【精准解析】江苏省淮安市六所四星级中学2019-2020学年高一下学期联考数学试题

淮安地区五校联考一、单选题1.已复数22()z m m i m R =-+∈为纯虚数，则m =（ ）．A. 0B. 2C. 0或2D. 4【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数类型得到220m m -=，解得★答案★.【详解】22()z m m i m R =-+∈为纯虚数，则220m m -=，解得2m =或0m =. 故选：C.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，属于简单题. 2.在曲线2y x 上切线的斜率为1的点是（ ）．A. (0,0)B. (2,4)C. 11,416⎛⎫⎪⎝⎭D. 1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【★答案★】D 【解析】 【分析】 求导取'21yx ，解得★答案★. 【详解】2y x ，则'21yx ，解得12x =，当12x =时，14y =，故切点为1124⎛⎫⎪⎝⎭，.故选：D.【点睛】本题考查了根据斜率求切点，属于简单题.3.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为下表，则q =（ ）．ξ1- 0 1P1421q -qA.112B.712C.12D.13【★答案★】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质，得到12114q q +-+=，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得12114q q +-+=，解得712q =.故选：B.【点睛】本题主要考查了分布列的性质，其中解答中熟记分布列的性质，列出方程是解答的关键，着重考查了计算能力.4.已知282828x x C C -=，则x 的值为（ ）A. 6B. 8C. 12D. 8或12【★答案★】D 【解析】 【分析】由282828x x C C -=，可得28x x -=或2828x x -+=，即可求得★答案★.【详解】282828x x C C -=∴28x x -=或2828x x -+=，解得：8x =或12x = 故选：D【点睛】本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，属于基础题. 5.某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为ˆy＝－5x ＋150，则下列结论正确的是( ) A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－5C. 当销售价格为10元时，销售量为100件D. 当销售价格为10元时，销售量为100件左右 【★答案★】D【分析】对选项逐个分析，A 是负相关，B 中1r ≤，C 和D 中销售量为100件左右．【详解】由回归方程ˆy＝－5x ＋150可知y 与x 具有负的线性相关关系，故A 错误；y 与x 之间的线性相关系数1r ≤，故B 错误；当销售价格为10元时，销售量为510150100-⨯+=件左右，故C 错误，D 正确．【点睛】本题考查了线性回归方程知识，考查了线性相关系数，属于基础题． 6.已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= ( )A. 0.84B. 0.68C. 0.32D. 0.16【★答案★】B 【解析】 【分析】先计算出()()414P X P X >=-≤，由正态密度曲线的对称性得出()2P X <=()4P X >，于是得出()()()24124P X P X P X <<=-<->可得出★答案★．【详解】由题可知，()()41410.840.16P X P X >=-≤=-=， 由于()2~3,X N σ，所以，()()240.16P X P X <=>=，因此，()()()2412410.160.160.68P X P X P X <<=-<->=--=，故选B.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．7.安排6名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ）． A. 360种 B. 300种C. 540种D. 180种【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意，去每个社区的学生人数可分为3类：1人、1人、4人；1人、2人、3人；2人、2人、2人.结合排列组合的知识，可得不同的安排方式的种数.【详解】由题意，去每个社区的学生人数可分为3类：1人、1人、4人；1人、2人、3人；2人、当去3个社区的学生人数分别为1人、1人、4人时，有436390C A =种不同的安排方式；当去3个社区的学生人数分别为1人、2人、3人时，有12336533360C C C A =种不同的安排方式；当去3个社区的学生人数分别为2人、2人、2人时，有22264290C C C =种不同的安排方式.所以不同的安排方式共有9036090540++=种. 故选：C .【点睛】本题考查排列组合，属于中档题.8.若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不单调，则实数k 的取值范围是（ ）．A. 312⎛⎤ ⎥⎝⎦， B. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【★答案★】C 【解析】 【分析】利用导数求得函数的单调性，结合题意列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数2()2ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且1()4f x x x'=-，令()0f x '=，解得12x =，当1(0,)2x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，要使得函数()f x 在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不单调，则满足111210k k k ⎧-<<+⎪⎨⎪-≥⎩，解得312k ≤<， 即实数k 的取值范围是3[1,)2. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的关系，其中解答中熟记利用导数求解函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与计算能力. 二、多选题9.若1()nx x+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项【★答案★】CD 【解析】 【分析】该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，表示出第3项与第8项的系数，可求得n ，再表示该展开式中二项式系数最大的项即可.【详解】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为27,n n C C ， 又因为其相等，则9n =所以该展开式中二项式系数最大的项为91152-+=与91162++=项 即为第5项；第6项. 故选：CD【点睛】本题考查表示二项展开式的项的系数，还考查了求其中系数最大的项，属于基础题. 10.已知复数3z a i =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）． A. 38z =B. z 的虚部为3C. z 的共轭复数为13i +D. 24z =【★答案★】AB 【解析】 【分析】利用复数2z =的模长运算及3z a i =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解. 【详解】解：3z a i =+，且2z =22(3)4a +∴=，=1a ±复数3z a i =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=- 选项A: 33223(13)(1)+3(1)3+3(1)(3)(3)8i i i i -+=---+= 选项B: 13z i =-+的虚部是3选项C: 13z i =-+的共轭复数为13z i =--选项D: 222(13)(1)+2(1)3+(3)223i i i i -+=--=-- 故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．11.下列命题中，正确的命题的是（ ）A. 已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E x =，()20D x =，则23p =； B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；C. 设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P P ξ-<≤=-； D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8x =时概率最大． 【★答案★】BCD 【解析】 【分析】对于选项A ：利用二项分布的期望和方程公式列出关于,n p 的方程，解方程即可判断； 对于选项B ：根据方差的计算公式可知，方差恒不变； 对于选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；对于选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出,110,x k k k N =≤≤∈时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断.【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误； 对于选项B ：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，()E a b aE b ξξ+=+，()()2,D a b a D a b ξξ+=为常数，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确； 对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP x k C -==⨯0.8⨯，所以当1k 时，()()()101011101104110.80.210.80.2kk kk k k P x k k C P x k C k ----+=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P x k k P x k k=-=≥=-得，444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，即8k 时，概率()8P x =最大，故选项D 正确． 故选：BCD【点睛】本题考查二项分布的期望和方差公式、正态分布的图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计算公式；考查分析问题和解决问题的能力；熟练掌握统计的相关知识是求解本题的关键；属于中档题. 12.对于函数ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ）． A. ()f x 在x e =处取得极大值1eB. ()f x 有两不同零点C. (2)()(3)f f f π<<D. 若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，则1k > 【★答案★】ACD 【解析】 【分析】求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可． 