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椭圆的定义及标准方程(学生版)

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椭圆的定义及标准方程
一、精讲精练
知识与方法--：椭圆的第一定义
第一定义：平面内与两个定点21,FF的距离和等于常数|)|2(221FFaa的点M的轨迹

叫做椭圆，定点21,FF叫做椭圆的焦点，||21FF叫做椭圆的焦距.
用集合语言叙述为“点集|}|2,2|||||{2121FFaaMFMFMP，其中21,FF叫做
椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距”.
注意:

（1）只有当||221FFa时，动点M的轨迹才是椭圆.而当||221FFa时，动点M的

轨迹不存在；当||221FFa，动点M的轨迹是线段21FF.
（2）定义的双向运用：一方面，符合定义中条件的动点轨迹为椭圆；另一方面，椭圆
上的点一定满足定义的条件（即到两焦点的距离之和为a2）.

【例1】下列命题是真命题的是_____________（将所有真命题的序号都填上）.
①已知定点),01(),01(21，，FF则满足2||||21PFPF的点P的轨迹为椭圆；

②已知定点),02(),02(21，，FF则满足4||||21PFPF的点P的轨迹为线段；
③到定点)03(),03(21，，FF距离相等的点的轨迹为椭圆.

【变式】设21,FF为定点，6||21FF，动点M满足6||||21MFMF，则动点M的轨迹
是（ ）
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
知识与方法二：椭圆的标准方程
（1）椭圆的标准方程
标准方程

图形
焦点
焦点在x轴上， 12(,0),(,0)FcFc 焦点在y轴上，
12
(0,),(0,)FcFc

,,abc
的关系

准线方程
2axc和2axc 2
a

yc
和

2
a

yc

（2）根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中2x项和2y项的分母哪个更大一些，

即“谁大在谁上”.如方程为14522xy的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标
)10(),10(21，，FF，焦距2||21FF
.

注意：
正确理解“标准方程”中的“标准”的意义

（1）两个焦点21,FF在坐标抽上；

（2）线段21FF的中点是坐标原点.
只有同时满足这两个条件时，所得到的方程才是标准方程.

)0(12222ba
byax)0(12222babxa

y

o
x
y

F1F
2

A1B2A
2

B
1

OyxF2F1B1B
2

A
2

A
1

222cba222
cba
【例2】已知方程22153xykk表示椭圆，求k的取值范围。
【变式】已知椭圆22sincos1(02)xy的焦点在y轴上，则的取值范围是
（ ）
A.3(,)4 B. 3(,)44 C.(,)2 D.
3
(,)

24



【例3】（2014 湖南师大附中测试）求焦点在坐标轴上，且经过)132()23(，和，BA两点的
椭圆的标准方程.
【变式】两个焦点的坐标分别为)0,4()0,4(和，且椭圆过点)0,5(，求该椭圆的标准方程.
【例4】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点12(6,1),(3,2)PP.

（2）已知椭圆过点(2,6)，且2ab，求椭圆的标准方程。
【变式】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，且椭圆经过点(2,0),(0,1).

（2）求与椭圆2244xy有公共焦点，且经过(2,1)A的椭圆的标准方程

【例5】一动圆与已知圆221:(3)1Oxy外切，与圆222(3)81Oxy内切，求动
圆圆心的轨迹方程。
【拓展】（2014 青岛师大附中检测）如图点B坐标为)0,2(，P是以O为圆心的单位圆上的
动点，POB的平分线交直线PB于Q，求点Q的轨迹方程.

知识与方法三：与椭圆焦点三角形有关的问题
1. 椭圆上一点P与椭圆两焦点21,FF构成的12FPF称为焦点三角形,解关于椭圆中
的焦点三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.

2. 对于求焦点三角形的面积，若已知21PFF，可以利用S1sin2abC，把

||||21PFPF
看成一个整体，运用公式

||||2|)||(|||||212212221PFPFPFPFPFPF
及余弦定理求出||||21PFPF，而无

需单独求出，这样可以减少运算量.
【例6】已知P为椭圆191622yx上的点，21,FF是椭圆的两个焦点，6021PFF，求
12
FPF
的面积S.

【变式】椭圆12922yx的焦点为21FF，，点P在椭圆上，若4||1PF，则
||2PF
________；21PFF的大小为__________.
知识与方法四：综合
【例7】如图所示，BA,是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC交

椭圆于M点，2||OF，若OAMF，求椭圆的方程.

