2011-2012扬州高一数学期末试题(Word版)

分 40 分），解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16、已知函数 f（ x）的定义域为 ( ,0) (0, ) 且对定义域中任意 x 均有： f ( x) f ( x) 1 ，
g (x) f (x) 1 ，则 g( x) 是（
）
f ( x) 1
A、是奇函数 C、既是奇函数又是偶函数
B D
、是偶函数 、既非奇函数又非偶函数
1 tan 2x
1 7
12、[ 解析 ] 由 sin
4 得 cos 5
3 ，由 cos( 5
) 5 得 sin( 13
) 12 ， 13
sin sin (
)
16
sin(
) cos cos(
) sin
65
三、解答题： 本大题共 3 小题，共 40 分，解答应写出必要的计算过程、 推演步骤或文字说明。
13、（满分 12 分）
关系是： P
t 20, 0 t 24, t N ，该商品的日销售量 Q ( 件) 与时间 t （天）的函
t 100, 25 t 30, t N
数关系是 Q t 40 (0 t 30, t N ) ，求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金 额最大的一天是 30 天中的哪一天？
20、（满分 14 分）已知函数 f x ax 2 2 4 2b b 2 x ， g x
A、 12
B、 3
C、 12
D、 3
1
9、已知 a (1,2), b ( x,1) 且 (a 2b) ∥ (2a b) ，则 x 为 （
）
A、 2
B
、2
C 、1
D 、1
2
2
二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 , 把答案写在答题卷中指定的横线上。 ）

2011-2012学年江苏省扬州市高三（下）第三次调研数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={x|−3<x≤1}，则A∪B=________．2. 复数1−√2ii的实部与虚部的和是________．3. 用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高二年级抽取20人，高三年级抽取25人，已知该校高一年级共有800人，则该校学生总数为________人．4. 等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a7=5，S7=21，那么S10等于________．5. 若函数f(x)=(1+√3tanx)cosx，0≤x<π2，则f(x)的最大值为________．6. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_________cm．7. 已知两条不同的直线m、n与两个互异的平面α、β给出下列五个命题：①若m // α，n // α，则m // n；②若m // α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m // β，则α⊥β；④若m⊥α，α⊥β，则m // β；其中真命题的序号是．________．8. 若x≥0，y≥0，且x+2y=1，则x2+y2的取值范围是________．9. 在△ABC中，边BC=2，AB=√3，则角C的取值范围是________．10. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，则该双曲线的离心率等于________．11. 设定义域为R的函数f(x)={|lgx|,x>0−x2−2x，x≤0，若关于x的函数y=2f2(x)−3f(x)+1的零点的个数为________．12. 已知A(2, 1)，⊙O:x2+y2=1，由直线l:x−y+3=0上一点P向⊙O引切线PQ，切点为Q，若PQ=PA，则P点坐标是________．13. 设函数f(x)＝x|x−a|，若对于任意的x1，x2∈[2, +∞)，x1≠x2，不等式f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，则实数a的取值范围是________．14. 已知平面上四个点A1(0, 0)，A2(2√3,2)，A3(2√3+4,2)，A4(4, 0)．设D是四边形A1A2A3A4及其内部的点构成的点的集合，点P0是四边形对角线的交点，若集合S={P∈D||PP0|≤|PA i|, i=1, 2, 3, 4}，则集合S所表示的平面区域的面积为________．二、解答题：（本大题共6道题计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x，（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）将函数y =f(x)图象向右平移π4个单位后，得到函数y =g(x)的图象，若g(α)=√23+1，α为第一象限角，求sin2α值．16. 如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所的平面互相垂直，AE ⊥BE ，M 、N 分别是DE 、AB 的中点． 求证：（1）MN // 平面BCE ； （2）AE ⊥MN ．17. 如图所示的镀锌铁皮材料ABCD ，上沿DC 为圆弧，其圆心为A ，圆半径为2米，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，且BC =1米．现要用这块材料裁一个矩形PEAF （其中P 在圆弧DC 上、E 在线段AB 上，F 在线段AD 上）做圆柱的侧面，若以PE 为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？18.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，左、右焦点为F 1，F 2，点P 是椭圆上一点，PA →=32PF 1→−12PF 2→，且△PF 1F 2的三边构成公差为1的等差数列． （1）求椭圆的离心率；（2）若OP =2√7，求椭圆方程；（3） 若c =1，点P 在第一象限，且△PF 1F 2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P 的坐标﹒19. 已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+bx +c ，其中a ，b ，c ∈R ．（1）若a =1，b =−2，求f(x)的单调递减区间；（2）若f(x)在区间[−1, 1)、(1, 3]内各有一个极值点，且f(−1)≤0恒成立，求c 的取值范围；（3）对于给定的实数a 、b 、c ，函数f(x)图象上两点A （x 1, f(x 1)），B （x 2, f(x 2)）(x 1≠x 2)处的切线分别为l 1，l 2．若直线l 1与l 2平行，证明：A 、B 关于某定点对称，并求出该定点．20. 已知等差数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，首项a 1=1．