江苏省淮安市清江中学等四校2018-2019学年高一数学下学期期中联考试题带解析

2018-2019学年江苏省淮安市清江中学等四校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.直线x-y+3=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A. 1：2：3B. 3：2：1C. 1：：2D. 2：：13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 异面但不垂直D. 异面且垂直4.棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为（）A. B. C. D.5.若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足（）A. ，B. ，C. ，D. ，6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b cos C=c（1-3cos B），则sin C：sin A=（）A. B. C. 3 D.7.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则8.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m-n+p的值是（）A. 24B. 20C. 0D.9.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A. B. 平面AMNC. 面面AMND. 面面ABN10.已知点A（3，0），B（0，3），M（1，0），O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为（）A. 4B. 5C.D.二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）11.过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是______．12.在△ABC中，已知，，=30°，则B等于______．13.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为______．14.已知点（x，y）在直线2x+y+5=0上运动，则的最小值是______．15.三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两成60°角，点E，F，G分别为线段AB，AC，AA1上的点，且AE=AB，AF=AC，AG=AA1，则三棱锥G-AEF的体积与三棱柱ABC-A1B1C1体积之比为______16.在△ABC中，2sin2=sin A，sin（B-C）=2cos B sin C，则=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD平面PAD．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．b sin2C+c sin B=0（1）求角C；（2）若C=2，△ABC的面积为2，求a+b的值．19.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（-1，4），B（-3，-1），C（3，2）（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积（3）求∠CAD的平分线所在直线方程．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．21.已知矩形ABCD的边AB=2，BC=1，以A为坐标原点，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，建立直角坐标系．将矩形折叠，使A点落在线段DC上，重新记为点A1（1）当点A1坐标为（1，1）时，求折痕所在直线方程．（2）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（3）当-2+≤k＜0时，设折痕所在直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，将△AEF 沿折痕EF旋转．使二面角A-EF-A1的大小为53°，设三棱锥E-AA1F的外接球表面积为S，试求最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由直线x-y+3=0，得其斜率为k=1，设直线的倾斜角为θ（0≤θ＜π），由tanθ=1，得θ=．故选：A．由直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解．本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】C【解析】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果．本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，属于基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．连接AC，则AC∥A1C1，AC BD，即可得出结论．本题给出长方体，判断它的两条对角线的位置关系，着重考查了空间两条直线位置关系的判断及其证明的知识，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设正四棱锥为S-ABCD，S在底面ABCD上的射影为O，则O为正方形ABCD的中心，连接OA，OS，则OA=，∴SO==，∴V===．故选：C．根据顶点在底面的射影为底面中心的特点，求出棱锥的高，再计算棱锥的体积．本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，直线直线过第一、三、四象限，则直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，则a＞0，b＞0，故选：C．根据题意，分析可得直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，分析可得答案．本题考查直线的一般式方程，关键是利用函数所过的象限分析直线的斜率、截距的关系，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由正弦定理，设=k，∵3bcosC=c（1-3cosB）．∴3sinBcosC=sinC（1-3cosB），化简可得 sinC=3sin（B+C）又A+B+C=π，∴sinC=3sinA，∴因此sinC：sinA=3．故选：C．由3bcosC=c（1-3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC=sinC（1-3cosB），化简整理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：A．若m∥α，n∥β，α∥β，由线面、面面平行的性质可得：m∥n、相交或异面直线，因此不正确；B．若m∥α，n∥β，αβ，由线面平行、面面垂直的定理可得：m∥n、相交或异面直线，因此不正确；C．若mα，nβ，αβ，由线面面面垂直的性质定理可得：m n，因此C不正确；D．若mα，n∥β，α∥β，根据线面垂直和线面面面平行的性质可得：m n，正确．A．利用线面平行和面面平行的性质定理即可得出；B．利用线面平行、面面垂直的定理即可得出；C．利用线面垂直、面面垂直的性质即可得出；D．利用线面垂直和线面面面平行的性质即可得出．本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，∴×=-1，∴m=10，直线mx+4y-2=0 即5x+2y-1=0，垂足（1，p）代入得，5+2p-1=0，∴p=-2．把P（1，-2）代入2x-5y+n=0，可得n=-12，∴m-n+p=20，故选：B．先由两直线平行斜率相等，求出m，第一直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求p，垂足坐标确定了．把垂足坐标代入第二条直线的方程可得n，进而求得m-n+p的值．本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，垂足坐标同时满足两直线的方程．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC AN，故A正确；对于B，因为正方体ABCD-A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCD-A'NC'M中，二面角A-MN-C的大小不是直角所以面CMN面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD-A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确故选：C．由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵过A（3，0），B（0，3）两点的直线方程为x+y-3=0设M（1，0）关于直线x+y-3=0对称的点N（x，y），则，解可得，x=3，y=2，即N（3，2），同理可求M关于O对称的点E（-1，0），当N，P，Q，E共线时△MPQ的周长MQ+PQ+QM=NP+EQ+PQ取得最小值NE==2故选：C．分别求出设M（1，0）关于直线x+y-3=0对称的点N，M关于O对称的点E，当N，P，Q，E共线时△MPQ的周长MQ+PQ+QM=NP+EQ+PQ取得最小值NE，利用两点间的距离公式可求本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强11.【答案】2x+y-2=0【解析】解：设与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是2x+y+m=0，把点（1，0）代入可得：2+0+m=0，解得m=-2．∴要求的直线方程为：2x+y-2=0．故答案为：2x+y-2=0．设与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是2x+y+m=0，把点（1，0）代入解出即可得出．本题考查了相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】105°或15°【解析】解：∵a=5，c=10，A=30°∴根据正弦定理，得到=，可得sinC===∴结合0°≤C≤180°，可得C=45°或135°∵A+B+C=180°，A=30°，∴B=105°或15°故答案为：105°或15°根据正弦定理，结合题中数据算出sinC=，从而得到C=45°或135°，最后根据三角形内角和定理，即可算出∠B的大小．本题给出三角形中的两条边和一边所对的角，求另一边的对角大小，着重考查了运用正弦定理解三角形和特殊三角函数值等知识，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π故r2=1解得r=1，所以直径为：2．故答案为：2．设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．14.【答案】【解析】解：根据题意，点（x，y）在直线2x+y+5=0上运动，又由=，其几何意义为原点（0，0）到直线2x+y+5=0上任意一点的距离，则其最小值为点（0，0）到直线2x+y+5=0的距离，即的最小值为d==；故答案为：根据题意，分析可得=，其几何意义为原点（0，0）到直线2x+y+5=0上任意一点的距离，其最小值为点（0，0）到直线2x+y+5=0的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．本题考查点到直线的距离公式，注意分析的几何意义．15.【答案】【解析】解：∵AE=AB，AF=AC，∴S△AEF=S△ABC，设三棱柱的高为h，由AG=AA1可知G到平面ABC的距离d=h，∴V G-AEF=S△AEF•d=•S△ABC•h=S△ABC h=V，故答案为：．分别判断底面积和高的比值，再根据体积公式得出体积的比值．本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．16.【答案】【解析】解：∵2sin2=sinA，∴1-cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B-C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2-2c2=a2②，将①代入②，得b2-3c2-bc=0，左右两边同除以c2，得--3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B-C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）连结BD，AC交于O．∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=AC连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC（2）∵PA平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD PA又∵ABCD是正方形，可得AD CD，且PA∩AD=A∴CD平面PAD∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD平面PCD【解析】（1）连结BD，AC交于O，连结EO．可证出△PBD中，EO是中位线，得EO∥PB，结合线面平行的判定定理，即可证出PB∥平面AEC；（2）由线面垂直的性质，证出CD PA．正方形ABCD中证出AD CD，结合PA∩AD=A，可得CD平面PAD，最后根据面面垂直判定定理，即可证出平面PAD平面PCD．本题在四棱锥中证明线面平行，并且证明面面垂直．着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18.【答案】（本题满分为14分）解：（1）由b sin2C+c sin B=0，得：2b sin C cosC=-c sin B，由正弦定理得：2sin B sin C cosC=-sin C sin B，---------（3分）∵sin B≠0，sin C≠0，∴cos C=-，∵角C为△ABC的内角，∴C=．------------------------（7分）（2）∵C=，△ABC的面积为2，∴ab sin=2，即ab=8，①---------------------------（9分）∵c=2，由余弦定理得a2+b2-2ab cos=28，即（a+b）2=28+ab，②----------------------------------（11分）将①代入②得：（a+b）2=36，∴a+b=6．--------------------------（14分）【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBsinCcosC=-sinCsinB，结合sinB≠0，sinC≠0，可求cosC=-，结合角C为△ABC的内角，可求C的值；（2）利用三角形的面积公式可求ab的值，由余弦定理即可解得a+b的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：（1）AC中点为（1，3），该点也为BD中点，设D（x，y），则，解得x=5，y=7．可得D（5，7）；----------------（4分）（2）BC方程：y-2=（x-3），化为x-2y+1=0，∴A到BC的距离为d==，-----------------------（6分）又BC==3，∴四边形ABCD的面积为×3=24．---（9分）（3）AC=2，AD=3．在三角形ACD中，设∠CAD的平分线与CD交于点E，由正弦定理可得：===．-------------------------------------（11分）所以=，从而E点坐标为（，4）----------------------（13分）又A（-1，4），∴所求方程为：y=4．-----------------（14分）【解析】（1）AC中点为（1，3），该点也为BD中点，设D（x，y），则，解得D坐标．（2）BC方程：y-2=（x-3），化为x-2y+1=0，利用点到直线的距离公式可得A到BC的距离为d．利用两点之间的距离公式可得BC，即可得出四边形ABCD的面积．（3）AC=2，AD=3．在三角形ACD中，设∠CAD的平分线与CD交于点E，由正弦定理可得：==．利用=，可得E点坐标．又 A（-1，4），可得所求方程．本题考查了点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、中点坐标公式、正弦定理、角平分线的性质、向量坐标运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】证明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．∴AD BD．（2分）又∵平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD平面PAD．又BD⊂平面MBD，∴平面MBD平面PAD．（4分）（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．（5分）证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．又∵CM：MP=1：2，∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．（7分）∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD．（9分）（Ⅲ）过P作PO AD交AD于O，∵平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD．即PO为四棱锥P-ABCD的高．（11分）又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴．（12分）在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面积．（14分）故．（15分）【解析】（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明平面MBD内的直线BD垂直平面PAD，即可证明平面MBD平面PAD；（Ⅱ）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处，证明PA∥MN，MN⊂平面MBD，即可证明PA∥平面MBD．（Ⅲ）过P作PO AD交AD于O，说明PO为四棱锥P-ABCD的高并求出，再求梯形ABCD的面积，然后求四棱锥P-ABCD的体积．本题考查棱柱的结构特征，平面与平面垂直的判定，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）折叠后，折痕为对应正方形的一条对角线，可求所在直线方程为：y=-x+1；------（3分）（2）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为y=．----------------------（5分）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G（a，1）（0＜a≤2），则A与G关于折痕所在直线对称，由k OG•k=-1，得a=-k，故G（-k，1）．线段OG中点M（，），∴折痕所在直线方程为：y-=k（x+），即y=kx+（-2≤k＜0）．综上所述，所求折痕所在直线方程为y=kx+（-2≤k＜0）；------------------------（10分）（3）由（2）当-2+≤k＜0时，折痕所在直线与x轴交于点E（，0），与y轴交于点F（0，），则，球的直径即为EF，----------------（13分）∴，则．∴最小值为8+4．----------------（16分）【解析】（1）折叠后，折痕为对应正方形的一条对角线，由此可求直线方程；（2）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为y=．当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G（a，1）（0＜a≤2），则A与G关于折痕所在直线对称，求出G（-k，1）．得到OG中点M（），再由直线方程点斜式求折痕所在直线方程；（3）由（2）当-2+≤k＜0时，折痕所在直线与x轴交于点E（，0），与y轴交于点F（0，），利用勾股定理求得EF2，球的直径即为EF，写出球的表面积S，则的最小值可求．本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查运算求解能力，是中档题．。

