2016高中数学人教B版必修四2.1.4《数乘向量》word导学案

2019-2020学年高中数学 §2.1.4 数乘向量导学案 新人教B版必修4

◆ 课前导学

（一）学习目标

1．知道向量的数乘运算的定义；

2．会利用向量的数乘运算解决相关问题．

（二）重点难点

重点：知道向量的数乘运算的定义；

难点：会利用向量的数乘运算解决相关问题．

◆ 课中导学

（一） 问题引入

◎学习目标一：知道向量的数乘运算的定义．

引例 已知AB，把线段AB三等分，分点分别为P和Q，

[问题1]

AP与AB在大小和方向上有什么异同？

[问题2] 请尝试列出它们之间的一个关系式；

[问题3] PA与AB可以用什么关系式表示？

[问题4] 等式右端系数的符号是由什么决定的？

[问题5] 系数的绝对值表示什么？ A

B P

Q

[问题6] 请尝试用AB表示AQ 、QB、PB、BP．

（二） 概念形成

1． 向量数乘的定义：

实数和向量a的乘积是一个____________，记作____________，它的长度和方向的规定：

（1） 长度a__________；

（2） 当0时，a的方向与a的方向__________；

当0时，a的方向与a的方向__________；

当0时，a_________；

任何数乘以0，都等于_______．

2． 数乘向量运算满足的运算律：

设，为实数，则

（1）()a__________；

（2）()a__________；

（3）()ab__________．

（三）巩固深化

◎学习目标二：会利用向量的数乘运算解决相关问题．

例1 计算下列各式

（1）3()2()ababa ；（2）(23)(32)abcabc

例2

设x是未知向量，解方程：5()3()0xaxb

例3 若,xy是实数，,ab是不共线的向量，(1)()0xyaxyb，求x和y．

学习目标

1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

一、※课前准备

（预习教材80页~83页，找出疑惑之处）

二、※新课导学：

1，回答以下问题

（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

则两次的位移和： ABBC

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和： ABBC

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和： ABBC

2、两个加法法则

已知非零向量a和b，做出ab

（1）三角形法则：（2）平行四边形法则

规定：对于零向量与任一向量a，都有00aaa．

3、 加法交换律和加法结合律（证明）

（1）向量加法的交换律：（2）向量加法的结合律：(a+b) +c=

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行

三、※典型例题

1、 已知在平行四边形ABCD中,ABCABD__________.

2、 在矩形ABCD中，31ABBC，，则向量ABADAC的长度等于（ ）

3、 化简向量ABDFCDBCFA . A B

C

C A

B

A

B

C

O

a a

b b a

ｂ 4、已知||8,||6ab，||ab的最大值和最小值分别为

5、 一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，

则飞行的路程为；两次位移的和的方向为北偏东45，

大小为 千米．

四、※当堂检测：

1、已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下面结论中不正确的是( )

A.ABCBAC B. ABADAC

C. ADCDBD D.0AOCOOBOD

撰稿教师：李丽丽自学目标

在理解向量加法的基础上，掌握向量减法的运算及几何意义；并灵活进行向量的减法运算。

学习过程

一、※课前准备

（预习教材84页~85页，找出疑惑之处）

二、※新课导学

１．向量的减法的定义：________________________________________________________

２．相反向量：规定与a__________________________的向量，叫做a的相反向量，记作_____，向量a与－a互为相反向量，a＋（－a）=___ ,一个向量减去另一个向量等于加上这个向量,即

a－b=______________．

３．向量减法的几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作,OAaOBb，则_____=ab，即ab可以表示为从向量_________的终点指向向量_________的终点的向量，如果向量a的终点，到b的终点作向量那么得向量是__________．

三、※典型例题

例题：已知平行四边形ABCD，ABa，ADb，用a、b分别表示向量AC、BD

变式练习：

1．在菱形ABCD中，下列各式中不成立的是（ ）

A．ACABBC B．ADBDAB

C．BDACBC D．BDCDBC

２.在平行四边形ABCD中，BCCDAD等于（ ）

A．BA B．BD C．AC D．AB

四、※当堂检测：

１．下列各式中结果为0的有（ ）

①ABBCCA②OAOCBOCO③ABACBDCD

④MNNQMPQP

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③ ２．下列四式中可以化简为AB的是（ ）

①ACCB ②ACCB ③OAOB ④OBOA

A．①④ B．①② C．②③ D．③④

1 2.1.4 向量数乘

课后导练

基础达标

1.31［21(2a+4b)-(4a-4b)］等于( )

A.2a-b B.2b-a

C.b-a D.a-b

解析:原式=31(a+2b-4a+4b)=31(6b-3a)=2b-a.

答案:B

2.下列各组中的向量a,b共线的有( )

①a=2e,b=-2e ②a=e1-e2,b=-2e1+2e2 ③a=4e1-52e2,b=e1-101e2 ④a=e1+e2,b=2e1-2e2

A.①②③ B.②③④

C.①③④ D.①②③④

解析:对于①②③中的向量a与b,都存在一个相应的实数λ,使a=λb.而④中的两个向量不存在实数λ,使b=λa成立.

答案:A

3.若O是△ABC内一点,OCOBOA=0,则O是△ABC的( )

A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心

解析:∵OCOBOA=0,

∴OA=-(OB+OC).

如图,OB+OC=OE=OA-,

∴A、O、E三点共线,点D为BC中点.

∴O为三角形三条中线的交点.

∴O是△ABC的重心.

答案:B

4.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为…( )

A.0 B.-1 C.-2 D.-21

解析:设a=μb(μ∈R),则2e1-e2=μ(e1+λe2), 2 即.21,2.1,2解得.

答案:D

5.设AB=22(a+5b),BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则共线的三点是( )