结构力学第五版 李廉锟 第九章渐近法

最后杆端弯矩：
MBA = MBAF+M BA
MBC = MBCF+M BC
BC ( M B ) M BC
MAB= MABF+ M 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。 AB
第九章 渐 近 法
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑴附加刚臂，确定基本体系 ⑵固定刚臂，计算固端弯矩
CCB M BC 0 ( 2.574) 0 M CB
16.714
11.574 A 30 B M图 (kN· m) 9 C
1.713 3.426
15 A B 15
-MB
2.574 0
9
C
⑺计算最终杆端弯矩。
M AB 15 1.714 16.714
M BA 15 3.426 11.574
M BC ) R11 ( M BA ( S BA S BC ) Z1
15 A 3m A i 20kN B 3m 20kN B 15 A 15 Z1 9 C 2kN/m i 6m 2kN/m C
C
基本体系
MB 9
B
⑷计算转角Z1。
A R11 R1P 0 1 M BC Z1 ( M B ) M BA S BA S BC SBAZB SBCZB
第九章 渐 近 法
§9-2 力矩分配法的基本原理
1、名词解释
（1） 转动刚度（劲度系数）
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆 端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆件的线刚度i=EI/l 及远端的支承情况有关。
1
转动刚度
S AB 4i
M AB = 4i
A
EI l
B
M B A= 2i
F AB
M
F AD
3Fl 3 50 4 75kN m 8 8
F M DA
Fl 50 4 25kN m 8 8
F F F M A M AB M AC M AD 40 0 ( 75) 35kN m
第九章 渐 近 法
32.22
55.55 67.22 11.67
B
A
32.78
D
C
M图 (kN· m)
第九章 渐 近 法
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
概念： 多结点――逐次对每个结点 运用单结点的基本运算 以连续梁为例： 说明力矩分配法： ——约束→放松→再约束→再放松… ——逐次渐近真实状态的
第九章 渐 近 法
第九章 渐 近 法
B A MAB MBA MB A MABF MBAF MBCF MBC C 固端弯矩带本身符号 MB MBAF MBCF
=
C
MB= MBAF +MBCF -MB
B
-MB
+
0 C
M BA
A
M BC
M AB
B M BC M BA
BA ( M B ) M BA
15
MB 9
C
M BC 9 2.574 11.574
M CB 0
R11
4iZB = SBAZB
A B Z1 C
⑻作最终弯矩图。
SBAZB SBCZB
3iZB = SBCZB
第九章 渐 近 法
单结点连续梁的力矩分配法小结
⑴计算分配系数 ⑵固定—计算固端弯矩 和结点不平衡力矩 ⑶放松—计算分配弯矩 ⑷计算传递弯矩 ⑸叠加—计算最终杆端 弯矩 ⑹画弯矩图
A端一般称为近端，B端一般称为远端。
第九章 渐 近 法
1
MAB =3i
A
EI l
B
M B A= 0
转动刚度
S AB 3i
1
MAB = i
A
EI
B
MB A =-i
转动刚度
S AB i
1
l
转动刚度
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S AB 0 S AB ?
MAB =0
A
EI
B
l
思考：
A
B
第九章 渐 近 法
（2）传递系数 C —— 近端转角所施力 矩对远端的影响
3i 0.429 7i
=
第九章 渐 近 法
【例9-1】
⑴计算分配系数
S AB 4i S AC 3i S 2i AD
4i 4 AB 4i 3i 2i 9 3i 3 AC 4i 3i 2i 9 2i 2 AD 4i 3i 2i 9
远端固定 远端铰支 远端滑动
C ＝ 0.5 C ＝ 0 C ＝ -1
∴CAB ＝MBA / MAB 即：MBA ＝ CAB· MAB
第九章 渐 近 法
1 4i 1
远端固定时:
2i
A
i i i
B
C=1/2
远端铰支时:
3i A 1
B
C=0
C=-1
远端定向时:
i A
B
与远端支承 情况有关
（3）分配系数 设A点有力矩 M，求M MAC和 MAD 第九章 渐 近 法 AB、
A 3m i 20kN B 3m 2kN/m i 6m
C
-MB
由于 S BA 4i, S BC 3i
4i BA 0.571 3i 4i 3i BC 0.429 3i 4i
15
3.426
15 A 15 9
2.574
9 C
MB
B
BA ( M B ) 3.426 M BA
B
C
结构无结点转角位移时，交汇于结点各杆固端弯矩的代 数和，称为该结点的不平衡力矩，并规定顺时针转向为正。
F F MB= R1P M BA M BC 6 kN m
第九章 渐 近 法
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑶放松刚臂，计算刚臂转动 Z1时结点的反力矩R11。
4iZ 1 S BA Z1 M BA 3iZ 1 S BC Z1 M BC M BC 0 R11 M BA
F M AB 15kN m,
A 3m A i
20kN B 3m 20kN B Z1 9
2kN/m i 6m 2kN/m C
C
M
F BA
15kN m,
基本体系
R1P 15 9 15
F M BC 9 kN m,
M
F CB
0
15 A
F F R1P M BA M BC 6 kN m
第九章 渐 近 法
例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。EI=常数
25 kN/m 1 6m 400 kN
0
EI
EI
2
EI
3
12 m
6m
12 m
解:
(1) 首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。 (2)计算结点1、2处各杆端的分配系数。 结点1的分配系数为
A
MAD MAC
MAB
m 0
A
M (S AB S AC S AD ) A
M AC
S AC M S
A
M M A S AB S AC S AD S
M AD
Aj
S
A
S Aj
A
S AD M S
A

