第五讲 机器人运动学

移动关节（P）: 没有轴，只有方向。
转动关节（R）： 有转动轴。 手部或末端执行器： 机座或基础连杆：
3.2 机器人运动学方程
机器人运动功能符号
3.2.1 D-H描述法
在机器人学中为什么采用D-H描述 方法？ 1、物理意义明确。 2、对应的变换矩阵简单。 3、方法简单，使用面广，便于 交流。
3.2.1 D-H描述法
一、建立坐标系系统 目标： 用坐标系描述机器人中各连 杆的位姿。 建立坐标系的原则： 1）反应几何和运动特征关系，便于 表示杆件几何参数及运动参数。 2）使用方便，符合习惯，如右手法 则。
3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立
机器人学中的坐标系主要包括： 1、笛卡尔空间的绝对（或全局、任务）坐标 系。一般建立在工作现场地面上，用于定义需要完 成的任务。 2、固连在杆件上、与其一起运动的杆件（或 活动、当前）坐标系。 3、基座坐标系：建立在机器人基座上，是机 器人的公共参考坐标系，也称固定（或基础参考） 坐标系。 4、末端执行器坐标系，与末端执行器相固连。
3.2.2 机器人运动学方程
为什么求正运动学问题的解？ 检验、校准机器人；计算工作空间等。 为什麽研究逆运动学问题解？ 路径规划、机器人控制等，但求解困难。 机器人正运动学问题的特点： 求解容易，具有唯一性。 机器人逆运动学问题的特点： 1、一般求解方程组是由一些非线性的、 超越、难解的方程组成。 2、必须关心解的存在性、多解性、可解 性和求解方法。
2、建立坐标系
1）杆件坐标系{i}，i=1，2，…，n zi轴与关节轴线重合， zi轴的正方向没 有明确规定，应尽可能一致；移动关节只 定义了方向，zi轴可以位于平行于移动方 向的任意位置，通常取移动关节的中心。 由于每个连杆有两条轴线，根据坐标系 的zi轴与那条关节轴线一致，建立杆件坐 标系可有两种做法： 第一种： zi轴与i+1关节轴线重合，称前 置模式。 第二种： zi轴与i关节轴线重合，称后置 模式。
3、求解相邻杆件的位姿矩阵
III、相邻杆件的位姿矩阵
cos i si n i cos i si n cos i cos i i 0 si n i 0 0 qi si i (1 si )d i si n i si n i cos i si n i cos i 0 l i cos i l i si n i di 1
3.2 齐次变换及运算
结论：左乘和右乘原则： 绝对运动变换矩阵左乘，即先做的在右 边，后做的在左边。 相对运动变换矩阵右乘，即先做的在左 边，后做的在右边。
3.2 齐次变换及运算
例：已知坐标系{B}先绕坐标系{A}的z轴旋转 90°，再绕坐标系{A}的x轴旋转90°，最后 沿矢量P=3i-5j+9k平移得到，求：坐标系{A} 与{B}之间的齐次坐标变换矩阵MAB。 解：绝对运动，左乘原则。 MAB=Trans(3,-5,9)Rot(x,90)Rot(z,90) 如果上述运动为相对运动，则应用右乘 原则。有 ： MAB=Rot(z,90)Rot(x,90)Trans(3,-5,9)
3.2.2 机器人运动学方程
运动学逆解的求解方法 不像线性方程，不存在通用算法。 逆解的形式： 1)闭式解(Close-form solution):用解 析函数式表示解。求解速度快。 仅仅在一些特别简单的或特殊的情况下 ，存在解析的闭式解。 2）数值解：递推求解，不易求出所有解 。 逆解的求解方法： 1、代数法。2、几何法。3、数值法。
3、求解相邻杆件的位姿矩阵
III、相邻杆件的位姿矩阵
相对运动，用右乘
M i 1 i ( M a M b ) ( M c M d ) cos i si n i 0 0 cos i si n i 0 0 si n i 0 1 0 0 li cos i 0 0 0 cos i si n i 0 0 1 d i 0 si n i cos i 0 0 0 1 0 0 0 1 si n i cos i si n i si n i l i cos i cos i cos i cos i si n i l i si n i si n i cos i di 0 0 1 0
