2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高一(下)期中数学试卷(Word版含解析)

ACBDE第12题图淮安市2014－2015学年度第二学期期末高一调查测试数 学 试 卷本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合{}{}1,1,3,3A B x x =-=<，则AB = ▲ ．2．已知角α的终边过点()3,4P -，则cos α= ▲ ． 3．方程21124x -=的解x = ▲ ． 4. 某单位有青年职工、中年职工、老年职工共900人，其中青年职工450人，为迅速了解职工的家庭状况，采用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为15人，则抽取的样本容量为 ▲ ．5．下图是一个算法的流程图，当n 是 ▲ 时运算结束.6．已知函数 ()()()22cos x x f x m x x -=⋅+∈R 是奇函数，则实数m = ▲ ． ▲ ．8．已知函数()()1cos ,0,2f x x x x π⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()f x 的最大值为 ▲ ．9．已知等比数列{}n a 中，62a =，公比0q >，则2122211log log log a a a +++= ▲ ．10. 已知实数,x y 满足0,0,28,3x y x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤≤9,,则23z x y =+的最大值是 ▲ .11．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ->⎧=⎨--⎩≤，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．如图，在ABC ∆中，若2BE EA =，2AD DC =，()DE CA BC λ=-，则实数=λ ▲ ．13．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若134,,a a a 成等比数列，则3253S S S S --的值为 ▲ ．14．已知函数1lg(1)y x=-的定义域为A ，若对任意x A ∈都有不等式292222x m x mx x -->--恒成立，则正实数m 的取值范围是 ▲ ．二.解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应．．．．．位置．．上. 15.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和224n n S +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足73b a =，154b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.在平面直角坐标系上，第二象限角α的终边与单位圆交于点03,5A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求22sin α+sin 2α的值；（2）若向量OA 与OB 夹角为60︒，且2OB =，求直线AB 的斜率． 17. (本小题满分14分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75. （1）求x ，y 的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1不低于80学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3理由（方差较小者稳定）.18．(本小题满分16分)对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ； （2）设()()12212log ,log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ．若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围.19. (本小题满分16分)如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要， 该光源照射范围是6ECF π∠=,点,E F 在直径AB且6ABC π∠=．（1）若CE =，求AE 的长；（2）设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21)n n S a =-（，数列{}n b 满足：对任意*n N ∈有1ni ii a b=∑1(1)22n n +=-⋅+.BA第19题图（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）记nn nb C a =，数列{}n C 的前n 项和为n T ，证明：当6n ≥时，21n n T -<．2014－2015学年度高一调查测试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：1．{}1,1- 2．35- 3．12- 4.30 5．5 6．1- 7．178．29．11 10.13 11．[)0,1 12．13 13．2 14．0,1⎛-+ ⎝ 二.解答题:15.（1）因为数列{}n a 的前n 项和224n n S +=-.所以311244a S ==-=，……………………………………………………………2分 当1n >时，2111(24)(24)2n n n n n n a S S +++-=-=---=，…………………………4分 因为1n =时也适合，所以12(*)n n a n N +=∈；…………………………………6分 （2）设等差数列{}n b 的首项为1b ，公差为d ，因为73b a =，154b a =，12n n a += 所以 11616,1432.b d b d +=⎧⎨+=⎩ …………………………………………………………10分解得14,2.b d =⎧⎨=⎩……………………………………………………………………12分所以数列{}n b 前n 项和21(1)32n n n T nb d n n -=+=+.……………………14分 16.（1）因为角α的终边与单位圆交于点03,5A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2203()15y -+=，解得0y =45±，又因为角α是第二象限角， 所以0y =45，所以sin α=45，cos α=35-，……………………………………2分所以22sin α+sin 2α=22sin 2sin cos ααα+2=⨯24()5432()55+⨯⨯-825=；………………………………………6分 （2）由（1）知，34,55OA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设B 点坐标为(,)m n ，则OB =(,)m n ，因为2OB =，所以224m n +=，……………………………………………8分又因为OA 与OB 夹角为60︒，所以cos 60OA OB OA OB ⋅=︒， 即34155m n -+=，……………………………………………………………10分联立解得m n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以B 点坐标为），…12分 所以4AB ⎛=或AB ⎛= ⎝， 所以直线AB 的斜率为34．……………………………………………………14分 17.（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知 高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以6x =；………………………2分 因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为 5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5， 7，7，19，和为41，所以3y =；…………4分 （2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88； 乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲、乙两队各随机抽取一名，种数为3412⨯=，………………………………………6分 其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。

2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上.1．（5分）（2015春•淮安校级期中）过点（1，0），且与直线2x+y﹣10=0的斜率相同的直线方程是2x+y﹣2=0 ．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为：2x+y+m=0，把点（1，0）代入解得m即可得出．解答：解：设所求的直线为：2x+y+m=0，把点（1，0）代入可得2+0+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：2x+y﹣2=0，故答案为：2x+y﹣2=0．点评：本题考查了直线的方程、斜率的求法，属于基础题．2．（5分）（2015春•淮安校级期中）若直线y=2x与直线x+ay﹣3=0互相垂直，则实数a的值是 2 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得．解答：解：∵直线y=2x可化为2x﹣y=0，∵直线y=2x与直线x+ay﹣3=0互相垂直，∴2×1+（﹣1）a=0，解得a=2故答案为：2点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．3．（5分）（2015春•淮安校级期中）在等差数列{a n}中，已知a15=10，a45=90，a60= 130 ．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设公差为d，则d==，而a60=a45+（60﹣45）d，代入可得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则d==，故a60=a45+（60﹣45）d=90+15×=130，故答案为：130点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．4．（5分）（2015春•淮安校级期中）若经过点A（1﹣t，1+t）和点B（3，2t）的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是（﹣2，1）．