【精品】高中选修1-1数学 椭圆及其标准方程 讲义 +练习题 第14讲 - 8.25

椭圆及其标准方程【学习目标】 1． 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力．3． 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神．【要点梳理】 要点一：椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．要点诠释：（1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点；（2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程要点诠释：1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-；3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．以焦点在x 轴上的方程22221x y a b+=(0)a b >>为例．(1)建系建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．（2）设点设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)列式由于点(,)M x y 为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为： {}122P M MF MF a =+= （称此式为几何条件）即2a （实现集合条件代数化） ① (4)化简为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得2a =将这个方程两边平方，得()222 44x c y a ++=－22()x c y +-+，整理得2a cx -=上式两边再平方，得4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，整理得22222222()()a c x a y a a c -+=- ②方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简． 由椭圆的定义可知22a c >，即a c >，所以220a c ->， 将方程②两边同除以222()a a c -，得222221x y a a c +=-． 令222a c b -=，那么所得的椭圆方程可化为：22221x y a b +=，(0)a b >>．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．要点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a ，b ，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0)mx ny m n m n +=>≠且．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．【典型例题】 类型一：椭圆的定义例1． 若一个动点P (x ，y )到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m >0），试求P 点的轨迹方程．【解析】∵|PA|+|PA ＇|=m ，|AA ＇|=2，|PA|+|PA ＇|≥|AA ＇|， （1）当0<m<2时，P 点的轨迹不存在； （2）当m=2时，P 点的轨迹就是线段AA ＇ ∴其方程为y=0（－1≤x≤1）；（3）当m ＞2时，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A 、A ＇为焦点的椭圆 ∵2c=2，2a=m ，∴2m a =，1c =，222214m b a c =-=-∴点P 的轨迹方程为22221144x y m m-=-．【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆．．当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆．举一反三：【变式1】已知圆22:(2)36A x y ++=，圆A 内一定点()20B ，，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．【答案】设圆P 的半径为r ，则|PB|=r ， ∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为6，∴两圆的圆心距|PA|=6－r ，即|PA|+|PB|=6（大于|AB|）． ∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∴2a=6，2c=|AB|=4．∴a=3，c=2，b 2=a 2－c 2=32－22=5．∴点P 的轨迹方程为22195x y +=【高清课堂：椭圆的方程356766 例2】【变式2】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】2213627x y +=类型二：椭圆的标准方程例2． 椭圆22110036x y +=的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB 为过椭圆的一个焦点F 1的一条弦，F 2为另一个焦点，则2ABF ∆的周长是 ．【答案】1216(8,0),(8,0)40F F -【解析】由椭圆方程知22100,36a b ==∴22264c a b =-=， ∴8,216c c ==．∴两焦点为12(8,0),(8,0)F F - 又因为三角形的周长为为22||||||AB AF BF ++=22440a a a +==【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a ，b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．举一反三：【变式1】椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．【答案】，(【变式2】方程2212516x y m m+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．【答案】92<m <25【解析】因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >92，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m 的取值范围为9252m <<．【变式3】已知椭圆的标准方程是222125x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．【答案】【解析】因为F 1F 2＝8，即即所以2c ＝8，即c ＝4，所以a 2＝25＋16＝41，即a =，所以△ABF 2的周长为4a ＝例3． 当39k <<时，指出方程22193x y k k +=--所表示的曲线．【解析】∵39k <<∴90-3>0k k ->且（1） 若9-k>k-3，即36k <<时，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆； （2） 若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆221x y +=；（3） 若9-k<k-3， 即69k <<时，则方程表示焦点在y 轴上的椭圆．【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息．举一反三：【变式】如果方程222(0)x ky k+=>表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是．【答案】01k<<类型三：求椭圆标准方程【高清课堂：椭圆的方程356766 例1】例4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35(,)22-．【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>．∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4 ∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为221 259x y+=；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为22221(0) y xa ba b+=>>由椭圆的定义知，2a==，∴a=又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为221 106y x+=【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为22221x ya b+=；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为22221y xa b+=．举一反三：【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0，1)，P是椭圆上一点，并且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆的标准方程是________．【答案】221 43y x+=【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194x y+=有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程．【答案】221 1510x y+=．例5．求经过点P（－3，0），Q（0，2）的椭圆的标准方程．【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）．∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），∴91,4 1.mn=⎧⎨=⎩∴1,91.4mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求椭圆方程为221 94x y+=．【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程．在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置．举一反三：【变式1】过点(－3，2)且与椭圆22194x y+=有相同焦点的椭圆的标准方程是________．【答案】221 1510x y+=【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程．【答案】2219xy+=或221819y x+=．类型四：椭圆的综合问题例6．设F1、F2是椭圆22194x y+=的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c=PF1＋PF2＝2a＝6．又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝2可知△PF 1F 2是直角三角形， 故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．举一反三：【变式1】已知P 为椭圆221169x y +=上的一点，12,F F 是两个焦点，1260O F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．【答案】【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么椭圆C 的方程为______．【答案】221168x y += 类型五：坐标法的应用例7．△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是49-，求顶点A 的轨迹方程．【解析】设顶点A 的坐标为（x ，y ） 由题意得664(0)9y y x x x -+⋅=-≠， ∴顶点A 的轨迹方程为221(0)8136x y x +=≠．【总结升华】求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．举一反三：【变式1】已知A 、B 两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为49-，则M 的轨迹方程是（ ）A ．221100259x y += B ．221(5)100259x y x +=≠±C ．221225254x y += D ．221(0)225254x y x +=≠ 【答案】D【变式2】△ABC 两顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是49-，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．221(6)8136x y y +=≠±B ．221(6)8116y x y +=≠±C ．221(6)1636x y x +=≠±D ．221(6)3616x y x +=≠±【答案】D【高清课堂：椭圆的方程356766 例3】【变式3】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，求线段PP ′中点M 的轨迹．【答案】设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y则00,2y x x y ==因为00(,)P x y 在圆224x y +=上，所以22004x y += 将00,2x x y y ==代入上方程得2244x y +=即2214x y +=所以点M 的轨迹是一个椭圆【巩固练习】 一、选择题1．满足条件13,5a c ==的椭圆的标准方程为（ ）A ．221169144x y +=B ．221169144y x +=C ．222211169144169144x y y x +=+=或 D ．不确定2．如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a > B ．2a <-C ． 3a >或2a <-D ．3a >或62a -<<-3．直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．1m > B ．1m ≥或01m <<C ． 1m ≥且5m ≠D ．05m <<且1m ≠4．设P 是椭圆2212516x y +=上的点，若12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5C ．8D ．105．0m n >>是方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． ．若椭圆的2221kx ky +=的一个焦点为（0，-4），则k 的值为（ ）Ａ． 132 B ．18C ．8D ．32 二、填空题7．过点(－3，2)且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程是________． 8．若△ABC 的两个顶点坐标A (－4，0)，B (4，0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________．9．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是|PF 1|的中点，若|OQ|＝1，则|PF 1|＝________．10．设F 1、F 2是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积等于________．11．椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________． 三、解答题12．ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．13．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝100及点A (－3，0)，P 是圆C 上任意一点，线段P A 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．14． 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．15．已知F 1、F 2是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点． (1)若∠F 1PF 2＝3π，求△F 1PF 2的面积； (2)求12||||PF PF ⋅的最大值．【答案与解析】1．【答案】C【解析】∵13,5,a c == ∴2222169,144,a b a c ==-=∴当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为221169144x y +=； 当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为221169144y x +=，故选C ． 2．【答案】D【解析】焦点在x 轴上，则标准方程中2x 项的分母应大于2y 项的分母，即26,a a >+解得选D ．3．【答案】C【解析】直线过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上．4．【答案】Ｄ【解析】由椭圆定义知12||||210PF PF a +==，所以选Ｄ5．【答案】Ｃ【解析】将方程221mx ny +=转化为22111x y m n +=，根据椭圆的定义，要使焦点在ｙ轴上，必须满足101011m nm n ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪<⎪⎩解得0m n >>；故选Ｃ６．【答案】A ； 【解析】方程变形为221(0)112y x k k k+=>，∴11116,232k k k -== 7．【答案】2211510x y += 【解析】因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为222215x y a a +=-． 由点(－3，2)在椭圆上知229415a a +=-，所以a 2＝15．所以所求椭圆的标准方程为2211510x y +=． 8．【答案】()2210259x y y +=≠ 【解析】顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5，2c ＝8，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故顶点C 的轨迹方程为221259x y +=．又A 、B 、C 三点构成三角形，所以y ≠0．所以顶点C 的轨迹方程为()2210259x y y +=≠．9．【答案】6【解析】如图所示，连结PF 2，由于Q 是PF 1的中点，所以OQ 是△PF 1F 2的中位线，所以PF 2＝2OQ ＝2，根据椭圆的定义知，PF 1＋PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝6．10．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴PF 1＋PF 2＝2a ＝6．又PF 1∶PF 2＝2∶1，∴PF 1＝4，PF 2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF 1F 2是直角三角形，故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．11．【答案】(n m -，0)，(－n m -，0)【解析】因为m <n <0，所以－m >－n >0，故焦点在x 轴上，所以c ＝()m n ---＝n m -， 故焦点坐标为(n m -，0)，(－n m -，0)．12．【解析】（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．13．【解析】∵l 是线段P A 的垂直平分线，∴AQ ＝PQ ．∴AQ ＋CQ ＝PQ ＋CQ ＝CP ＝10，且10>6．∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，且2a ＝10，c ＝3，即a ＝5，b ＝4．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y +=． 14．【解析】设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ． 从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos 21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ． ∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 15． 【解析】。