【详解】函数的导数21()lnxf x x -'=，(0)x >， 令()0f x '=得x e =，则当0x e <<时，()0f x '>，函数为增函数， 当x e >时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当x e =时，函数取得极大值，极大值为()1f e e=，故A 正确， 当0x →，()f x →-∞，x →+∞，()0f x →， 则()f x 的图象如图：由()0f x =得0lnx =得1x =，即函数()f x 只有一个零点，故B 错误，()()ln 42ln 2ln 224442f f ====， 由x e >时，函数()f x 减函数知()()()34f f f π>>，故()()()23f f f π<<成立，故C 正确，若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立， 则1lnx k x x>+， 设1()lnx h x x x =+，(0)x >， 则2()lnxh x x'=-，当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，即当1x =时，函数()h x 取得极大值同时也是最大值()11h =，1k ∴>成立，故D 正确.故选：ACD ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键． 三、填空题13.高二某班有2名男生，4名女生排成一排，则2名男生相邻的不同排法有________种．（结果用数字作答）【★答案★】240 【解析】 【分析】2名男生相邻可以用“捆绑法”模型计算.【详解】男生相邻看作一个特殊元素，与4名女生全排列，有55A 种排法，男生两人的位置有22A 种，根据分步乘法计数原理可知，共有5252240A A ⋅=种排法，故★答案★为：240【点睛】本题主要考查了排列的实际应用，排列数的计算，捆绑法，属于中档题. 14.某产品的广告费支出x 与销售量y 之间有如下对应数据：x /元2 4 5 6 8 y /元3040605070x 与y 具有线性相关关系，线性回归方程为 6.5ˆˆy x a =+，则ˆa 的值________．【★答案★】17.5 【解析】 【分析】计算数据中心点，代入线性回归方程得到★答案★. 【详解】2456855x ++++==，3040605070505y ++++==，将中心点()5,50代入回归方程得到：50 6.55a =⨯+，解得17.5a =. 故★答案★：175..【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力，计算中心点是解题的关键. 15.()()()()234201111x x x x ++++++⋅⋅⋅++中2x 的系数为______． 【★答案★】1330 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出各个展开式中2x 的系数后，再相加，然后利用组合数的性质化简【详解】()()()()234201111x x x x ++++++⋅⋅⋅++中2x 的系数为：222223420C C C C ++++ 322233420C C C C =++++3224420C C C =+++ 3225520C C C =+++321C =21!3!18!=⨯212019321⨯⨯=⨯⨯1330=.故★答案★为：1330.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式、组合数的性质、组合数的计算公式，属于基础题. 16.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()f x 在[]1,e 上单调减函数，则实数a 的最大值为________，若0a >，在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()0020ef x x -≥成立，则实数a 的最小值为________． 【★答案★】 (1). 221e e + (2). 241ee - 【解析】 【分析】 求导，变换得到21a x x≤+，根据函数单调性计算最值得到★答案★，考虑01x =和(]01,x e ∈两种情况，利用参数分离，构造函数，得到函数单调性，计算最值得到★答案★. 【详解】()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()'21210f x a x x⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭在[]1,e 上恒成立， 即21a x x≤+，根据双勾函数单调性知，()21g x x x=+在 []1,e 上单调递减，故()()2min 21ea g x g e e ≤==+，即a 的最大值为221e e +；()0020e f x x -≥，即0000122ln 0ea x x x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，当01x =时不成立， 当(]01,x e ∈时，整理得到：00202ln 21x x ea x +≥-，设()22ln 21x x eF x x +=-，则()()()222221ln 2421x x x ex F x x-++-=-'-，当(]1,x e ∈上时，()221ln 0x x -+<，2242y x ex =--在(]1,x e ∈上单调递减，故2222242242220x ex e e e --≤--=--<，()2210x ->，故()'0F x <，函数单调递减，故()()2min 41ea F x F e e ≥==-，故a 的最小值为241e e -.故★答案★为：221e e +；241ee -. 【点睛】本题考查了函数恒成立问题和能成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为函数的最值是解题的关键. 四、解答题17.已知复数1z ，2z 满足1(1)15i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈． （1）求1z ；（2）若121||||z z z -<，求a 的取值范围． 【★答案★】（1）123z i =+（2）(1,7) 【解析】 【分析】（1）直接利用复数的除法运算得到★答案★.（2）利用共轭复数的定义和复数模的运算化简得到2870a a -+<，解得★答案★. 【详解】（1）115(15)(1)231(1)(1)i i i z i i i i -+-+-===+++-， （2）∴2212313z =+=，又∵1223(2)z z i a i -=+--+2|42|(4)4a i a =-+=-+，∴由121z z z -<，得2(4)413a -+<，化简得2870a a -+<，解得17a <<． 故a 的取值范围是(1,7)．【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数的模，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.已知412nx+x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数为等差数列． （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中的有理项． 【★答案★】（1）5358T x =．（2）41T x =、5358T x =、921256T x = 【解析】 【分析】（1）根据412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，由21021112222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得n ，然后由二项式系数的性质求解.（2）由（1）知：展开式通项为3441812rrr r T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(0,1,,8)r =…，然后由344r Z -∈求解.【详解】（1）∵412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数为0012n C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭、112n C ⋅、2212n C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵展开式中前三项的系数成等差数列，∴021021112222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：2980n n -+=， 解得8n =，或1n =（舍去），故二项式系数最大的项为445813528T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭．（2）展开式通项为3441812rrr r T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(0,1,,8)r =…，当344r Z -∈时，1r T +为有理项，当0r =时，41T x =，当r 4=时，3585T x =，当r 8=时，921256T x =，故展开式中有理项为41T x =、5358T x =、921256T x =.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式以及二项式系数和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性平均每天使用微信的时间（单位：h ）分成5组：(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据男性的频率分布直方图，求a 的值；（2）①若每天玩微信超过4h 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，根据男性，女性频率分布直方图完成下面22⨯列联表（不用写计算过程） 微信控 非微信 总计 男性 女性 总计100②判断是否有90%的把握认为“微信控”与性别有关？说明你的理由．（下面独立性检验的临界值表供参考）20()P k χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++，其中n a b c d =+++．【★答案★】（1）0.08a =；（2）①见解析；②有，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形的面积和等于1，可求a 的值；（2）①根据频率分布直方图，分别计算男性、女性的“微信控”和“非微信控”的人数，填写22⨯列联表；②根据参考公式，计算2χ的观测值，根据临界值表，可得结论.【详解】（1）由男性的频率分布直方图，可得2(0.040.1420.12)1a +++⨯=，解得0.08a =． （2）① 微信控 非微信 总计 男性 38 12 50 女性 30 20 50 总计 6832100②2χ的观测值2100(38203012) 2.941 2.70650506832k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为“微信控”与性别有关．【点睛】本题考查频率分布直方图和独立性检验，属于基础题.20.已知函数2()xf x e x a =-+，x ∈R 的图象在点0x =处的切线为y bx =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）设2()()g x f x +x x =-，求证：()0g x ≥； （3）若()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围． 