结构力学9渐进法与近似法

分配系数 固端弯矩 分配与传递
最终弯矩
§9-3 多结点力矩分配法
例3：用力矩分配法计算图示对称刚架。
q
q
q
A
B
L
q
L
qL2 原结构 qL2
24
24
qL2 qL2 12 12
qL2
qL2
24
24
取半刚架
C
取1/4刚架
C
A
CA AC
0.5
0.0 0.0
-qL2/24 qL2/24 -qL2/24 精q品L课2/件24
3）对于对称结构，取半结构计算。 4）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常
宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算（放松）。
精品课件
§9-4 无剪力分配法
1、概述 1）两类刚架的区别
在位移法中，刚架被分为无侧移刚架与有侧移 刚架两类，它们的区别在位移法的基本未知量。
无侧移刚架——基本未知量只含结点角位移； 有侧移刚架——基本未知量既含结点角位移，也
方程组，而在其计算简图上进行计算或列表进行计算，
就能直接求得各杆杆端弯矩。
1、力矩分配法的基本思路
M12
M
用位移法求解该结构。
M M14
2 EI
1 EI 4
未知量： 1
M13
EI
L
杆端弯矩：
3
L
L
M 1 4 3 i1 M 1 2 i1 M 1 3 4 i1
建立方程：
M 1 0 M 12M 13M 14M 精品课件(3ii4i)1M……①
第九章 渐近法 和近似法
精品课件
主要内容
§9-1
§9-2
§9-3
§9-4 §§99--65 §9-7
力矩分配法的基本概念
单结点的力矩分配法
多结点的力矩分配法
无剪力分配法 超近静似定法力的影响线 连续梁的内力包络图
精品课件
§9-1 力矩分配法的基本概念
力矩分配法：主要用于连续梁和无结点线位移
（侧移）刚架的计算。其特点是不需要建立和解算联立
FP D FP C FP B
A
精品课件
（a）
D FP
C 2FP
B 3FP
（b） A
§9-4 无剪力分配法
2）应用条件 ——此法适用于刚架中除两端无相对线位移的杆
件（无侧移杆）外，其余杆件都是剪力静定杆件的有 侧移刚架。
可以解只有一根竖柱的刚架，且横梁端部的链杆应 与柱平行的问题。但也可以推广到单跨多层对称刚架 等问题。
矩，直到传递弯矩小到可忽略为止； （4）把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的
固端弯矩相加，即为各杆端的最后弯矩。
精品课件
§9-3 多结点力矩分配法
下面做一个薄钢片的试验：
FP
FP
1
2
FP
1
2
FP
1
2
精品课件
原结构在荷载作用下， 发生如图所示的变形。
把两个铰支座固定，使其 变成3个独立的单跨梁。
FP M
q
EI
EI
A L/2 L/2 B
L
C
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 -1
1 -2
0
分配弯矩 -4/7 -8/7 -6/7
0
最后弯矩 -11/7 -1/7 -20/7
0
20/7
11/7
2
2
1精/品7课件
FP=2kN q=1kN/m
M=1kN·m
L=4m
§9-3 多结点力矩分配法
1、原理与方法 多结点力矩分配法的思路是，首先把所有结点锁住，
把1号支座放松，相当于 释放了支座处的不平衡 力矩。
把1号支座所住，放松2 号支座。如此反复进行， 结构的变形越来越接近 原结构。
§9-3 多结点力矩分配法
把刚才的实验过程体现在解题上：
FP
1
2
原结构
=
…
FP
1
+
-MB
1
+
1
+
2
2 -MC
2
精品课件
把结点固定起来，求 固端弯矩。
用单结点的力矩分配 法，对1结点的不平衡 力矩进行分配。
精品课件
§9-4 无剪力分配法
例：
2FP A
A’
FP
FP
FP
FP
FP
2FP B
B’ FP
=
FP
FP
+
FP
FP
取
C C’
（a）原结构 （b）正对称 （c）反对称 （d）半刚架
分解为正、 反对称问题
可取半刚 弯矩等于零， 架计算。 不必计算
精品课件
有侧移的柱剪力是 静定的，可用无剪 力分配法计算。
§9-4 无剪力分配法
两端固定梁：
A 1
4i A
B 2i S AB 4 i ——两端固定梁的转动刚度
一端固定一端铰结梁 ：
A 1
3i A
B
S AB
3i
精品课件
——一端固定一端铰结梁 的转动刚度
§9-1 力矩分配法的基本概念
一端固定一端滑动梁 ：
A 1
i A
B
-i
S A B i ——一端固定一端滑动梁
的转动刚度
2）传递系数 C
L
§9-1 力矩分配法的基本概念
回代，得：
M 31