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课时提升作业九椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【解析】选D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.2.(2016·日照高二检测)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是( )A.2B.4C.8D.【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON为△MEF的中位线,所以|ON|=|ME|=4.3.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,因为△PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即= c.①又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,所以a-c=,②联立①②,可得a=2,c=,b==3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( )A. B. C. D.【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离. 【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设|=m,|=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2, 所以=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,故h=.二、填空题 (每小题5分,共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得所以故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是.【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,故|PF1|·|PF2|的最大值是16.答案:168.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2= .【解析】由题意=c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.由题意得点P坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为+=1.故椭圆的标准方程为+=1或+y2=1.10.(2016·郑州高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(x P,y P),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以x P=x,且y P=y.因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·郑州高二检测)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )A.m<2B.1<m<2C.m<-1或1<m<2D.m<-1或1<m<【解析】选D.由题意得即所以1<m<或m<-1.2.(2016·临沂高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选 B.因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得2+-1=0,所以=.所以a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或c,得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以椭圆方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是.【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以△PF1F2是直角三角形,所以=·|F1F2|·|PF2|=.答案:4.(2016·唐山高二检测)已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF 交C于点B,若=3,则||=【解题指南】设出A点的坐标,利用=3求出A点坐标,即可求出||的大小.【解析】设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,得(1,y0)=3(x1-1,y1),所以又点B在椭圆C上,所以+=1,解得y0=±1,所以A点坐标为(2,±1),所以||==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程.(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y轴上,且c=1.又因为3a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆标准方程为+=1.(2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.又由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=,|PF2|=,|F1F2|=2,cos∠F1PF2==.6.(2016·连云港高二检测)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤==4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=λ得x0=,y0=-.又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1,C异于B点,故λ=1舍去.所以λ=-7.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆的定义平面内与两个定点1F 、2F 距离的和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 到两定点1F （-2，0）和2F （2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 圆D. 以上都不对2. 椭圆125y 9x 22=+的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则△2ABF 的周长是A. 20B. 12C. 10D. 6 3. 椭圆1y 25x 22=+上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为A. 5B. 6C. 7D. 84. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和()为常数且a ,0a a 2|PB ||PA |>=+； 命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件题型二：椭圆的标准方程椭圆的两种标准方程1b y a x 2222=+，1bx a y 2222=+中都有：（1）0b a >>；（2）222b a c -=或222c b a +=；（3）焦点坐标（c ±，0）或（0，c ±）；（4）2x 与2y 所对应的分母，哪个大，焦点就在哪个轴上，请用以上知识解决以下5~8题。

5. 椭圆116y 32x 22=+的焦距等于A. 312B. 8C. 6D. 46. 若方程1a y ax 222=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是A. 0a <B. 0a 1<<-C. 1a <D. 无法确定7. 椭圆0ab by ax 22=++（0b a <<）的焦点坐标是A. ()0,b a -±B. ()0,a b -±C. ()b a ,0-±D. ()a b ,0-±8. 椭圆112y 13x 22=+上一点到两个焦点的距离和为A. 26B. 24C.134D. 132题型三：椭圆的标准方程的应用 紧扣标准方程的两种方式，焦点位置取决于两个分母哪个大，特别注意看似非标准形式的标准形式，如11k y kx 222=--，这说明01k <-，另外注意c 2|PF ||PF |21>+的约束条件，请用以上知识解决以下9~10题。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）椭圆同步练习（1）一．选择题：1．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（）A． B．C． D．2．椭圆的焦点坐标是（）．A． B．C． D．3．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（）A． B．C． D．二．填空题：4．与椭圆有相同焦点且过点的椭圆方程是。

5．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为．6．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．三．解答题：7．椭圆的焦距为6且经过点，求焦点在轴上的椭圆的标准方程．8．椭圆的一个焦点是，且截直线，所得弦的中点横坐标为，求椭圆的标准方程．9．已知方程，，对不同范围内的值分别指出方程所代表的曲线的类型，并画出显示其特征的草图．10．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程．11．椭圆与直线相交于，两点，是的中点，若，为原点，的斜率为，求椭圆的方程．参考答案：一．选择题：1．C 2．C 3．B二、填空题：4． 5． 6．，三．解答题：7．8．设所求椭圆方程为，由，得，将与联立消去得．设，，则，解出、，所求椭圆方程为．9．当时，方程的图形为直线；当时方程的图形为中心在原点、焦点在轴上的椭圆；当时方程的图形为以原点为圆心、2为半径的圆；当时方程的图形为中心在原点、焦点在轴上的椭圆．画图略．10．设，，由及为的重心有，得，，．所以中点为（3，－2）．又、在椭圆上，故，．两式相减得到，可得即为的斜率，由点斜式可得的方程为．四、由直线方程与椭圆方程联立消去得．设，，，则，，，所以…①；又由可得…②．由①，②解得，，所求椭圆为．。

2.1.1椭圆及其标准方程（练案）会熟练运用椭圆的定义和标准方程解决问题1.若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为6，则动点P 的轨迹为（ ）A.椭圆B.线段F 1F 2C.直线F 1F 2D.不存在2. 椭圆2214x y n+=的焦距为2，求则n 的值为_______． 3.方程1922=-my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 ． 4.已知121022=-+-m x m y 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是________ 5.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是_______6．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在第_______象限7.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8；（2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。

