七年级数学上册73一元一次方程的解法如何求解一元一次方程素材青岛版!

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如何求解一元一次方程
方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并具有极其广泛的应用．从数学学科本身
来看，方程是代数学的核心内容，它的发展推动了整个代数学的发展．代数方程一般按照其
中未知数的个数和未知数的最高次数分类，一元一次方程是最简单的方程，也是所有代数方
程的基础．解任何一个代数方程或方程组时最终都要化归为一元一次方程求解．一元一次方
程的理解和掌握对于后续学习其他方程、方程组、不等式、函数等都具有重要的影响．因此，
学习中应注意打好基础．
从算式到方程是数学的进步，算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方
法．用算术方法解实际问题是前面学段中已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关
系的能力有着打基础的作用．算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式中只
含已知数而不包含未知数；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的
量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母（未知数）．方程是根据问题中等量
关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之
一．由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，所以方程的应用更为方便．这正
是用字母表示数带来的好处．
使用平衡模型是解方程的一个很古老的方法，而且它为处理方程提供了一个强有力的智
力图像．方程类似于一组天平，方程中的“=”表示天平处于平衡状态．通常我们可以画一
个模型图来作为思考工具，但是某些例子中我们用一组真实的天平来代表方程也是可以扩大
眼界的．由于物体的重量不可能为负的，可以用其他颜色来表示负数．在处于平衡状态的天
平两边同时添加、减少相同重量的物体，天平仍保持平衡，方程也具有这种特性．
利用方程的“平衡”性（实质上是等式的性质）解下列方程：
（1）852x； （2）35623x
利用天平模型表示方程122x如下：

两边同时加上-2（用白色圆柱表示），即)2(1)2(22x．
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整理后得到
为了简化操作过程，上述过程看作：将左侧的两个红色圆柱移到右侧，为保持天平平衡
移过来的两个红色圆柱必须变成白色，一个白色和一个红色的圆柱重量和恰好是0，因此，
右侧只剩下一个白色圆柱．方程也可以同样操作，即方程某一侧的一个项可以移到另一侧，
并改变符号．

因此，可以采用“移项”、“合并”求解方程，如122x可变形212x，解得
2
1
x
．“移项”时一定注意符号的改变．

随着学习的深入，方程的形式也越来越复杂，如含有括号、分母等．方程中的字母表示
的是数，因此去括号法则于有理数运算中的去括号法则相同，去括号过程中一定要注意符号
的变化规律．若方程中含有分母，首先通过“去分母”使方程的系数都化为整数，这样可以
使解方程中减少分数运算，从而计算更为方便．
解一元一次方程时，主要依据等式的性质和运算律等，通过去分母、去括号、移项、合
并、系数化为1等步骤，使一元一次方程逐步向x=a的形式转化．求解中应灵活运用这些步
骤．
利用以上方法求解下列方程：
（1）)1(2)1()1(3xxx

（2）22)5(54xxx

改变
颜色
3

（3）13.02.03.05.09.04.0yy
（4）52221yyy
解答：（1）去括号，得22133xxx
移项，得13223xxx
合并，得42x
系数化为1，得2x
（2）去分母，得，)2(5)5(10)4(2xxx，
去括号，得，105501082xxx．
移项合并后，6813x．
两边同时除以13，得1368x．
（3）原方程化为1323594yy，
去分母，得15)23(5)94(3yy，
去括号，得1510152712yy，
移项合并后32y．
系数化为1，得23y．
（4）去分母，得
)2(220)1(510yyy
去括号，得
42205510yyy
移项，得
54202510yyy
合并，得
117y
系数化为1，得
7
11
y
4

自己尝试做一做
（1）某抗洪突击队有50名队员，承担着保护大堤的任务．已知在相同的时间内，每名
队员可装土7袋或运土3袋．问应如何分配人数，才能使装好的土及时运到大堤上？
（2） 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成．现在先由甲单独做4
小时，剩下的部分由甲、乙合做．剩下的部分需要几小时完成？
与下面的答案对比一下，看看你做得如何？
（1）解：设分配工人装土，则运土有)50(x人．根据装上的袋数与运土的袋数相等
的关系，列得
)50(37xx
去括号，得
xx31507
移项及合并，得
15010x
所以运土的人数为3550x．
答：应分配15人装土，35人运土，才能使装好的土及时运到大堤上．
说明：找准题目中的相等关系关键在于如何理解“装好的土及时运到大堤上”，即使得
已装好土的袋数和运走的袋数是相同的，所以依靠总人数50人可没装土的人数为x人，则
可以用x表示运土的人数．其实在题中还可以依靠其他的相等关系列方程，试试看．
（2）解：设剩下的部分需要x小时完成．根据两段工作量之和应是总工作量，得
11220204
xx

去分母，得
605312xx
移项及合并，得
488x
6x
答：剩下的部分需要6小时完成．
说明：此问题里的相等关系可以表示为：全部工作量＝甲独做工作量＋甲、乙合做的工
作量．于是问题转化为如何表示工作量，我们知道，工作量＝工作效率×工作时间．这里的
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工作效率是用分数表示的：一件工作需要a小时完成，那么1小时的工作效率为a1．由此
可知：m小时的工作量＝工作效率amm，全部工作量＝工作效率1aaa，即在工程
问题中，可以把全部工作量看作是1．
前面涉及的方程系数都是具体的数，我们探索一下字母系数的方程如何求解．
请尝试解一元一次方程：bax．
同学甲说：太简单了，abx．
同学乙说：不对，0a，x不存在．
经过仔细研究发现：一元一次方程bax的解由a、b的值来确定：
（1）若0a，则方程有唯一解abx．
（2）若0a，且0b，方程变为00x，x为任意数都满足，则方程有无数多个
解．
（3）若0a，且0b，方程变为bx0，则方程无解．
请考虑以下问题：
问题1：解关于x的方程0))((nmnmx．
分析：这个方程中未知数是x，而m、n是取不同实数的常数，因此需要讨论m、n取
不同值时，方程解的情况．
把原方程化为022nmnmnxxm，整理得)()(nmnxnmm．
等式两边能不能同时除以（nm）？应该怎样处理？
（1）当0nm，且0m时，原方程有唯一解mnx；
（2）当0nm，且0m时，方程无解；
（3）当0nm时，方程的解为一切实数．
这个含有字母系数的方程的求解过程，提醒我们一定要注意字母的取值范围．解这类方
程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．
问题2：解方程2222))(())((baxbxaxbabxa．
分析：本题将方程中的括号去掉后产生2x项．但整理化简后，可以消去2x也就是说，
原方程实际上仍是一个一元一次方程．
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将原方程整理化简得：222222222)(baxxbxabaxba，
即222)()(baxba．

（1）当0)(22ba时，即ba时，方程有唯一解babababax222)(；
（2）当022ba 且 0ba 且 ba，即ba时，方程无解；
（3）若0ba，即ba，方程有无数多个解．
问题3：已知08)1()1(22xmxm是关于x的一元一次方程，求代数式
mmxxm)2)((199
的值．

因为08)1()1(22xmxm是关于x的一元一次方程，所以012m，即
1m
．

（1）当1m时，方程变为082x，因此4x，代数式的值为
19911)124)(41(199
；

（2）当1m时，原方无解．
所以所求代数式的值为1991．
问题4：已知关于x的方程23)12(xxa无解，试求a的值．
将原方程变形为232xaax，即2)32(axa．
由已知该方程无解，所以




,02,032a
a

所以23a为所求．