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由题意可得直线AB的斜率＜0，解关于t的不等式可得．解答：解：由题意可得直线AB的斜率＜0，整理可得＜0，等价于（t﹣1）（t+2）＜0，解得﹣2＜t＜1，即实数t的取值范围为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率公式，涉及分式不等式的解法，属基础题．5．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣2，S4=4S2，则a3的值为﹣6 ．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据等比数列的S4=4S2，把数列的前4项和与前两项的和用数列的通项表示出来，合并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和的三倍，得到公比的平方是3，得到第三项．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣2，S4=4S2，∴a1+a2+a3+a4=4（a1+a2）∴a3+a4=3（a1+a2），∴q2=3，∴a3=a1q2=﹣2×3=﹣6，故答案为：﹣6点评：本题考查等比数列的前n项和与数列的通项，是一个基本量的运算问题，这种题目做起来运算量不大，只要注意应用等比数列的性质就可以做对．6．（5分）（2014春•徐州期末）在△ABC中，已知a=2，∠A=30°，∠B=45°，则S△ABC= +1 ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用两角和公式求得sinC的值，利用正弦定理求得b的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：∵∠A=30°，∠B=45°，∴C=180°﹣30°﹣45°，∴sinC=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=，∵=，∴b=•sinB=×=2，∴S=absinC=×2×2×=+1故答案为：+1点评：本题主要考查了正弦定理的运用．对正弦定理公式及变形公式能熟练掌握．7．（5分）（2014•兴庆区校级一模）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2，某三角形三边之比为a2：a3：a4，则该三角形最大角为120°．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：由数列{a n}的前n项和为S n=n2可以求得a2，a3，a3，再利用余弦定理即可求得该三角形最大角．解答：解：由S n=n2得a2=s2﹣s1=4﹣1=3，同理得a3=5，a4=7，∵3，5，7作为三角形的三边能构成三角形，∴可设该三角形三边为3，5，7，令该三角形最大角为θ，=，又0°＜θ＜180°∴θ=120°．故答案为：120°．点评：本题考查余弦定理，关键是利用等差数列的前n项和公式求得三角形三边之比为a2：a3：a4，为容易题．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bcosC，则的值为 1 ．考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：根据余弦定理把所给的式子，转化为只含有边得式子，再进行变形求出b和c的关系．解答：解：由余弦定理得，a=2bcosC=2b×，∴a2=a2+b2﹣c2，∴b2﹣c2=0则b=c，即=1，故答案为：1．点评：本题主要考查了利用余弦定理的应用，即利用余弦定理把角转化为边，判断三角形的形状和边之间的关系，常采用的一种方法．9．（5分）（2015春•淮安校级期中）直线mx+y+2=0与线段AB有公共点，其中A（﹣2，3），B （3，2），则实数m的取值范围为．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由题意得直线y=﹣mx﹣2过定点（0，﹣2），作出图象求出边界直线的斜率，根据图象和条件求出实数m的取值范围．解答：解：由题意得，直线mx+y+2=0化为y=﹣mx﹣2，则直线y=﹣mx﹣2过定点P（0，﹣2），画出图象：∴直线PA的斜率是=，直线PB的斜率是=，∵直线mx+y+2=0与线段AB有公共点，∴直线mx+y+2=0在直线PA和直线PB之间，且直线PB按逆时针转动，直线PA按顺时针转动，则实数m的取值范围是，故答案为：．点评：本题考查直线的斜率公式的应用，以及直线过定点的问题，数形结合是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）（2015春•淮安校级期中）已知：在锐角三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若，则角B为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用余弦定理可得 sinB=，再由ABC为锐角三角形，解得B 的值．解答：解：在△AB C中，∵（a2+c2﹣b2）tan B=，由余弦定理可得2ac•cosB•sinB=ac，∴sinB=，∴B=或．再由ABC为锐角三角形，可得 B=．故答案为．点评：本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，根据三角函数的值求角，属于中档题．11．（5分）（2015•淮安一模）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值是25 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线平行的条件得到，由2a+3b=（2a+3b）（）展开后利用基本不等式求得最值．解答：解：∵直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，∴a（b﹣3）﹣2b=0且5a+12≠0，∴3a+2b=ab，即，又a，b均为正数，则2a+3b=（2a+3b）（）=4+9+．当且仅当a=b=5时上式等号成立．故答案为：25．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．12．（5分）（2015•盐城校级二模）设等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），前n项和为S n，若a1=4a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，则S6= ．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得，由0＜q＜1，解得，由此能求出S6．解答：解：∵等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），前n项和为S n，a1=4a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，∴，由0＜q＜1，解得，∴S6==．故答案为：．点评：本题考查等比数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13．（5分）如果满足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC有且只有两个，那么k的取值范围是（，8）．考点：解三角形．专题：计算题．分析：由已知条件∠ABC的度数，AB及AC的值，根据正弦定理用k表示出sinC，由∠ABC的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个C的范围，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinC的范围，进而求出k的取值范围．解答：解：由正弦定理得：=，即=，变形得：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：4＜k＜8，则a的取值范围是（ 4，8）．故答案为：（ 4，8）．点评：此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．14．（5分）若实数a，b，c成等比数列，且a+b+c=1，则a+c的取值范围是[，1）∪（1，2] ．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设公比为q，则可分别表示出a和c，进而可用q表示出b，对q＞0和q＜0两种情况分类讨论，利用基本不等式求得b的范围；然后根据a+c=1﹣b即可求出结果．解答：解：设公比为q，显然q不等于0a+b+c=b（+1+q）=1∴b=当q＞0时，q+≥2 =2∴0＜b≤当q＜0时，q+≤﹣20＞b≥﹣1又∵a+c=1﹣b∴a+c的取值范围：[，1）∪（1，2]故答案为：[，1）∪（1，2]．点评：本题考查学生掌握等比数列的性质，以及会求一元二次不等式的解集，是一道综合题．学生做题时应注意考虑b≠0的情况．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）（2015春•淮安校级期中）已知直线x﹣my+2m+1=0．（1）求证：无论m为何实数，直线总经过第二象限；（2）为使直线不经过第四象限，求m的取值范围．（3）若直线交x轴于负半轴、交y轴于正半轴，交点分别为A、B，求直线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值，并求出此时的直线方程．考点：直线的一般式方程；直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：（1）直线x﹣my+2m+1=0可化为x+1+（2﹣y）m=0，由可得直线所过定点（﹣1，2）在第二象限，可得直线总经过第二象限；（2）由题意要使直线不经过第四象限，则需直线无斜率或斜率＞0，解关于m的不等式可得；（3）由方程可得截距，可得，由基本不等式等号成立的条件可得．解答：解：（1）直线x﹣my+2m+1=0可化为x+1+（2﹣y）m=0，由可解得，∴直线过定点（﹣1，2），在第二象限，∴直线总经过第二象限；（2）由（1）知直线直线过定点（﹣1，2），要使直线不经过第四象限，则需直线无斜率或斜率＞0，∴m=0，或＞0，解得m≥0；（3）由题意可得m＞0，把x=0代入x﹣my+2m+1=0可得y=，把y=0代入x﹣my+2m+1=0可得x=﹣（2m+1），∴，当且仅当时“=”成立，此时直线方程为y=2x+4，即2x﹣y+4=0点评：本题考查直线的一般式方程和截距式方程，涉及基本不等式求最值，属中档题．16．（14分）（2015春•淮安校级期中）等比数列{a n}满足a3a4a5=512，a3+a4+a5=28，公比为大于1的数．