（3）求经过两点(2，0)，(0，1)，且焦点在坐标轴上。

（4）.求以椭圆455922=+y x 的焦点为焦点，且经过点（2，6）的椭圆的标准方程。

&&&课下选做题1．椭圆11003622=+y x 的两个焦点分别为F 1、F 2.作过F 2的直线并与y 轴垂直，交椭圆于A 、Ｂ两点，则△ABF 1的周长为__________2：已知点P 是是椭圆14522=+x y 上的一点，F 1和F 2是焦点，且△P F 1F 2的面积等于1，求点P 的坐标3．点P 是椭圆14522=+x y 上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1 P F 2=30o ，求△P F 1F 2的面积4．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，求⋅的最大值。

2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10， 所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6． 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |． 又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。

2．1.1 椭圆及其标准方程练习1．在椭圆的标准方程中，a ＝6，b =( ) A. 2213625x y += B. 2213625y x += C. 22136x y += D. 2213625x y +=或2213625y x += 2．已知F 1，F 2为两定点，|F 1F 2|＝4，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝4，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段3．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是( )A ．(0，)B ．(，0)C ．(0，)D ．(，0)5．(2010福建高考，文11)若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．86．已知F 1，F 2为椭圆221259x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝__________.7．若方程221x ay a+=表示椭圆，则实数a 满足的条件是__________． 8．椭圆2214x y +=的两个焦点为F 1，F 2，过左焦点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝__________.9．求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点A ⎝和B ⎫⎪⎪⎝⎭的椭圆；(2)过点(－3,2)且与22194x y +=有相同焦点的椭圆． 10．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解：两定圆的圆心和半径分别是O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题设条件，可知|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R.则|MO1|＋|MO2|＝10＞|O1O2|＝6.由椭圆的定义，知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，则b2＝a2－c2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为221 2516x y+=.。

2.1.1 椭圆及其标准方程[学生用书P97(单独成册)])[A 基础达标]1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B.根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7.2．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8解析：选C.由题意得c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.当m >4时，m ＝4＋1＝5；当m <4时，4＝m ＋1，所以m ＝3.3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值X 围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D.由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2. 4．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1C.x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B.由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3. 因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， 所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.5．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．32解析：选B.设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点， 所以|ON |＝12|MF 2|＝4.6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为__________．解析：由已知2a ＝8，2c ＝215， 所以a ＝4，c ＝15， 所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y 轴上， 所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝17．已知椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2，0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2，0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)， 从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为____________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，所以12×8b ＝12，所以b ＝3.又因为c ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝25.所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝19．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，32)．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝（4－0）2＋（32＋2）2＋（4－0）2＋（32－2）2＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4，32)，所以18a 2＋16b2＝1.又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32， 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)． 由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8， 得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[B 能力提升]11．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.12．(2019·某某高二检测)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.113 B ．115C.117D ．119解析：选C.因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝13，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－13＝173，所以|PF 2||PF 1|＝117.13．如图所示，已知椭圆的两焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2，所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， 所以|PF 1|＝65，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.14．(选做题)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1|·|PF 2|的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF →1＝λCF →1，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值．解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3，即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4. (2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF →1＝λCF →1， 得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ.又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，C 异于B 点，故λ＝1舍去，所以λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.。

[A 组 基础巩固]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1解析：由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.答案：A2．已知△ABC 的两个顶点的坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 解析：顶点C 到两个定点A ，B 的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程． 答案：D3．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2，又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4.又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. 答案：C4．“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若方程x 27－m ＋y2m －5＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0m －5>07－m ≠m －5，解得5<m <7且m ≠6，所以“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选C.答案：C5．已知P 是椭圆x 2100＋y 236＝1上一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1交椭圆于另一点A ，则△P AF 2的周长为( )A ．10B ．16C ．20D ．40解析：设△P AF 2的周长为l ，则l ＝|P A |＋|PF 2|＋|AF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|AF 1|＋|AF 2|)＝2×10＋2×10＝40.答案：D6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 答案：y 216＋x 2＝17．若方程x 2a 2－y 2a ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________；若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________．解析：方程变形为x 2a 2＋y 2－a＝1，当焦点在y 轴上时，有－a >a 2，所以－1<a <0；当焦点在x 轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>－a ，－a >0，所以a <－1.答案：(－1,0) (－∞，－1)8．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27.由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且过点(1，23)和(2,0)，求椭圆的方程． (2)焦点在x 轴上，焦距是4，且经过点M (3，－26)． 解析：(1)由焦点在y 轴上，故设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a2＝1.∵点(1,23)和(2,0)在椭圆上，∴⎩⎨⎧1b 2＋12a 2＝1，4b 2＋0a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝4.故所求的椭圆方程为x 24＋y 216＝1.(2)由焦点在x 轴上，焦距是4，得焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，且c ＝2.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(3＋2)2＋(－26)2＋(3－2)2＋(－26)2＝12，所以a ＝6.所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32.因此，所求椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1.10.如图所示，已知椭圆的两焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求该椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解析：(1)由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2， 所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，所以|PF 1|＝65，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.[B 组 能力提升]1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.23 B ．1 C.43D.53解析：椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)中，a ＝1，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，相加得|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4－|AF 1|－|BF 1|＝4－|AB |.∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，于是2|AB |＝4－|AB |，∴|AB |＝43.答案：C2．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝⎛⎭⎫52，－32的椭圆的标准方程是( ) A.x 210＋y 26＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫322＝3102＋102＝210. ∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6. 答案：A3．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：因为F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且正三角形POF 2的面积为3，所以S △POF 2＝12|OF 2|·|PO |·sin 60°＝34c 2＝3，所以c 2＝4.所以点P 的坐标为(c 2，32c )，即(1，3)，所以1a 2＋3b 2＝1，又b 2＋c 2＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3a 2＝a 2b 2a 2＝4＋b 2，解得b 2＝2 3. 答案：2 34．设P 是椭圆 x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝ 6.答案： 65．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍． 解析：原方程可化为x 225＋y 29＝1.其中a ＝5，b ＝3，则c ＝4.∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)．设P (x ，y )是椭圆上任一点，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即{ (x ＋4)2＋y 2＝2，(x －4)2＋y 2＝8，解得⎩⎨⎧ x ＝－154y ＝347或⎩⎨⎧x ＝－154，y ＝－347.故P 点坐标为(－154，347)或(－154，－347)．6．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且点P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k P A ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.所以k P A ＝y x ＋5，k PB ＝yx －5.所以k P A ·k PB ＝y x ＋5·y x －5＝y 2x 2－25.因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以y 2＝16×(1－x 225)＝16×25－x 225.把y 2＝16×25－x 225代入k P A ·k PB ＝y 2x 2－25，得k P A ·k PB ＝16×25－x 225x 2－25＝－1625.所以k P A ·k PB 为定值，这个定值是－1625.由Ruize收集整理。