2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点2.（单选题，5分）直线3x+ √3 y+m=0（m∈R）的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°3.（单选题，5分）如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60分）为考试合格，则这次考试的合格率为（）A.0.02B.0.035C.0.4D.0.74.（单选题，5分）一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（）A. 12B. 13C. 14D.15.（单选题，5分）在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a= √3 ，b= √2 ，A=60°，则角B=（ ） A.30° B.45° C.60° D.135°6.（单选题，5分）江岸边有一炮台高30（m ），江中有两条船，船与炮台底面都在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船之间的距离是（ ） A.5 √3 （m ） B.10 √3 （m ） C.5 √2 （m ） D.10 √2 （m ）7.（单选题，5分）动圆M 与定圆C ：x 2+y 2+4x=0相外切，且与直线l ：x-2=0相切，则动圆M 的圆心的轨迹方程为（ ） A.y 2-12x+12=0 B.y 2+12x-12=0 C.y 2+8x=0 D.y 2-8x=08.（单选题，5分）若正实数x ，y 满足x+y=1，则 4x+1 + 1y 的最小值为（ ） A. 447B. 275C. 143D. 929.（多选题，5分）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）（ ）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 A.774B.946C.428D.57210.（多选题，5分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A. m ∥n m ⊥α}⇒n ⊥α B. m ⊥αn ⊥α}⇒m ∥n C. m ⊥αn ∥α}⇒m ⊥n D. m ∥αm ⊥n}⇒n ⊥α 11.（多选题，5分）直线y=x+b 与曲线 x =√1−y 2 恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（ ） A. −√2 B.-1 C.1 D. √212.（多选题，5分）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知c=2，若sin 2A+sin 2B-sinAsinB=sin 2C ，则下列说法正确的是（ ） A. C =π3 B. A ∈(π6，π2) C. B ∈(0，π2) D. a +b ∈(2√3，4]13.（填空题，5分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如表：14.（填空题，5分）不等式 x−43−2x ＜0的解集是___ ．15.（填空题，5分）点（5，2）到直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5的距离的最大值为___ ． 16.（填空题，5分）已知圆C 1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C 2：（x-3）2+（y-4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值___ ．17.（问答题，10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2=bc．（1）求角A；（2）若b=2，且△ABC的面积为S=2√3，求a的值．18.（问答题，12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．求证：（1）BE || 平面AC1D；（2）AD⊥C1D．19.（问答题，12分）（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．20.（问答题，12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A、B、C、D、E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；② 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．21.（问答题，12分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求∠ACB=60°，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，（1）设BC=a，求AC长？（2）为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC 长度为多少米？22.（问答题，12分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x-2）2+（y-1）2=1交于点C，D．，求CD的长；（1）若AB= 3√72（2）若直线AB斜率为2，求△ABM的面积；（3）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点【正确答案】：C【解析】：不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．【解答】：解：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选：C．【点评】：本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．2.（单选题，5分）直线3x+ √3 y+m=0（m∈R）的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【正确答案】：C【解析】：直线3x+√3y+m=0(m∈R)的斜率为- √3，所以倾斜角为120度．【解答】：解：因为直线3x+√3y+m=0(m∈R)的斜率为- √3，所以设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ=- √3，所以θ=120°．故选：C．【点评】：本题考查了直线的倾斜角与斜率，属基础题．3.（单选题，5分）如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60分）为考试合格，则这次考试的合格率为（）A.0.02B.0.035C.0.4D.0.7【正确答案】：D【解析】：根据频率分布直方图中的数据，计算出60分以上（含60分）的频率即可．【解答】：解：由频率分布直方图可知，60分以上（含60分）的频率为（0.02+0.015）×20=0.7，所以这次考试的合格率为0.7．故选：D．【点评】：本题考查频率分布直方图中的数字特征，理解频率与概率的联系是解题的关键，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．4.（单选题，5分）一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（）A. 12B. 13C. 14D.1【正确答案】：A【解析】：从中摸出2个球，基本事件总数n= C42 =6，摸出1个黑球，1个白球包含的基本事件个数m= C11C31 =3，由此能求出摸出1个黑球，1个白球事件的概率．【解答】：解：一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，基本事件总数n= C42 =6，摸出1个黑球，1个白球包含的基本事件个数m= C11C31 =3，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率p= mn = 36= 12．故选：A．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a= √3，b= √2，A=60°，则角B=（）A.30°B.45°C.60°D.135°【正确答案】：B【解析】：将已知代入正弦定理可得：sinB= √22，根据a= √3＞b= √2，由三角形中大边对大角可得：B＜60°，即可求得B=45°．【解答】：解：将已知代入正弦定理可得：sinB= bsinAa = √2×sin60°√3= √22，∵a= √3＞b= √2，由三角形中大边对大角可得：B＜60°，∴可解得：B=45°．故选：B．【点评】：本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角的应用，属于基本知识的考查．6.（单选题，5分）江岸边有一炮台高30（m），江中有两条船，船与炮台底面都在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船之间的距离是（）A.5 √3（m）B.10 √3（m）C.5 √2（m）D.10 √2（m）【正确答案】：B【解析】：利用直线与平面以及俯角的定义，结合两个直角三角形，再利用余弦定理求出两船的距离．【解答】：解：如图所示，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，A处观测小船D的俯角为60°，连接BC、BD；在Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30（m）；=10 √3（m）；在Rt△ABD中，∠ADB=60°，可得BD= ABtan60°在△BCD中，BC=30，BD=10 √3，∠CBD=30°，由余弦定理可得：=300，CD2=BC2+BD2-2B C•BDcos30°=900+300-2×30×10 √3 × √32∴CD=10 √3（m）．故选：B．【点评】：本题考查了余弦定理、空间线面的位置关系应用问题，是基础题．7.（单选题，5分）动圆M与定圆C：x2+y2+4x=0相外切，且与直线l：x-2=0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（）A.y2-12x+12=0B.y2+12x-12=0C.y2+8x=0D.y2-8x=0【正确答案】：B【解析】：设动点M的坐标为（x，y），根据题意得知点M到点C的距离等于点M到直线x=4的距离，然后利用距离公式列等式可得出点M的轨迹方程．【解答】：解：圆C 的标准方程为（x+2）2+y 2=4，圆心为C （-2，0），半径为2． 如下图所示，设圆M 的半径为r ，则|MC|=r+2，点M 到直线l 的距离为r ，由题意可知，点M 到点C 的距离等于点M 到直线x=4的距离，设动点M 的坐标为（x ，y ），则 √(x +2)2+y 2=4−x ，化简得y 2+12x-12=0． 因此，动点M 的轨迹方程为y 2+12x-12=0． 故选：B ．【点评】：本题考查动点的轨迹方程，考查距离公式的应用，解决本题的关键在于处理圆与圆相切的转化，考查计算能力，属于中等题．8.（单选题，5分）若正实数x ，y 满足x+y=1，则 4x+1 + 1y 的最小值为（ ） A. 447 B. 275 C. 143 D. 92【正确答案】：D【解析】：将x+y=1变成x+1+y=2，将原式 4x+1 + 1y = x+1+y 2 •（ 4x+1 + 1y ）= 12 （1+4+ 4yx+1+ x+1y）后，用基本不等式可得．【解答】：解：∵x ＞0，y ＞0，x+y=1， ∴x+1+y=2，4x+1 + 1y =x+1+y 2 •（ 4x+1 + 1y ）= 12 （1+4+ 4y x+1 + x+1y ）≥ 12 （5+2 √4 ）= 92（当且仅当x= 13 ，y= 23 取等号）， 故选：D ．【点评】：本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．9.（多选题，5分）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）（ ）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 A.774 B.946 C.428 D.572【正确答案】：ACD【解析】：从随机数表第2行第2列的数7开始向右读第一个小于850的数字是774，以此类推，把大于850 舍去，把符合条件的写出来，得到这一个样本，即可求出结论．【解答】：解：从随机数表第2行第2列的数7依次开始向右读， 第一个小于850的数字是774，符合题意， 第二个数字是946，774舍， 第三个数字是428，也符合题意， 第四个数字是114，也符合题意， 第五个数字是572，也符合题意， 故选：ACD ．【点评】：本题考查简单随机抽样中的随机数表法，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为在随机数表中，每个数字在每一个位置出现的几率相等．10.（多选题，5分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A. m ∥nm ⊥α}⇒n ⊥αB. m ⊥αn ⊥α}⇒m ∥nC. m ⊥αn ∥α}⇒m ⊥nD. m ∥αm ⊥n }⇒n ⊥α 【正确答案】：ABC【解析】：对于A ，由线面垂直的判定定理进行判断；对于B ，由线面垂直的性质定理进行判断；对于C ，由线面垂直的性质进行判断；对于D ，n 与α相交、平行或n⊂α．【解答】：解：由m ，n 表示直线，α表示平面，知：对于A ，由线面垂直的判定定理得： m ∥nm ⊥α}⇒n ⊥α ，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质定理得： m ⊥αn ⊥α}⇒m ∥n ，故B 正确；对于C ，由线面垂直的性质得： m ⊥αn ∥α}⇒m ⊥n ，故C 正确；对于D ， m ∥αm ⊥n }⇒ n 与α相交、平行或n⊂α，故D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.（多选题，5分）直线y=x+b 与曲线 x =√1−y 2 恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（ ） A. −√2 B.-1 C.1 D. √2【正确答案】：AC【解析】：曲线 x =√1−y 2 表示以原点O （0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b 与曲线曲线 x =√1−y 2 恰有一个公共点，则实数b 的取值范围，然后判断选项．【解答】：解：曲线 x =√1−y 2 即 x 2+y 2=1 （x≥0），表示以原点O （0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y 轴及y 轴右侧的部分）， 如图：当直线经过点A （0，-1）时，求得b=-1；当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得|0−0+b|√2=1，求得b= √2（舍去），或b=- √2，数形结合可得当直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（-1，1]∪{- √2 }，则实数b可取−√2；1故选：AC．