2i1
2i M 8i
1 2 M 13
M 21
i 1
i 8i
M
M 12
M 41 0
2 EI
M
1 EI 4
EI
3
L
L
杆件两端的弯矩之间有 一定的关系
精品课件
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、名词介绍 1）转动刚度S
——表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于 使杆端产生单位转角时，在杆端所施加的力矩。
然后依次逐个放松结点，使结构处于“单结点”状态， 再使用力矩分配法消去结点上的不平衡力矩，如此反 复进行，使结点不平衡力矩逐渐减小，直至可以忽略， 因此，它是一种渐近法。
精品课件
§9-3 多结点力矩分配法
2、计算步骤
（1）计算各结点的分配系数； （2）将所有中间结点固定，计算各杆固端弯矩； （3）将各结点轮流放松，分配与传递各结点的不平衡力
§9-2 单结点的力矩分配法
在前面的基础上，主要解决节间荷载的问题。
FP
q
FP
q
A
=
原结构
-M
A
A状态
在A点加了一 刚臂，阻止它 的转动，相当 于加了一个结
点力矩。
A状态的内力——固端弯矩
+
查表计算
在结点上加一个
B状态 反向的力矩。 B状态的内力——分配弯矩
精品课件
用力矩分配法计算
§9-2 单结点的力矩分配法
11
12
q
5
6 +7
8
1
2
3
4
q
13
14
15
16
5
6
7
8
17
5
+
9
13
18
19
6
7
q
10
11
14
15
20
9
9
8
12 + 13
10 + 11
12
10
11
12
q
14
15
16
精品课件
16
17
18
19
20
§9-5 近似法
计算时要注意以下问题： 1）按上述4个计算简图，分别用力矩分配法进行计算
2）计算分配系数时，一层以上柱子的线刚度要乘折减系 数0.9，分配系数取1/3。一层柱子的线刚度不需折减，分配
M 41 0
M
14
3 8
M
从计算比原来简单了，但书 写的篇幅不比原来的少，因此
有必要对其写形式进行改造。
● 求远端弯矩
M=传递系数×近端弯矩
精品课件
§9-1 力矩分配法的基本概念
力矩分配法的书写形式：
M
EI
EI
AL B
L
C
43
77
2M
4M 3M
7
77
0
分配系数 杆端弯矩
以上计算是在这样的前提下实现的： ▲ 结点只有一个，而且是转角，没有侧移。 ▲ 荷载是结点力矩。 关于多结点的问题、节间荷精品载课件的问题需要继续讨论。
i
现再来做前面的例题。
M
12
3i
i i
4i
1 8
2 EI
1 EI 4
EI
3
L
L
L
显然
ij 1
i
精品课件
13
4i 3i i
4i
4 8
14
3i 3i i
4i
3 8
§9-1 力矩分配法的基本概念
● 求近端弯矩
M
21
1 8
M
M=分配系数×结点力矩
M
12
1 8
M
M
13
4 8
M
M 31
2M 8
例1：用力矩分配法计算图示连续梁。
FP
q
EI
EI
A L/2 L/2 B
L
C
FP=2kN q=1kN/m
L=4m
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 -1
1 -2
0
分配弯矩 2/7
4/7 3/7
0
最后弯矩 -5/7 11/7 -11/7
0
11/7
5/7
2
2
精品课件
§9-2 单结点的力矩分配法
例2：用力矩分配法计算图示连续梁。
0.0 0.0 0.0 0.0 -2.0 4.0 -4.0
0.57 1.14 0.86
-1.65 -3.29 -3.28 -1.64
0.47 0.94 0.70
-0.12 -0.23 -0.24 -0.12
0.07 0.05
-1.77 -3.52 -2.48 0.39 -0.39 4.0 -4.0 精品课件
刚架在竖向荷载作用下，计算结果有以下两个特点： 1）结点的位移主要是转角，侧移很小； 2）作用在某根梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影响，
对其它层杆件的影响很小。 为了简化计算，由此作如下假设： 1）在竖向荷载作用下，忽略刚架的侧移； 2）作用在梁上的荷载只对本层梁及上下层的柱子有影响。
精品课件
§9-5 近似法
对图示有侧移刚架，则不能直接应用无剪力分配法。 因竖柱AB、CD既不是两端无线位移杆件，也不是剪力静 定杆件，不符合无剪力分配法的应用条件。
FP B
D
E
A
C
精品课件
§9-4 无剪力分配法
例1：用力矩分配法计算图示刚架。
4kN
i
A
i
4kN
i B
D 图示刚架有侧移杆件的剪力是静定的，