椭圆及其标准方程【学习目标】 1． 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力．3． 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神．【要点梳理】 要点一：椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．要点诠释：（1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点；（2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程要点诠释：1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-；3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．以焦点在x 轴上的方程22221x y a b+=(0)a b >>为例．(1)建系建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．（2）设点设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)列式由于点(,)M x y 为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为： {}122P M MF MF a =+= （称此式为几何条件）2a （实现集合条件代数化） ① (4)化简为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得2a =将这个方程两边平方，得()222 44x c y a ++=－22()x c y +-+，整理得2a cx -=上式两边再平方，得4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，整理得22222222()()a c x a y a a c -+=- ②方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简． 由椭圆的定义可知22a c >，即a c >，所以220a c ->， 将方程②两边同除以222()a a c -，得222221x y a a c +=-． 令222a c b -=，那么所得的椭圆方程可化为：22221x y a b +=，(0)a b >>．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．要点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a ，b ，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0)mx ny m n m n +=>≠且．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．【典型例题】 类型一：椭圆的定义例1． 若动点M 到两个定点F 1，F 2的距离的和为定值m ，则M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．以上都不对 【答案】D【解析】由于m 与12||F F 大小关系不能确定，因此M 的轨迹可能是椭圆，也可能是线段，还有可能不存在，故选D【思路点拨】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆．．当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆．举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（ ）A ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段【答案】D【变式2】已知A （0，－1）、B （0，1）两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221(2)43x y x +=≠±B ．221(2)43y x y +=≠±C ．221(0)43x y x +=≠D ．221(0)43y x y +=≠【答案】B例2． 已知圆22:(2)36A x y ++=，圆A 内一定点()20B ，，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．【解析】设圆P 的半径为r ，则|PB|=r ， ∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为6∴两圆的圆心距|PA|=6－r ，即|PA|+|PB|=6（大于|AB|） ∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∴2a=6，2c=|AB|=4∴a=3，c=2，b 2=a 2－c 2=32－22=5∴点P 的轨迹方程为22195x y +=【思路点拨】解本题的关键是由圆的几何性质得到到两定点的距离之和为定值．从而由椭圆的定义得到轨迹为一椭圆．举一反三：【高清课堂：椭圆的方程356766 例2】【变式】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】2213627x y +=类型二：椭圆的标准方程例3． 方程2212516x y m m +=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________【答案】9252m <<【解析】因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即92m >，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m 的取值范围为9252m <<．【思路点拨】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a ，b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．举一反三：【变式1】椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．【答案】，(【解析】因为m <n <0，所以－m >－n >0，故焦点在x 轴上，所以c =，故焦点坐标为，(．【变式2】已知椭圆的标准方程是221225x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．【答案】【解析】因为F 1F 2＝8，即即所以2c ＝8，即c ＝4，所以a 2＝25＋16＝41，即a =，所以△ABF 2的周长为4a =例4．当39k <<时，指出方程22193x y k k +=--所表示的曲线．【解析】∵39k <<∴90-3>0k k ->且（1） 若9-k>k-3，即36k <<时，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆；（2）若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆221x y+=；（3）若9-k<k-3，即69k<<时，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．【思路点拨】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息．举一反三：【变式】如果方程222(0)x ky k+=>表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是．【答案】01k<<类型三：求椭圆标准方程【高清课堂：椭圆的方程356766 例1】例5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35(,)22-．【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>．∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4 ∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为221 259x y+=；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为22221(0) y xa ba b+=>>由椭圆的定义知，2a=，∴a=又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为221 106y x+=．【思路点拨】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为22221x ya b+=；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为22221y xa b+=．举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为(04),(0,4)-，，且椭圆经过点(5,0)．【答案】2214125y x +=．【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194x y +=有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程．【答案】2211510x y +=．例6． 过点(－3，2)且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程是________．【答案】2211510x y +=【解析】 因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为222215x y a a +=-．由点(－3，2)在椭圆上知229415a a +=-，所以a 2＝15． 所以所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．【思路点拨】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程． 举一反三：【变式1】已知椭圆经过点P （2，0）和点Q ，求椭圆的标准方程． 【答案】22149x y +=【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P （3，0）且a =3b ，求椭圆的标准方程．【答案】2219x y +=或221819y x +=．类型四：椭圆的综合问题例7．设F 1、F 2是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积等于________．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c =，∴PF 1＋PF 2＝2a ＝6．又PF 1∶PF 2＝2∶1，∴PF 1＝4，PF 2＝2，由22224+=可知△PF 1F 2是直角三角形，故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．【思路点拨】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．举一反三：【变式1】已知P 为椭圆221169x y +=上的一点，12,F F 是两个焦点，1260F PF ∠=︒，求12F PF ∆的面积．【答案】【变式2】△ABC 两顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是49-，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．221(6)8136x y y +=≠±B ．221(6)8116y x y +=≠±C ．221(6)1636x y x +=≠±D ．221(6)3616x y x +=≠±【答案】D【巩固练习】 一、选择题1． 已知椭圆221169x y +=上一点M ，到椭圆的一个焦点的距离为2，则点M 到另一个焦点的距离为（ ）Ａ 1 B ．2 C ．4 D ．6 2．若椭圆的2221kx ky +=的一个焦点为（0，-4），则k 的值为（ ）Ａ．132 B ．18C ．8D ．323．已知椭圆2214xy +=上一点P 的横坐标为P 的坐标为（ ）A ．1()2B ．11()()22-或C ．1()2-D ．11((22-或 4．满足条件13,5a c ==的椭圆的标准方程为（ ）A ．221169144x y +=B ．221169144y x +=C ．222211169144169144x y y x +=+=或 D ．不确定5．如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a >B ．2a <-C ． 3a >或2a <-D ．3a >或62a -<<-6．直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．1m ≥或01m <<C ． 1m ≥且5m ≠D ．05m <<且1m ≠ 二、填空题7．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，则椭圆的标准方程是________． 8． 若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________．9．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是PF 1的中点，若|OQ |＝1，则|PF 1|＝________．10．设F 1、F 2是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积等于________．11．椭圆221x y m n+=-- (m <n <0)的焦点坐标是________．三、解答题12．已知椭圆x 2＋2y 2＝a 2(a >0)的左焦点F 1到直线y ＝x －2的距离为，求椭圆的标准方程．13．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝100及点A (－3,0)，P 是圆C 上任意一点，线段P A 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．14． 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 15．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．【答案与解析】1．答案D ；【解析】由椭圆方程知1228,||2,||226a MF MF a ===-= 2．答案A ；【解析】方程变形为221(0)112y x k k k+=>，∴11116,232k k k -==3．答案B ；【解析】依题意知P 点的横坐标为3-，代入椭圆方程得1,2y =±从而P 点坐标为1(3,)2或1(3,)2--，故选B4．答案C ；【解析】∵13,5,a c == ∴2222169,144,a b a c ==-=∴当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为221169144x y +=；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为221169144y x +=，所以答案选C ．5．答案D ；【解析】焦点在x 轴上，则标准方程中2x 项的分母应大于2y 项的分母，即26,a a >+解得选D ．6．【答案】D【解析】直线过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上．7． 【答案】2212524x y += 【解析】由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝25124-=．∴椭圆的标准方程为2212524x y +=． 8． 【答案】()2210259x y y +=≠ 【解析】顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5，2c ＝8，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故顶点C 的轨迹方程为221259x y +=．又A 、B 、C 三点构成三角形，所以y ≠0．所以顶点C 的轨迹方程为()2210259x y y +=≠． 9． 【答案】6【解析】如图所示，连结PF 2，由于Q 是PF 1的中点，所以OQ 是△PF 12的中位线，所以PF 2＝2OQ ＝2，根据椭圆的定义知，PF 1＋PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝6． 10．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴PF 1＋PF 2＝2a ＝6．又PF 1∶PF 2＝2∶1，∴PF 1＝4，PF 2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF 1F 2是直角三角形，故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．11．【答案】(n m -，0)，(－n m -，0)【解析】因为m <n <0，所以－m >－n >0，故焦点在x 轴上，所以c ＝()m n ---＝n m -， 故焦点坐标为(n m -，0)，(－n m -，0)． 12．【解析】13． 【解析】∵l 是线段P A 的垂直平分线， ∴AQ ＝PQ ．∴AQ ＋CQ ＝PQ ＋CQ ＝CP ＝10，且10>6．∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，且2a ＝10，c ＝3，即a ＝5，b ＝4．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y +=． 14． 【解析】当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ． 又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 15． 【解析】设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．。