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．12.（多选题，5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知c=2，若sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，则下列说法正确的是（）A. C=π3B. A∈(π6，π2)C. B∈(0，π2)D. a+b∈(2√3，4]【正确答案】：ABD【解析】：由正弦定理可得a2+b2-ab=c2，利用余弦定理求出cosC和C的值，判断A正确；由三角形内角和定理，结合题意求出B、A的取值范围，判断B正确，C错误；由正弦定理求出a+b的取值范围，判断D正确．【解答】：解：锐角△ABC中，sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得：a2+b2-ab=c2，所以a2+b2-c2=ab；由余弦定理可得cosC=a 2+b 2−c 22ab = ab 2ab = 12， 又C∈（0， 12 ），所以 C =π3 ，选项A 正确； 由三角形内角和定理知，A+B= 2π3 ，所以B= 2π3 -A ；又B ＜ π2 ，所以 2π3 -A ＜ π2 ，解得A ＞ π6 ，所以A∈（ π6 ， π2 ），选项B 正确； 同理，B∈（ π6 ， π2 ），所以选项C 错误； 由正弦定理得a+b= csinC （sinA+sinB ） = 4√33（sinA+sinB ） = 4√33 [sinA+sin （ 2π3 -A ）] =4√33 （ 32 sinA+ √32cosA ） =4sin （A+ π6 ），由A∈（ π6 ， π2 ），得A+ π6 ∈（ π3 ， 2π3 ）， 所以a+b∈（2 √3 ，4]，选项D 正确． 故选：ABD ．【点评】：本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．13.（填空题，5分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如表：【正确答案】：[1]11【解析】：求出样本中心，然后利用回归直线方程，即可求解它的截距 a ̂ ．【解答】：解： x =2+202=11 ， y =110(4+7+12+15+21+25+27+31+37+41)=22 ，则 a ̂ =22-1×11=11． 故答案为：11．【点评】：本题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．14.（填空题，5分）不等式 x−43−2x ＜0的解集是___ ． 【正确答案】：[1] {x|x ＜32或x ＞4}【解析】：由 x−43−2x ＜0可得（x-4）（2x-3）＞0，结合二次不等式的求法即可求解．【解答】：解：由 x−43−2x ＜0可得（x-4）（2x-3）＞0， 解可得x ＞4或x ＜ 32 ，故不等式的解集为： {x|x ＜32或x ＞4} ． 故答案为： {x|x ＜32或x ＞4} ．【点评】：本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题．15.（填空题，5分）点（5，2）到直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5的距离的最大值为___ ． 【正确答案】：[1] 2√13【解析】：利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．【解答】：解：化直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5为m （x+2y-1）-x-y+5=0， 联立 {x +2y −1=0−x −y +5=0，解得 {x =9y =−4 ．∴直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5过定点（9，-4），∴点（5，2）到直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5的距离的最大值为 √(5−9)2+(2+4)2=2√13 ．故答案为： 2√13 ．【点评】：本题考查直线系方程的应用，考查两点间的距离公式，是基础题．16.（填空题，5分）已知圆C 1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C 2：（x-3）2+（y-4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值___ ． 【正确答案】：[1]5 √2 -4【解析】：求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】：解：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A （2，-3），半径为1，圆C 2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即：√(3−2)2+(4+3)2 -4=5 √2 -4．故答案为：5 √2 -4．【点评】：本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．17.（问答题，10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2=bc．（1）求角A；（2）若b=2，且△ABC的面积为S=2√3，求a的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用余弦定理求出cosA的值，从而求出角A的值．（2）根据b=2，且△ABC的面积为S=2√3，求得c=4，再由余弦定理求得 a2的值，从而求得a的值．【解答】：解：（1）∵ cosA=b 2+c2−a22bc且b2+c2−a2=bc，---------（2分）∴ cosA=bc2bc =12．------------（4分）又∵0＜A＜π，∴ ∠A=π3．-----------（6分）（2）由于b=2，且△ABC的面积为S=2√3，则有12•2•c•sinπ3=2 √3，解得 c=4．------------（9分）再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2•b•c•cos π3=12，∴a=2 √3．-----------------（12分）【点评】：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．18.（问答题，12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．求证：（1）BE || 平面AC1D；（2）AD⊥C1D．【正确答案】：BD，从而四边形BDC1E是平行四边形，进而BE || C1D，由此能【解析】：（1）推导出EC1∥=证明BE || 平面AC1D．（2）推导出AD⊥CC1，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，由此能证明AD⊥C1D．【解答】：证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，∴EC1∥BD，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴BE || C1D，=∵BE⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D，∴BE || 平面AC1D．（2）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴AD⊥CC1，∵点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．∴AD⊥BC，∵BC∩CC1=C，∴AD⊥平面BCC1B1，∵C1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥C1D．【点评】：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，12分）（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，即可求出A，B的坐标即可求出|AB|；（2）分类讨论：当直线过原点时，当直线不过原点时，代点分别可得方程．【解答】：解：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，则x-2y+4=0，令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，2），则|AB|= √16+4 =2 √5；（2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，当直线过原点时，此时方程为x+4y=0．【点评】：本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答20.（问答题，12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A、B、C、D、E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；② 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用比例关系，求出分层抽样的结果．（2）① 直接利用列举法写出所有的结果．② 利用古典概型问题的应用求出结果．【解答】：解：（1）某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动，所以抽取的比例为1：80，故从志愿者中抽取甲2人，乙2人，丙1人；（2）① 设5名同学分别用A、B、C、D、E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作，所以抽取的结果为（A、B）（A、C）（A、D）（A、E）（B、C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E）一共有10种．② 从5名学生中抽取2名，基本事件数为10．来自于同一年级的有2种结果，=0.2故P（A）= 210【点评】：本题考查的知识要点：分层抽样，古典概型，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.（问答题，12分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求∠ACB=60°，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，（1）设BC=a，求AC长？（2）为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC 长度为多少米？【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合余弦定理可建立关于a，b的方程，解方程可求，（2）结合（1）中a，b的关系，采用换元后，利用基本不等式即可求解．【解答】：解：（1）因为BC=a（a＞1），AC=b，则AB=b-0.5，∵（b-0.5）2=b2+a2-2abcos60°，∴-b+0.25=a2-ab，整理得AC= b=a 2−0.25a−1(a＞1)，（2）令a-1=t（t＞0），∴a=t+1，∴ b=(t+1)2−0.25t =t2+2t+0.75t=t+34t+2≥2+2√34=2+√3，（当且仅当t=34t ，即t=√32时取等号）综上，当BC=1+√32米时AC最短，为2+√3米．【点评】：本题主要考查了余弦定理，基本不等式在求解三角形及最值中的应用，属于基础试题．22.（问答题，12分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x-2）2+（y-1）2=1交于点C，D．（1）若AB= 3√72，求CD的长；（2）若直线AB斜率为2，求△ABM的面积；（3）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程，由AB 的值结合直线与圆的位置关系分析可得k 2=15，因为直线AB 与直线CD 互相垂直，分析可得直线CD 的方程，据此分析可得答案；（2）根据题意，求出直线AB 的方程，结合直线与圆相交的性质求出AB 的长，进而求出M 到AB 的距离．由三角形面公式计算可得答案；（3）根据题意，分直线AB 的斜率存在与不存在2种情况讨论，求出△ABE 面积，综合2种情况即可得答案．【解答】：解：（1）由题可知，直线AB 斜率显然存在，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为y=kx+1．因为O 点到直线AB 的距离d 1=√k 2+1 ， 则 (AB 2)2 + (√k 2+1)2 =4，变形可得AB=2 √4k 2+3k 2+1 ， 又由AB= 3√72 ，则2 √4k 2+3k 2+1 = 3√72 ，解可得k 2=15．因为直线AB 与直线CD 互相垂直，则直线CD ：y= −1k x+1，则M 点到直线CD 的距离d 2=−2k +1−1√1+(−k )2 ， 又由 (CD 2)2 =1- (−2k+1−1√1+(−k )2)2，则CD=2 √1−4k 2+1 =2 √1−415+1= √3 ． （2）根据题意，若直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为2x-y+1=0，则O 到直线AB 距离d 1=√4+1 = √55 ，则 AB =2√4−15=2√955 ， M 到直线AB 距离d=√4+1 = 4√55 ， 故 S △ABM =12AB •d =45√19 ；（3）当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S= 12 ×4×2=4；当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线AB ：y=kx+1，k≠0，直线CD ：y=- 1k x+1． 由 |−2k+1−1|√1+(−k )2 ＜1得k 2＞3，所以k∈（-∞，- √3 ）∪（ √3 ，+∞）．因为 (AB 2)2 + (1√k 2+1)2 =4，所以AB=2 √4k 2+3k 2+1． 因为E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB 的距离d=|2k+1−1|√1+k 2 = |2k|√1+k 2 ， 所以△ABE 的面积S= 12 AB•d=2 √(4k 2+3)k 2(1+k 2)2 ． 令t=k 2+1＞4，则S= 2√4t 2−5t+1t 2=2√4−5t +(1t )2 ， 又由t ＞4，则0＜ 1t ＜ 14 ，故S∈ (3√52，4) ． 综上，△ABE 面积的取值范围是 (3√52，4] ． 【点评】：本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．。

