高中数学必修一第三章教学设计 4分段函数与指数函数模型的应用

1/21高一上必修一第三章《函数》知识点梳理

3.1.1函数及其表示方法

学习目标：

（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立

完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；

（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学

抽象的核心素养。

【重点】

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.

【难点】

1、求函数的定义域和值域

回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念

我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为

变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定

的值与其对应，那么就称y是x的函数.

再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3

是二次函数，等等。

2/

21x2【情境与问题】

（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符

号可以怎样表示？

（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.

如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符

号可以怎样表示？

初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的

第三章 指数运算与指数函数

3.1指数幂的拓展 ............................................................................................................. 1

3.2指数幂的运算性质 ..................................................................................................... 7

3.3 指数函数 .................................................................................................................. 12

1、指数函数的概念 指数函数的图象和性质 ..................................................... 12

2、指数函数及其性质的应用 ............................................................................... 21

复习巩固 ......................................................................................................................... 28

3.1指数幂的拓展

学

习 目 标

核 心 素 养

1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)

2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．

§3.2 函数模型及其应用

1．几类不同增长的函数模型及其增长差异

分别作出函数y=2x，y=log2x，y=x2在第一象限的图象如图．函数y=log2x刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快．函数y=2x和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)．在x∈(2,4)时，log2x<2x4时，log2x

一般地，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=ax (a>1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．

随着x的增大，y=ax (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．

因此，总会存在一个x0，使当x>x0时，就有logax

这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长．

[例]下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )

A．y＝1，x∈Z B．y＝x C．y＝2x D．y＝ex

解析 指数函数模型增长速度最快，并且e>2，因而y＝ex增长速度最快．

答案 D

2．几类常见的函数模型

(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b (k、b为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型：f(x)＝kx＋b (k、b为常数，k≠0)；

(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数，a≠0)；

注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．

(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c (a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；

(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n (m、n、a为常数，a>0，a≠1)；

说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．

高中数学学科

函数模型及其应用

一、基础知识

1．常见的8种函数模型

(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；

(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；

(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；

(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．

(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：

①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．

②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.

(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内

单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的增减

性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变化随x的增大，逐渐表

现为与y轴平行随x的增大，逐渐表

现为与x轴平行随n值变化而各有不

同

值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax

幂函数模型y＝xnn>0可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小n≤1时，增长较慢；

当n值较大n>1时，增长较快.

考点一二次函数、分段函数模型高中数学学科

[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票

每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到