【★答案★】（1）2()1xf x e x =--（2）见解析（3）(,2)e -∞- 【解析】 【分析】（1）求导根据切线方程公式得到(0)10(0)1f a f b =+=⎧⎨=='⎩，解得★答案★.（2）求导得到单调区间，计算min ()(0)0g x g ==得到证明.（3）求导并利用（2）中结论，得到函数单调区间，min ()(1)k h x h <=，得到★答案★.【详解】（1）2(),()2xxf x e x a f x e x '=-+=-，由已知得(0)10(0)1f a f b =+=⎧⎨=='⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故2()1x f x e x =--.（2）2()()1xg x f x x x e x =+-=--，()10xg x e -'==得0x =． 当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．∴min ()(0)0g x g ==，从而2()f x x x ≥-+,即()0g x ≥（3）令2)()1(x f x h x x e xx -=-=，0x >， ∴()()()222221(1)1()()()x x x x e x e x x e x xf x f x h x x x x-------'-'===， 由（2）可知当(0,)x ∈+∞时，10x e x -->恒成立， 令()0h x '>，得1x >；()0h x '<得01x <<．∴()h x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)，min ()(1)2h x h e ==-， ∴min ()(1)2k h x h e <==-，∴实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为求函数最值是解题的关键. 21.天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为16，至少有一个地方降雨的概率为23，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响． （1）分别求甲、乙两地降雨的概率；（2）在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X ，求X 的分布列和数学期望与方差． 【★答案★】（1）甲地降雨的概率为12，乙地降雨的概率为13．（2）见解析，3(X)2E =．方差34．【解析】 【分析】（1）设()P A x =，()P B y =，根据题意得到方程组，解得★答案★. （2）计算仅有一地下雨的概率为12p =，X 的可能取值为0，1，2，计算概率得到分布列，计算数学期望和方差得到★答案★.【详解】（1）设甲、乙两地降雨的事件分别为A ，B ，且()P A x =，()P B y =．由题意得1621(1)(1)3xy x y x y ⎧=⎪⎪⎪---=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以甲地降雨的概率为12，乙地降雨的概率为13． （2）在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为()()()()()()P P AB P AB P A P B P A P B =+=+1211123232=⨯+⨯=．X 的可能取值为0，1，2，3311(0)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1213113(1)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113(2)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3311(3)128P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：X0 1 2 3P18 383818所以13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 方差2222133333133()0123828282824V X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.22.已知2()ln 2a f x x x x =-． （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；（3）当0a >时，若()()(1)g x f x a x =+-在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【★答案★】（1）极小值为1e- ，无极大值，（2）见解析（3）(1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）求导得到函数单调区间，计算极值得到★答案★.（2）求导得到()1ln f x x x '=+-，计算导函数的最大值为0，得到函数单调性. （3）求导得到()ln h x x ax a =-+，再求导取导数为0得到1x a=，讨论01a <<和1a =，1a >三种情况，计算得到★答案★.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当0a =时，()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+，由()0f x '=得1x e =，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，故当1x e =时取得极小值为11()f e e=-，无极大值.（2）当1a =时，21()ln 2f x x x x =-，()1ln f x x x '=+-， 设()()x f x ϕ'=，则11()1x x x xϕ-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在(0,1)上调递增，在(1,)+∞上单调递减，()max (1)0x ϕϕ==，所以当0x >时，()0x ϕ≤，即()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）由已知得2()ln (1)2a g x x x x a x =-+-，则()ln g x x ax a '=-+， 记()ln h x x ax a =-+，则(1)0h =，11()ax h x a x x-'=-=，令()0h x '=，得1x a =．①若01a <<，则11a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，故函数()h x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h <=，即()0g x '<；当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(1)0h x h >=，即()0g x '>， 又(1)0g '=，所以()g x 在1x =处取得极小值，不满足题意．②若1a =，则当(0,1)x ∈时，()0h x '>，故()h x '在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x '在(1,)+∞上单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，()(1)0h x h ≤=，即()0g x '≤，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，不满足题意．③若1a >，则101a <<，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，故()h x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 且当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()(1)0h x h >=，即()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，即()0g x '<， 又(1)0g '=，所以()g x 在1x =处取得极大值，满足题意． 综上，实数a 的取值范围是(1,)+∞．【点睛】本题考查了求函数的极值，函数单调性，根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2019-2020学年江苏省扬州中学高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知直线l 经过()()1,1,2,3A B 两点，则l 的斜率为（） A ．2 B ．23C ．43D ．12【答案】A【解析】直接代入两点的斜率公式2121y y k x x -=-，计算即可得出答案．【详解】31221k -==- 故选A 【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题．2．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（ ） A ．900 B ．1200C ．1500D ．1800【答案】B【解析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数. 【详解】解：由题意知，高三年级抽取了：100262450--=人， 高三年级抽取的人数占总抽取人数的比例数为：500.5100= 所以该校学生总人数为：60012000.5=人 故选：B. 【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.3．直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为（ ） A ．1 B ．3C ．110D ．25【答案】C【解析】利用平行线间的距离公式可求得直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离. 【详解】由平行线间的距离公式可知，直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为110d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查平行线间的距离的计算，考查计算能力，属于基础题.4．样本中共有五个个体，其值分别是a ，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的方差是（ ）A ．1B ．2C ．4D【答案】B【解析】由平均数的定义可得123425a ++++=，求得0a =后，由方差的计算公式即可得解. 【详解】由平均数的定义可得123425a ++++=，解得0a =，所以样本的方差()()()()()2222221021222324225s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦. 故选：B. 【点睛】本题考查了数据平均数与方差的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5．在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，那么△ABC 最小内角的余弦值为（ ） A ．524B ．1116C ．78D ．14-【答案】C【解析】用正弦定理化角为边后，得最小边，即得最小角，用余弦定理求解． 【详解】∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，∴::2:3:4a b c =，a 边最小，A 角最小．