2019年高一下学期期中联考数学试题含答案一．填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知直线：的倾斜角为，则实数的值是_____________.2.不等式的解集是_________________.3.数列为等差数列，已知，则___________.4.在中，角所对的边分别为，若，则的面积是__________.5.若为等差数列，其前项和为，若，则=_____.6.在公比为的等比数列中，是其前项和，若，则 .7.在中，角所对的边分别为，若，，则____________.8.等比数列的前项和为且，则数列的公比为_____.9.已知直线与线段有公共点，则的取值是_____________.10.变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是__________.11..数列的首项为，数列为等比数列且，若则= ．12在中，角所对的边分别为,,,则边长的值是____________.13.设数列的前项和为，且，为等差数列，则_______________.14．已知函数若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________.二．解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15,16,17题每题14分，18,19,20题每题16分)15.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小（2）若，求边的大小.16.已知直线经过点.（1）若直线的倾斜角为，且直线经过另外一点，求此时直线的方程；（2）若直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程.17.设数列的前项和为且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.18.如图，在中，是内的一点．（1)若是等腰直角三角形的直角顶点，求的长；（2）若，设，求的面积的解析式，并求的最大值·19.已知函数（1）当不等式的解集为时，求实数的值；（2）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围；（3）设为常数，解关于的不等式.20.设数列，，，已知，，，，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意，为定值；（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．xx 学年度春学期期中试卷高一数学参考答案及评分建议xx.4 一．填空题（每空5分，共70分）1. ，2. ，3. 5，4. ，5.15. ，6. 8，7. ， 8. ， 9.或， 10.[]， 11.4， 12. ，13. ， 14. .二．解答题（第15-17题每题14分，第18-20题每题16分）15 .解：（1）利用正弦定理，由，得.……2分因为sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以.……4分因为，所以.………6分因为，所以.………8分（2）由余弦定理，得，因为，，所以，即，………12分解得或………14分16.解：（1）直线的斜率为，………2分解得，即……4分所以直线的斜率为，直线的方程为；………6分（2）由题意知，直线的斜率必存在，且不为零，则设，………7分分别令等于零得到轴上的截距为，轴上的截距为，………8分由=，得=，解得或；………10分或者=，解得或；………12分经检验不合题意，舍去.………13分综上：的值为，直线的方程为：或.……14分（用截距式也可）17.解：（1）当时，.………1分因为，即.两式相减得：，………2分因为，所以.………3分所以数列是首项，公比为的等比数列，所以.………4分（2）因为，………5分利用累加得：1221111()111121()()22()1222212n n n n b b -----=++++==--.………7分 又因为，所以.………8分（3）因为，………9分 所以012111112[()2()3()()]2222n n T n -=++++. 123111112[()2()3()()]22222n n T n =++++. ………10分 由-，得：01211111112[()()()()]2()222222n n n T n -=++++-.………11分 故11()18184244()84()81222212nn n n n n n T n n -+=-=--=--………14分18.解：（1）因为是等腰直角三角形的直角顶点，且，所以，………1分又因为，………2分在中，由余弦定理得：，………5分所以.………6分（2）在中，，，所以，………7分由正弦定理得………8分………9分所以得面积1243()sin sin()sin 2333S PB PC ππθθθ=⋅=-………11分=223332sin cos sin 2cos 2333θθθθθ-=+-……12分 =，………14分所以当时，面积得最大值为.………16分19 .解：（1） 即∴ ∴……2分∴或（若用根与系数关系也算对） ……………………4分（2），即即 …………6分∴恒成立 …………………………10分（3）即,∴△=10当即时， …………………………………12分20当即时，解集为} ………………………14分30当即时，解集为{或} ……16分20. 解：（1）因为，，所以（）， …………１分所以，，， …………………………………2分即数列是首项为，公比为的等比数列， …………………………3分所以． ………………………………………………………4分（2）， ……………………………………5分 所以)8(2142811-+=-+=-+++n n n n n n c b c b c b ，………………………………8分 而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值．………………………………………………………………………10分（3）由（1）、（2）知，所以，…………11分 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n nn n n S 2113242112114， 所以， …………………………………………12分由得，因为，所以， ……………………13分当为奇数时，随的增大而递增，且，当为偶数时，随的增大而递减，且，所以，的最大值为，的最小值为． …………………15分由，得，解得． …………16分所以，所求实数的取值范围是． .。