（1）求{a n}通项公式；（2）设b n=2n﹣1，求{a n+b n}前n项和S n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由可得a4=8，从而可得；（2）化简，从而求前n项和．解答：解：（1）∵，∴a4=8，∴a3a5=64，a3+a5=20；∴，又∵q＞1，∴；（2）∵，∴．点评：本题考查了等比数列的通项公式的求法及等比数列与等差数列的前n项和的公式应用，属于基础题．17．（15分）（2015春•淮安校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b=1，B=，（1）若a+c=2，解此三角形；（2）求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据题意和正弦定理求出a和c，代入已知条件后利用内角和定理、两角和与差的正弦公式化简，由角A的范围求出角A，再求出角C，即可求出a、b、c；（2）根据题意和余弦定理列出方程，再利用基本不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式即可求出它的最大值．解答：解：（1）∵b=1，B=，∴由正弦定理得，则，同理可得，∵a+c=2，∴=2，∵C=π﹣A﹣B=，∴，则，即，∴=1，由0＜A＜π得，A+，则A=，∴，则△ABC是等边三角形，即a=b=c=1；（2）∵b=1，B=，∴由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，∴1=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，即ac≤1，当且仅当时a=c等号成立，则△ABC面积S==≤，∴△ABC面积的最大值为．…（15分）点评：本题考查正弦、余弦定理，基本不等式，以及两角和与差的正弦公式的应用，属于中档题．18．（15分）（2015春•淮安校级期中）已知函数f（x）=x2+ax+3（1）若f（x）＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}，求实数a的值．（2）若f（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（3）若f（x）≥a对a∈[﹣3，﹣1]恒成立，求实数x的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意得到不等式组解出即可；（2）问题转化为对x∈[1，2]恒成立，从而求出a的范围；（3）令g（a）=（x﹣1）a+x2﹣3，得到g（a）≥0对a∈[﹣3，﹣1]恒成立，得到不等式组，解出x的范围即可．解答：解：（1）根据题意，得…（3分）解得a=﹣4…（5分）（2）由题意x2+ax+3≥0对x∈[﹣2，1]恒成立，则对x∈[1，2]恒成立，∵，当且仅当时“=”成立…（8分），∴…（10分）（或分类讨论求函数y=f（x）的最小值）（3）由题可得（x﹣1）a+x2+3≥0对a∈[﹣3，﹣1]恒成立…（11分）令g（a）=（x﹣1）a+x2﹣3，则g（a）≥0对a∈[﹣3，﹣1]恒成立…（12分）则…（14分）得x∈（﹣∞，0]∪[3，+∞）…（15分）点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查转化思想，本题是一道中档题．19．（16分）（2014•南京模拟）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）为y（米）．（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）先由横断面积用x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米求解；（2）解y≤10.5分式不等式；（3）求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决．解答：解：（1），其中，，∴，得，由，得2≤x＜6∴；（6分）（2）得3≤x≤4∵[3，4]⊂[2，6）∴腰长x的范围是[3，4]（10分）（3），当并且仅当，即时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．（15分）点评：本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题．20．（16分）（2015春•淮安校级期中）设数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n，数列{b n}的通项公式为b n=x n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，数列{c n}的前n项和为T n，求T n；（3）设d n=，H n=d1+d2+…+d n（n∈N*），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*，均有H n＞成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由．考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）化简a n===2n即可；（2）化简c n=a n b n=2nx n﹣1，从而可得T n=2+4x+6x2+8x3+…+2nx n﹣1，利用错位相减法求前n项和即可；（3）化简，从而由裂项求和法求前n项和，再由单调性化恒成立问题为最值问题即可．解答：解：（1）a n===2n；（2）c n=a n b n=2nx n﹣1，T n=2+4x+6x2+8x3+…+2nx n﹣1，①则xT n=2x+4x2+6x3+8x4+…+2nx n，②①﹣②，得（1﹣x）T n=2+2x+2x2+…+2nx n﹣1﹣2nx n，当x≠1时，（1﹣x）T n=2×﹣2nx n，则T n=，当x=1时，T n=2+4+6+8+…+2n=n2+n．（3）由（1）可得，则=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+﹣﹣；显然H n为关于n的增函数，故，于是欲使恒成立，则，∴存在最大的整数m=5满足题意．点评：本题考查了数列的通项公式的求法及前n项和的求法，同时考查了恒成立问题及最值问题，属于难题．。

江苏省清江中学2016～2017学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．. 1、000043134313cos cos sin sin +的值等于 ▲ .322、不等式2320x x -+-≥的解集是 ▲ .{}21≤≤x x .3、在等比数列{}n a 中，已知23=a ，166=a ，则公比=q ▲ .24、下列直线中与直线l ：3x ＋2y －5＝0相交的是____▲____(填上正确的序号)．①y ＝－32x ＋5 ②3x ＋2y ＝0 ③x 3＋y 2＝1 ④x 2＋y3＝1解析：直线l 的斜率k ＝－32，要使直线与l 相交，则所求直线的斜率k ′≠－32.又①、②、④中直线的斜率都等于－32，③中直线的斜率等于－23，故填③.5、函数)1(14>-+=x x x y 的最小值为 ▲ .5 6、在ABC ∆中，若,sin sin cos 2C A B =则ABC ∆的形状一定是 ▲ 三角形. 等腰 7、已知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是___▲____.247<<-a8、若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α＝ ▲ ；3 9、等差数列{}n a 中，15087654=++++a a a a a ，则11S = ▲ .33010、已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ▲ ．93 11、已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝____▲____.解析：l 的斜率为k ＝tan 45°＝1，∴k l 1＝－1，k AB ＝2－－13－a＝k l 1＝－1.∴a ＝6.由l 1∥l 2，∴－2b＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝6＋2＝8. 12、数列{}n a 满足1321213222n n n a a aa +-++++=，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ . ()()9162n n n a n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩13、已知1sin()33πα-=，则cos(2)3πα+=____▲___.79-14、已知数列{}n a 中，11a =且121n n a a n +=++，设数列{}n b 满足1n n b a =-，对任意正整数n 不等式22111n m b b b +++<均成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ；34m ≥ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、（本小题满分14分）已知1tan22α=（1）求αtan 的值； （2）求tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值。