3、求解相邻杆件的位姿矩阵
I、{i-1}→{i}变换过程 a、Trans（0，0，di） b、Rot（z，θ i）； c、Trans（li，0，0） d、Rot（x，α i） 注意： 用的都是i下标参数，即 同一杆件的参数。
Oi-1 Xi-1
αi
Zi
li
Oi Xi
θi di
Z i-1
i
i-1
关节i
3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立
xi轴与i杆件的两关节轴线的公垂线重合， 方向指向下一个杆件，坐标系原点位于公垂 线在轴线上的垂足处。 注意： 如果i杆件的两个轴相交，则规定其单位 矢量为xi =zi+1 x zi；如果两轴平行，Xi轴位置 自定，一般选在杆件上。
建立坐标系
例：前置坐标系 {i}坐标系的z 轴与i+1关节轴线 重合。
3.2.2 机器人运动学方程
问：i坐标系的位姿如何在i-1坐标系中表示。 1）关节运动变量的统一表示 设平移关节变量为di，回转关节变量 为θ i，则广义关节变量表示为：
qi sii (1 si )di
其中：
1, i为转动关节 si 0, i为移动关节
3、求解相邻杆件的位姿矩阵
关节1
o0
x0
3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立
二、机器人构形的描述
机器人机构是由一系列杆件组成的，确定机 器人构型涉及的参数有两类：连杆（Link）的几 何参数及两相邻连杆间的运动参数。 1）、连杆的几何描述 连杆的主要几何特征是其两端的轴线间的位 置关系，可以用两个参数来确定： （1）连杆的长度ai。 （2）连杆两端轴线之间的钮角 i。 在机器人运动中，杆件的几何参数通常为定 值。
建立坐标系
例：后置坐标系： {i}坐标系的z轴与i 关节轴线重合。 后置坐标系在各 种文献中应用较多。
x3 o3
x2 o2 z1 o1 z0
0 1 2
z3
3
关节3
y2
关节2
x1
关节1
o0
x0
例：三维立体说明
建立坐标系
2）机座坐标系，也称0杆坐标系。 它一般静止不动；作为参考坐标系，其 他连杆坐标系都可以相对它来定义。 机座坐标系的创建具有任意性，一般： z轴：一般垂直向上，即 与重力加速度反向。 x轴：沿工作空间的对称 平面内，指向其余杆件所在 初始位置。 为计算方便，机座坐标 系的原点经常与1号连杆坐、 o z0 0 x0 标系的原点重合，使杆件参 数为零。
3.2.1 D-H描述法
杆件的编号：从基础连杆（机座）开 始，依次编号为0、1、2、3、…、n号杆 件，其中，n为末端执行器。 关节编号：第i杆件绕其作转动的关节 （即i杆件的下关节）记为 i号关节，它是 连接第 i 连杆与第 i-1连杆的运动副。 坐标系编号：编号为 i的坐标系Fi(即 Oi-xiyizi) 被固连在第 i号杆件上。
3.2.1 D-H描述法
注意：
由于杆件坐标系的Z轴的指向可任选； 另外，在与杆件相连的两轴线相交的情况下， x轴可有两个不同指向；因此，D-H描述的 结果具有非唯一性，即可能参数符号不一致。
3.2.2 机器人运动学方程
3.2.2 机器人运动学பைடு நூலகம்程
目标：建立笛卡尔空间{m}与关节空 间{q}之间的数学关系。 机器人运动学的一般模型为： M= f(qi)， i=1，…，n M——机器人末端执行器的位姿。 qi——机器人各个关节变量。 若给定qi，要求确定相应的M，称为正 运动学问题，简记为DKP。 如果已知末端执行器的位姿M，求解 对应的关节变量，称为逆运动学（Inverse Kinematics）问题，简记为IKP。
3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立
（1）连杆的长度ai：连杆两端轴线之间的公垂线 长度。 （2）连杆钮角αi（-180< αi <180）：两端轴线 之间在公垂线方向的夹角。
特点： 杆长沿xi方向。 扭角以xi为转轴。