2018-2019学年度高一第二学期四校期中联考数学答案1A 2C3D4C5C 6C7D8B9C10D00111.220, 12.15105, 13.2, 15.,27x y +-=或 17．解：（1）连结BD ，AC 交于O ． ∵ABCD 是正方形，∴AO=OC ，OC=12AC 连结EO ，则EO 是△PBD 的中位线，可得EO ∥PB-----------------------3分 ∵EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC-----------------------7分 （2）∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA又∵ABCD 是正方形，可得AD ⊥CD ，且PA ∩AD=A ∴CD ⊥平面PAD∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD------------------------------14分说明：应用定理时，少一条件扣一分，扣完为止。

(2)不作辅助线(有文字说明的)扣2分。

18解答：（1）由，得，由正弦定理得，---------3分∵，，∴，∵角为的内角，∴.------------------------7分（2）∵，的面积为，∴，即，①---------------------------9分∵，由余弦定理得，即，②----------------------------------11分将①代入②得，∴.--------------------------14分19.解答：(1)AC中点为，该点也为BD中点，设，则可得；----------------4分（2）BC：，∴A到BC的距离为，-----------------------6分又，∴四边形ABCD的面积为.---9分(3)在三角形中，设的平分线与CD交于点E，由正弦定理可得-------------------------------------11分所以从而E点坐标为----------------------13分又所以所求方程为：-----------------14分20 . (1)平面平面，平面平面于AD又在中AD=4，BD=，AB=8．所以-------------2分所以又所以平面MBD⊥平面PAD；----5分（2）当M为PC的三等分点，即2CM=MP时，结论成立．------------------6分证明：连AC交BD与点O--------------------------9分-----11分（3）过P作易证平面-------13分-------------------------------15分-------------------------16分21解：(1)折叠后，折痕为对应正方形的一条对角线，易求所在直线方程为：------3分(2)当时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为----------------------5分当时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G(a，1) ()，则A与G关于折痕所在直线对称，得故线段OG中点所以折痕所在直线方程为：即综上所述，所求折痕所在直线方程为21(20)2k y kx k +=+-≤≤ ---------------------------------------------------------------------------------10分(3) 由（2）当时，折痕所在直线与x 轴交于点E 21(,0)2k k +-，与y 轴交于点F 21(0,)2k +，则222211(1)(1)4EF k k=++ 球的直径即为EF ，――――――――――――――――13分 所以22211(1)(1)4S k k π=++g222118(1)S k k=+≥++所以最小值为8 16分。

2016～2017学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．. 1、000043134313cos cos sin sin +的值等于 ▲ .322、不等式2320x x -+-≥的解集是 ▲ 。

{}21≤≤x x .3、在等比数列{}n a 中，已知23=a ，166=a ，则公比=q ▲ .24、下列直线中与直线l ：3x ＋2y －5＝0相交的是____▲____（填上正确的序号）．①y ＝－错误!x ＋5 ②3x ＋2y ＝0 ③错误!＋错误!＝1 ④错误!＋错误!＝1解析:直线l 的斜率k ＝－错误!，要使直线与l 相交，则所求直线的斜率k ′≠－错误!。

又①、②、④中直线的斜率都等于－错误!，③中直线的斜率等于－错误!，故填③.5、函数)1(14>-+=x x x y 的最小值为 ▲ .5 6、在ABC ∆中，若,sin sin cos 2C A B =则ABC ∆的形状一定是 ▲ 三角形。

等腰7、已知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧,则a 的取值范围是___▲____。

247<<-a8、若α∈错误!,且sin 2α＋cos 2α＝错误!，则tan α＝ ▲ ；3 9、等差数列{}n a 中,15087654=++++a a a a a ,则11S = ▲ .33010、已知△ABC 中,AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ▲ ．93 11、已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 1经过点A (3，2）,B （a ，－1），且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行,则a ＋b ＝____▲____.解析：l 的斜率为k ＝tan 45°＝1,∴k l 1＝－1，k AB ＝错误!＝k l 1＝－1.∴a ＝6.由l 1∥l 2，∴－错误!＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝6＋2＝8。

2017-2018学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．若x＞0，则函数的取值范围是______．2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，，∠C=30°，则△ABC的面积是______．3．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是______．4．已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列{a n}的通项公式是a n=______．5．设实数x∈R，则y=x+的值域为______．6．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=______．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为______．8．已知a，b为正实数，且a+b=1，则+的最小值是______．9．函数y=的定义域为一切实数，则k的取值范围是______．10．已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11=______．11．已知三角形ABC中，有：a2tanB=b2tanA，则三角形ABC的形状是______．12．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第100行从左向右的第3个数为______．13．数列{a n}中，a1=1，a n+a n=（）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1a n，类比课本中推导等比+1数列前项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n=______．14．记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为______．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知：角θ为锐角，且sinθ=．（1）求sin（﹣θ）的值；（2）求cos2θ的值．16．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．17．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18．已知数列{a n}、{b n}分别是等差数列、等比数列，且满足a3=8，a6=17，b1=2，b1b2b3=9（a2+a3+a4）．（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=log3b n，求证：数列{c n}是等差数列，并求其公差d′和首项c1；（3）设T n=b1+b4+b7+…+b3n，其中n=1，2，…，求T n的值．﹣219．已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+a2+1，x∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a2（1﹣x）恒成立．求实数a的取值范围．20．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．2017-2018学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．若x＞0，则函数的取值范围是[2，+∞）．【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式即可求解函数的取值范围【解答】解：∵x＞0，函数≥2=2，当且仅当x=即x=1时取等号故答案为：[2，+∞）2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，，∠C=30°，则△ABC的面积是．【考点】三角形的面积公式．【分析】根据题意可知在△ABC中，a=1，b=，C=30°，则根据三角形的面积S=absin∠C即可解得答案．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=，C=30°，∴三角形的面积S=absin∠C=×1××sin30=，故答案为．3．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB==；∴∠B=．故答案为．4．已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据所给的数列首项和前三项之和，整理出关于公比q的一元二次方程，解方程得到两个解，舍去负解，写出数列的通项．【解答】解：∵等比数列{a n}中a1=1，a1+a2+a3=7∴a2+a3=6，∴q+q2=6，∴q2+q﹣6=0，∴q=2，q=﹣3（舍去）∴{a n}的通项公式是a n=2n﹣1故答案为：2n﹣15．设实数x∈R，则y=x+的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】把已知函数解析式变形，然后分x+1＞0和x+1＜0分类求解得答案．【解答】解：y=x+=x+1+．当x+1＞0时，，当且仅当，即x=0时等号成立，此时y≥1；当x+1＜0时，，当且仅当，即x=﹣2时等号成立，此时y≤﹣3．综上，y=x+的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．6．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=1．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，即可求得a20．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a20=a1+19d=1．故答案为1．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为﹣8．【考点】简单线性规划．【分析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x﹣4y=0，平移直线观察求解最值．【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为：﹣8．故答案为：﹣8．8．已知a，b为正实数，且a+b=1，则+的最小值是3+2．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b为正实数，且a+b=1，则+=（a+b）=3+≥3+2=3+2，当且仅当b=a=2﹣时取等号．∴+的最小值是3+2，故答案为：3+2．9．函数y=的定义域为一切实数，则k的取值范围是[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据题意即可得出不等式kx2﹣6x+k+8≥0的解集为R，从而该不等式为一元二次不等式，这样k需满足，从而解该不等式组便可得出k的取值范围．【解答】解：由题意知：不等式kx2﹣6x+k+8≥0的解集为R；∴k需满足；解得k≥1；∴k的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11=11．【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质得：a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a6=，根据对数的运算性质和条件化简式子求出式子的值．【解答】解：由等比数列的性质得，a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a6=，∵a6=2，公比q＞0，∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…+a11）==11=11，故答案为：11．11．已知三角形ABC中，有：a2tanB=b2tanA，则三角形ABC的形状是等腰或直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】三角形ABC中，利用正弦定理将a2tanB=b2tanA化为=0，再利用二倍角的正弦即可得到sin2A=sin2B，从而得到：A=B或A+B=，问题即可解决．【解答】解：∵三角形ABC中，a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理得：=0，∵sinA•sinB＞0，∴，即=0，∴sin2A=sin2B，又A、B为三角形中的角，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=．故答案为：等腰三角形或直角三角形．12．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第100行从左向右的第3个数为4953．【考点】数列的应用．【分析】先找到数的分布规律，求出第99行结束的时候一共出现的数的个数，再求第100行从左向右的第3个数即可．【解答】解：由排列的规律可得，第99行结束的时候排了1+2+3+…+99==4950 个数．所以100行从左向右的第3个数4950+3=4953．故答案为4953．13．数列{a n}中，a1=1，a n+a n=（）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1a n，类比课本中推导等比+1数列前项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n=n．【考点】类比推理．【分析】先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n﹣4n a n的表达式．【解答】解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n+a n）+a n•4n﹣1=a1+4×+42•（）2+…+4 n﹣1•（）n﹣1+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n，故答案为：n．14．记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．【考点】数列的求和．【分析】令（n﹣1）d=t，由a n2+=a n2+[a1+（n﹣1）d]2=5（t﹣）2+2a12﹣，当t=时，取到最小值，由此能求出结果．【解答】解：a n2+=a n2+ [na1+n（n﹣1）d]2 =a n2+[a1+（n﹣1）d]2令（n﹣1）d=t，a n2+=（a1+2t）2+（a1+t）2=2a12+6ta1+5t2=5（t﹣）2+2a12﹣，当t=时，取到最小值即（n﹣1）d=，即n=，∵不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，∴m．∴实数m的最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知：角θ为锐角，且sinθ=．（1）求sin（﹣θ）的值；（2）求cos2θ的值．【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式，即可计算求值得解．（2）根据已知利用二倍角的余弦函数公式，即可计算得解．【解答】解：（1）∵角θ为锐角，且sinθ=，可得：cos=，∴sin（﹣θ）=sin cosθ﹣cos sinθ=（﹣）=．…（2）cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=．…16．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，…由根与系数的关系得：解得a=﹣2…所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，…化为：（2x﹣1）（x+3）＜0…解得，…所以不等式解集为…17．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．18．已知数列{a n}、{b n}分别是等差数列、等比数列，且满足a3=8，a6=17，b1=2，b1b2b3=9（a2+a3+a4）．（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=log3b n，求证：数列{c n}是等差数列，并求其公差d′和首项c1；，其中n=1，2，…，求T n的值．（3）设T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质和等差数列的定义即可证明，（3）根据等比数列的前n项和公式即可求出．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，a3=8，a6=17，∴d===3，∴a n=a3+（n﹣3）d=8+3（n﹣3）=3n﹣1，∴a2+a3+a4=3a3=24，∵数列{b n}是等比数列，设公比为q，b1=2，∴b1b2b3=2×2q×2q2=8q3=9（a2+a3+a4）=9×24，解得q=3，∴b n=2×3n﹣1，（2）∵c n=log3b n=n+log32﹣1，∴c n﹣c n=n+1+log32﹣1﹣n﹣log32+1=1=d′+1∵c1=log3b1=1+log32﹣1=log32，∴数列{c n}是以首项为log32，公差d′=1的等差数列（3）∵b n=2×3n﹣1，∴{b3n}是以b1=2为首项，以q3=27为等比的等比数列，﹣2==（27n﹣1）∴T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣219．已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+a2+1，x∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a2（1﹣x）恒成立．求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）当a=2时，f （x ）=x 2﹣6x +5=（x ﹣1）（x ﹣5）＜0，由二次不等式的解法可求 （2）f （x ）=0时△=8a ，二次函数的图象开口向上，分类讨论①△≤0②△＞0两种情况分别进行求解（3）任意的x ∈[0，2]，x 2+1≥（﹣a 2+2a +1）x ，成立①当x=0时，不等式显然成立②当x ∈（0，2]，可得，通过研究函数x +的最值可求a 的范围【解答】解：（1）当a=2时，f （x ）=x 2﹣6x +5=（x ﹣1）（x ﹣5）＜0∴1＜x ＜5﹣﹣﹣﹣﹣（2）f （x ）=0时△=8a ﹣﹣当a ≤0，x ∈Φ；﹣﹣﹣﹣﹣当﹣﹣﹣（3）由题意：任意的x ∈[0，2]，x 2+1≥（﹣a 2+2a +1）x ，成立当x=0时，不等式显然成立﹣﹣当x ∈（0，2]，．∵ ∴﹣a 2+2a +2≤2，即a ≤0或a ≥2综上：a ≤0或a ≥2﹣﹣﹣20．已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且S n =．（1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n =，试问是否存在正整数p ，q （其中1＜p ＜q ），使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p ，q ）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和．【分析】（1）令n=1，即可求a 1；（2）根据等差数列的定义即可证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程组进行求解即可得到结论．【解答】解：（1）令n=1，则a 1=S 1==0（2）由，即，①得 ．②②﹣①，得 （n ﹣1）a n +1=na n ．③于是，na n +2=（n +1）a n +1．④③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n=n﹣1（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列，于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列2016年10月2日。