第二章 圆锥曲线与方程§2.1 椭 圆2.1.1 椭圆及其标准方程 课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是__________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段2．椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．43．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，±66 B ．(0，±1) C ．(±1,0) D.⎝⎛⎭⎫±66，0 4．方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1) B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形题号 1 2 3 4 5 6 答案7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52.11．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|P A |，求动点P 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．813．如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a >|F 1F 2|时轨迹才是椭圆，如果2a ＝|F 1F 2|，轨迹是线段F 1F 2，如果2a <|F 1F 2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a >b >0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．第二章 圆锥曲线与方程§2.1 椭 圆2．1.1 椭圆及其标准方程答案知识梳理1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F 1F 2 不存在 2.x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) 2c y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0) 作业设计1．D [∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|，∴动点M 的轨迹是线段．]2．B [由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.]3．D4．B [|a |－1>a ＋3>0.]5．D [椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ，又过点⎝⎛⎭⎫52，－32验证即可．] 6．D [由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.由题可得||PF 1|－|PF 2||＝2，则|PF 1|＝5或3，|PF 2|＝3或5.又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．]7．2 120°解析∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.8．4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x (2a －x )，因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3.∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴k max ＝4，k min ＝3.9．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋Ra －c ＝n ＋R，则2c ＝m －n . 10．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.11．解 ∵|PM |＝|P A |，|PM |＋|PO 1|＝4，∴|PO 1|＋|P A |＝4，又∵|O 1A |＝23<4，∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆，∴c ＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1. 12．C [由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则 OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴ x 204＋y 203＝1.∴ OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 24)＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2，∴ OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.]13．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B (6,0)，C (－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则|BD |＋|CE |＝30. 由重心性质可知|GB |＋|GC | ＝23(|BD |＋|CE |)＝20. ∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12，∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点．∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1， 去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1. 由重心坐标公式知⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 3. 故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1. 即x 2900＋y 2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．。

►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以判断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述判断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2． 2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排除A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D.3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b2＝1，解得b 2＝3.∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．1．下列说法中正确的是(C )A ．已知F 1(－4，0)，F 2(4，0)，到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4，0)，F 2(4，0)，到F 1，F 2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C ．到F 1(－4，0)，F 2(4，0)两点的距离之和等于点M (5，3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．到F 1(－4，0)，F 2(4，0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆2．设F 1、F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为(B)A ．16B ．18C ．20D ．不正确 3．椭圆4x 2＋9y 2＝36的焦点坐标是(D ) A ．(0，±3) B ．(0，±5) C ．(±3，0) D ．(±5，0)解析：椭圆方程化为标准方程为x 29＋y 24＝1，∴c 2＝9－4＝5，∴c ＝5，又∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(±5，0)．4．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为(A )A ．5或3B ．8C ．5D ．3解析：当焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝4， 又c ＝1，∴m －4＝1，∴m ＝5.当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴4－m ＝1，∴m ＝3.故选A.5．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是(D ) A ．(0，2) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(0，1)解析：将方程化为标准方程为x 22＋y 22k ＝1，∴k ＞0.又因为焦点在y 轴上，∴2k＞2，即k ＜1，故0＜k ＜1.6．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为(C )A ．20B ．22C ．24D ．28解析：|PF 1|＋|PF 2|＝14， (|PF 1|＋|PF 2|)2＝196，① |PF 1|2＋|PF 2|2＝100.②①－②得2|PF 1|·|PF 2|＝96，S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.7．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k ＝____.解析：焦点在y 轴上，则y 25k＋x 21＝1，c 2＝5k －1＝4，k ＝1.8．与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为______．解析：椭圆x 2＋4y 2＝4的标准方程为x 24＋y 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝4－1＝3. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1.(a 2＞3)，把点A (2，1)代入4a 2＋1a 2－3＝1，解得a 2＝6，或a 2＝2(舍去)，∴所求椭圆方程为x 26＋y 23＝1.答案：x 26＋y23＝1.9．一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．解析：设定圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心为C ，动圆圆心为P ，则|P A |＋|PC |＝4.∵P 点的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴动圆圆心轨迹方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝110．已知B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求定点A 的轨迹方程．解析：如图，建立直角坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合． 由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝16，|BC |＝6， 有|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝6，即点A 的轨迹是椭圆，且2c ＝6，2a ＝10. ∴c ＝3，a ＝5，b 2－a 2－c 2＝25－9＝16.但当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形．∴点A 的轨迹方程是x 225＋y 216＝1(y ≠0)．11．已知M (4，0)，N (1，0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|，求动点P 的轨迹方程．解析：设动点P (x ，y )，MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3，0)，NP →＝(x －1，y )，由MN →·MP →＝6|NP→|，得－3(x －4)＝6（x －1）2＋y 2，平方化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程为x 24＋y23＝1.►体验高考1．(2014·辽宁卷)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________________________________________________________________________.解析：(1)椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6. ∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.2．(2014·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 与A ，B 两点，若|AF 1|＝3|BF 1|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________________________________________________________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c x 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c y ＝±b 2，设A (c ，b 2)，由|AF 1|＝3|BF 1|，得B ⎝⎛⎭⎫－53c ，－13b 2， ∴⎝⎛⎭⎫－53c 2＋⎝⎛⎭⎫－13b 22b 2＝1，∴25c 2＋b 2＝9，∴25(1－b 2)＋b 2＝9，b 2＝23，∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.答案：x 2＋32y 2＝13．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程．解析：将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，6a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以，椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.4．在平面直角坐标系x 0y 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1(－1，0)，且P (0，1)在C 1上，求C 1的方程．解析：由题意得：b ＝1，c ＝a 2－b 2＝1∴a ＝2，b ＝c ＝1，故椭圆C 1的方程为：x 22＋y 2＝1.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q . 则|QP |QM ＝R r 1，可求得Q (－4，0)， 所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1＝－4＋627，x 2＝－4－627.所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187.18综上，|AB|＝23或|AB|＝7.。