设2,3,4a k b k c k ===，则222(3)(4)(2)7cos 2348k k k A k k +-==⨯⨯．故选：C. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题．6．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是( ) A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ⊥α，m ⊥β,则α∥β C ．若m ∥α，α∩β= n ，则m ∥n D ．若m ⊥α，m ⊂β，则αβ⊥【答案】C【解析】A 、因为两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面，故A 正确；B 、两个平面垂直于同一条直线，则此两平面必平行，故B 正确；C 、因为由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知线平行，由于m 与β的位置关系不确定，故不能得出线线平行，故C 不正确；D 、一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，故D 正确；故选C. 7．在ABC 中，2cos 22B a cc+=（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得． 【详解】∵2cos 22B a c c +=，∴22cos 2B a c c +=，1cos a c B c ++=，22212a c b a c ac c+-++=，整理得222+=a b c ，∴三角形为直角三角形． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．8．若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，则圆柱的体积为（ ）A ．B C D 【答案】D【解析】设出圆柱的高2a ，找到侧面积S 和a 之间的关系，即可求得体积. 【详解】根据题意，不妨设圆柱的高为2a ，又因为轴截面为正方形， 故可得底面半径为a .则24S a π=，解得a =故可得圆柱体积2224S V a a πππ=⨯=⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积的求解，属基础题.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案． 【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，即1212121x x y y x x +=+-， 由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211221212120()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=-又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离， 即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、多选题10．在ABC ∆中，1,6AB AC B π===，则ABC ∆的面积可以是（ ）A ．B ．1CD 【答案】AD【解析】由余弦定理求出BC ，再根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：∵1,6AB AC B π===，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ∴2320BC BC -+=， ∴1BC =，或2BC =，∴由ABC ∆的面积公式1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅得ABC S ∆=或ABC S ∆=， 故选：AD ． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．11．下列说法正确的是（ ）A ．直线x ﹣y ﹣2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0，2)关于直线y =x +1的对称点为(1，1)C ．过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2=0 【答案】AB【解析】求出截距得到三角形的面积判断A 的正误；利用对称知识判断B 的正误；直线的两点式方程判断C 的正误，利用截距相等判断D 的正误. 【详解】解：直线x ﹣y ﹣2=0在两坐标轴上的截距分别为：2，﹣2，与坐标轴围成的三角形的面积是：122⨯⨯2=2，所以A 正确； 点(0，2)与(1，1)的中点坐标(12，32)满足直线方程y =x +1，并且两点的斜率为：﹣1，所以点(0，2)关于直线y =x +1的对称点为(1，1)，所以B 正确； 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，所以C 不正确；经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2=0或y =x ，所以D 不正确； 故选：AB. 【点睛】本题考查命题的真假的判断直线方程的求法､对称知识以及直线的截距的应用，是易错题.12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE 【答案】AD【解析】利用中位线的性质即可判断选项A ；先求得四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥E ABCD -的体积的关系,再由四棱锥E ABCD -的体积与三棱锥E ABC -的关系进而判断选项B ；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C ；先证明AC ⊥平面BCP ,进而证明平面BCP ⊥平面ACE ,即可判断选项D. 【详解】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=, 因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABCS AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形,又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD △为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD △中,AC =,在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥, 因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确,故选:AD 【点睛】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直的判断,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与推理论证能力.三、填空题 13．直线3x π=的倾斜角为______.【答案】2π 【解析】根据直线解析式可得直线与x 轴垂直，再由直线倾斜角的概念即可得解. 【详解】 由题意，直线3x π=与x 轴垂直，所以其倾斜角为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题考查了直线倾斜角的求解，对概念的准确把握是解题关键，属于基础题. 14．如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD 的高度(建筑物CD 垂直于地面)，设计测量方案为先在地面选定,A B 两点，其距离为200米，然后在A 处测得60DAB ∠=︒，在B 处测得75DBA ∠=︒，30DBC ∠=︒，则此建筑物CD 的高度为______米.【答案】506【解析】在ABD △中，求出45ADB ∠=，利用正弦定理求出BD .在Rt DBC 中，sin CD BD DBC =∠，即可求出建筑物CD 的高度.【详解】ABD △中，180607545ADB ∠=--=.由正弦定理可得sin sin BDABDAB ADB=∠∠，又200,60AB DAB =∠=，3200sin 200sin 6021006sin sin 452AB DAB BD ADB ⨯∠∴====∠.在Rt DBC 中，30DBC ∠=︒,1sin 1006sin 3010065062CD BD DBC ∴=∠==⨯=. 所以建筑物CD 的高度为506米. 故答案为：506. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的测量高度的问题，属于基础题.15．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM 的距离为______.【答案】6a 【解析】由正方体的几何特征结合平面几何的知识可得126A MD a S =△，设点C 到平面1A DM 的距离为d ，由11C A DM A CDM V V --=结合锥体的体积公式即可得解. 【详解】连接1A C ，CM ，如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AB 的中点，所以1A M DM ===1A D =，所以1A MD 为等腰三角形且底边1A D =，所以1A MDS ==△设点C 到平面1A DM 的距离为d ，则11213C A DM A MD V S d -=⋅=△，又1123211111332612C A DM A CDM CMD V V S AA a a a a --==⋅=⨯⋅==△，所以3d a =.. 【点睛】本题考查了锥体体积的求解及利用等体积法求点面距离，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.16．函数()312f x x =-的最小值为______. 【答案】3【解析】设y =()()2229,0x y y -+=≥，设点(),P x y 在该曲线上，由点到直线的距离公式转化条件为点(),P x y 到直线34120x y -+=的距离的5倍的最小值，结合直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】设y =()()2229,0x y y -+=≥，该方程表示的曲线为以()2,0为圆心，半径3r =的圆在x 轴上方的部分（包含与x 轴的交点），如图，设点(),P x y 在该曲线上，则()()22234123492123412534x y f x x x x y -+=---=-+=+，所以()f x 即为点(),P x y 到直线34120x y -+=的距离的5倍， 又圆心到直线34120x y -+=的距离2261218534d +==+， 所以点(),P x y 到直线34120x y -+=的距离最小值为183355-=， 所以()min 3535f x =⨯=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了圆的方程及直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.四、解答题17．某社区为了了解青少年的身体素质，对本社区的100名青少年进行了调研，随机抽取了若干名，年龄全部介于13与18岁之间，将年龄按如下方式分成五组：第一组[)13,14；第二组[)14,15；；第五组[]17,18．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三个组的频率之比为1:4:10，且第二组的频数为4．（1）试估计这100名青少年中年龄在[)16,17内的人数； （2）求从本社区的100名青少年中随机抽取出的调研人数． 【答案】（1）32；（2）25.