第二节 电源及其电动势

第三章 稳恒电流

§2 电源及其电动势（P259）

1. 在地球表面上某处电子受到的电场力与它本身的重量相等，求该处的电场强度（已知电子质量311011.9m千克，电荷为191060.1e库）。

解：根据电场强度的定义qFE可得：

CNemgeFE/106.511

2. 电子所带的电荷量（基本电荷e）最先是由密立根通过油滴实验测出的。密立根设计的实验装置如附图所示。一个很小的带电油滴在电场E内。调节E，使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡。如果油滴的半径为41064.1厘米，在平衡时，51092.1牛顿/库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为851.0克/厘米3）。

解：油滴所受的电场力为：EqF

由题意可得：mgEeF

334rm

 CEgrq1931003.834

3. 在早期（1911年）的一连串实验中，密立根在不同时刻观察单个油滴上呈现的电荷，其测量结果（绝对值）如下：

1910568.6库仑 191013.13库仑 191071.19库仑

1910204.8库仑 191048.16库仑 191089.22库仑

191050.11库仑 191008.18库仑 191013.26库仑

根据这些数据，可以推得基本电荷e的数值为多少？

解：测量结果中相近实验数据的差值为： CCCe19191911063.11008.181071.19

CCCe19191921060.11048.161008.18

CCCe19191931063.11050.111013.13

CCCe191919410636.110568.610204.8

CCCe19191951024.31089.221013.26

CCCe19191961018.31071.191089.22

CCCe19191971035.31013.131048.16

CCCe191919810296.310204.81050.11

利用逐差法可得基本电荷e的数值为：

Ceeeeeeeee19483726151064.14)()()()(

4. 根据经典理论，在正常状态下，氢原子中电子绕核作圆周运动，其轨道半径为111029.5米。已知质子电荷为191060.1e库，求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。

解：根据点电荷场强表达式，电子所在处原子核的电场强度为：

CNrqE/1014.5411120

5. 两个点电荷0.81q微库仑，0.162q微库仑（1微库仑610库仑），相距20厘米。求离它们都是20厘米处的电场强度E。

解：建立如图所示的坐标系，由点电荷的场强公式可得，1q、2q在O点的场强分别为：

210141rqE， 220241rqE

方向见图。将1E、2E沿坐标轴分解：

01160cosEEx，02260cosEEx 01160sinEEy，02260sinEEy

0212160cos)(EEEEExxx

0212160sin)(EEEEEyyy

CNEx/1070.26 CNEy/1056.16

O点处电场强度E的大小：

CNEEEyx/1012.3622

O点处电场强度E的方向：

33xyEEtg  030

6. 如附图所示，一电偶极子的电偶极距lqp，P点到偶极子中心O的距离为r，r与l的夹角为。在lr时，求P点的电场强度E在OPr方向的分量rE和垂直于r方向上的分量E。

解：电偶极子q在P点产生的电场分别为：

2041rqE， 2041rqE

方向见图。将E、E沿OPr和垂直于r的方向分解：

coscosEEEr

sinsinEEE

其中：rlrcos2cos，rlrcos2cos，rlsin2sin，rlsin2sin。代入得：

330cos2cos24rlrrlrqEr 4 330sin2sin24rlrlqE

 lr

 cos2lrr，cos2lrr

化简得：

30304cos24cos2rprqlEr

30304sin4sinrprqlE

7. 把电偶极距lqp的电偶极子放在点电荷Q的电场内，p的中心O到Q的距离为r（lr）。分别求⑴ QOp//（图a）和⑵ QOp（图b）时偶极子所受的力F和力矩L。

解：⑴ 当QOp//时电偶极子上q所受的力分别为：

20)2(4lrqQF，20)2(4lrqQF

电偶极子所受的合力为：

2201)2(1)2(14lrlrqQFFF

 lr

 303014242rpQrqlQF， 方向指向Q

力矩： 01L

⑵ 当QOp时作用在q的力分别为：

)4(4220lrqQF，)4(4220lrqQF

沿竖直方向： sin2FFFFyyy

232202322022220)4(4)4(442)4(42lrpQlrqlQlrllrqQ

沿水平方向：

0xxxFFF

故电偶极子所受的合力为：

232202)4(4lrpQFFy

 lr

 3024rpQF，方向竖直向上。

因xF、xF不共线，故电偶极子受到力矩作用，力矩为：

202422rQplFLx

 3024rrpQL （r为Q指向p的中心）

8. 附图中所示是一种电四极子，它由两个相同的电偶极子lqp组成，这两偶极子在一直线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）为处，

4043rQE （lr），

式中22qlQ叫做它的电四极矩。

证明： 右边的电偶极子在P点产生的场强：

302241lrpE右， 向右 左边： 302241lrpE左， 向左

 404024346rQrplEEE右左

方向向右。

9. 附图中所示是另一种电四极子，设q和l都已知，图中P点到电四极子中心O的距离为x，PO与正方形的一对边平行，求P点的电场强度E。当lx时，E？

解：分为左右两个电偶极子讨论。设右边电偶极子在P点产生的场强为1E，设左边电偶极子在P点产生的场强为2E。

2322022014)2(44)2(4llxpllxqlE

方向向上。

2322022024)2(44)2(4llxpllxqlE

方向向下。

P点的合场强为：

2322023220214)2(44)2(4llxpllxpEEE

方向向上。

当lx时，4043xplE

10. 求均匀带电细棒 ⑴ 在通过自身端点的垂直面上和 ⑵ 在自身的延长线上的场强分布，设棒长为l2，带电总量为q。

解：⑴ 建立如图所示坐标系。设端点垂直面上的P点到棒的距离为r，在棒上任取微元dx，微元dx所带电量dxdqe在P点产生的场强为：

220220)(41)(41xlrdxxlrdqdEe

dE在z轴、r轴上的分量分别为：

23220220)()(8cos)(41xlrdxxllqxlrdxdEez

23220220)(8sin)(41xlrrdxlqxlrdxdEer

 220232204118)()(8lrrlqxlrdxxllqdEEllzz

2202322044)(8lrrqxlrrdxlqdEEllrr

合场强为：

jlrrqilrrlqjEiEErzP220220444118

⑵ 设棒延长线上的P点到棒中心的距离为z，棒上微元dx所带电量dxdqe在P点产生的场强为：

2020)(8)(41xzdxlqxzdxEde

则P点的场强为：

)(4)(822020lzqxzdxlqEdEll

11. 两条平行的无限长直均匀带电线，相距为a，电荷线密度分别为e。⑴ 求这两线构成的平面上任一点（设这点到其中一线的垂直距离为x）的场强。⑵ 求两线单位长度间的相互吸引力。

解：⑴ 建立如图所示的坐标系。无限长直均匀带电线在其周围产生的场强为：

rEe02

则图中任意一点P的场强为： 8 )11(20xaxEe

方向沿x轴正方向。

⑵ 两线单位长度间的相互吸引力为：

adldladldffeee02022

12. 如附图，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q。⑴ 求轴线上离环中心O为x处的场强E；⑵ 画出xE曲线；⑶ 轴线上什么地方场强最大？其值是多少？

解：⑴ 由对称性可知，圆环在P点产生的场强沿轴线。圆环上任一线元dl在P点的场强为：

220220841xRdlRqxRdldEe

沿轴线上的分量为：

232202208cos8xRxdlRqxRdlRqdEx

则P点的场强为：

232202322048xRqxxRxdlRqdEEExx

方向沿x轴。

⑵

⑶ 03423222122223220xRxRxxRqdxdE

 03222xxR

 Rx22

20max36RqE