2．1.1 椭圆及其标准方程想一想1.椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数2a (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距．椭圆的集合描述：设点M 是椭圆上任意一点，点F 1，F 2是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,0＜|F 1F 2|＜2a }．2．椭圆的标准方程的推导过程如图，给定椭圆，它的焦点为F 1，F 2，焦距|F 1F 2|＝2c (c ＞0)，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a (a ＞c )．(1)建系：以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .那么焦点F 1，F 2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)．(2)列式：设M (x ，y )是椭圆上任意一点，由椭圆的定义得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，即(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝2a .(3)化简：上式整理可得x 2a 2＋y 2a 2－c 2＝1.令b 2＝a 2－c 2，可得x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．3．椭圆的标准方程椭圆的标准方程有两种形式：(1)焦点落在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1 (－c,0)，F 2 (c,0)，焦距为2c ，且a 2＝b 2＋c 2，如图1所示；(2)焦点落在y 轴上的椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1 (0，－c )，F 2 (0，c )，焦距为2c ，且a 2＝b 2＋c 2，如图2所示．注：椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图3记忆．正数a ，b ，c 恰好构成一个直角三角形，其中a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c 且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半．对于图2222也成立.判一判1.已知F 1，F 21212，则动点M 的轨迹是椭圆．(×)解析：虽然动点M 到两个定点F 1，F 2的距离之和为常数6，但由于这个常数等于|F 1F 2|，所以动点M 的轨迹是线段F 1F 2，故错误．2．椭圆2x 2＋3y 2＝6的焦点在x 轴上．(√)解析：椭圆的标准方程为x 23＋y 22＝1，焦点在x 轴上，故正确．3．方程x 210＋y210＝1表示椭圆．(×)解析：x 2与y 2的分母相等表示圆不表示椭圆，故错误．4．椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为F 1，F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是20.(√)解析：因为弦AB 过点F 1，所以由椭圆的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，故△ABF 2的周长为20.故正确．5．曲线x 225＋y 29＝1与曲线y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)的焦距相等．(√)解析：x 225＋y 29＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，a 2＝25，b 2＝9，则c 2＝25－9＝16，所以c＝4，焦距为8；y 225－k ＋x 29－k＝1(k <9)表示焦点在y 轴上的椭圆，a 2＝25－k ，b 2＝9－k ， 则c 2＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c ＝4，焦距为8，故二者的焦距相等．故正确．6．椭圆x 2m ＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则椭圆的焦点在y 轴上．(×)解析：设椭圆的焦点分别为F 1，F 2，则由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以a ＝5，所以a 2＝25，即m想一想1.平面内动点M 12|F 1F 2|,2a <|F 1F 2|，则M 的轨迹是什么？提示：当2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在． 2．确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？提示：a ，b 的值及焦点所在的位置，然后代入相应的标准方程即可． 3．根据椭圆方程如何确定焦点位置？提示：对于方程x 2m ＋y 2n＝1，①表示焦点在x 轴上的椭圆⇔m >0，n >0且m >n ； ②表示焦点在y 轴上的椭圆⇔m >0，n >0且m <n ； ③表示椭圆⇔m >0，n >0且m ≠n .总之，把方程化为标准形式，在x 2与y 2的分母中，若x 2的分母大，则焦点在x 轴上；若y 2的分母大，则焦点在y 轴上．4．在椭圆的标准方程中a >b >c 一定成立吗？提示：不一定，只要a >b ，a >c 即可，b ，c 大小关系不定． 思考感悟：练一练1．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段解析：因为|MF 1|＋|MF 2|＝10>|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是椭圆，故选A. 答案：A2．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1 B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1 C.x 213＋y 2＝1 D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 解析：由题可知b 2＝a 2－c 2＝1，当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 213＋y 2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为y213＋x 2＝1.故选D.答案：D3．已知椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，则k ＝________.解析：易知k ≠0，椭圆方程可化为x 2＋y 2－5k＝1，所以a 2＝－5k ，b 2＝1.又c ＝2，所以－5k－1＝4，所以k ＝－1. 答案：－14．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，则|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________．解析：由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， 所以4c ＝2a ＝4，所以a ＝2. 又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝1知识点一 椭圆的定义及简单应用1.2a (a ≥0)，给出下列说法：①当a ＝2时，点P 的轨迹不存在；②当a ＝4时，点P 的轨迹是椭圆，且焦距为3； ③当a ＝4时，点P 的轨迹是椭圆，且焦距为6； ④当a ＝3时，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆． 其中正确的说法是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④解析：当a ＝2时，2a ＝4<|AB |，故点P 的轨迹不存在，①正确；当a ＝4时，2a ＝8>|AB |，故点P 的轨迹是椭圆，且焦距为|AB |＝6，②错误，③正确；当a ＝3时，点P 的轨迹为线段AB ，④错误．答案：B2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7解析：由椭圆方程知a ＝5，根据椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7. 答案：D3．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定解析：∵a ＝5，b ＝3，∴c ＝4又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，|F 1F 2|＝2c ＝8，∴△PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝10＋8＝18，故选B. 答案：B4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( )A ．2B ．4C ．8 D.32解析：设椭圆的另一个焦点为E ， 则|MF |＋|ME |＝10，∵|MF |＝2，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4.答案：5. ) A ．(0，＋∞) B ．(0,2) C ．(1，＋∞) D ．(0,1)解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，若焦点在y 轴上，则必有2k＞2，且k ＞0，即0＜k ＜1.答案：D6．写出适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)a ＝5，c ＝2；(2)经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点；(3)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)． 解析：(1)由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 221＝1或y 225＋x 221＝1(2)方法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知，得⎩⎨⎧ 6a 2＋1b 2＝1，3a 2＋2b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，b 2＝3，即所求椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)，由已知，得⎩⎨⎧6b 2＋1a 2＝1，3b 2＋2a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9，a 2＝3，与a >b >0矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1.方法二：由已知，设椭圆的方程是Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，故⎩⎪⎨⎪⎧6A ＋B ＝1，3A ＋2B ＝1⇒⎩⎨⎧A ＝19，B ＝13即所求椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1.(3)方法一：方程9x 2＋5y 2＝45可化为x 25＋y 29＝1，则焦点是F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵点M 在椭圆上， ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2 ＝(23－2)＋(23＋2)＝43， ∴a ＝23，即a 2＝12， ∴b 2＝a 2－c 2＝12－4＝8，∴椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.方法二：由题意，知焦点F 1(0,2)，F 2(0，－2)，设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ>0)，将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.基础达标一、选择题1．已知甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；乙：点P 的轨迹是椭圆，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．故选B.答案：B2．设定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋4m(m >2)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：因为m >2，所以m ＋4m >2m ·4m＝4，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆．故选A.答案：A3．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F (－3,0)，则m ＝( )A ．9B ．4C ．3D ．2解析：依题意，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝3，因此25－m 2＝9，解得m ＝4.故选B. 答案：B4．化简方程x 2＋(y ＋3)2＋x 2＋(y －3)2＝10为不含根式的形式是( ) A.x 225＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 29＋y 225＝1 解析：由题意可知，方程表示点(x ，y )与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6,6<10，它符合椭圆的定义，即2a ＝10,2c ＝6，从而可求得b 2＝16，相应椭圆方程为x 216＋y 225＝1.故选C.答案：C5．方程x 2m ＋9＋y 225－m＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9＜m ＜8B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8解析：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8＜m ＜25.故选B.答案：B6．若椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△PF 1F 2的面积为( )A ．9B ．12C ．15D ．18解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由∠F 1PF 2＝90°且|F 1F 2|＝8，知r 21＋r 22＝64.又r 1＋r 2＝10，可得r 1r 2＝18，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝9.答案：A7．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝( )A.54B.52C ．5D ．无法确定解析：由题意，知|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10，所以由正弦定理可得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54. 答案：A 二、填空题8．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于________．解析：由题意得m －2>10－m >0，解得6<m <10，且a 2＝m －2，b 2＝10－m ，则c 2＝a 2－b 2＝2m －12＝4，m ＝8.答案：89．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为________．解析：由题意知，cos α>sin α>0， ∴tan α<1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<α<π4. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π4 10．设椭圆x 2m 2＋y 24＝1过点(－2，3)，则焦距等于________________________________________________________________________．解析：因为椭圆x 2m 2＋y 24＝1过点(－2，3)，所以4m 2＋34＝1，m 2＝16，则c 2＝16－4＝12，故焦距2c ＝4 3.答案：4 311．已知a ＋c ＝3，a －c ＝1，椭圆焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为________．解析：因为a ＋c ＝3，a －c ＝1，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，又椭圆焦点在y轴上，所以此椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.答案：y 24＋x 23＝112．设F 1，F 2分别是椭圆x 249＋y 224＝1的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1||PF 2|＝43，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14|PF 1||PF 2|＝43，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，∵c 2＝49－24＝25， ∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2是直角三角形，∴△PF 1F 2的面积为12×6×8＝24.答案：24 三、解答题13．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△POF 2为面积是3的正三角形，试求椭圆的标准方程．解析：由△POF 2为面积是3的正三角形得，|PO |＝|PF 2|＝|OF 2|＝2， ∴c ＝2.连接PF 1，在△POF 1中，|PO |＝|OF 1|＝2，∠POF 1＝120°， ∴|PF 1|＝2 3.∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2＋23，∴a ＝1＋3，∴b 2＝a 2－c 2＝4＋23－4＝2 3.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋23＋y 223＝1.14．如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ于M ，求点M 的轨迹方程．解析：由垂直平分线性质可知，|MQ |＝|MA |， ∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |， 又|CQ |＝4，∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2，∴点M 的轨迹为椭圆． 由椭圆的定义知：a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴所求轨迹方程为：x 24＋y 23＝1.能力提升15.设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)，B (5,0)，试判断k P A ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以y 2＝16×⎝⎛⎭⎫1－x 225＝16×25－x 225.①因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.所以k P A ＝y x ＋5，k PB ＝yx －5.所以k P A ·k PB ＝y x ＋5·y x －5＝y 2x 2－25.②把①代入②，得k P A ·k PB ＝16×25－x 225x 2－25＝－1625.所以k P A ·k PB 为定值，这个定值是－1625.16．△ABC 中底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．解析：如图，以BC 边所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，CE ，BD 为AB ，AC 边上的中线， 则|BD |＋|CE |＝30.由重心性质可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20.因为B ，C 是两个定点，G 点到B ，C 距离之和等于定值20， 且20>12，所以G 点的轨迹是椭圆，B ，C 是椭圆焦点， 所以2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1，去掉(10,0)，(－10,0)两点， 又设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 3.故点A 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x 32100＋⎝⎛⎭⎫y 3264＝1.即x 2900＋y 2576＝1，去掉(－30,0)，(30,0)两点．。