M Aj Aj M
分配系数
分配弯矩
1
第九章 渐 近 法 固端弯矩：荷载作用下的杆端弯矩，由载常数表查得。 不平衡弯矩：固定状态下交汇于结点各杆固端弯矩的代
数和，称为结点的不平衡弯矩。
分配弯矩： 将结点的不平衡弯矩改变符号，乘以交汇
于该点各杆的分配系数，所得到的杆端弯 矩称为该点各杆的分配弯矩。
传递弯矩： 将结点的分配弯矩乘以传递系数，所得到的
具有多个结点转角的多跨连续梁
只需依次对各结点使用上述方法便可求解。 步骤: 1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩； 2.轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，其他结点 仍暂时固定，这样把各刚结点的不平衡力矩轮流进行分配与 传递，直到传递弯矩小到可略去时为止。 3. 最后累加固端、分配和传递得结果。 这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。
0.571 A -150 150 0.429
BC
0
0
B -90 -25.7
-115.7
-17.2
-167.2
-34.3
115.7
C 分配力矩: 0.571 (60) 34.3 M BA 0.429 (60) 25.7 M BC (3) 最后结果。合并前面两个过程
D M A B 如用位移法求解：
SAB = 4i
1 于是可得 SAB= 3i SAB= i 1
iAD
A
iAB
M AB 4iAB A S AB A
iAC
C M
M AC iAC A S AC A
M AD 3iAD A S AD A

S AB M AB M 1 S
AB AC 3/9 0 AD 2/9
分配系数 B 固端弯矩 -40 结点不平衡力矩 分配弯矩 传递弯矩 杆端弯矩
+7.78 -32.22
4/9
A
+40 -75
D
-25
-35
15.55 11.67 7.78 0 55.55 11.67 -67.22 -7.78 -32.78
C
0
⑶计算分配弯矩 ⑷计算传递弯矩 ⑸计算杆端弯矩 ⑹画弯矩图
固端弯矩 分配弯矩 传递弯矩 1.713 杆端弯矩 16.714
-16.714
A 3m 分配系数 A -15 i
20kN B 3m
2kN/m i 6m
C
0.571 0.429 15 -9 0
C
3.426 2.574
0
11.574 -11.574
0 9 C
11.574 A 30 B
M图 (kN· m)
解题方法――渐近法（由荷载直接计算杆端弯矩 不建立方程，适于手算）
第九章 渐 近 法
力矩分配法的应用条件
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：通过增量调整修正，逐步逼近真实状态； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
力矩分配法的正负号规定
力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端 转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都 假设对杆端顺时针旋转为正号。 另外，作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束 反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。
BC ( M B ) 2.574 M BC
M BA
R11
M BC
4iZ1 = SBAZ1
A B Z1 C
SBAZ1
SBCZ1
3iZ1 = SBCZ1
第九章 渐 近 法
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑹力矩传递。 由于转角Z1引起的远 端弯矩称为传递弯矩，有
M AB C AB M BA 0.5 ( 3.426) 1.713
第九章 渐 近 法
§9-1 概述
直接解法――解联立方程 ――超静定结构的两种基本方法（力法、位移法）
渐近法 ――联立方程→数学渐进解法（迭代法）
不建立方程→人为约束受力状态， →逐步调整→收敛于真实状态 力矩分配法——无结点线位移刚架和连续梁 无剪力分配法——特殊的有结点线位移刚架
理论基础――位移法（结点位移→逐次调整）
杆端弯矩称为该点远端的传递弯矩 杆端固端弯矩、全部分配弯矩和传 最终杆端弯矩： 递弯矩的代数和即为该杆端的最终 杆端弯矩。
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 第九章 渐 近 法 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M 图 (kN· m) 200kN 115.7 20kN/m 200 6 90 150 kN m 300 MAB= 8 EI EI C B A MBA= 150 kN m 3m 6m 3m 20 62 90kN m MBC= 8 200kN 60 20kN/m MB= MBA+ MBC= 60 kN m C （2）放松结点B，即加-60进行分配 B A -150 150 -90 设i =EI/l 计算转动刚度： + -60 SBA=4i SBC=3i 0.571 0.429 4i C 分配系数： B A -17.2 0.571 -34.3 -25.7 0 BA 4i 3i
B 30kN/m EI i A EI i C 50kN 2EI 2i D 4m 2m
F M AC 0 F M CA 0
i
2m
EI 4
4m
⑵计算固端弯矩和结点不平衡力矩
ql 2 30 4 2 M 40kN m 12 12 ql 2 30 4 2 F M BA 40kN m 12 12
R11 B
4iZ1 = SBAZ1
Z1 C
3iZ1 = SBCZ1
第九章 渐 近 法
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑸力矩分配
S BA M BA ( M B ) BA ( M B ) S BA S BC S BC M BC ( M B ) BC ( M B ) S BA S BC