九年级数学解有关获利问题

专题03 用一元二次方程解决问题一．选择题（共4小题）1．（2022春•通州区期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（）A．7个B．49个C．121个D．512个【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，根据“一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入64（1+x）中即可求出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，依题意得：1+x+x（1+x）＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去），∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512，∴经过三轮传染后患流感的人数共有512个．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2021秋•常州期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（）A．200（1+x）＝288B．200（1+2x）＝288C．200（1+x）2＝288D．200（1+x2）＝288【分析】根据从5月份到7月份销售量的月增长率相同，根据5月份销售200个，7月份销售288个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设月增长率为x，根据题意得，200（1+x）2＝288，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022春•泰兴市期末）某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（）A．a﹣b＝4B．a﹣b＝8C．a+b＝4D．a+b＝8【分析】将利润用函数关系表达出来，由于涨价、降价时的销售量变化幅度一致，所以利润可用一元二次函数表示，再利用一元二次函数的对称性解决即可．【解答】解：由题意得，（4+a）（120﹣10a）＝（4﹣b）（120+10b），解得a﹣b＝8，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题干信息整理出一元二次函数式是解题的关键．4．（2022春•工业园区校级期末）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．102+（x﹣1）2＝x2B．（x+1）2＝x2+102C．x2＝（x﹣1）2+12D．（x+1）2＝x2+12【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，在R t△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故选：A．【点评】此题考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•盱眙县期末）要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米？设AB＝x米，根据题意可列出方程的为（100﹣4x）x＝400．【分析】设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米，然后根据矩形的面积公式列出方程．【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x＝400，故答案为：（100﹣4x）x＝400．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．6．（2021秋•广陵区期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方程为500（1+x）2＝720．【分析】利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：500（1+x）2＝720．故答案是：500（1+x）2＝720．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（2022春•姜堰区期末）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为10% ．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入教育经费是2000（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2022年的教育经费数额，即可列出方程求解．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．即：年平均增长率为10%．故答案是：10%．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．掌握增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量是本题的关键．8．（2022春•海门市期末）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为x（x﹣12）＝864．【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．故答案为：x（x﹣12）＝864．【点评】本题为面积问题，考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积＝矩形的长×矩形的宽．三．解答题（共4小题）9．（2022春•亭湖区校级期末）某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．时间/天x销量/kg120﹣x储藏和损耗费用/元3x2﹣64x+400（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可；（2）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得：10（1﹣x）2＝8.1，解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），∴x＝0.1＝10%，∴该种水果每次降价的百分率为10%；（2）根据题意得，（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝377，解得，x＝9或x＝11（不合题意舍去），答：x的值为9．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系正确地列出方程是解题的关键．10．（2022春•兴化市期末）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每件衬衫降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用每天的销售总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出此时每天销售获利；（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根据每天销售该衬衫获利1200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可得出每件衬衫应降价10元；（3）不能，设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，根据每天销售该衬衫获利1300元，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出该方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．【解答】解：（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出20+4×2＝28（件），此时每天销售获利（40﹣4）×28＝1008（元）．故答案为：28；1008．（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意；当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合题意，舍去．答：每件衬衫应降价10元．（3）不能，理由如下：设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，整理得：y2﹣30y+250＝0，∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，∴该方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．11．（2022春•海安市期末）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．（1）花园内的小路面积为（﹣10x2+45x）平方米（用含x的代数式表示）．（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值．【分析】（1）由亭子边长是小路宽度的5倍，可得出亭子边长是5x米，利用花园内的小路面积＝小路的长度×小路的宽度，即可用含x的代数式表示出花园内的小路面积；（2）利用草坪的面积＝长方形花园的面积﹣小路的面积﹣亭子的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1米，亭子边长是小路宽度的5倍，∴亭子边长是5x米，∴花园内的小路面积为（25﹣5x）x+（20﹣5x）x＝（﹣10x2+45x）平方米．故答案为：（﹣10x2+45x）．（2）依题意得：25×20﹣（﹣10x2+45x）﹣（5x）2＝440，整理得：x2+3x﹣4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4（不合题意，舍去）．答：这时道路宽度x的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出花园内的小路面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．12．（2022春•海陵区校级期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．【分析】（1）设每盒的售价为x元，则月销量为（570﹣20x）盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）利用月销售利润＝每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），依题意得：570﹣20x≥270，解得：x≤15．答：每盒售价最高为15元；（2）依题意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，解得：a1＝1，a2＝﹣2（不合题意，舍去）．答：a的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．一．选择题（共4小题）1．（2021秋•沭阳县校级月考）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（）A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500【分析】如果设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米，根据“这个盒子的容积是1500立方厘米”，可列出方程．【解答】解：设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米，依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500．故选：C ．【点评】本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为10厘米，然后利用体积公式列出方程．2．（2021秋•工业园区校级月考）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了45次手，设共有x 位同学聚会，则x 满足的关系式为（ ）A ．12x （x +1）＝45B ．12x （x ﹣1）＝45C ．x （x +1）＝45D ．x （x ﹣1）＝45【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x 人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为12x （x ﹣1）解决问题即可． 【解答】解：由题意列方程得，12x （x ﹣1）＝45．