2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）若x＞0，则函数的取值范围是．2．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，，∠C=30°，则△ABC的面积是．3．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．4．（5分）已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列{a n}的通项公式是a n=．5．（5分）设实数x∈R，则y=x+的值域为．6．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为．8．（5分）已知a，b为正实数，且a+b=1，则+的最小值是．9．（5分）函数y=的定义域为一切实数，则k的取值范围是．10．（5分）已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11=．11．（5分）已知三角形ABC中，有：a2tanB=b2tanA，则三角形ABC的形状是．12．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第100行从左向右的第3个数为．13．（5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1a n，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n=．14．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知：角θ为锐角，且sinθ=．（1）求sin（﹣θ）的值；（2）求cos2θ的值．16．（14分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．17．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18．（16分）已知数列{a n}、{b n}分别是等差数列、等比数列，且满足a3=8，a6=17，b1=2，b1b2b3=9（a2+a3+a4）．（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=log3b n，求证：数列{c n}是等差数列，并求其公差d′和首项c1；（3）设T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，其中n=1，2，…，求T n的值．19．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+a2+1，x∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a2（1﹣x）恒成立．求实数a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）若x＞0，则函数的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：∵x＞0，函数≥2=2，当且仅当x=即x=1时取等号故答案为：[2，+∞）2．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，，∠C=30°，则△ABC的面积是．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=，C=30°，∴三角形的面积S=absin∠C=×1××sin30=，故答案为．3．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB==；∴∠B=．故答案为．4．（5分）已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1．【解答】解：∵等比数列{a n}中a1=1，a1+a2+a3=7∴a2+a3=6，∴q+q2=6，∴q2+q﹣6=0，∴q=2，q=﹣3（舍去）∴{a n}的通项公式是a n=2n﹣1故答案为：2n﹣15．（5分）设实数x∈R，则y=x+的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【解答】解：y=x+=x+1+．当x+1＞0时，，当且仅当，即x=0时等号成立，此时y≥1；当x+1＜0时，，当且仅当，即x=﹣2时等号成立，此时y≤﹣3．综上，y=x+的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．6．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=1．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a20=a1+19d=1．故答案为1．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为﹣8．【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为：﹣8．故答案为：﹣8．8．（5分）已知a，b为正实数，且a+b=1，则+的最小值是3+2．【解答】解：∵a，b为正实数，且a+b=1，则+=（a+b）=3+≥3+2=3+2，当且仅当b=a=2﹣时取等号．∴+的最小值是3+2，故答案为：3+2．9．（5分）函数y=的定义域为一切实数，则k的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意知：不等式kx2﹣6x+k+8≥0的解集为R；∴k需满足；解得k≥1；∴k的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．（5分）已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11= 11．【解答】解：由等比数列的性质得，a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=，∵a6=2，公比q＞0，∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…+a11）==11=11，故答案为：11．11．（5分）已知三角形ABC中，有：a2tanB=b2tanA，则三角形ABC的形状是等腰或直角三角形．【解答】解：∵三角形ABC中，a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理得：=0，∵sinA•sinB＞0，∴，即=0，∴sin2A=sin2B，又A、B为三角形中的角，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=．故答案为：等腰三角形或直角三角形．12．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第100行从左向右的第3个数为4953．【解答】解：由排列的规律可得，第99行结束的时候排了1+2+3+ (99)=4950 个数．所以100行从左向右的第3个数4950+3=4953．故答案为4953．13．（5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1a n，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n=n．【解答】解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•4n=a1+4×+42•（）2+…+4 n﹣1•（）n﹣1+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n，故答案为：n．14．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．【解答】解：a n2+=a n2+[na1+n（n﹣1）d]2=a n2+[a1+（n﹣1）d]2令（n﹣1）d=t，a n2+=（a1+2t）2+（a1+t）2=2a12+6ta1+5t2=5（t﹣）2+2a12﹣，当t=时，取到最小值即（n﹣1）d=，即n=，∵不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，∴m．∴实数m的最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知：角θ为锐角，且sinθ=．（1）求sin（﹣θ）的值；（2）求cos2θ的值．【解答】解：（1）∵角θ为锐角，且sinθ=，可得：cos=，∴sin（﹣θ）=sin cosθ﹣cos sinθ=（﹣）=．…（7分）（2）cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=．…（14分）16．（14分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：17．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．18．（16分）已知数列{a n}、{b n}分别是等差数列、等比数列，且满足a3=8，a6=17，b1=2，b1b2b3=9（a2+a3+a4）．（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=log3b n，求证：数列{c n}是等差数列，并求其公差d′和首项c1；（3）设T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，其中n=1，2，…，求T n的值．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，a3=8，a6=17，∴d===3，∴a n=a3+（n﹣3）d=8+3（n﹣3）=3n﹣1，∴a2+a3+a4=3a3=24，∵数列{b n}是等比数列，设公比为q，b1=2，∴b1b2b3=2×2q×2q2=8q3=9（a2+a3+a4）=9×24，解得q=3，∴b n=2×3n﹣1，（2）∵c n=log3b n=n+log32﹣1，﹣c n=n+1+log32﹣1﹣n﹣log32+1=1=d′∴c n+1∵c1=log3b1=1+log32﹣1=log32，∴数列{c n}是以首项为log32，公差d′=1的等差数列（3）∵b n=2×3n﹣1，}是以b1=2为首项，以q3=27为等比的等比数列，∴{b3n﹣2∴T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2==（27n﹣1）19．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+a2+1，x∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a2（1﹣x）恒成立．求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2﹣6x+5=（x﹣1）（x﹣5）＜0∴1＜x＜5﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）f（x）=0时△=8a﹣﹣（4分）当a≤0，x∈Φ；﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当﹣﹣﹣（8分）（3）由题意：任意的x∈[0，2]，x2+1≥（﹣a2+2a+1）x，成立当x=0时，不等式显然成立﹣﹣（10分）当x∈（0，2]，．∵∴﹣a2+2a+2≤2，即a≤0或a≥2综上：a≤0或a≥2﹣﹣﹣（16分）20．（16分）已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）令n=1，则a1=S1==0（2）由，即，①得．②=na n．③②﹣①，得（n﹣1）a n+1于是，na n=（n+1）a n+1．④+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1③+④，得na n+2又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n=n﹣1（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列，于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列。

