天津市高考数学二轮复习 专题五 立体几何 5.2 空间中的平行与垂直课件 文

立体几何中的平行与垂直问题

一、题型选讲

题型一、线面平行与垂直

知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线

例1、如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.

求证：(1)MN∥平面PBC；

MD⊥平面PAB.

例2、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

(1) 求证：EF∥平面ABC；

(2) 求证：BB1⊥AC.

例3、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．

求证：(1)DE∥平面ACC1A1；

(2)AE⊥平面BCC1B1.

例4、如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：

(1) EF∥平面ABC；

(2) BD⊥平面ACE.

例5、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.

求证：(1) DE∥平面ABB1A1；

(2) BC1⊥平面A1B1C.

例6、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：

(1) 直线A1E∥平面ADC1；

(2) 直线EF⊥平面ADC1.

题型二、线面与面面平行与垂直

证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。

第3讲 立体几何中的计算 课时讲义

1. 高考对立体几何的计算，主要是能利用公式求常见几何体(柱体、锥体、台体和球)的表面积与体积．有时还需能解决距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．

2. 高考中常见的题型为：(1) 常见几何体的表面积与体积的计算；(2) 利用等积变换求距离问题；(3) 通过计算证明平行与垂直等问题；(4) 几何体的内切和外接．

1.

棱长都是2的三棱锥的表面积为________．

答案：43

解析： 因为四个面是全等的正三角形，则S表面积＝4×34×4＝43.

2. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是棱BB1的中点，则四棱锥PAA1C1C的体积为________．

答案：13

解析：四棱锥PAA1C1C的体积为13×22×2×1＝13.

3. (2018·南京学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.

答案：18π

解析：设正方形的边长为a cm，则πa2·a＝27π，解得a＝3，所以侧面积2π×3×3＝18π.

4. (2018·海安质量测试)已知正三棱锥的体积为363 cm3，高为4 cm，则底面边长为________cm.

答案：63

解析： 设正三棱锥的底面边长为a，则其面积为S＝34a2.由题意13·34a2×4＝363，解得a＝63.

, 一) 表面积与体积 , 1) 如图，在以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC＝3，AB＝2.

(1) 求证：DE∥平面ABC；

(2) 求此六面体的体积．

(1) 证明：作DF⊥AB，交AB于点F，连结CF.

因为平面ABC⊥平面ABD，

且平面ABC∩平面ABD＝AB，

所以DF⊥平面ABC.

因为EC⊥平面ABC，所以DF∥EC.

第二讲 空间中的平行与垂直

研热点（聚焦突破）

类型一 空间线线、线面位置关系

1．线面平行的判定定理：aα，bα，a∥ba∥α.

2．线面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b.

3．线面垂直的判定定理：mα，nα，m∩n＝P，l⊥m，l⊥nl⊥α.

4．线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.

[例1] (___高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.

(1)求证：BD⊥平面AED；

(2)求二面角FBDC的余弦值．

[解析] (1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，

所以∠ADC＝∠BCD＝120°.

又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，

因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.

又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD平面AED，

所以BD⊥平面AED.

(2)解法一 由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．

以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(1)所示的空间直角坐标系．不妨设CB＝1，

则C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(32，－12，0)，F(0，0，1)．

(1)

因此BD→＝(32，－32，0)，BF→＝(0，－1，1)．

设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，

则m·BD→＝0，m·BF→＝0，

所以x＝3y＝3z，

取z＝1，则m＝(3，1，1)．

由于CF→＝(0，0，1)是平面BDC的一个法向量，

则cos〈m，CF→〉＝m·CF→|m||CF→|＝15＝55，

所以二面角F-BD-C的余弦值为55.

解法二 如图(2)，取BD的中点G，连接CG，FG，

由于CB＝CD，因此CG⊥BD.

又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

立体几何与空间向量

06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质

一、具体目标：

1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；

2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

二、知识概述：

1.面面平行的判定与性质

判定 性质

定义 定理

图形

条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，

a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，

β∩γ＝b α∥β，a⊂β

结论 α∥β α∥β a∥b a∥α

2.两个平面平行的判定

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；

(3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.

3．两个平面平行的性质定理

(1)α∥β，aα⇒a∥β；

(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.

3.平面与平面垂直的判定与性质

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法.②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的性质：

如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

4.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

5.定理： 【考点讲解】

文字语言 图形语言 符号语言

判

定

定

理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ABβAB⊥α⇒β⊥α

性

质

定

理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. α⊥βα∩β＝MNABβAB⊥MN⇒AB⊥α

1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）