最新人教版高中数学必修3第三章期中检测(a卷)(附答案)

高一数学同步检测十二

期中检测(A卷)

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共40分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)

1．已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是

A．－235 B.235 C．－45 D.45

答案：C

2．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2cosα＋sinα的值是

A．1或－1

B.25或－25

C．1或－25

D．－1或25

答案：A

3．设α是第二象限角，|cosα2|＝－cosα2，则α2是

A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

答案：C

解析：若α是第二象限角，则α2是第一或三象限角． 又∵|cosα2|＝－cosα2，∴cosα2≤0.

∴α2是第三象限角．

4．将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移π4个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是

A．cosx B．2cosx

C．sinx D．2sinx

答案：B 解法一：将y＝1－2sin2x＝cos2x作关于x轴的对称变换，得y＝－cos2x，然后向左平移π4个单位，得y＝－cos2(x＋π4)＝sin2x＝f(x)·sinx，所以f(x)＝2cosx.

解法二：把y＝f(x)·sinx向右平移π4个单位后，得到y1＝f(x－π4)·sin(x－π4)，再作关于x轴的对称变换后，得到y2＝－f(x－π4)sin(x－π4)．

由题意，得－f(x－π4)sin(x－π4)＝1－2sin2x.

∵1－2sin2x＝cos2x＝sin(π2－2x)

＝2sin(π4－x)·cos(π4－x)，

∴－f(x－π4)sin(x－π4)

＝2sin(π4－x)cos(π4－x)．

∴f(x－π4)＝2cos(π4－x)＝2cos(x－π4)．

∴f(x)＝2cosx.

5．函数f(x)＝3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则θ等于

A．kπ(k∈Z) B．kπ＋π6(k∈Z)

C．kπ＋π3(k∈Z) D．kπ－π3(k∈Z)

答案：D

解析：f(x)＝3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)

＝2sin[π3－(3x－θ)]＝2sin[(π3＋θ)－3x]．

∵f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．

∴f(0)＝2sin(π3＋θ)＝0.

∴π3＋θ＝kπ(k∈Z)．

∴θ＝kπ－π3 (k∈Z)．

6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(π6＋x)＝f(π6－x)，则f(π6)等于

A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0

答案：B

解析：由f(π6＋x)＝f(π6－x)恒成立，可知y＝f(x)的图象关于直线x＝π6对称，∴f(π6)＝±2.

7．下列关系式中正确的是

A．sin11°

C．sin11°

答案：C

解析：因为sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，

cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°，

而y＝sinx在[0°，90°]上为增函数．

所以sin11°

所以sin11°

8．a＝1是函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，

其最小正周期T＝2π|2a|＝π，∴a＝±1.

∴“a＝1”是函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π的充分不必要条件．

9．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为

A．5 B.92 C.12 D.52

答案：C

解析：f(x)＝3sinxcosx－4cos2x＝32sin2x－2－2cos2x

＝52sin(2x＋φ)－2，其中tanφ＝－43.

故知函数f(x)的最大值为52－2＝12.

10．偶函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两个内角，则有

A．f(cosα)＞f(cosβ) B．f(sinα)＞f(sinβ)

C．f(sinα)＞f(cosβ) D．f(cosα)＞f(sinβ)

答案：C

解析：偶函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，

∴f(x)在[0,1]上为增函数．

∵0＜α，β＜π2，且α＋β＞π2，

∴α＞π2－β.∴sinα＞cosβ.

∴f(sinα)＞f(cosβ)．

第Ⅱ卷(非选择题 共60分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．函数y＝sinx＋tanx，x∈[－π4，π4]的值域为__________．

答案：[－22－1，22＋1]

解析：可以证明y＝sinx＋tanx在[－π4，π4]上递增，

∴函数y＝sinx＋tanx，x∈[－π4，π4]的值域为[－22－1，22＋1]．

12．f(x)是以5为周期的奇函数，f(－3)＝4，且cosα＝12，则f(4cos2α)＝__________.

答案：－4

解析：f(4cos2α)＝f[4(2cos2α－1)]

＝f[4×2×(12)2－4]＝f(－2)

＝f(－5＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝－4.

13．给出下列命题：

①存在实数α，使sinα·cosα＝1成立；

②存在实数α，使sinα＋cosα＝32成立；

③函数y＝sin(5π2－2x)是偶函数；

④方程x＝π8是函数y＝sin(2x＋5π4)图象的一条对称轴方程；

⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ.

其中正确命题的序号是__________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)

答案：③④

解析：sinαcosα＝12sin2α＜1，

∴命题①错误；

14．若θ为锐角，且sinθ∶sinθ2＝8∶5，则tan2θ＝__________.

答案：－336527

三、解答题(本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分8分)已知函数f(x)＝1－sin2xcosx.

(1)求f(x)的定义域；

(2)设α是第四象限的角，且tanα＝－43，求f(α)的值．

答案：解：(1)由cosx≠0，得x≠kπ＋π2 (k∈Z)．

故f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．

16.(本小题满分8分)已知函数f(x)＝sin2x，g(x)＝cos(2x＋π6)，直线x＝t(t∈R)与函数f(x)、g(x)的图象分别交于M、N两点．

(1)当t＝π4时，求|MN|的值；

(2)求|MN|在[0，π2]上的最大值．

答案：

17．(本小题满分9分)已知sinθ，sin2x，cosθ成等差数列，sinθ，sinx，cosθ成等比数列，求cos2x的值．

答案：解：由题意得2sin2x＝sinθ＋cosθ，sin2x＝sinθcosθ.

∴4sin22x＝1＋2sinθcosθ＝1＋2sin2x，

即4(1－cos22x)＝－(1－2sin2x)＋2

＝－cos2x＋2.

∴4cos22x－cos2x－2＝0.

又cos2x＝1－2sin2x＝1－2sinθcosθ＝1－sin2θ，

∵0≤2sin2x＝sin2θ≤1，

∴0≤1－sin2θ≤1.∴0≤cos2x≤1.

18．(本小题满分9分)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)的定义域为R，

(1)当θ＝0时，求f(x)的单调增区间；

(2)若θ∈(0，π)，且sinx不恒为0，则θ为何值时，f(x)为偶函数？

答案：解：(1)当θ＝0时，f(x)＝sinx＋cosx (2)∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)．

∴sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)．

∴sin(x＋θ)＋sin(x－θ)＝cos(x＋θ)－cos(x－θ)．

展开整理得2sinxcosθ＝－2sinxsinθ.

∵sinx不恒为0，∴cosθ＝－sinθ.

∴tanθ＝－1，θ＝kπ－π4 (k∈Z)．

又∵θ∈(0，π)，∴θ＝3π4.故θ＝3π4时，f(x)为偶函数．

19．(本小题满分10分)函数y＝sin2x＋acosx－12a－32的最大值为1，求a的值．

答案：解：y＝－cos2x＋acosx－12a－12