故选：B ．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，主要由x 人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为12x （x ﹣1），利用这一基本数量关系类比运用解决问题． 3．（2022春•福山区期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x 2+2x ﹣35＝0即x （x +2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x +x +2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x ＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x 2﹣5x ﹣6＝0 ）A ．B ．C．D．【分析】根据题意，画出方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25，大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7，因此，D选项所表示的图形符合题意，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．4．（2022秋•铜山区校级月考）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在R t△ABC中，∠C＝90°，AC=a2，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长【分析】在R t△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．【解答】解：∵AD＝AC=a 2，∴AB＝AD+BD=a2+BD，在R t△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（a 2）2+b 2＝（a 2+BD ）2， ∴a 24+b 2=a 24+aBD +BD 2， ∴BD 2+aBD ＝b 2，∵BD 2+aBD ＝b 2与方程x 2+ax ＝b 2相同，且BD 的长度是正数，∴BD 的长该方程x 2+ax ＝b 2的一个正根，故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出BD 2+aBD ＝b 2是解题的关键．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•溧阳市期末）老李有一块长方形菜地（长大于宽），面积为180m 2，他利用菜地宽处修了一个宽为3m 的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地．那么老李原来的菜地周长为 54 m ．【分析】根据“如果它的长减少3m ，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多3m ，利用矩形的面积公式列出方程即可．【解答】解：∵长减少3m ，菜地就变成正方形，∴设长方形的宽为xm ，则长为（x +3）m ，根据题意得：x （x +3）＝180，解得：x 1＝12，x 2＝﹣15（不符合题意，舍去），则x +3＝15，这个长方形菜地的长为15m ，宽为12m ，所以老李原来的菜地周长为：2×（15+12）＝54m ．故答案为：54．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．6．（2022•广陵区校级一模）如图，某小区有一块长为36m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 2 m ．【分析】将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．【解答】解：设人行通道的宽度为x ，将矩形绿地平移，如图所示，∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）故答案为：2【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．7．（2021秋•锡山区校级月考）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m＝0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为4√6−6．【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【解答】解：x2+12x+m＝0，x2+12x＝﹣m，∵阴影部分的面积为60，∴x2+12x＝60，设4a＝12，则a＝3，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为60+32×4＝60+36＝96，则该方程的正数解为√96−6＝4√6−6，故答案为：4√6−6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022春•惠山区期末）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x 2+ax ＝b 2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x 2+x ﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出AD ，BC 的中点E ，F ，再沿过点A 的直线折叠使AD 落在线段AF 上，点D 的对应点为点H ，折痕为AG ，点G 在边CD 上，连接GH ，GF ，线段BF 、DG 、CG 和GF 中，长度恰好是方程x 2+x ﹣1＝0的一个正根的线段为 DG ．【分析】首先根据方程x 2+x ﹣1＝0解出正根为√5−12，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF ＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG ＝m ，则GC ＝1﹣m ，从而可以用m 表示等式．【解答】解：设DG ＝m ，则GC ＝1﹣m ．由题意可知：△ADG ≌△AHG ，F 是BC 的中点，∴DG ＝GH ＝m ，FC ＝0.5，根据勾股定理得AF =√52．∵S 正方形＝S △ABF +S △ADG +S △CGF +S △AGF ，∴1×1=12×1×12+12×1×m +12×12×（1﹣m ）+12×√52×m ， ∴m =√5−12．∵x 2+x ﹣1＝0的解为：x =−1±√52， ∴取正值为x =√5−12．∴这条线段是线段DG ．故答案为：DG ． 【点评】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．三．解答题（共4小题）9．（2021•兴化市模拟）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？【分析】（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．答：每天的销售利润为1050元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为50元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋•建湖县校级月考）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为24﹣3x 米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．【解答】解：（1）设宽AB为x，则长AD ＝BC ＝22﹣3x +2＝（24﹣3x ）米；（2）由题意可得：（22﹣3x +2）x ＝45，解得：x 1＝3；x 2＝5，∴当AB ＝3时，BC ＝15＞14，不符合题意舍去，当AB ＝5时，BC ＝9，满足题意．答：花圃的长为9米，宽为5米．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，用未知数表示出线段的长是解题的关键．11．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm /s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm /s 的速度向C 点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【分析】作出辅助线，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，即可得出△PQB 的面积为12×PB ×QE ，有P 、Q 点的移动速度，设时间为t 秒时，可以得出PB 、QE 关于t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【解答】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠＝90°．∵∠ABC ＝30°，∴2QE ＝QB ．∴S △PQB =12•PB •QE ．设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2，则PB ＝（6﹣t ）cm ，QB ＝2t （cm ），QE ＝t （cm ）．根据题意，12•（6﹣t ）•t ＝4． t 2﹣6t +8＝0．t 1＝2，t 2＝4．当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去，取t ＝2．答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．12．（2022秋•宜兴市月考）如图所示，△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．（1）点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A ，B 同时出发，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm /s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm /s 的速度移动，P 、Q 同时出发，问几秒后，△PBQ 的面积为1cm 2？【分析】（1）设经过x 秒，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（2）分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜t ≤4）；②点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（4＜6）；③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（t ＞6）；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）设经过x 秒，线段PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分 由题意知：AP ＝x ，BQ ＝2x ，则BP ＝6﹣x ，∴12（6﹣x ）•2x =12×12×6×8， ∴x 2﹣6x +12＝0，∵b 2﹣4ac ＜0，此方程无解，∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分；（2）设t 秒后，△PBQ 的面积为1①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时此时0＜t ≤4由题意知：12（6﹣t ）（8﹣2t ）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2（不合题意，应舍去），t 2＝5−√2，②当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时4＜t ≤6，由题意知：12（6﹣t ）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +25＝0，解得：t 1＝t 2＝5，③当点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时t ＞6，由题意知：12（t ﹣6）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2，t 2＝5−√2，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△PBQ 的面积为1．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．。