江苏省清江中学高一年级周练数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案填在答．题．纸．相．应．位．置．上．）1.直线 3x y 1 0 的倾斜角为.2.若等差数列 an 的前 3 项和 S3 9且a1 1 ，则 a2 等于.3.已知的最小值为4. 已知圆 M : x2 y2 2mx 3 0 (m 0) 的半径为 2，则其圆心坐标为___.5.在 ABC中，若 abc ，则 ABC形状为.cos A cos B sin C6.已知 an 为等比数列，且 an 0, a2a4 2a3a5 a4a6 25 ，那么 a3 a57.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=.8.若直线 y x k 与曲线 x 1 y2 恰有一个公共点，则实数 k 的取值范围是. .9.直线 3x+4y-13=0 与圆 (x 2)2 ( y 3)2 1的位置关系是 .10. 从点 P x,3 向圆 x 2 2 y 2 2 1作切线，切线长度的最小值等于 .15 3 11.已知 abc 分别为 ABC三个内角 ABC 所对边，若 a=3,C=1200, S ABC 4 ,则 c=12.若实数 x,y 满足 (x 2)2 y 2 3, 则 y 的最大值为.x13.设圆 C： (x 3)2 ( y 5)2 5 ，过圆心 C 作直线 L 交圆于 AB 两点，与 Y 轴交于点 P,若 A 恰好为线段 BP 的中点，则直线 L 方程为 .14.已知数列 an 满足： a1 1, a2 x, (x N ),an2 an1 an ,若前 2010 项中恰有 666 项为 0.则 x 的值为 .二、解答题（共六大题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答时写在答题纸 的指定区域内．） 15．(本题满分 14 分) 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcosA+acosB= -2cosC(1)求 C； (2)若 b=2a， SABC 2 3 ，求 c.16.（本题满分 14 分）已知函数 f(x)= x2 ax 3(1)当 x∈R,求使 f(x)≥ a 恒成立时 a 的取值范围. （2）当 x 属于时,f(x）≥ a 恒成立,求 a 的取值范围17.(本题满分 14 分)已知圆 C： x 2 + y 2 -2x-4y-20=0，直线 l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R．（1）直线 l 是否过定点，有则求出来？判断直线与圆的位置关系及理由？ （2）求直线被圆 C 截得的弦长 L 的取值范围及 L 最短时弦所在直线的方程．18.（本题满分 16 分）已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ，且 S n =n（n+1）（n∈N*）。

2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．（5分）命题“∀x＞4，x2＞16”的否定是．2．（5分）已知cos x＝（0＜x＜），则sin2x的值为．3．（5分）“α＝”是“tanα＝1”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）4．（5分）若函数，则f（x）的定义域是．5．（5分）用反证法证明时，对结论“自然数a，b，c至少有1个为偶数”的正确假设为．6．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，则a3+a5＝．7．（5分）已知向量，，若，则x＝．8．（5分）已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值是．9．（5分）一元二次不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|＜x＜1}，则a+b＝．10．（5分）函数y＝2x2﹣lnx的最小值是．11．（5分）已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数的图象的对称中心为．12．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，若的最小值为9，则正数a＝．13．（5分）已知函数f（x）＝对任意x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是．．14．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1及公差d都是实数，且满足，则d的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．（14分）已知向量＝（sin A，sin B），＝（cos B，cos A），＝sin2C，其中A、B、C为△ABC的内角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且，求AB的长．16．（14分）解关于x的不等式：①；②（2mx﹣1）（x﹣2）＜0（m 为实常数）17．（14分）如图，在半径为3m的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC 卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB＝xm，圆柱的体积为Vm3．（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？18．（16分）已知函数f（x）＝x+（x＞0）的最小最小值为，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值；（2）问：PM•PN是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．19．（16分）已知函数．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x﹣y+b＝0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．20．（16分）已知等差数列{a n} 中，a3＝7，a1+a2+a3＝12，令b n＝a n•a n+1，数列{}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：T n＜；（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．（5分）命题“∀x ＞4，x 2＞16”的否定是 ∃x ＞4，x 2≤16 ．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ＞4，x 2＞16”的否定是：∃x ＞4，x 2≤16． 故答案为：∃x ＞4，x 2≤16；2．（5分）已知cos x ＝（0＜x ＜），则sin2x 的值为 ．【解答】解：∵cos x ＝，x ∈（0，），∴sin x ＝，∴sin2x ＝2sin x cos x ＝，故答案为：．3．（5分）“α＝”是“tan α＝1”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既 不充分也不必要”） 【解答】解：时，tan α＝1；tan α＝1时，，所以不一定得到；∴是tan α＝1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要． 4．（5分）若函数，则f （x ）的定义域是 [﹣1，0）∪（0，1] ．【解答】解：∵函数，则有 ．解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，故函数的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故答案为[﹣1，0）∪（0，1]．5．（5分）用反证法证明时，对结论“自然数a，b，c至少有1个为偶数”的正确假设为a，b，c都是奇数．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c都是奇数”，故答案为：a，b，c都是奇数．6．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，则a3+a5＝5．【解答】解：∵{a n}是等比数列，且a1＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，∴a32+2a3a5+a52＝25，即（a3+a5）2＝25．再由a3＝a1•q2＞0，a5＝a1•q4＞0，q为公比，可得a3+a5＝5，故答案为：5．7．（5分）已知向量，，若，则x＝3或﹣1．【解答】解：向量，，若，可得﹣（3﹣x）＝x（3﹣x），解得x＝3或﹣1．故答案为：3或﹣1．8．（5分）已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值是﹣1．【解答】解：画出可行域，得在直线x﹣y+2＝0与直线x+y＝0的交点A（﹣1，1）处，目标函数z＝2x+y的最小值为﹣1．故答案为﹣1．9．（5分）一元二次不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|＜x＜1}，则a+b＝1．【解答】解：由题意知，、1是方程ax2+bx﹣1＝0的两根，且a＜0，所以，解得，所以a+b＝（﹣3）+4＝1，故答案为：1．10．（5分）函数y＝2x2﹣lnx的最小值是+ln2．【解答】解：函数y＝2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′＝4x﹣＝，∴函数y＝2x2﹣lnx在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴当x＝时，函数y＝2x2﹣lnx有最小值，最小值为＝+ln2．故答案为：+ln2．11．（5分）已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数的图象的对称中心为．【解答】解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…，即0，，，…，由此推测，函数的图象的对称中心为故答案为：12．