【解析】（1）计算频率，即可估计这100名青少年中年龄在[)16,17内的人数； （2）确定图中从左到右前3个组的频率，然后利用第二组的频数除以第二组的频率可得出结果. 【详解】（1）由题意可知，这100名青少年中年龄在[)16,17内的人数为1000.3232⨯=； （2）设图中从左到右前3个组的频率分别为x 、4x 、10x ，则150.320.081x ++=， 解得0.04x =，则第二组的频率为40.16x =，所以，从本社区的100名青少年中随机抽取出的调研人数为4250.16=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于基础题．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB PB =，,E F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAB ．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理推导出//EF PC ，根据线面平行的判定定理可证明//EF 平面PBC ；（2）由已知条件推导出,PA BE PA EF ⊥⊥，可得平面PA ⊥ BEF ，由此能证明平面PAB ⊥平面BEF .试题解析：证明：⑴在APC ∆中，因为,E F 分别是,PA AC 的中点，所以EF ∥PC 又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PBC ； ⑵ 因为AB PB =，且点E 是PA 的中点，所以PA ⊥BE ； 又PA PC ⊥，EF ∥PC ，所以PA EF ⊥，因为BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，BE EF E ⋂=，PA ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面BEF .19．已知直线210x my m +--=恒过定点A .（1）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程. 【答案】（1）1322y x =+；（2）1x =或3450x y -+=. 【解析】求得直线210x my m +--=的定点A 的坐标. （1）根据点斜式求得直线l 的方程.（2）将直线l 的斜率分成不存在和存在两种情况进行分类讨论，由此求得直线l 的方程. 【详解】由210x my m+--=得()120x m y-+-=，所以直线过定点()1,2A.（1）直线250x y+-=的斜率为2-，所以直线l的斜率为12，所以直线l的方程为()1212y x-=-，即1322y x=+.（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为1x=，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()21y k x-=-，化为一般式为20kx y k-+-=，原点到直线l的距离2211kk-=+，解得34k=.所以直线l的方程为332044x y-+-=，即3450x y-+=.所以直线l的方程为1x=或3450x y-+=.【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线过定点，考查点到直线的距离公式，属于基础题.20．在棱长为a的正方体ABCD A B C D''''-中，E是BC的中点.（1）求直线D C'与DE所成角的余弦值；（2）求二面角B ED A'--的正弦值.【答案】（1）105；（2）306.【解析】（1）取A D''的中点F，连接EF、FD，由正方体的几何特征结合平面几何的知识可得//D C EF'，进而可得DEF∠或其补角即为直线D C'与DE所成的角，再由余弦定理即可得解；（2）延长DE、AB交于点G，作BH DG⊥于H，连接B H'，由正方体的几何特征及线面垂直的判定与性质可得DG B H'⊥，进而可得B HB'∠即为二面角B ED A'--的平面角，即可得解.【详解】（1）取A D''的中点F，连接EF、FD，如图，在正方体中，E是BC的中点，所以//FD EC'且FD EC'=，所以四边形FD CE'为平行四边形，所以//D C EF'，所以DEF∠或其补角即为直线D C'与DE所成的角，在棱长为a的正方体ABCD A B C D''''-中，E是BC的中点，F是A D''的中点，所以2EF D C a'==，2252aDE DF a a⎛⎫==+=⎪⎝⎭，在DEF中，222210cos255222DE EF DFDEFDE EFa a+-∠===⋅⨯⨯，所以直线D C'与DE所成角的余弦值10；（2）延长DE、AB交于点G，作BH DG⊥于H，连接B H'，如图，在正方体ABCD A B C D''''-中，BB'⊥平面ABCD，,DG BH⊂平面ABCD，所以BB DG'⊥，BB BH'⊥，又BH DG ⊥，BH BB B '=，所以DG ⊥平面BB H '，由B H '⊂平面BB H '可得DG B H '⊥， 所以B HB '∠即为二面角B ED A '--的平面角， 由BGE △≌CDE △可得BG CD a ==，GE ED ==，所以15a aBE BG BH GE ⋅⋅===，所以5B H '==，所以sin 6BB B HB B H'''∠===, 所以二面角B ED A '--的正弦值为6. 【点睛】本题考查了异面直线夹角及二面角的求解，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.21．用,,a b c 分别表示ABC 的三个内角,,A B C 所对边的边长，R 表示ABC 的外接圆半径.（1）2,2,45R a B ===︒，求AB 的长；（2）在ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数,,a b R ，其中b a ≤，问,,a b R 满足怎样的关系时，以,a b 为边长，R 为外接圆半径的ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC 存在的情况下，用,,a b R 表示c . 【答案】（1）c =2）见解析（3）见解析【解析】（1）先根据正弦定理得b ，再根据余弦定理求AB 的长； （2）先根据余弦定理得222a b c +<，再根据正弦定理放缩证明结果； （3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求c . 【详解】（1） 由正弦定理得2sin 222b R B ==⨯⨯=所以22222cos844b ac ac c c π=+-∴=+-∴=；（2） 因为2222cos a b c ab C +-=，C ∠是钝角，所以2222222220(2sin )(2)4a b c a b c R C R R +-<∴+<=<= 因此2224a b R +<； （3）当2b R ≥时,ABC 不存在，当2a R b >>时，ABC 不存在，当2a R b =>时，存在一个ABC ，此时,2A c π==当2R a b >=时，存在一个ABC ，此时2cos 222c a B ==== 当2R a b >>时，存在两个ABC ，cos cos()sin sin cos cos C A B A B A B =-+=-当A 为锐角时，cos sin sin 22a b C A B R R ==⋅c ===当A 为钝角时，cos sin sin 22a b C A B R R ==⋅c ===【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.22．如图，圆C 与x 轴相切于点()1,0T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且||2AB =.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 作任一条直线与圆O ：221x y +=相交于M ，N 两点. ①求证：||||MA MB 为定值，并求出这个定值； ②求BMN ∆的面积的最大值. 【答案】（1）()(22122x y -+=（221；证明见解析②828-【解析】（1）由直线与圆相交，利用勾股定理构建方程求得半径，得答案； （2）①分类讨论MN k 是否存在，当MN k 存在时，可联立直线与圆的方程，进而确定1kx 的关系，利用斜率k 分别表示MA k ,MB k ，再利用弦长公式表示||,||MA MB ，作商并化简，得答案；当MN k 不存在时，M 为特殊位置，直接表示||,||MA MB ，作商，得答案； ②利用点到直线的距离公式表示点B 到MN l 的距离，利用弦长公式表示MN ，最后表示所求BMN ∆的面积，借助换元法求得函数的最大值即可. 【详解】（1）由题可知点()1,0T ，所以可以设圆心()1,C r因为||2AB =，所以由2221||12AB r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2r =(2C所以圆C 的标准方程为()(22122x y -+=；（2）①证明：由（1）可得()21A ，()21B 当MN k 存在时，设:21MN l y kx =-将直线和圆的方程联立：2211x y y kx ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 得())2212120kxkx +++-=——Ⅰ设()11,M x y ，()22,N x y ，且20x >，那么111MA y k k x -==-，111122MB y k k x x -+==--所以||||MA MB ====由Ⅰ得)()222211112112k x k x kx +-+==-，将其代入Ⅱ化简可得||1||MA MB ； 当MN k 不存在时，显然M 为()0,1或()0,1-此时))11211MA MB ⎧=-=-⎪⎨=-=⎪⎩或))11112MA MB ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩则||1||MA MB综上所述：||||MA MB1 ②由题可知此时MN k 必然存在，仍设:1MN l y kx = 则点B 到MN l的距离为：d==由①可知Ⅰ式：())2212120k xkx +++-=则()()(22222141248kk k ⎡⎤=-+-=+⎣⎦所以MN=故1122BMNS d MN ∆======令(]21,0,11t tk=∈+，则BMNS∆其内部函数开口向上，对称轴为12t==<故当1t=时，max8BMNS∆==.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，涉及求圆的标准方程，过定点的弦长问题，还考查了平面中三角形面积的最值问题，属于难题.。

