东北三省三校2014届高三第二次联合模拟考试 数学理 Word版含答案
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1 东北三省三校2014年高三第二次联合模拟考试
（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）
数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 若}7,6,5{}3,2,1{}8,7,6,5,4,3,2,1{BAU，，，则()()UUCACB=
A. {4,8} B. {2,4,,6,8} C. {1,3,5,7} D. {1,2,3,5,6,7}
2. 已知复数iz2321，则||zz
A. i2321 B. i2321 C. i2321 D. i2321
3. 设随机变量ξ服从正态分布)9,2(N，若)(cP=)2(cP，则c的值是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知113::xqkxp，，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是
A. ),2[ B. ),2( C. ),1[ D. ]1,(
5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BCAacbcsinsinsin，则B=
A. 6 B. 4 C. 3 D. 43
6. 已知函数)1ln()(2xxf的值域为}2,1,0{，则满足这样条件的函数的个数为
A. 8 B. 9 C. 26 D. 27
7. 已知△ABC中，16·10ACABBC，，D为边BC的中点，则AD等于
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2 8. 函数)42sin(2)(xxh的图象与函数)(xf的图象关于点)1,0(对称，则函数)(xf可由)(xh经过 的变换得到
A. 向上平移2个单位，向右平移4个单位
B. 向上平移2个单位，向左平移4的单位
C. 向下平移2个单位，向右平移4个单位
D. 向下平移2个单位，向左平移4的单位
9. 一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记。该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c（a，b，c∈)1,0[），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当ba9110取最小值时，c的值为
A. 111 B. 112 C. 115 D. 0
10. 已知某算法的流程图如图所示，输入的数x和y为自然数，若已知输出的有序数对为)14,13(，则开始输入的有序数对),(yx可能为
3 A. )7,6( B. )6,7( C. 5,4 D. )4,5(
11. 已知双曲线12222byax)00(ba，的焦点)0,(1cF、)0)(0,(2ccF，过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点。设mCFBF11，nDFAF11，则下列各式成立的是
A. ||||nm B. ||||nm C. 0||nm D. 0||nm
12. 已知方程kxx|cos|在),0(上有两个不同的解α、β)(，则下列的四个命题正确的是
A. sin2α=2αcos2α B. cos2α=2αsin2α
C. sin2β=-2βsin2β D. cos2β=-2βsina2β
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13. 观察下列等式：2311，233321，23336321，23333104321，…，根据上述规律，第n个等式为
14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为
15. 在区间]2,0[和]1,0[分别取一个数，记为x、y，则xxy22的概率为 。
16. P为正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=BD1（)1,0(）。下面结论：
①A1D⊥C1P； 4 ②若BD1⊥平面PAC，则31；
③若△PAC为钝角三角形，则)21,0(；
④若)1,32(，则△PAC为锐角三角形。
其中正确的结论为 。（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17. （本小题满分12分）
设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立。
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设||log4nnab，求数列}·1{2nnbb前n项和Tn。
18. （本小题满分12分）
某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分。上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示。
（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；
（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品。
①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；
②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的5 分布列和数学期望。
19. （本小题满分12分）
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=23，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点。
（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；
（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值。
20. （本小题满分1 2分）
已知圆1)2(:22yxM，直线1:yl，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切。设动圆圆心P的轨迹为E。
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）定点A（4，2），B，C为E上的两个动点，若直线AB与直线AC垂直，求证：直线BC恒过定点。
21. （本小题满分12分）
已知函数)0(1)(2axbaxxf
（Ⅰ）求证：)(xf必有两个极值点，一个是极大值点，—个是极小值点；
（Ⅱ）设)(xf的极小值点为α，极大值点为β，1)(1)(ff，，求a、b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设)()(xefxg，若对于任意实数x，222)(mxxg恒成立，求实数m的取值范围。
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 6 已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B，C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q。
（Ⅰ）求证：AC2=CQ·AB；
（Ⅱ）若AQ=2AP，AB=3，BP=2，求QD。
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为22sin12，直线l的极坐标方程为cossin24。
（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值。
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知1,,222cbaRcba，。
（Ⅰ）求证：3||cba；
（Ⅱ）若不等式2)(|1||1|cbaxx对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围。
参考答案
二模理科数学参考答案
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
答案 A D C B C B D A A B C C
13．22333(1)124nnn 14．12523 15．23 16．①②④
17．（Ⅰ）解：当1n时，111151,4aSa ………2分 7 又1151,51nnnnaSaS 115,nnnaaa ………4分
114nnaa即 ∴数列na是首项为114a，公比为14q的等比数列，
∴1()4nna ………6分
（Ⅱ）nbnn)41(log4， ………8分
所以211111(2)22nnbbnnnn ………10分
1111111111(1)()()1232422212nTnnnn………12分
18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 ………3分
（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30个，所以甲乙两产品同时被选中的概率为1283301145CPC ………7分
②第四组共有X个产品被购买，所以X的取值为0,1,2
1233266(0)15CCPXC；111322268(1)15CCCPXC；22261(2)15CPXC；
所以X的分布列为01228151515XP ………10分
812215153EX ………12分
19．（Ⅰ）证明:
连结MO 8
1111////AMMAMOACAOOCMOBMDACBMDACBMD平面平面平面 ………3分
（Ⅱ）11BDAABDACBDAAC,得面于是1BDAO
ACBDO
1111116032223cos60ABCDBADAOACABAAAOACAOABCDAACAOBD平面
………7分
(Ⅲ)
如图建立直角坐标系，1(0,0,3)(3,0,0)(3,0,0)(0,1,0)(0,1,0)AACBD
111(23,0,0)(23,0,3)ACACC3333(,0,)(,1,)2222MMB