课后导练基础达标1.椭圆1121322=+y x 上一点到两个焦点的距离和为( ) A.26B.24C.134D.132解析：由a 2=13,得2a =213.答案：D2.下列说法中正确的是( )A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条线段 答案：D3.已知椭圆的方程为22216m y x +=1,焦点在x 轴上，则m 的范围是( ) A.-4≤m ≤4且m ≠0 B.-4＜m ＜4且m ≠0 C.m ＞4或m ＜-4 D.0＜m ＜4解析：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以0<m 2<16，即-4<m <4且m ≠0. 答案：B4.设P 是椭圆121622y x +=1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解析：由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =8. 又|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=5,|PF 2|=3. 又|F 1F 2|=2c =21216-=4,∴△PF 1F 2 为直角三角形. 答案：B5.椭圆121622y x +=1的焦距等于2，则m 的值为( ) A.5或3 B.8 C.5 D.16解析：当焦点在x 轴上时，c 2=m -4,即1=m -4, ∴m =5.当焦点在y 轴上时，c 2=4-m ,即1=4-m , ∴m =3答案：A6.椭圆4x 2+9y 2=1的焦点坐标是__________. 解析：因为椭圆的焦点在x 轴上，a 2=41,b 2=91,所以c =659141=-，椭圆的焦点坐标为（±65,0）. 答案：（±65,0） 7.过点(-3，2)且与4922y x +=1有相同焦点的椭圆的方程是__________. 解析：因为c 2=9-4=5,所以设所求椭圆的方程为52222-+a y a x =1.由点（-3,2）在椭圆上知54922-+a a =1,所以a 2=15. 所以所求椭圆的方程为101522y x +=1. 答案：101522y x +=1 8.若方程ky k x -+-3522=-1表示椭圆，则实数k 的取值范围是__________. 解析：由题意k 必须满足⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-k k k k 350305∴3<k <5且k ≠4 答案：3<k <5且k ≠49.过原点的直线与椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，若F (c ,0)是椭圆右焦点，则△F AB 的最大面积是多少？ 解析：∵S △F AB =S △OAF +S △OBF =21c ·|y A |+21c ·|y B |=21c ·(|y A |+|y B |).而（|y A |+|y B |）max =2b , ∴(S △F AB )max =bc .10.点P 是椭圆4522x y +=1上的一点，F 1、F 2是焦点，且∠F 1PF 2=30°，求△F 1PF 2的面积.解析：在椭圆4522x y +=1中，a =5,b =2,∴c =22b a -a 2-b 2=1. ∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|=2a =25.|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=20① 由余弦定理知|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos30°=|F 1F 2|2=4②①-②得(2+3)|PF 1||PF 2|=16, ∴|PF 1||PF 2|=16(2-3), ∴21PF F S ∆=21|PF 1||PF 2|·sin30°=8-43.综合运用11.F 1、F 2是椭圆C ：4822y x +=1的焦点，在C 上求满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数？ 解析：a =22,c =2,e =22, 设P (x 0,y 0),则|PF 1|=22+22x 0,|PF 2|=22-22x 0.∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 即2020)2222()2222(x x -++=16,解得x 0=0. 故在椭圆上存在两点，即短轴的两顶点使PF 1⊥PF 2.12.已知圆C 1：(x +1)2+y 2=1和圆C 2：(x -1)2+y 2=9,求与圆C 1外切而内切于圆C 2的动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：圆C 1的圆心C 1坐标为（-1，0），半径r 1=1, 圆C 2的圆心C 2坐标为（1，0），半径r 2=3.动点P 满足|PC 1|=r +1,|PC 2|=3-r (r 为动圆半径)， ∴|PC 1|+|PC 2|=4∴动点P 的轨迹是以C 1,C 2为焦点，长轴长为4的椭圆.故点P 的轨迹方程为3422y x +=1 13.已知P 为椭圆6410022y x +=1上的点，设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=3π，求△F 1PF 2的面积.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=20又∠F 1PF 2=3π 由余弦定理知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=400|)||(|1443πcos ||·||2||||||221212221221PF PF PF PF PF PF F F ∴|PF 1|·|PF 2|=3256∴33643πsin ||·||212121==PF PF S PF ΔF拓展探究14.已知椭圆的焦点是F 1(-1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2=120°，求tan ∠F 1PF 2. 解：(1)由题设2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|,∴2a =4,又2c =2,∴b =3.∴椭圆的方程为.13422=+y x (2)设∠F 1PF 2=θ,则∠PF 2F 1=60°-θ. 由正弦定理得.)60sin(||120sin ||sin ||1221θθ-== PF PF F F 由等比定理得.)60sin(120sin ||||sin ||2121θθ-++=PF PF F F ∴.)60sin(234sin 2θθ-+= 整理得5sin θ=3(1+cos θ).∴,532tan .53cos 1sin ==+θθθ故tan F 1PF 2=tan θ=.11352531532=-⨯。