江苏省苏州市2019-2020学年高一下期末联考数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 是定义在上的奇函数，且当时，2cos ,08,(){6log ,8,xx f x x x π<≤=>，那么（ ）A ．12-B ．32-C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，，故，故选C ．考点：分段函数的应用.2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】，故选C.3．．若0ac >且0bc <，直线0ax by c 不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限，【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为0ac >且0bc <，所以0c b ->，0ab->， 又直线0ax by c 可化为a cy x b b=--，斜率为0a b ->，在y 轴截距为0cb->，因此直线过一二三象限，不过第四象限. 故选：D.4．下列结论正确的是（ ） A ．ac bc a b <⇒<B ．若0a b <<，则b aa b>C ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ D a b <⇒<【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质进行分析，对错误的命题可以举反例说明． 【详解】当0c <时，A 不正确；0a b <<，则1a bb a>>，B 错误；当01x <<时，lg 0x <，1lg 0lg x x +<，Ca b <⇒<正确． 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式性质是解题关键．可通过反例说明命题错误．5．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是( ) A ．8 B ．12C ．16D ．24【答案】D 【解析】设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x ，则23612x =+ ，解得x ＝1． 故选D6．设0,0x y >>且1x y += ，41x y+的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．272【答案】B 【解析】 【分析】 由()4141x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】()41414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4y x x y =，即2x y =时取等号）41x y∴+的最小值为9 故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活利用“1”，配凑出符合基本不等式的形式.7．若直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数tan y x ω=图象的对称中心为（ ）A ．,0,2k k Z ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．(,0),k k Z ∈C ．,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．(,0),k k Z π∈ 【答案】A 【解析】 【分析】先计算周期得到1T ωπ=⇒=，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案. 【详解】直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1 则t n 1a y T x ωππ=⇒=⇒=tan y x π=的对称中心横坐标为：()22k kx x k Z ππ=⇒=∈ 对称中心为,0,2k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案选A 【点睛】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.8．已知4log 5a =，2log 3b =，sin2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可知,a b 都大于1，把4log 5化成2log ,a b 的大小，从而可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为4log y x =及2log y x =都是()0,∞+上的增函数，故44log 5log 41sin 2>=>，22log 3log 21sin 2>=>，又42221log 5log 5log 5log 32==<，故c a b <<，选B. 【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递. 9．已知函数41()x f x e -=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+【答案】B 【解析】()411ln 22m en t -=+=，则()1211ln 1,42t m t n e -=+=， 所以()12111ln 244t n m e t h t --=--=，则()1211'24t h t e t-=-，易知，1'02h ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()min 11ln 224h x h +⎛⎫==⎪⎝⎭，故选B 。

淮安地区五校联考一、单选题1.已复数22()z m m i m R =-+∈为纯虚数，则m =（ ）．A. 0B. 2C. 0或2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据复数类型得到220m m -=，解得答案.【详解】22()z m m i m R =-+∈为纯虚数，则220m m -=，解得2m =或0m =. 故选：C.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，属于简单题. 2.在曲线2y x 上切线的斜率为1的点是（ ）．A. (0,0)B. (2,4)C. 11,416⎛⎫⎪⎝⎭D. 1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】D 【解析】 【分析】 求导取'21yx ，解得答案. 【详解】2y x ，则'21y x ，解得12x =，当12x =时，14y =，故切点为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 故选：D.【点睛】本题考查了根据斜率求切点，属于简单题.3.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为下表，则q =（ ）．ξ1- 0 1P1421q -qA.112B.712C.12D.13【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质，得到12114q q +-+=，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得12114q q +-+=，解得712q =.故选：B.【点睛】本题主要考查了分布列的性质，其中解答中熟记分布列的性质，列出方程是解答的关键，着重考查了计算能力.4.已知282828x x C C -=，则x 的值为（ ）A. 6B. 8C. 12D. 8或12【答案】D 【解析】 【分析】由282828x x C C -=，可得28x x -=或2828x x -+=，即可求得答案.【详解】282828x x C C -=∴28x x -=或2828x x -+=，解得：8x =或12x = 故选：D【点睛】本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，属于基础题. 5.某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为ˆy＝－5x ＋150，则下列结论正确的是( ) A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－5C. 当销售价格为10元时，销售量为100件D. 当销售价格为10元时，销售量为100件左右【答案】D 【解析】 【分析】对选项逐个分析，A 是负相关，B 中1r ≤，C 和D 中销售量为100件左右．【详解】由回归方程ˆy＝－5x ＋150可知y 与x 具有负的线性相关关系，故A 错误；y 与x 之间的线性相关系数1r ≤，故B 错误；当销售价格为10元时，销售量为510150100-⨯+=件左右，故C 错误，D 正确．【点睛】本题考查了线性回归方程知识，考查了线性相关系数，属于基础题． 6.已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=( ) A. 0.84 B. 0.68C. 0.32D. 0.16【答案】B 【解析】 【分析】先计算出()()414P X P X >=-≤，由正态密度曲线的对称性得出()2P X <=()4P X >，于是得出()()()24124P X P X P X <<=-<->可得出答案．【详解】由题可知，()()41410.840.16P X P X >=-≤=-=， 由于()2~3,X N σ，所以，()()240.16P X P X <=>=，因此，()()()2412410.160.160.68P X P X P X <<=-<->=--=，故选B. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题． 7.安排6名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ）． A. 360种 B. 300种C. 540种D. 180种【答案】C 【解析】 【分析】由题意，去每个社区的学生人数可分为3类：1人、1人、4人；1人、2人、3人；2人、2人、2人.结合排列组合的知识，可得不同的安排方式的种数.【详解】由题意，去每个社区的学生人数可分为3类：1人、1人、4人；1人、2人、3人；2人、2人、2人.当去3个社区的学生人数分别为1人、1人、4人时，有436390C A =种不同的安排方式；当去3个社区的学生人数分别为1人、2人、3人时，有12336533360C C C A =种不同的安排方式；当去3个社区的学生人数分别为2人、2人、2人时，有22264290C C C =种不同的安排方式.所以不同的安排方式共有9036090540++=种. 故选：C .【点睛】本题考查排列组合，属于中档题.8.若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不单调，则实数k 的取值范围是（ ）．A. 312⎛⎤ ⎥⎝⎦， B. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得函数的单调性，结合题意列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数2()2ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且1()4f x x x'=-，令()0f x '=，解得12x =，当1(0,)2x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，要使得函数()f x 在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不单调，则满足111210k k k ⎧-<<+⎪⎨⎪-≥⎩，解得312k ≤<，即实数k 的取值范围是3[1,)2. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的关系，其中解答中熟记利用导数求解函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与计算能力. 二、多选题9.若1()nx x+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项【答案】CD 【解析】 【分析】该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，表示出第3项与第8项的系数，可求得n ，再表示该展开式中二项式系数最大的项即可.【详解】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为27,n n C C ， 又因为其相等，则9n =所以该展开式中二项式系数最大的项为91152-+=与91162++=项 即为第5项；第6项. 故选：CD【点睛】本题考查表示二项展开式的项的系数，还考查了求其中系数最大的项，属于基础题.10.