3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立
2）连杆间的运动参数： 描述两连杆之间的运动关系。 （1）关节平移量di 相邻杆件的长 度在关节轴线zi上的 距离。
2、建立坐标系
3）手部坐标系{h} 在前置杆件坐 标系下，{h}与末 端执行器坐标系 {n}重合。
建立坐标系
3）手部坐标系{h} 在第后置杆件 坐标系下，{h}与末 端执行器{n}坐标系 的方向保持一致。
x3 o3 x2 o2 z1 o1 z0
0 1 2
xh z3 oh
3 关节3 关节2
Zh
y2 x1
3、求解相邻杆件的位姿矩阵 b、后置模式 建立坐标系{i-1}、 {i}，试分析{i-1}→{i} 的变换过程。
Zi
O
i
Xi
Z i1
i
Oi1
从图中可看出，由{i-1} i关节 到{i}的变换，涉及i-1杆件 1 i 和i杆件的参数，这时： 1、杆长ai-1:沿xi-1轴从zi-1到zi的距离。 2、扭角 i1 ：绕xi-1从zi-1转到zi的角度。 3、平移量di：沿zi轴从xi-1轴量至xi轴的距离。 4、转角θ i：绕zi轴从xi-1轴到xi的转角。
3、求解相邻杆件的位姿矩阵
II、单步齐次变换矩阵
1 0 Ma 0 0 1 0 Mc 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 , di 1 li 0 , 0 1 cos i sin i 0 sin cos i 0 i Mb 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 cos sin i i Md 0 sin i cos i 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
第3章 机器人运动学
3.1 刚体的位姿描述
3.2 机器人运动学方程
3.3 运动方程的解
3.4 微分运动与雅克比矩阵
3.2 机器人运动学方程
3.2.1 Denavit-Hartenberg （D-H）描述法
内容： 坐标系系统的建立、杆件参 数和运动变量的定义。
3.2 机器人运动学方程
机器人运动功能符号：
2）相邻杆件位姿矩阵
a、前置模式 试分析坐标系{i-1}→坐 标系{i}的变换过程。
从图中可看出，由{i-1} 到{i}的变换，仅涉及i杆件 的参数，这时： 1、杆长:沿xi轴从zi-1到zi的距离。 2、扭角：绕xi从zi-1转到zi的角度。 3、平移量：沿zi-1轴从xi-1轴量至xi轴的距离。 4、转角：绕zi-1轴从xi-1轴到xi的转角。
3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立
（2）关节转量θi 相邻两个杆件的 长度在关节轴线上的 夹角定义为关节转动 量θi 。
例：三维立体说明
3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立
当两连杆发生相对运动时，关节的运动 参数将发生变化，如果关节是平移关节，则 平移量di会变化；如果是回转关节；则关节 回转量θi会变化。 我们将这些运动时会发生变化的量称为 关节变量。对于每一个关节，都有一个关节 变量和三个参数。n个关节的操作臂有n个关 节变量，他们构成n维矢量θ。 用上述连杆几何参数和运动参数来描述 机器人机构运动关系的方法称为DenzvitHartenberg方法，简称D-H法。
M i 1 i
M i 1i f (qi ),
qi — —i关节变量
3、求解相邻杆件的位姿矩阵
注意：由于平移是沿转动轴方向进行的， 因此，作为特例， 前两步之间可以交换 顺序，后两步之间也可以交换顺序，即：
cos i si n i 0 0 si n cos i 0 0 i Ma Mb Mb Ma 0 0 1 di 0 0 0 1 0 0 li 1 0 cos si n i 0 i Mc Md Md Mc 0 si n i cos i 0 0 0 0 1