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高中数学北师大版必修二：2.1.1椭圆的定义和标准方程

高中数学北师大版必修二：2.1.1椭圆的定义和标准方程

画出椭圆后，让学生试着描述椭圆的定义，最后让学生读课本，得出椭圆的规范定义：
平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个
定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 设计意图：一方面是培养学生的分析归纳能力，一方面是出于对学生的数学基础较弱的考虑。 老师对定义进行分析并强调三点:①“在平面内”;
如图示：
y
M
F1
0
F2
x
提出问题：根据建系原则，是否还有其他的坐标系呢？ 情境预设：学生根据建系原则，仔细思考，会发现将焦点放在 y 轴上。 ④再调换坐标轴得出焦点在 y 轴上的椭圆方程。 ⑤根据图形及方程分析方程中的 a、b、c 的几何和代数意义，让学生更深入的体会椭 圆方程中的 a、b、c，从而理解椭圆方程。 下来例题中设计相关对椭圆方程的认识的例子，比如对 a>0,b>0,c>0 的考察，焦点位置 的判断，a>b 的应用问题等。 例 1.判断下列哪些是椭圆方程？若是，则判断焦点在那个坐标轴？并指出 a2、b2 和焦
点坐标
1 x2 y2 1
16 16
2 x2 y2 1
25 9
3 3x2 2y2 1
4
x2 m2
y2 m2 1
1
5 x2 y2 1
24 k 16 k
例 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴ a 6 b 1，焦点在 x 轴上；
⑵焦点为 F1 0, 3 , F2 0,3 ,且 a 5 ； ⑶两个焦点分别为 F1 2,0 , F2 2,0 ,且过点 P2,3 ; ⑷经过点 P2,0 和 Q0, 3.
②动点到两定点间的距离和是一个定值（设为 2a）; ③两定点间的距离（设为 2c）小于 2a. 4.椭圆的方程 ①复习用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤:
椭圆的定义及标准方程

椭圆的定义及标准方程

课 题： 椭圆的定义及标准方程※ 课程学习目标 学习自主化 1.掌握椭圆的第一和第二定义(圆锥曲线的统一定义)，并能运用定义转化椭圆上的点到焦点距离和到对应准线距离的转化，体会转化的数学思想。

2.会用待定系数法和定义法求解椭圆的方程。

在用待定系数法求解椭圆方程时，掌握先确定焦点位置再设出椭圆标准方程和在未知焦点位置时用椭圆方程的一般式或采用分类讨论。

▓知识梳理与理解 第一层级学习目标※基础知识梳理 知识系统化。

系统形象化 ◎ 读记教材交流1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的 (大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距。

注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 。

②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在。

(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e是 。

2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ，其中( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 ： ，其中a ，b 满足： 。

个性化再处理： ⑴教学流程 ⑵变式拓展 ⑶归纳总结※基本问题交流 知识问题化。

问题层次化1.已知(1,0),(0,1)M N ，动点P 满足2PM PN +=，则点P 的轨迹是2.已知椭圆22194x y +=，12,F F 是它的左右焦点，点P 是椭圆上任意一动点12PF =,则2PF = ，点P 到左准线的距离 。

3.已知椭圆C 过()()4,0,0,3A B --两点，则椭圆C 的标准方程为4.方程221159x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围▓技能应用与拓展 第二层级学习目标※重点难点探究 技能系统化。

系统个性化◎ 能力技能交流例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-；例2已知三角形ABC 的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程例 3.已知()2,3A -，F 是椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，当2MA MF +取最小值时，求点M 的坐标.※ 课程达标检测 方法能力化。

高中数学选修二《椭圆及其标准方程》课件

高中数学选修二《椭圆及其标准方程》课件


线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，
椭圆的方程形式又如何呢？
o
x
[设计意图] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的 椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生
的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性， 通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.
[设计意图]通过小结，使学生对所学的知识有一个完 整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.
四、教学过程 <布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做， 其余学生不做探究题） >
[设计意图] 一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周 密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分 层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了 学生的自主学习能力和探究性学习习惯.
3、教学手段：多媒体辅助教学.
通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣， 激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使 内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质 量.
四、教学流程
创 自 师初 自
知
布
设 主 生步 我
识
置
情 探 互运 评
整
作
景 究 动用 价
理
业
， ， ，， ，
，
，
提 形 导强 反
形
巩
出 成 出化 馈
一、教材分析
(五) 教学的重点难点
1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程 2. 教学难点：椭圆标准方程的推导
二、学情分析
在此之前,学生对坐标法解决几何问题掌握 不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生 思维上存在障碍. 在求椭圆标准方程时，会遇到 比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中 代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满 足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么 的办法来补充这些知识.
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结

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椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。