已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A. 38z =B. zC. z 的共轭复数为1D. 24z =【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z=224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=- 选项A: 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+= 选项B: 1z =-选项C: 1z =-共轭复数为1z =-选项D: 222(1)(1)+2(2-+=--=-- 故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．11.下列命题中，正确的命题的是（ ）A. 已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E x =，()20D x =，则23p =； B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；C. 设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P P ξ-<≤=-； D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8x =时概率最大． 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A ：利用二项分布的期望和方程公式列出关于,n p 的方程，解方程即可判断； 对于选项B ：根据方差的计算公式可知，方差恒不变； 对于选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；对于选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出,110,x k k k N =≤≤∈时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断.【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误； 对于选项B ：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，()E a b aE b ξξ+=+，()()2,D a b a D a b ξξ+=为常数，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确； 对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP x k C -==⨯0.8⨯，所以当1k 时，()()()101011101104110.80.210.80.2kk kk k k P x k k C P x k C k ----+=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P x k k P x k k=-=≥=-得，444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，即8k 时，概率()8P x =最大，故选项D 正确．故选：BCD【点睛】本题考查二项分布的期望和方差公式、正态分布的图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计算公式；考查分析问题和解决问题的能力；熟练掌握统计的相关知识是求解本题的关键；属于中档题. 12.对于函数ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ）． A. ()f x 在x e =处取得极大值1eB. ()f x 有两不同零点C. (2)()(3)f f f π<<D. 若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，则1k > 【答案】ACD【解析】 【分析】求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可． 【详解】函数的导数21()lnxf x x -'=，(0)x >， 令()0f x '=得x e =，则当0x e <<时，()0f x '>，函数为增函数， 当x e >时，()0f x '<，函数()f x 为减函数， 则当x e =时，函数取得极大值，极大值为()1f e e=，故A 正确， 当0x →，()f x →-∞，x →+∞，()0f x →， 则()f x 的图象如图：由()0f x =得0lnx =得1x =，即函数()f x 只有一个零点，故B 错误，()()ln 42ln 2ln 224442f f ====， 由x e >时，函数()f x 减函数知()()()34f f f π>>，故()()()23f f f π<<成立，故C 正确，若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立， 则1lnx k x x>+， 设1()lnx h x x x =+，(0)x >， 则2()lnxh x x'=-，当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，即当1x =时，函数()h x 取得极大值同时也是最大值()11h =，1k ∴>成立，故D 正确.故选：ACD ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键． 三、填空题13.高二某班有2名男生，4名女生排成一排，则2名男生相邻的不同排法有________种．（结果用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】2名男生相邻可以用“捆绑法”模型计算.【详解】男生相邻看作一个特殊元素，与4名女生全排列，有55A 种排法，男生两人的位置有22A 种，根据分步乘法计数原理可知，共有5252240A A ⋅=种排法，故答案为：240【点睛】本题主要考查了排列的实际应用，排列数的计算，捆绑法，属于中档题. 14.某产品的广告费支出x 与销售量y 之间有如下对应数据：x 与y 具有线性相关关系，线性回归方程为 6.5ˆˆy x a =+，则ˆa 的值________．【答案】17.5 【解析】 【分析】计算数据中心点，代入线性回归方程得到答案. 【详解】2456855x ++++==，3040605070505y ++++==，将中心点()5,50代入回归方程得到：50 6.55a =⨯+，解得17.5a =. 故答案：175..【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力，计算中心点是解题的关键. 15.()()()()234201111x x x x ++++++⋅⋅⋅++中2x 的系数为______． 【答案】1330 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出各个展开式中2x 的系数后，再相加，然后利用组合数的性质化简即可得到结果.【详解】()()()()234201111x x x x ++++++⋅⋅⋅++中2x 的系数为：222223420C C C C ++++ 322233420C C C C =++++3224420C C C =+++ 3225520C C C =+++321C =21!3!18!=⨯212019321⨯⨯=⨯⨯1330=.故答案为：1330.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式、组合数的性质、组合数的计算公式，属于基础题.16.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()f x 在[]1,e 上单调减函数，则实数a 的最大值为________，若0a >，在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()0020ef x x -≥成立，则实数a 的最小值为________． 【答案】 (1). 221e e + (2). 241ee - 【解析】 【分析】 求导，变换得到21a x x≤+，根据函数单调性计算最值得到答案，考虑01x =和(]01,x e ∈两种情况，利用参数分离，构造函数，得到函数单调性，计算最值得到答案. 【详解】()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()'21210f x a x x⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭在[]1,e 上恒成立， 即21a x x ≤+，根据双勾函数单调性知，()21g x x x=+在 []1,e 上单调递减，故()()2min 21ea g x g e e ≤==+，即a 的最大值为221e e +；()0020e f x x -≥，即0000122ln 0ea x x x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，当01x =时不成立， 当(]01,x e ∈时，整理得到：00202ln 21x x ea x +≥-，设()22ln 21x x eF x x +=-，则()()()222221ln 2421x x x ex F x x-++-=-'-，当(]1,x e ∈上时，()221ln 0x x -+<，2242y x ex =--在(]1,x e ∈上单调递减，故2222242242220x ex e e e --≤--=--<，()2210x ->，故()'0F x <，函数单调递减，故()()2min 41ea F x F e e ≥==-，故a 的最小值为241e e -.故答案为：221e e +；241ee -. 【点睛】本题考查了函数恒成立问题和能成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为函数的最值是解题的关键. 四、解答题17.已知复数1z ，2z 满足1(1)15i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈． （1）求1z ；（2）若121||||z z z -<，求a 的取值范围． 【答案】（1）123z i =+（2）(1,7) 【解析】 【分析】（1）直接利用复数的除法运算得到答案.（2）利用共轭复数的定义和复数模的运算化简得到2870a a -+<，解得答案. 【详解】（1）115(15)(1)231(1)(1)i i i z i i i i -+-+-===+++-， （2）∴1z ==，又∵1223(2)z z i a i -=+--+|42|a i =-+=∴由121z z z -<<，化简得2870a a -+<，解得17a <<． 故a 的取值范围是(1,7)．【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数的模，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.已知n的展开式中前三项的系数为等差数列． （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中的有理项． 【答案】（1）5358T x =．（2）41T x =、5358T x =、921256T x = 【解析】 【分析】（1）根据n的展开式中前三项的系数成等差数列，由021021112222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得n ，然后由二项式系数的性质求解.（2）由（1）知：展开式通项为3441812rrr r T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(0,1,,8)r =…，然后由344r Z-∈求解.