2018-2019学年淮安市高中校协作体高一下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列说法正确的是（）A. 任意三点确定一个平面B. 梯形一定是平面图形C. 平面和有不同在一条直线上的三个交点D. 一条直线和一个点确定一个平面【答案】B 【解析】【分析】根据平面性质中的公理及其推论逐个验证即可．【详解】A选项，不共线的三点确定一个平面，A错．C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错．D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对，故选：B．2.已知船在灯塔北偏东85°且到的距离为，船在灯塔西偏北55°且到的距离为，则两船的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理可得距离．【详解】依题意可得，在三角形中，由余弦定理可得：，∴．故选：D．3.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由图可得：，这是一道求异面直线所成角的题目，角的落实是关键。

结合三角形进行求解是本题的重点.4.的内角的对边分别为，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据正弦定理即可求出．【详解】，由正弦定理可得，则，故选C．【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；。

2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．两个不同平面α和β有不在同条直线上的三个公共点 【答案】C【解析】根据平面的概念进行判断即可. 【详解】对于选项A,当三点共线时,无法确定一个平面,故A 错误；对于选项B,一个四边形,若对边异面,则为一个立体图形,故B 错误；对于选项C,因为梯形有一组对边平行,两条平行线可以确定一个平面,则梯形一定是平面图形,故C 正确；对于选项D,若两个不同平面α和β有不在同条直线上的三个公共点,由于三个不共线的点能确定一个平面,则平面α与平面β重合,与已知矛盾,故D 错误. 故选:C 【点睛】本题考查平面的概念的应用,考查空间想象能力.2．直线30()x m m R ++=∈的倾斜角为( ) A ．30 B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】先根据直线方程得斜率，再求倾斜角. 【详解】因为直线30x m ++=，所以直线斜率为=120︒，选C. 【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.3．如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(含60分)为考试合格，则这次考试的合格率为（ ）A ．0.02B ．0.035C ．0.4D ．0.7【答案】D【解析】观察频率分布直方图，60分以上的小矩形面积的和即为所求. 【详解】观察频率分布直方图可知这次考试的合格率为()0.0150.02200.7+⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题.4．一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1【答案】A【解析】计算从4个球中摸出2个球的所有可能结果数，然后计算摸出1个黑球，1个白球的结果数，利用古典概型的概念可得结果. 【详解】由题可知：从4个球中摸出2个球的所有可能结果数为246C = 则摸出1个黑球，1个白球的结果数为11133=C C所以所求概率为31=62故选：A 【点睛】本题考查古典概型的计算，审清题意，细心计算，属基础题. 5．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3,2a b ==，60A =，则B =( ) A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】A【解析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】32a b =>=， ,B A B ∴<为锐角，由正弦定理可得，32sin 22sin 23b AB a⨯===，所以45B =，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.（ ）A ．53B ．3C ．10D ．300【答案】B【解析】根据已知条件求出OM 、ON ，再利用余弦定理求解MN 即可. 【详解】根据已知条件不妨设45,30MAO NAO ∠=∠=，已知30m AO =，30MON ∠=， 则tan 4530OM OA m ==，tan 30103ON OA m ==，所以两船的距离为MN ==.故选：B 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，理解题意是解题关键，属于基础题.7．动圆M 与定圆22:40C x y x ++=相外切，且与直线:2l x =相切，则动圆M 的圆心(),x y 满足的方程为（ ）A ．212120y x -+=B ．212120y x +-=C ．280y x +=D ．280y x -=【答案】B【解析】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程． 【详解】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r∴|MC|﹣d=2﹣（2﹣x ）=2， 化简得： y 2＋12x －12＝0．∴动圆圆心轨迹方程为y 2＋12x －12＝0． 故选B ． 【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 8．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．92【答案】D【解析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ (当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.二、多选题9．要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________.(下面抽取了随机数表第1行至第3行)（ ）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 A ．774 B ．946C ．428D ．572【答案】ACD【解析】依据题意结合随机数表法直接读数并满足号码不大于850即可. 【详解】依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，… 所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572 故选：ACD 【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，掌握读数的方法，属基础题. 10．若m ，n 表示直线，a 表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A ．//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭B ．//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭D ．//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭【答案】ABC【解析】A 可由线面垂直的判定定理进行证明；B 由线面垂直的性质定理可得结论正确；C 可在α内找n 的平行线进行证明；D 可举反例当n 和m 确定的平面平行于α. 【详解】对于A ，m α⊥，则m 垂直于α内的两条相交直线，因为//m n ，所以n 也垂直于这两条直线，故n α⊥，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，故B 正确；对于C ，//n α，所以存在直线b α⊂，且//b n ，因为m α⊥，所以m b ⊥，所以m n ⊥，故C 正确；对于D ，例如n 和m 确定的平面平行于α，则//n α，故D 不正确. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查空间的线面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题. 11．直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】AC【解析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b 的取值范围即可解题. 【详解】解：曲线21x y =-，整理得221x y +=，0x ≥， 画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点， 则(1,1]{2}b ∈--故选：AC. 【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.12．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则下列说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．a b +∈【答案】ABD【解析】首先由正弦定理将条件化成边，然后由余弦定理求出3C π=，然后利用2sin )sin sin 4sin 36a b A B A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求出其范围即可.【详解】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得2221cos ,(0,)22a b c c C ab π+-==∈，所以3C π=.由正弦定理得2sin )sin sin 4sin 36a b A B A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以a b +∈故选：ABD 【点睛】本题考查的是正余弦定理和三角恒等变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.三、填空题13．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：如果线性回归方程的斜率是1，则它的截距是__________. 【答案】11【解析】求出样本点的中心，然后利用回归直线方程，即可得答案； 【详解】220112x +==，1(471215212527313741)2210y =+++++++++=， ∴2211111a =-⨯=，故答案为：11. 【点睛】本题考查回归直线方程的求法与应用，属于基础题.14．不等式4032x x-<-的解集是_________.【答案】3{|2x x <或4}x >【解析】转化为(4)(32)0x x --<，根据二次不等式求解即可. 【详解】 由4032x x-<-可得：(4)(32)0x x --<，即(4)(23)0x x -->， 解得4x >或23x <， 所以不等式的解集为3{|2x x <或4}x >， 故答案为：3{|2x x <或4}x > 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.15．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.【答案】【解析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果. 【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=， 由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.16．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值_____．【答案】4【解析】求出圆1C 关于x 轴对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可得到PM PN +的最小值. 【详解】如图所示，圆1C 关于x 轴对称圆的圆心坐标3(2,)A -，以及半径1， 圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，所以PM PN +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，(13)4+=.【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把PM PN +的最小值转化为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.四、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b c bc --= ⑴求角A ；⑵若2b =，且ABC ∆的面积为3S =a 的值. 【答案】（1）23π； （2）27a =【解析】（1）由余弦定理得cosA ，即可求A; （2）由面积公式求得c,再由余弦定理求a 即可 【详解】（1）222cosA 2b c a bc+-=，又222a b c bc --=,所以1cos 2A =-；又因为0A π<<，所以23A π=. （2）1123sin sin 223ABC S bc A bc π∆===，又3,2S b ==，所以4c =， 所以2222cos 28a b c bc A =+-=，所以7a = 【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，熟记定理，准确计算是关键，是基础题18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，且AB AC =.求证：（1）//BE 平面1AC D ； （2）1AD C D ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）推导出1//EC BD =，从而四边形1BDC E 是平行四边形，进而1//BE C D ，由此能证明//BE 平面1AC D ．（2）推导出1AD CC ⊥，AD BC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，由此能证明1AD C D ⊥． 【详解】 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，1//EC BD =∴，∴四边形1BDC E 是平行四边形，1//BE C D ∴，BE ⊂/平面1AC D ，1C D ⊂平面1AC D ，//BE ∴平面1AC D ．（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，1AD CC ∴⊥，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，且AB AC =．AD BC ∴⊥，1BCCC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，1C D ⊂平面11BCC B ，1AD C D ∴⊥．【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（1）设直线l 过点（2，3）且与直线2x +y +1=0垂直，l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，求|AB |；（2）求过点A （4，-1）且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线l 的方程．【答案】（1） （2）x +4y =0或x +y -3=0【解析】（1）根据直线l 与直线2x +y +1=0垂直，由斜率之积为1-，可求出直线l 的斜率，再根据直线l 经过点()2,3 ，由点斜式即可写出直线l 的方程，然后分别令0,0x y ==可求出点,B A 的坐标，由两点之间的距离公式即可求出AB ；（2）根据直线的截距是否为零讨论，即直线是否过原点分类讨论，再根据情况分别设出直线方程，由直线过点()41-,即可求出． 【详解】（1）设直线l 的斜率为k ，由题意知，()21k ⨯-=-，12k ∴=．而直线l 经过点()2,3 所以直线l ：()1322y x -=- 即x -2y +4=0． 令x =0，得y =2，令y =0，得x =-4，∴A （-4，0），B （0，2），则|AB |=（2）当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x +y =c ，代入（4，-1）可得，c =3， 此时直线l 方程为：x +y -3=0；当直线l 过原点时，设直线l 方程为：y kx =，因为直线l 过点()41-,，所以41k =-，解得14k =-，此时直线l 方程为：x +4y =0． 综上：直线l ：x +4y =0或x +y -3=0． 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．20．已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动. （1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A ､B ､C ､D ､E 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.【答案】（1）从志愿者中抽取甲2人，乙2人，丙1人；（2）①答案见解析；②0.2. 【解析】（1）根据分层抽样的概念，可得各年级抽取的人数.（2）①由题意列出所有可能的结果即可；②根据①的条件，结合古典概型的概念直接【详解】（1）甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为2∶2∶1所以从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取2人，2人，1人 （2）①从抽出的5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为： {A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }， {B ，C }，{B ，D }， {B ，E }， {C ，D }，{C ，E }，{ D ，E }共10种． ②不妨设抽出的5名同学中，来自甲年级的是A ，B ，来自乙年级的是C ，D ，来自丙年级的是E ， 则从抽出的5名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为：{A ，B }，{C ，D }，共2种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=2=0.210． 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．21．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求60ACB ∠=︒，BC 长度大于1，且AC 比AB 长0.5米，（1）设BC a =，求AC 长？（2）为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？【答案】（1）()20.2511a b a a -=>-；（2）AC 最短为23米，当AC 最短时，BC 长度为31+. 【解析】（1）运用余弦定理建立函数表达式； （2）分拆分式型函数式，用基本不等式求最值.设(1),BC a a AC b =>=，则0.5AB b =-，∵222(0.5)2cos60b b a ab -=+-︒，∴20.25b a ab -+=-，整理得()20.2511a b a a -=>-（2）令()10a t t -=>，∴1a t =+，∴22(1)0.2520.75332222344t t t b t t t t +-++===+++=+(当且仅当34t t =，即32t =时取等号) 综上，当312BC =+米时AC 最短，为23+米. 【点睛】分式型函数分拆后能否用基本不等式，要遵循“一正、二定、三相等”，如果不能取等则转化为函数求最值.22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()P 0,1且互相垂直的两条直线分别与圆22O :x y 4+=交于点A ，B ，与圆()()22M :x 2y 11-+-=交于点C ，D ．（1）若AB 37，求CD 的长； （2）若直线AB 斜率为2，求ABM ∆的面积； （3）若CD 的中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3(2) 41953542⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【解析】（1）分析直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用圆中半弦长，半径，弦心距构成直角三角形求解即可（2）直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为210x y -+=，求出弦长，点M 到直线的距离,利用三角形面积公式求解即可（3）表示出△ABE 的面积S ＝12AB·d＝，令214t k =+>，换元后根据二次函数求最值即可.【详解】(1) 由题可知，直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线AB ：y ＝kx ＋1. 因为O点到直线AB 的距离d 1，∴22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2⎛⎫＝4， ∴AB＝由得k 2＝15.因为直线AB 与直线CD 互相垂直，则直线CD ：y ＝1k-x ＋1， ∴M 点到直线CD的距离d 2211-+-，∴22CD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1－2211⎛⎫ ⎪-+-，CD ＝. (2) 直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为210x y -+=O ∴到直线AB 距离为5M 到直线AB 距离为5d =AB∴==1·2ABM S AB d ∆∴==(3)当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S ＝12×4×2＝4； 当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线AB ：y ＝kx ＋1，k≠0，直线CD ：y ＝－1kx ＋1.<1得k 2>3， 所以，＋∞)．因为22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2⎛⎫＝4，所以AB ＝因为E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB 的距离d，所以△ABE 的面积S ＝12AB·d＝.令214t k =+>，则S＝=41104t t >∴<<S ∴∈4⎫⎪⎪⎝⎭.综上，△ABE 面积的取值范围是4⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形，换元法，二次函数求最值，属于难题.。