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，若的最小值为9，则正数a＝4．【解答】解：∵a＞0，∴＝（）（x+y）＝1+a+≥a+1+2＝（+1）2，当且仅当取等号，则有，解得a＝4．故答案为：4．13．（5分）已知函数f（x）＝对任意x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是．[）．【解答】解：由题意知函数f（x）在R上单调递增；∴f（x）的两段函数在各自区间上单调递增；∴1﹣2a＞0，即；又e0﹣2≤（1﹣2a）•0+2a；∴﹣1≤2a；∴；∴实数a的取值范围是[）．故答案为：[）．14．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1及公差d都是实数，且满足，则d的取值范围是．【解答】解：∵，由等差数列的前n项公式得（2a1+d）（2a1+3d）+（a1+d）2＝﹣2，展开并化简整理得5a12+10a1d+4d2+2＝0，将此式看作关于a1的一元二次方程，d 为系数．∵a1、d为实数，∴△＝100d2﹣4×5×（4d2+2 ）≥0．化简整理得d2﹣2≥0，∴d∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．（14分）已知向量＝（sin A，sin B），＝（cos B，cos A），＝sin2C，其中A、B、C为△ABC的内角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且，求AB的长．【解答】解：（Ⅰ）（2分）对于△ABC中A+B＝π﹣C，0＜C＜π∴sin（A+B）＝sin C，∴（4分）又∵，∴（7分）（Ⅱ）由sin A，sin C，sin B成等差数列，得2sin C＝sin A+sin B，由正弦定理得2c＝a+b（9分）∵，∴，即ab cos C＝18，ab＝16（12分）由余弦弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab，∴c2＝4c2﹣3×36，，c＝6（14分）16．（14分）解关于x的不等式：①；②（2mx﹣1）（x﹣2）＜0（m 为实常数）【解答】解：①原不等式可化为，即，所以有，解得：，可得不等式的解集为{x|≤x＜}．②对于不等式（2mx﹣1）（x﹣2）＜0，当m＝0时，原不等式即为﹣（x﹣2）＜0解得：x＞2．当m≠0时，原不等式可化为，当m＜0时，得，解得它的解集为{x|}．当m＞0时，原不等式可化为，当0＜m＜时，＞2，所以不等式的解集为{x|}；当m＝时，＝2，所以原不等式无解；当m＞时，可得＜2，所以不等式的解集为{x|}．综上所得：原不等式的解集为：当m＜0时，解集为；当m＝0时，解集为（2，+∞）；当0＜m＜时，解集为；当m＝时，解集为φ；当m＞时，解集为．17．（14分）如图，在半径为3m的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC 卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB＝xm，圆柱的体积为Vm3．（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？【解答】解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，∵AB＝x，∴OA＝，设圆柱底面半径为r，则＝2πr，即4π2r2＝9﹣x2，∴V＝πr2•x＝，其中0＜x＜3．…（6分）（2）由V′＝＝0及0＜x＜3，得x＝，…（8分）列表如下：…（10分）所以当x＝时，V有极大值，也是最大值为．…（14分）答：当x为m时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是m3．…（16分）18．（16分）已知函数f（x）＝x+（x＞0）的最小最小值为，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值；（2）问：PM•PN是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．【解答】解：（1）∵x＞0，若a≤0，则f（x）递增，没有最小值，∴a＞0，∴，∴x＝时，；∴．（2）设，则，PN＝x0，则PM•PN＝1；（3）设，则直线PM：，由得，M；S OMPN＝S△OPN+S△OPM＝＝≥．（当且仅当，即x0＝1时取等号）；故四边形OMPN面积的最小值．19．（16分）已知函数．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x﹣y+b＝0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．【解答】解：（1）f′（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R），…（1分）由f′（2）＝9，得a＝5．，…（2分）∴∴f（2）＝3，∴（2，3）在直线9x﹣y+b＝0上，∴b＝﹣15．…（4分）（2）①若a＝0，，∴f（x）的单调减区间为（1，+∞）．…（6分）②若a＜0，则，令f′（x）＜0，得．∴，或x＞1．…（9分）∴f（x）的单调减区间为，（1，+∞）．…（10分）（3），0＜a＜1，列表：，，…（12分）∴f（x）的极小值为＝．…（14分）当时，函数f（x）的极小值f（）取得最大值为．…（16分）20．（16分）已知等差数列{a n} 中，a3＝7，a1+a2+a3＝12，令b n＝a n•a n+1，数列{}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：T n＜；（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．（1）设数列{a n}的公差为d，由解得．∴【解答】解：a n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）∵a n＝3n﹣2，a n+1＝3n+1，∴b n＝a n•a n+1＝（3n﹣2）（3n+1），∴．∴．（3）由（2）知，，∴，，∵T1，T m，T n成等比数列，∴，即．当m＝2时，，n＝16，符合题意；当m＝3时，，n无正整数解；当m＝4时，，n无正整数解；当m＝5时，，n无正整数解；当m＝6时，，n无正整数解；当m≥7时，m2﹣6m﹣1＝（m﹣3）2﹣10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．综上，存在正整数m＝2，n＝16，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．。

2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．若x＞0，则函数的取值范围是______．2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，，∠C=30°，则△ABC的面积是______．3．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是______．4．已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列{a n}的通项公式是a n=______．5．设实数x∈R，则y=x+的值域为______．6．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=______．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为______．8．已知a，b为正实数，且a+b=1，则+的最小值是______．9．函数y=的定义域为一切实数，则k的取值范围是______．10．已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11=______．11．已知三角形ABC中，有：a2tanB=b2tanA，则三角形ABC的形状是______．12．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第100行从左向右的第3个数为______．=（）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1a n，类比课本中推导等比13．数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1数列前项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n=______．14．记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为______．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知：角θ为锐角，且sinθ=．（1）求sin（﹣θ）的值；（2）求cos2θ的值．16．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．17．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18．已知数列{a n}、{b n}分别是等差数列、等比数列，且满足a3=8，a6=17，b1=2，b1b2b3=9（a2+a3+a4）．（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=log3b n，求证：数列{c n}是等差数列，并求其公差d′和首项c1；，其中n=1，2，…，求T n的值．（3）设T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣219．已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+a2+1，x∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a2（1﹣x）恒成立．求实数a的取值范围．20．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．若x＞0，则函数的取值范围是[2，+∞）．【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式即可求解函数的取值范围【解答】解：∵x＞0，函数≥2=2，当且仅当x=即x=1时取等号故答案为：[2，+∞）2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，，∠C=30°，则△ABC的面积是．【考点】三角形的面积公式．【分析】根据题意可知在△ABC中，a=1，b=，C=30°，则根据三角形的面积S=absin∠C即可解得答案．