2.1.1 椭圆及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段解析：因为|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D. 答案：D2．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5，0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12，0) 解析：因为c 2＝a 2－b 2＝169－25＝122，所以 c ＝12.又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±12)，答案：C3．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m ＝( )A ．10B ．5C ．15D ．25解析：设椭圆的焦点分别为F 1，F 2，则由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以 a ＝5，所以 a 2＝25，所以 椭圆的焦点在x 轴上，m ＝25.答案：D 4．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对 解析：设椭圆方程为：Ax 2＋By 2＝1(A ≠B ，A >0，B >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝1，1625A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝125. 答案：A5．若方程x 2m ＋9＋y 225－m ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8 解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8<m <25.答案：B二、填空题6．已知椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，则k ＝________．解析：易知k ≠0，椭圆方程可化为x 2＋y 2－5k＝1， 所以 a 2＝－5k ，b 2＝1.又c ＝2，所以 －5k－1＝4， 所以 k ＝－1.答案：－17．已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是椭圆上的一点，则|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是___________．解析：由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，所以 4c ＝2a ＝4，所以 a ＝2.又c ＝1，所以 b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 8．若椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为________．解析：设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝14－x ，又2c ＝10，根据勾股定理，得x 2＋(14－x )2＝100，解得x ＝8或x ＝6，所以S ＝12×8×6＝24. 答案：24三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．解：(1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝210， 即a ＝10.又c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝6.所以所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 所以所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，因为点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 10．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解：由题意知两定圆的圆心与半径分别为O 1(－3，0)，r 1＝1；O 2(3，0)，r 2＝9. 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ，所以|MO 1|＋|MO 2|＝10.由椭圆的定义知，点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. B 级 能力提升1．平面内有两个定点A ，B 及动点P ，设甲：|PA |＋|PB |是定值，乙：点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，则|PA |＋|PB |是定值，由椭圆的定义，知反之不一定成立．答案：B2．(2014·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：过B 作x 轴的垂线，垂足为M .因为AF 2⊥x 轴，所以|AF 2|＝|y A |＝b 2.因为|AF 1|＝3|BF 1|，所以|BM |＝b 23，|MF 1|＝2c 3， 所以|MO |＝5c 3，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b 23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，b 23， 则25（1－b 2）9＋b 29＝1， 故b 2＝23，则椭圆E 的方程为x 2＋3y 22＝1. 答案：x 2＋3y 22＝1 3．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解：(1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，①且F 1(－3，0)，F 2( 3.0)．在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43. 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝33. (2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得F 1P →·F 2P →＜0，即(x ＋3，y )·(x －3，y )＜0，又y 2＝1－x 24，所以34x 2＜2，解得－263＜x ＜263， 所以点P 横坐标的取值范围是－263＜x ＜263.。

课堂练习(七) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1. 由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意，故选D.]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．4 2A [由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．y 225＋x 2＝1B ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C ．x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝1，1625A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝125.]4．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．以上答案都不对C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.]5．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．②④ [①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；④点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填②④.]7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．x 29＋y 23＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.] 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B的值为________． 54 [由题意可知A ，C 恰为椭圆x 225＋y29＝1的两焦点，又点B 在椭圆上，故|BC |＋|AB |＝10.∴sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.]9．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32； (2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，点P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.[解] (1)∵椭圆焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过(2,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. ∵P 到离它较近的一个焦点的距离为2， ∴－c －(－10)＝2， ∴c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1. 10．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程． [解] 将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62， ∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M 与已知圆B 相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即 |BC |－|MC |＝|BM |， 而|BC |＝6，|CM |＝|AM |， ∴|BM |＋|AM |＝6.根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2，0)为焦点的椭圆，且2a ＝6. ∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5， ∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.[能力提升练]1．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．4x 29＋y 2＝1D ．x 2＋4y29＝1B [由已知c ＝1，且焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，得a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]2．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为 ( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 28＋y 24＝1A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，得a 2＝8，b 2＝6，c a ＝12，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1.]3．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．64 [∵F 1，F 2为椭圆焦点， ∴|F 1F 2|＝12.∵P 是椭圆上一点， ∴根据椭圆性质， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20 ①∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝122②联立①②可求得|PF 1|·|PF 2|＝128. ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝64.]4．如图，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则此椭圆的方程为________．x2 4＋y22＝1 [设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则A(a,0)，B(0，b)，C⎝⎛⎭⎪⎫a2，b2，F(a2－b2，0)，依题意得，a2－b2＝2，所以M⎝⎛⎭⎪⎫2，baa2－2，由于O，C，M三点共线，所以b a2－2a2＝b2a2，则a2－2＝2，所以a2＝4，所以b2＝2，所以所求的椭圆的方程为x24＋y22＝1.] 5．如图，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|＝22，△DF1F2的面积为22.求椭圆的标准方程．[解]设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由|F1F2||DF1|＝22，得|DF1|＝|F1F2|22＝22c.从而S△DF1F2＝12|DF1|·|F1F2|＝22c2＝22，故c＝1.从而|DF1|＝22.由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝92，因此|DF2|＝322，所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22，故a＝2，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.。

2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升1.椭A.(5,0),(-5,0)B.(0,5),(0,-5)C.(0,12),(0,-12)D.(12,0),(-12,0)解析:由题易知焦点在y轴上,a2=169,b2=144,则c.答案:B2.在椭圆的标准方()A.a=100,b=64,c=36B.a=10,b=6,c=8C.a=10,b=8,c=6D.a=100,c=64,b=36答案:C3.已知a=4,b=1,焦点在x轴上的椭圆的标准方程是()A=1 B.xC=1 D.x答案:C4.化简方AC解析:由题意可知,方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)之间的距离之和为10,又两定点之间的距离为6,6<10,它符合椭圆的定义,即2a=10,2c=6,从而可求得b2=16.答案:C5.已知椭y轴上,若焦距为4,则m=()A.4B.5C.7D.8解析:因为焦点在y轴上,所⇒6<m<10.又焦距2c=4,所以m-2-10+m=22⇒m=8.答案:D6.设F1,F2是椭P为椭圆上的一点,则△PF1F2的周长为()A.10B.12C.16D.不确定答案:B7.椭M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于()A.2B.4C.8 D解析:设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知|MF2|=10-2=8.又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON||=4.答案:B★8.已知椭圆C=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满|PF1|+|PF2|的取值范围为.解析:∵点P(x0,y0)满P在椭圆内且不过原点,∴2c≤|PF1|+|PF2|<2a.又∵a2=2,b2=1,∴a b=1,c2=a2-b2=1,即c=1,∴2≤|PF1|+|PF2|<答案:[29.已知圆A:(x+3)2+y2=1及圆B:(x-3)2+y2=81,动圆P与圆A外切,与圆B内切,求动圆圆心P的轨迹方程.分析:利用椭圆的定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆,再求其方程.解:设动圆P的半径为r.由所给圆的方程知,A(-3,0),B(3,0),由题意,可得|PA|=r+1,|PB|=9-r,故|PA|+|PB|=r+1+9-r=10>|AB|=6.由椭圆的定义知动点P的轨迹是椭圆.其中2a=10,2c=6,即a=5,c=3,所以b2=16.故动圆圆心P的轨迹方程.★10.已知椭P,F1,F2为椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.分析:计算三角形的面积有多种公式可供选择,其中与已知条件联系最密切的应|·|PF2|·sin θ,所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算.解:如图,由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a,而在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=4c2,即4(a2-c2)=3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2||·|PF2|sin 60.。