江苏省淮安市高中校协作体2018~2019学年第二学期高一年级期中考试数学一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列说法正确的是（）A. 任意三点确定一个平面B. 梯形一定是平面图形C. 平面和有不同在一条直线上的三个交点D. 一条直线和一个点确定一个平面2.已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km，B船在灯塔C西偏北55°且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A. B. C. 3km D.3.如图，正棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A.B.C.D.4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，a=2，b=3，则sin B=（）A. B. C. D.5.正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）A. 1：2B. 2：C. ：2D. 1：36.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a=3，c=2，A+C=，则b=（）A. B. 6 C. 7 D. 87.在正三棱锥P-ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，下列结论：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④PB⊥DE，其中错误的结论个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 38.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形9.已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（）A. 若⊥，⊥，则B. 若⊥，⊥，则C. 若m，n在内的射影互相平行，则D. 若⊥，，则⊥10.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin A-c sin C=（a-b）sin B，c=2，则△ABC面积的最大值为（注：a2+b2≥2ab恒成立）（）A. B. 2 C. D.二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为______．12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A：sin B=3：4，则a：b=______13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=3，AA1=4，则点D到平面A1D1C的距离是______．14.△ABC中，若a=，c=2，B=30°，则△ABC的面积为______15.圆锥的全面积为15πcm2，侧面展开图的中心角为60°，则圆锥的体积为______．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cos C+sin C），a=，c=1，则角C=______三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17.已知△ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足下列三个条件：①a2+b2=c2+ab；②c=12sin C；③a+b=13．求：（1）内角C和边长c的大小；（2）△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PAD．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＜b＜c，a2-c2=b2-，a=3，△ABC的面积为6．（1）求角A的正弦值；（2）求边长b，c的值．20.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．（1）求证：EF⊥平面BCG；（2）求三棱锥D-BCG的体积．21.如图所示，有两条相交成60°角的直线XX'，YY'，交点为O．甲、乙分别在OX，OY上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来甲沿XX'的方向，乙沿Y'Y的方向，同时以4km/h的速度步行．求：（1）起初两人的距离是多少？（2）th后两人的距离是多少？（3）什么时候两人的距离最短？参考答案1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】A10.【答案】A11.【答案】【解析】解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．∵EF⊥BC，CC1⊥BC∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）由题意，得EF=．∵（8分）∵EF⊥DF，∴．（10分）故答案为．过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，得到∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可．本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12.【答案】3：4【解析】解：由正弦定理可得=，则a：b=sinA：sinB=3：4，故答案为：3：4．直接根据正弦定理即可求出．本题考查了正弦定理，属于基础题．13.【答案】【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），A1（3，0，4），D1（0，0，4），C（0，3，0），=（0，0，-4），=（3，0，0），=（0，3，-4），设平面A1D1C的法向量=（x，y，z），则，取y=4，得=（0，4，3），∴点D到平面A1D1C的距离：d==．故答案为：．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面A1D1C的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】1【解析】解：由a=，c=2，B=30°，则S△ABC=acsinB=××2×=1，故答案为：1．直接根据三角形的面积公式计算即可．本题考查了三角形的面积公式，属于基础题．15.【答案】cm3【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的全面积为15πcm2，侧面展开图的中心角为60°，∴πr（r+l）=15π，且l=6r，解得：r=，l=，则圆锥的高h==5，故圆锥的体积V==cm3，故答案为：cm3由已知中，圆锥的全面积为15πcm2，侧面展开图的中心角为60°，求出圆锥的底面半径和母线长，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，其中熟练掌握圆锥的母线长，半径，高，侧面展开图圆心角的度数之间的关系，是解答的关键．16.【答案】【解析】解：根据题意，△ABC中，b=a（cosC+sinC），则有sinB=sinA（cosC+sinC）=sinAcosC+sinA sinC，又由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinAcosC，则有sinAcosC+sinAcosC=sinAcosC+sinA sinC，变形可得tanA=，则A=，即sinA=，又由a=，c=1，则sinC==，又由a＞c，则A＞C，则C=；故答案为：．根据题意，由正弦定理分析可得sinB=sinA（cosC+sinC）=sinAcosC+sinAsinC，结合和角公式可得sinAcosC+sinAcosC=sinAcosC+sinAsinC，变形可得tanA=，即可得A的值，结合正弦定理可得sinC==，结合C的范围分析可得答案．本题考查三角函数的恒等变形以及正弦定理的应用，关键是求出A的大小．17.【答案】解：（1）由a2+b2=c2+ab，可得cos C==，又0＜C＜π，则C=，由c=12sin C可得c==6．（2）a2+b2=c2+ab，可得36=（a+b）2-3ab，即ab=．则S△ABC=ab sin C=．【解析】（1）根据夹角公式可得C=，再由由c=12sinC可得c=6，（2）由a2+b2=c2+ab和a+b=13可求出ab，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．18.【答案】（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点∴F为AC中点又E是PC中点，在△CPA中，EF∥PA…（3分）且PA⊆平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD．（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∵CD平面PDC∴平面PAD⊥平面PDC【解析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明EF∥PA，即可．Ⅱ））先证明线面垂直CD⊥平面PAD，再证明面面垂直平面PAD⊥平面PDC 即可．本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及空间二面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．19.【答案】（本题满分14分）解：（1）由a2-c2=b2-，得：=，即cos A=．…（3分）∵A∈（0，π），∴sin A=．…（6分）（2）∵S△ABC=bc sin A=×bc×=6，∴bc=20，①…（9分）由=，及bc=20、a=3，得：b2+c2=41，②…（12分）由①、②及b＜c解得b=4，c=5．…（14分）【解析】（1）由已知利用余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可得sinA的值．（2）由三角形面积公式可求bc=20，由余弦定理可求b2+c2=41，联立结合b＜c解得b，c的值．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，余弦定理，大边对大角在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.【答案】证明：（1）∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG=G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG．解：（2）在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO=AB•sin60°=2，∴三棱锥D-BCG的体积：V D-BCG=V G-BCD==4．【解析】（1）推导出△ABC≌△DBC，CG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面BGC，推导出EF∥AD，由此能证明EF⊥平面BCG．（2）作AO⊥BC，交CB的延长线于O，推导出AO⊥平面BDC，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，三棱锥D-BCG的体积V D-BCG=V G-BCD．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）设甲乙两人初始位置分别为A，B，则，， ，由余弦定理得：AB2=OA2+OB2-2OA×OB×cos∠AOB=7，∴．即起初两人间的距离是．（2）设th后甲由A点运动到C点，乙由B点运动到D点．连接CD．①当t=时，C与O重合，CD=OD=1+4×=4；②当0＜时，，， ．∴ =；③当＞时，，， ．∴=；综上，th后甲乙两人间的距离是．（3）由（2）知：，．所以当时，甲乙两人间的距离最短，最短距离是2km．。