21.3.3一元二次方程解每每型经济问题课型：学习新知课主备人：李小银__ 审定人百中数学组_ 执教者班级：组别：学生姓名：【课时目标】用一元二次方程解每每型经济问题。

【学习目标】1. 用一元二次方程解每每型经济问题，体会模型解题；2.掌握常见经济类问题等量关系：；3.探索并尝试应用“每每型”实际问题的解题模型：；【学法指导】通过具体例子的分析，总结归纳出每每型经济问题模型公式，并尝试灵活应用。

【学习过程】一、自主学习1、某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，（1）若每件的售价为25元，则每件获得利润元。

（2）若每件售价为25元，卖出了30件，商场一共赚了元钱。

（3）若售价为a元，卖出了（350—10a）件，商场一共赚了元钱。

常见经济类等量关系：1、每件利润=售价-进价2、总利润=每件利润×销售量2、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个。

市场调研表明:当销售价为每上涨1元时,则每月的销售量就将减少10个.⑴.那么当销售价上涨2元时,其销售量就将减少个。

⑵.当销售价上涨2元时,其实际销售量为个。

⑶.当销售价上涨x元时,其销售量将减少多少个？此时销售量为个。

二、合作探究问题1：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元时,其每月销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进台灯多少个?解：设每个台灯涨价x元，根据题意，得：分析：涨价整理得：定价涨价改变了什么？解这个方程得：销售量（间接设元）！！！！每台利润定价为：进货量为：答：总利润思考1：涨价改变了什么？思考2：若设定价为y元，（直接设元），又该怎么办？试一试。

解：设每个台灯定为价y元，根据题意，得：分析：涨价整理得：定价设定价，改变什么？解这个方程得：销售量（直接设元）！！！每台利润定价为：进货量为：答：总利润三、交流展示：1、对学、互学2、教师点评。