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=，C=30°，∴三角形的面积S=absin∠C=×1××sin30=，故答案为．3．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB==；∴∠B=．故答案为．4．已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据所给的数列首项和前三项之和，整理出关于公比q的一元二次方程，解方程得到两个解，舍去负解，写出数列的通项．【解答】解：∵等比数列{a n}中a1=1，a1+a2+a3=7∴a2+a3=6，∴q+q2=6，∴q2+q﹣6=0，∴q=2，q=﹣3（舍去）∴{a n}的通项公式是a n=2n﹣1故答案为：2n﹣15．设实数x∈R，则y=x+的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】把已知函数解析式变形，然后分x+1＞0和x+1＜0分类求解得答案．【解答】解：y=x+=x+1+．当x+1＞0时，，当且仅当，即x=0时等号成立，此时y≥1；当x+1＜0时，，当且仅当，即x=﹣2时等号成立，此时y≤﹣3．综上，y=x+的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．6．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=1．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，即可求得a20．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a20=a1+19d=1．故答案为1．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为﹣8．【考点】简单线性规划．【分析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x﹣4y=0，平移直线观察求解最值．【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为：﹣8．故答案为：﹣8．8．已知a，b为正实数，且a+b=1，则+的最小值是3+2．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b为正实数，且a+b=1，则+=（a+b）=3+≥3+2=3+2，当且仅当b=a=2﹣时取等号．∴+的最小值是3+2，故答案为：3+2．9．函数y=的定义域为一切实数，则k的取值范围是[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据题意即可得出不等式kx2﹣6x+k+8≥0的解集为R，从而该不等式为一元二次不等式，这样k需满足，从而解该不等式组便可得出k的取值范围．【解答】解：由题意知：不等式kx2﹣6x+k+8≥0的解集为R；∴k需满足；解得k≥1；∴k的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11=11．【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质得：a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a6=，根据对数的运算性质和条件化简式子求出式子的值．【解答】解：由等比数列的性质得，a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a6=，∵a6=2，公比q＞0，∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…+a11）==11=11，故答案为：11．11．已知三角形ABC中，有：a2tanB=b2tanA，则三角形ABC的形状是等腰或直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】三角形ABC中，利用正弦定理将a2tanB=b2tanA化为=0，再利用二倍角的正弦即可得到sin2A=sin2B，从而得到：A=B或A+B=，问题即可解决．【解答】解：∵三角形ABC中，a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理得：=0，∵sinA•sinB＞0，∴，即=0，∴sin2A=sin2B，又A、B为三角形中的角，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=．故答案为：等腰三角形或直角三角形．12．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第100行从左向右的第3个数为4953．【考点】数列的应用．【分析】先找到数的分布规律，求出第99行结束的时候一共出现的数的个数，再求第100行从左向右的第3个数即可．【解答】解：由排列的规律可得，第99行结束的时候排了1+2+3+…+99==4950 个数．所以100行从左向右的第3个数4950+3=4953．故答案为4953．=（）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1a n，类比课本中推导等比13．数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1数列前项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n=n．【考点】类比推理．【分析】先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n﹣4n a n的表达式．【解答】解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n+a n）+a n•4n﹣1=a1+4×+42•（）2+…+4 n﹣1•（）n﹣1+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n，故答案为：n．14．记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．【考点】数列的求和．【分析】令（n﹣1）d=t，由a n2+=a n2+[a1+（n﹣1）d]2=5（t﹣）2+2a12﹣，当t=时，取到最小值，由此能求出结果．【解答】解：a n2+=a n2+ [na1+n（n﹣1）d]2=a n2+[a1+（n﹣1）d]2令（n﹣1）d=t，a n2+=（a1+2t）2+（a1+t）2=2a12+6ta1+5t2=5（t﹣）2+2a12﹣，当t=时，取到最小值即（n﹣1）d=，即n=，∵不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，∴m．∴实数m的最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知：角θ为锐角，且sinθ=．（1）求sin（﹣θ）的值；（2）求cos2θ的值．【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式，即可计算求值得解．（2）根据已知利用二倍角的余弦函数公式，即可计算得解．【解答】解：（1）∵角θ为锐角，且sinθ=，可得：cos=，∴sin（﹣θ）=sin cosθ﹣cos sinθ=（﹣）=．…（2）cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=．…16．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，…由根与系数的关系得：解得a=﹣2…所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，…化为：（2x﹣1）（x+3）＜0…解得，…所以不等式解集为…17．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．18．已知数列{a n}、{b n}分别是等差数列、等比数列，且满足a3=8，a6=17，b1=2，b1b2b3=9（a2+a3+a4）．（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=log3b n，求证：数列{c n}是等差数列，并求其公差d′和首项c1；，其中n=1，2，…，求T n的值．（3）设T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质和等差数列的定义即可证明，（3）根据等比数列的前n项和公式即可求出．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，a3=8，a6=17，∴d===3，∴a n=a3+（n﹣3）d=8+3（n﹣3）=3n﹣1，∴a2+a3+a4=3a3=24，∵数列{b n}是等比数列，设公比为q，b1=2，∴b1b2b3=2×2q×2q2=8q3=9（a2+a3+a4）=9×24，解得q=3，∴b n=2×3n﹣1，（2）∵c n=log3b n=n+log32﹣1，﹣c n=n+1+log32﹣1﹣n﹣log32+1=1=d′∴c n+1∵c1=log3b1=1+log32﹣1=log32，∴数列{c n}是以首项为log32，公差d′=1的等差数列（3）∵b n=2×3n﹣1，∴{b3n}是以b1=2为首项，以q3=27为等比的等比数列，﹣2==（27n﹣1）∴T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣219．已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+a2+1，x∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a2（1﹣x）恒成立．求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）当a=2时，f （x ）=x 2﹣6x +5=（x ﹣1）（x ﹣5）＜0，由二次不等式的解法可求 （2）f （x ）=0时△=8a ，二次函数的图象开口向上，分类讨论①△≤0②△＞0两种情况分别进行求解（3）任意的x ∈[0，2]，x 2+1≥（﹣a 2+2a +1）x ，成立①当x=0时，不等式显然成立②当x ∈（0，2]，可得，通过研究函数x +的最值可求a 的范围【解答】解：（1）当a=2时，f （x ）=x 2﹣6x +5=（x ﹣1）（x ﹣5）＜0∴1＜x ＜5﹣﹣﹣﹣﹣（2）f （x ）=0时△=8a ﹣﹣当a ≤0，x ∈Φ；﹣﹣﹣﹣﹣当﹣﹣﹣（3）由题意：任意的x ∈[0，2]，x 2+1≥（﹣a 2+2a +1）x ，成立当x=0时，不等式显然成立﹣﹣当x ∈（0，2]，．∵ ∴﹣a 2+2a +2≤2，即a ≤0或a ≥2综上：a ≤0或a ≥2﹣﹣﹣20．已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且S n =． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n =，试问是否存在正整数p ，q （其中1＜p ＜q ），使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p ，q ）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和．【分析】（1）令n=1，即可求a 1；（2）根据等差数列的定义即可证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程组进行求解即可得到结论．【解答】解：（1）令n=1，则a 1=S 1==0（2）由，即，①得 ．②②﹣①，得 （n ﹣1）a n +1=na n ．③于是，na n +2=（n +1）a n +1．④③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n=n﹣1（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列，于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列2016年10月2日。