【详解】（1）∵42nx x ⎛+ ⎪⎭的展开式中前三项的系数为0012n C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭、112n C ⋅、2212n C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵展开式中前三项的系数成等差数列，∴021021112222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：2980n n -+=， 解得8n =，或1n =（舍去），故二项式系数最大的项为445813528T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭．（2）展开式通项为3441812rrr r T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(0,1,,8)r =…， 当344r Z -∈时，1r T +为有理项， 当0r =时，41T x =，当r 4=时，3585T x =，当r 8=时，921256T x =，故展开式中有理项为41T x =、5358T x =、921256T x =. 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式以及二项式系数和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性平均每天使用微信的时间（单位：h ）分成5组：(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据男性的频率分布直方图，求a 的值；（2）①若每天玩微信超过4h 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，根据男性，女性频率分布直方图完成下面22⨯列联表（不用写计算过程）②判断是否有90%的把握认为“微信控”与性别有关？说明你的理由．（下面独立性检验的临界值表供参考）参考公式：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）0.08a =；（2）①见解析；②有，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形的面积和等于1，可求a 的值；（2）①根据频率分布直方图，分别计算男性、女性的“微信控”和“非微信控”的人数，填写22⨯列联表；②根据参考公式，计算2χ的观测值，根据临界值表，可得结论.【详解】（1）由男性的频率分布直方图，可得2(0.040.1420.12)1a +++⨯=，解得0.08a =． （2）①②2χ的观测值2100(38203012) 2.941 2.70650506832k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为“微信控”与性别有关．【点睛】本题考查频率分布直方图和独立性检验，属于基础题.20.已知函数2()xf x e x a =-+，x ∈R 的图象在点0x =处的切线为y bx =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）设2()()g x f x +x x =-，求证：()0g x ≥； （3）若()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2()1xf x e x =--（2）见解析（3）(,2)e -∞- 【解析】 【分析】（1）求导根据切线方程公式得到(0)10(0)1f a f b =+=⎧⎨=='⎩，解得答案.（2）求导得到单调区间，计算min ()(0)0g x g ==得到证明.（3）求导并利用（2）中结论，得到函数单调区间，min ()(1)k h x h <=，得到答案.【详解】（1）2(),()2xx f x e x a f x e x '=-+=-，由已知得(0)10(0)1f a f b =+=⎧⎨=='⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故2()1x f x e x =--.（2）2()()1xg x f x x x e x =+-=--，()10xg x e -'==得0x =． 当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．∴min ()(0)0g x g ==，从而2()f x x x ≥-+,即()0g x ≥（3）令2)()1(x f x h x x e xx -=-=，0x >， ∴()()()222221(1)1()()()x x x x e x e x x e x xf x f x h x x x x-------'-'===， 由（2）可知当(0,)x ∈+∞时，10x e x -->恒成立， 令()0h x '>，得1x >；()0h x '<得01x <<．∴()h x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)，min ()(1)2h x h e ==-， ∴min ()(1)2k h x h e <==-，∴实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为求函数最值是解题的关键. 21.天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为16，至少有一个地方降雨的概率为23，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响． （1）分别求甲、乙两地降雨的概率；（2）在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X ，求X 的分布列和数学期望与方差．【答案】（1）甲地降雨的概率为12，乙地降雨的概率为13．（2）见解析，3(X)2E =．方差34． 【解析】 【分析】（1）设()P A x =，()P B y =，根据题意得到方程组，解得答案. （2）计算仅有一地下雨的概率为12p =，X 的可能取值为0，1，2，计算概率得到分布列，计算数学期望和方差得到答案.【详解】（1）设甲、乙两地降雨的事件分别为A ，B ，且()P A x =，()P B y =．由题意得1621(1)(1)3xy x y x y ⎧=⎪⎪⎪---=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以甲地降雨的概率为12，乙地降雨的概率为13． （2）在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为()()()()()()P P AB P AB P A P B P A P B =+=+1211123232=⨯+⨯=．X 的可能取值为0，1，2，3311(0)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1213113(1)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113(2)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3311(3)128P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 方差2222133333133()0123828282824V X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.22.已知2()ln 2a f x x x x =-． （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；（3）当0a >时，若()()(1)g x f x a x =+-在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为1e- ，无极大值，（2）见解析（3）(1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）求导得到函数单调区间，计算极值得到答案.（2）求导得到()1ln f x x x '=+-，计算导函数的最大值为0，得到函数单调性. （3）求导得到()ln h x x ax a =-+，再求导取导数为0得到1x a=，讨论01a <<和1a =，1a >三种情况，计算得到答案.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当0a =时，()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+，由()0f x '=得1x e =，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，故当1x e =时取得极小值为11()f e e=-，无极大值.（2）当1a =时，21()ln 2f x x x x =-，()1ln f x x x '=+-， 设()()x f x ϕ'=，则11()1x x x xϕ-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在(0,1)上调递增，在(1,)+∞上单调递减，()max (1)0x ϕϕ==，所以当0x >时，()0x ϕ≤，即()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）由已知得2()ln (1)2a g x x x x a x =-+-，则()ln g x x ax a '=-+， 记()ln h x x ax a =-+，则(1)0h =，11()ax h x a x x-'=-=，令()0h x '=，得1x a =．①若01a <<，则11a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，故函数()h x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h <=，即()0g x '<；当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(1)0h x h >=，即()0g x '>，又(1)0g '=，所以()g x 在1x =处取得极小值，不满足题意．②若1a =，则当(0,1)x ∈时，()0h x '>，故()h x '在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x '在(1,)+∞上单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，()(1)0h x h ≤=，即()0g x '≤，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，不满足题意．③若1a >，则101a <<，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，故()h x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 且当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()(1)0h x h >=，即()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，即()0g x '<，又(1)0g '=，所以()g x 在1x =处取得极大值，满足题意． 综上，实数a 的取值范围是(1,)+∞．【点睛】本题考查了求函数的极值，函数单调性，根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。