九年级数学上册《第二十一章 实际问题与一元二次方程》增长率问题同步练习及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x ，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A ．()21 6.62x +=B ．22(1) 6.22x +=C ．()2212(1) 6.62x x +++=D ．()22212(1) 6.62x x ++++= 2．2021年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2023年该社区当年用于社区维修和建设的资金到达100万，设2021年至2023年该社区每年投入资金的年平均增长率为x ，根据题意列方程得（ ） A ．()2641100x -=B ．()6412100x +=C ．()6412100x -=D ．()2641100x += 3．某超市一月份的营业额为300万元，一月、二月、三月的总营业额1200万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程为（ ）A ．()230011200x +=B ．30030021200x +⋅⋅=C ．()230030011200x ++=D ．()()23001111200x x ⎡⎤++++=⎣⎦4．目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有5G 用户3万户，计划到2023年底全市5G 用户数累计达到10万户．设全市5G 用户这几年的平均增长率都为x ，则可列方程为（ ） A ．()23110x +=B ．()()23313110x x ++++= C ．()()231110x x ++++= D ．()23110x x +++= 5．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x ，则x 满足的方程是（ ）A ．()6412100x ﹣=B ．()2100164x -=C ．()2641100x -=D ．()1001264x ﹣= 6．某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价30%，销量不佳；第二次又降价10%，销售大增，很快就清理了库存．设两次降价的平均降价率为x ，下面所列方程正确的是（ ）7．某旅游景点，3月份接待游客12万，5月份接待30万，设平均每月的增长率为x ，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．()212130x +=B ．212(1)30x -=C ．()121230x +=D ．212(1)30x +=8．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，则3月份到5月份营业额的平均增长率是（ ）A ．10％B ．20％C ．22％D ．25％二、填空题9．2023年，临邑县某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x ，则可根据题意列出方程为 ．10．疫情期间市民为了减少外出时间，许多市民选择使用手机软件在线上买菜，某买菜软件今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为392万，求二、三两个月新注册用户每月平均增长率．若设二、三两个月新注册用户每月平均增长率为x ，则可列方程为 ．11．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格八月底是7.8元/升，十月底是8.6元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ，根据题意列出方程 ．12．疫情期间，市政府为解决市民买药贵的问题，下调了某药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒64元下调至49元，设这种药品平均每次降价的百分率为x ，则可列方程 ． 13．随着新冠病毒的疫情好转，市场经济得到复苏，某店铺连续两个月的销额从2万猛增到为10万，且连续两个月销售额的增长率是相同的，那么这个增长率是x ，根据题意可列方程： ．14．疫情期间，某口罩厂一月份产量为100万只，由于需求量不断增大，三月份产量提高到121万只，该厂二、三月份的月平均增长率为 ．15．某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价，售价降低了280元．已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，依题意可列出关于x 的方程为 ．16．书香相伴，香满校园，某校学生9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，如果每月借阅图书数量的增长率相同，设这个增长率为x ，那么根据题意可列方程为 ．三、解答题17．某桃园种植户种植的一种优质黄桃的产量在两年内从17.5吨增加到34.3吨，求这种优质黄桃这两年内平均每年增产的百分率．18．为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册．(1)求阅读公园这两个月藏书的平均增长率．(2)按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？19．为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2018年投资20万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2020年投资33.8万元．(1)求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；(2)从2018年到2020年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？20．我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？参考答案：1．D2．D3．D4．B5．B6．D7．D8．B9．()2250011600x -=10．()22001392x +=11．()27.818.6x +=12．264(1)49x -=13．()22110x +=14．10%15．()26401640280x -=-16．()25001845x +=17．该种优质黄桃这两年内平均每年增产的百分率是40% 18．(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率20％(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是8640册19．(1)该学校为新增电脑投资的年平均增长率为30%(2)该中学三年为新增电脑共投资79.8万元20．(1)二、三这两个月的月平均增长率为20%(2)当商品降价5元时，商品获利1950元．。

初中数学人教版九年级上册——21.3实际问题与一元二次方程-销售和利润一、单选题1.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（）A. B.C. D. (x+3)(5+0.5x)=202.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是（）A. (3+x)(4-0.5x)=15B. (x+3)(4+0.5x)=15C. (x+4)(3-0.5x)=15D. (x+1)(4-0.5x)=153.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（）A. （x﹣20）（50﹣）＝10890B. x（50﹣）﹣50×20＝10890C. （180+x﹣20）（50﹣x10）＝10890 D. （x+180）（50﹣x10）﹣50×20＝108904.某商场将进价为20元∕件的玩具以30元∕件的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？若设每件玩具涨x 元，则下列说法错误的是（）A. 涨价后每件玩具的售价是(30+x)元B. 涨价后每天少售出玩具的数量是10x件C. 涨价后每天销售玩具的数量是件D. 可列方程为5.奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？（）A. 4元B. 6元C. 4元或6元D. 5元6.某商品的进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天利润为750元，每件商品应降价（）元．A. 2B. 2.5C. 3D. 5二、填空题7.某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下：如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为________．8.某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为________．9.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为________元．10.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价________．11.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，设每千克应涨价x元，则可列方程为________12.某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价________元出售这种水果．三、解答题13.根据扬州市某风景区的旅游信息，A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元. A 公司参加这次旅游的员工有多少人？扬州市某风景区旅游信息表14.学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.购买件数销售价格不超过30件单价40元超过30件每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元15.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？16.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。