江苏省清江中学2014—2015学年度第二学期期中考试高二数学试卷（理科）时间：120分钟 满分：160分纸的指定位置上．1．计算：3828C C += ▲ ．（用数字作答） 2．二项式(3x x2-)8的展开式中第7项的二项式系数为 ▲ （用数字作答） 3．在矩阵1021⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下，点A （2，1）将会转换成 ▲4．已知向量),5,2(),1,0,(2t t =-=，若⊥，则t= ▲ ． 5．在极坐标系中，圆2sin ρθ=(02θπ<≤)的圆心的极坐标为 ▲ ．6．已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2263，则M 的特征值为 ▲ ．7．从1，2，3，4，5，6中选出3个不同的数组成3位数，并将这些三位数由小到大打排列，则第100个数是 ▲8．将参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数化为普通方程，结果为 ▲ 9．已知随机变量X 0 3则随机变量X 的方差是 _ __▲____ ．10．某小组有4名男生，3名女生．若从男，女生中各选2人，组成一个小合唱队，要求站成一排且2名女生不相邻，共有 ▲ 种不同的排法？ 11．555555+除以8余数是 ▲12．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量X,则==)12(X P ▲ （只需列式，不需计算结果）．13．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB = ▲14．已知数列{}n a 满足11a =，11()2n n n a a -+=(2)n ≥，212222n n n S a a a =⋅+⋅++⋅，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得132n n n S a +-⋅= ▲二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧+==,21,t y t x （t 为参数）和曲线C 的极坐标方程：⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 22πθρ。

江苏省清江中学2006-2007学年第二学期高一数学期中考试试卷本卷满分150分 考试时间120分钟一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题有四个选项，其中只有一项是符合题意的，请把它选出来，填在答题纸的相应位置） 1、用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是 BA ．A ∈l ，α∉lB ．A ∈l ，α⊄lC ．A l ⊂，α⊄lD ．A l ⊂，α∉l 2、直线01025=--y x 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则 BA ．a =2，b =5B ．a =2，b =－5C ．a =－2，b =5D ．a =－2，b =－53、若一个三角形，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积BA ．12倍 B ．4倍 C ．2倍 D 4、下列说法正确的是 C A ．若直线21,l l 的斜率相等，则直线21,l l 一定平行； B ．若直线21,l l 平行，则直线21,l l 斜率一定相等；C ．若直线21,l l 中，一个斜率不存在，另一斜率存在，则直线21,l l 一定相交；D ．若直线21,l l 斜率都不存在，则直线21,l l 一定平行。

5、a ，b ，c 分别表示三条直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 B A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个6、已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是BA ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(-7、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 C A. 77cmB. 72cmC. 55cmD. 102cm8、经过点)1,2(的直线l 到A )1,1(、B )5,3(两点的距离相等，则直线l 的方程为 C A ．032=--y x B ．2=xC ．032=--y x 或2=xD ．032=--y x 或2=y 9、在空间，下列命题中正确的是 CA ．若两直线a 、b 与直线m 所成的角相等，那么a ∥b ；B ．若两直线a 、b 与平面α所成的角相等，那么a ∥b ；C ．若直线m 与两平面α、β所成的角都是直角，那么α∥β；D ．若平面γ与两平面α、β所成的二面角都是直二面角，那么α∥β.10、两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 D （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置) 11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球 小于 S 正方体(填“大于、小于或等于”).12、若三条直线0832=++y x ，01=--y x 和021=+++k ky x 相交于一点，则k 的值等于21-. 13、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是65. 14、如图是长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_ 4 _块木块堆成。

江苏省清江中学2014—2015学年度第二学期期中考试高二数学试卷（文科）时间：120分钟 满分：160分 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．命题“4>∀x ，162>x ”的否定是 ． 2．已知⎪⎭⎫⎝⎛<<=2053cos πx x ，则x 2sin 的值为_________. 3．“4πα=” 是“tan 1α=”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）4．若函数()f x =，则()f x 的定义域是 ．5．用反证法证明某命题时，对结论“自然数,,a b c 至少有1个偶数”的正确假设为 “ ”．6．在实数等比数列{}n a 中，10a >，若243546225a a a a a a ++=，则35a a += ．7．已知向量)3,(x x -=，)3,1(x --=，若//，则x =8．已知实数,x y 满足20,0,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值为 ．9．一元二次不等式210ax bx +->的解集为1{|1}3x x <<，则a b += 10．函数22ln y x x =-的最小值是 11．已知函数1y x=的图象的对称中心为(0,0)，函数111y x x =++的图象的对称中心为1(,0)2-，函数11112y x x x =++++的图象的对称中心为(1,0)-，……，由此推测，函数111112y x x x x n=+++++++的图象的对称中心为 ． 12．已知正数x 、y 满足1x y +=,则1ax y+的最小值是9,则正数a 的值为 13．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧+--a x a a e x 2)21(2 0>≤x x 对任意x 1≠x 2，都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围是14．已知等差数列{}n a 的首项a 1及公差d 都是实数，且满足23242029S S S ++=，则d 的取值范围是 ． 二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知A 、B 、C 为ABC ∆的内角，向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，且C 2sin =⋅，(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅，求AB 的长.16．解关于x 的不等式：① 2121≥--x x ； ② (2mx-1)(x-2)<0（m 为实常数）17. 如图，在半径为cm 30的41圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点B 在圆弧上，点A 、C 在两半径上，现将此矩形铝皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长xcm AB =，圆柱的体积为3Vcm . （1）写出体积V 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V 最大？并求出最大值。