因此可以采用无剪力分配法计算，即把AB E BC杆件看作：一端固定一端滑动单元。
根据以上假设，计算可作如下简化：
1）计算方法：由于刚架的侧移被忽略，因此可以用力矩 分配法计算。
2）计算简图：由于荷载只对本层梁及上下柱有影响，因此
计算简图只需取相关部分即可。
A
例：A
B
C
B
C
q
q
取D
E
F
D
E
F
G
H
I
G
H
I 精品课件
J
K
L
§9-5 近似法
q
q
例：
1
2
3
4取 1
2
3
4
q
5
6
7
8
q
9
10
——远端弯矩与近端弯矩的比值。
两端固定梁：
其中：
A 1
4i A
B 2i
4i——近端弯矩 2i——远端弯矩
传递系数：CAB
远 近端 端弯 弯矩 矩24ii
1 2
精品课件
§9-1 力矩分配法的基本概念
一端固定一端铰结梁 ：
其中：
A 1
3i A
B
3i——近端弯矩
0 ——远端弯矩
传递系数： CAB 远 近端 端弯 弯矩 矩30i 0
含结点线位移。 2）两类解法的用途
力矩分配法——求解无侧移刚架的逝近法； 无剪力分配法——求解符合某些特定条件的有侧
移精刚品课架件 的渐近法。
§9-4 无剪力分配法
2、无剪力分配法的应用条件
1）两种杆件的概念
无侧移杆件——杆件两端没有相对线位移（即没 有垂直杆轴的相对位移）的杆件；
剪力静定杆件—— 杆件两端虽有侧移， 但剪力是静定的， 即可根据静力平衡 条件直接求出剪 力的杆件。
§9-1 力矩分配法的基本概念
解方程，得：
1
3i
M i 4i
M 8i
2 EI
M
1 EI 4
EI
L
每个单元 的转动刚度
3
L
Fra Baidu bibliotek
L
分子 是每 个单 元的 转动 刚度
回代，得：
3i 3
M14
8i
M
M 8
M12
i 8i
M
1 8
M
围绕“1”结点每个单 元的转动刚度之和
4i 4 M13 8i M 8M
分母是围绕“1”结点每个 精品课件 单元的转动刚度之和
B 结点
AB BA 杆端
0.5
系数
-qL2/12 -qL2/24 固端
qL2/24 -qL2/24 分配
-qL2/24 -qL2/12 弯矩
§9-3 多结点力矩分配法
小结：
1）结点受集中力偶M作用时，“不反号”分配，要注 意与不平衡力矩相区别。
2）支座沉降而非载荷因素问题时，将其视为“广义载 荷”求固端弯矩（可根据转角位移方程或单跨超静 定梁的杆端内力表求得）。
i
C
A
其中：
B
AB
i 3i i
0.25
AD AB BA
0.75 0.25 0.2
BE
0.6
C BC CB
0.2
BC
i 3iii
0.2
FBgC
2FPL16kN 2
9.6
-8.0 -8.0
-4.8 4.8 3.2 3.2
精品课件
-16.0 -16.0
16.0
4.8 -4.8
…
§9-5 近似法
● 分层法——计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩 ● 反弯点法——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩 ● D值法——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩 1、分层法
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
§9-3 多结点力矩分配法
例1：用力矩分配法计算图示连续梁。
2kN
i
i
i
4m
4m
4m
0.5 0.5
0.5 0.5
-1
1
0.25 0.5 0.5 0.25
-0.31 -0.625 -0.625 -0.31
0.08 0.155 0.155 0.08
一端固定一端滑动梁 ：
其中：
A 1
i A
-i B
i——近端弯矩 -i——远端弯矩
传递系数：CAB 远 近端 端弯 弯矩 矩精品课件ii 1
§9-1 力矩分配法的基本概念
3）分配系数
——结点处，某杆的转动刚度与围绕该结点所有杆件
转动刚度之和的比值。
计算公式： ij
S ij S ij
● 求各杆的分配系数
-0.04 -0.04
0.33 0.655 -0.655 -0.655 -0.655 -0.31
精品课件
分配系数 固端弯矩 分配与传递
最终弯矩
§9-3 多结点力矩分配法
例2：用力矩分配法计算图示连续梁。
6 kN/m
2 kN/m
2 kN
i
i
i
4m 2m 2m
4m
2m
0.5 0.5 0.57 0.43
系数任取1/2。
3）对4个计算结果进行叠加，主要是一层以上柱其内力应 是两部分之和。
4）柱子弯矩由于叠加后，在结点处就不平衡了，这就需 要在结点出再进行一次分配，但不需再传递。