x x x x ∈=+-，得([(e 12(1)10,1]2=20)x g x x x x x x '=+-≥++∈-->）(因为用导数易证e 1(x x x ≥+∈R ))，所以函数()g x 是增函数，得函数()g x 的值域是)]1(),0([g g 即[1,e]．得所求a 的取值范围是[1,e]．题2 (2013年高考四川卷理科第10题)设函数()e (x f x x a a =+-∈R ,e 为自然对数的底数)．若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )A.[1,e]B.]1,1e [1-- C.[1,e 1]+ D.]1e ,1e [1+--答案 A解 可得题设即“存在]1,0[0∈y 使得00(())f f y y =”，接下来的解答就全同题1的解答了……题 3 (2007年高考重庆卷文科第10题)设(31)P ，为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数1()y f x -=的图象的一个交点，则( )A.15,22a b == B.15,22a b ==- C.15,22a b =-= D.15,22a b =-=- 答案 C解 由定理2可得(1)3f =且(3)1f =，解得15,22a b =-=．用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，.(3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n 1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n na a 1,3211+==+，求n a .解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠.当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32e a <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。