江苏省清江中学2017-2018学年度第二学期期中考试高一数学试卷时间：120分钟 满分：160一、填空题（共70分，每小题5分）1.已知tan α=4,tan β=3,那么tan(α+β)= .2.在等差数列{}n a 中,若255,2a a ==,则7a = .3.在△ABC 中，已知a=3，b=4，sinB=，则sinA= ．4.已知1tan 2α=，则sin 2α= ． 5.不等式的解集为 ．（用区间表示）6.求值:cos36°cos72°= .7. 化简= . 8.直线l:xtan 5π+y+1=0的倾斜角α= . 9.在△ABC 中,已知(a+b+c) (b+c-a)=3bc,那么A= .10.过点()13 ，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 ．11.若方程·cosx=k 有解,则k ∈ .12．如图，有一斜坡AB ，它的坡角为45°，其中BC=a 米的，现保持坡高AC 不变，将坡角改为30°，则斜坡AD 的长为 米．13. 如图,已知∠A 为定角α,点P,Q 分别在∠A 的两边上,PQ 为定长a ,则△APB 的面积最大值为 . (第13题)14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有11a =，12n n S a +=-3，则n S = ．二、解答题（共90分）15．（本小题14分）求下列各式的值：（1）55sin sin sin sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()tan103sin40-.16．（本小题14分）求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．17．（本小题14分）已知函数.),1(2)13()(2R a a x a ax x f ∈+++-=（错误！未找到引用源。

江苏省淮安市高中校协作体2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列说法正确的是（）A. 任意三点确定一个平面B. 梯形一定是平面图形C. 平面和有不同在一条直线上的三个交点D. 一条直线和一个点确定一个平面【答案】B【解析】A选项，不共线的三点确定一个平面，A错．C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错．D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对，故选：B．2.已知船在灯塔北偏东85°且到的距离为，船在灯塔西偏北55°且到的距离为，则两船的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意可得，在三角形中，由余弦定理可得：，∴．故选：D．3.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可得：，这是一道求异面直线所成角的题目，角的落实是关键.结合三角形进行求解是本题的重点.4.的内角的对边分别为，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由正弦定理可得，则，故选C．5.正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方体的棱长为，不妨设，正方体外接球的半径为，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：，即；所以外接球的表面积为：．则正方体的表面积与其外接球表面积的比为：．故选：B．6.的内角的对边分别为，若，，，则（）A. B. 6 C. 7 D. 8【答案】A【解析】∵，∴，∵，，∴由余弦定理可得：．故选：A．7.在正三棱锥中，分别是的中点，下列结论：①；②平面；③平面；④，其中错误的结论个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】①根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故①正确．②∵，面，面，∴平面，故②正确．③若平面，则，因为，故，但矛盾，故③不正确．由①可得，，可得，即④正确．故选：B．8.中，，则一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】∵，由正弦定理可得，，∵，∴，∴即，∵，∴或，∴或，即三角形为等腰或直角三角形，故选：D．9.已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若在内的射影互相平行，则D. 若，，则【答案】A【解析】由题知，则，又，则．正确；，可能会现，错误；若在内的射影互相平行，两直线异面也可以，错误；若，可能会出现，错误．故本题选．10.中，角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（注：恒成立）（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】∵，由正弦定理得，即；由余弦定理得，结合，得；又，由余弦定理可得，当且仅当等号成立，∴，即面积的最大值为．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）11.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为______．【答案】【解析】取中点F，连接，，分别为的中点，，平面，为直线与平面所成角，，=，则.12.在中，内角的对边分别为，若，则______.【答案】3：4【解析】由正弦定理可得，则，故答案为：．13.在长方体中，，则点到平面的距离是______．【答案】【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量，则即，取，得，∴点到平面距离：．故答案为：．14.中，若，则的面积为______【答案】1【解析】由，则，故答案为：1．15.圆锥的全面积为，侧面展开图的中心角为60°，则圆锥的体积为______．【答案】【解析】因为设圆锥的底面半径为，母线为，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，，得，圆锥的高，即圆锥的高为，即圆锥的体积．16.的内角的对边分别为，已知，，，则角______【答案】【解析】根据题意，中，，则有，又由，则有，变形可得，因，则，即，又由，，则，又由，则，则；故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17.已知，内角所对的边分别为，且满足下列三个条件：①；②；③．求：（1）内角和边长的大小；（2）的面积．解：（1）由，可得，又，则，由可得．（2），可得，即．则．18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面⊥底面，若分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．解：（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分，∴F为AC中点，又E是PC中点，在△CP A中，EF∥P A，且P A⊆平面P AD，EF⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD．（Ⅱ）∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，平面∴CD⊥平面P AD，∵CD⊂平面PDC，∴平面P AD⊥平面PDC19.在中，内角所对的边分别为，且满足，，，的面积为6．（1）求角的正弦值；（2）求边长的值．解：（1）由，得：，即．∵，∴．（2）∵，∴，①由，及、，得：，②由①、②及解得，．20.如图，和所在平面互相垂直，且，，分别为的中点．（1）求证：⊥平面；（2）求三棱锥的体积．解：（1）∵，，分别为的中点，∴．∵和所在平面互相垂直．∵是中点，∴，同理，又，∴平面．∵分别是的中点，∴，∴平面．（2）在平面内，作，交的延长线于，如图，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．又为的中点，∴到平面的距离是长的一半，在中，，∴三棱锥的体积：．21.如图所示，有两条相交成60°角的直线，交点为．甲、乙分别在上，起初甲离点，乙离点，后来甲沿的方向，乙沿的方向，同时以的速度步行．求：（1）起初两人的距离是多少？（2）后两人的距离是多少？（3）什么时候两人的距离最短？解：设甲、乙两人起初所在位置分别为,连接.（1）在中，由余弦定理，得.（2）设小时后，甲由运动到，乙由运动到，连接，当时，，当时，在中，，，∴小时后，甲乙两人的距离为.（3），∴时两人的距离最短，最短距离为.。