（1）若√S 1+√S 3=2√S 2，求S 5；（2）若数列{a n }中存在两两互异的正整数m 、n 、p 同时满足下列两个条件：①m +p =2n ；②√S m +√S p =2√S n ，求数列的通项a n ；（3）对于（2）中的数列{a n }，设b n =3⋅(12)a n (n ∈N ∗)，集合T n ={b i ⋅b j |1≤i ≤j ≤n, i, j ∈N ∗}，记集合T n 中所有元素之和B n ，试问：是否存在正整数n 和正整数k ，使得不等式1b n B n −k+1k−b n+1B n+1>0成立？若存在，请求出所有n 和k 的值；若不存在，请说明理由．三、解答题（共4小题，满分40分） 21. 选修4−2：矩阵与变换设T A 是逆时针旋转π6的旋转变换，T B 是以直线l:y =x 为轴的反射变换，求先进行T A 变换，后进行T B 变换的复合变换矩阵． 22. 选修4−4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l 的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ=0，曲线C 的参数方程为{x =4cosαy =2sinα（α是参数），又直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．23.如图：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E →=λ⋅EO →．（1）求证：DB 1⊥平面CD 1O ；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．24. 已知函数f(x)=32x +ln(x −1)，设数列{a n }同时满足下列两个条件：①a n >0(n ∈N ∗)；②a n+1=f′(a n +1)． （1）试用a n 表示a n+1；（2）记b n =a 2n (n ∈N ∗)，若数列{b n }是递减数列，求a 1的取值范围．2011-2012学年江苏省扬州市高三（下）第三次调研数学试卷答案1. {x|−3<x <2}2. −1−√23. 32004. 405. 26. 47. ②③8. [15，1]9. (0, π3]10. √1011. 712. (0, 3)13. (−∞, 2]．14. 415. 解：（1）f(x)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1，由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)得：kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，∴ f(x)的单调递增区间是[kπ−3π8, kπ+π8](k∈Z)；（2）由题意得：g(x)=√2sin(2x−π4)+1，由（1）得√2sin(2α−π4)+1=√23+1，∴ sin(2α−π4)=13，又α为第一象限角，∴ 2α−π4∈(4kπ−π4, 4kπ+3π4)，k∈Z，又0<sin(2α−π4)<13<√22知，∴ 2α−π4∈(4kπ, 4kπ+π2)，k∈Z，∴ cos(2α−π4)=2√23，∴ sin2α=sin[(2α−π4)+π4]=√22[sin(2α−π4)+cos(2α−π4)]=√22(13+2√23)=√2+46．16. 解：（1）取CE中点的P，连PM、PB，∵ 在△CDE中，P，M分别是CE，DE中点知，∴ PM // CD，且PM=12CD，又∵ 矩形ABCD中，NB // CD，且NB=12CD，∴ PM // NB，且PM=NB，可得四边形PMNB是平行四边形，∴ MN // PB，∵ PB⊆平面BEC，MN⊄平面BEC，∴ MN // 平面BCE；（2）∵ 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，BC ⊥AB ， ∴ BC ⊥平面ABE ，又∵ AE ⊂平面ABE ，∴ BC ⊥AE ，∵ AE ⊥BE ，BC 、BE 为平面BCE 内的相交直线， ∴ AE ⊥平面BCE ，∵ PB ⊆平面BCE ，∴ AE ⊥PB ， ∵ MN // PB ，∴ AE ⊥MN ．17. 裁一个矩形，两边长分别为23√6m 和23√3m ，能使圆柱的体积最大，其最大值为4√39πm 3． 解法2：设∠PAB =θ(θ∈[π6，π2)，则PE =2sinθ，AE =2cosθ， 由2πr =AE =2cosθ，得r =cosθπ，∴ V =πr 2⋅PE =π(cosθπ)2⋅2sinθ=2π(1−sin 2θ)sinθ，设sinθ=t ∈[12，1)，u =t(1−t 2)，u′=−3t 2+1=−3(t +√33)(t −√33)， 令u ′=0，得t =√33， 当√33<t <1时，u ′<0，u 是减函数；当12≤t <√33时，u ′>0，u 是增函数，∴ 当t =√33时，u 有极大值，也是最大值． ∴ θ=arcsin√33时，V 有最大值4√39π米3． 18. 解：（1）依题意：A(−a, 0)，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，设P(s, t)， 由PA →=32PF 1→−12PF 2→得：(−a −s,−t)=32(−c −s,−t)−12(c −s,−t)即−a −s =32(−c −s)−12(c −s)，∴ a =2c ，∴ e =c a=12∴ 椭圆的离心率是12；（2）不妨设|PF 1|<|PF 2|，由|F 1F 2|=2c ，及△PF 1F 2的三边构成公差为1的等差数列，再结合a =2c 得：|PF 1|=2c −1，|PF 2|=2c +1，所以{s 2+t 2=28①(s +c)2+t 2=(2c −1)2②(s −c)2+t 2=(2c +1)2③，①×2−②-③得：c 2=9，所以椭圆方程是x 236+y 227=1．（3）法一：∵ c =1，a =2c ，∴ a =2，∴ b 2=3，∴ 椭圆方程是x 24+y 23=1，设P(s, t)，则s 24+t 23=1，s 2=4−4t 23，以椭圆长轴为直径的圆的圆心为(0, 0)，半径为2，设△PF 1F 2的外接圆方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，又F 1，F 2关于y 轴对称，故D =0，即圆方程为x 2+y 2+Ey +F =0，由F 1(−1, 0)和P(s, t)在圆上得：{1+F =0s 2+t 2+Et +F =0，∴ {F =−1E =−s 2+t 2−1t =t 2−93t 则圆心坐标为M(0,−E2)，半径为r =√E 2−4F2=√E 2+42△PF 1F 2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即两圆相切，且是内切， ∴ OM =|2−r||E|2=2−√E 2+42或|E|2=√E 2+42−2（此方程无解）解得：|E|=32， 由t 2−93t=32得：2t 2−9t −18=0，t =−32（舍去）或t =−6（舍去）由t 2−93t=−32得：2t 2+9t −18=0，t =32或t =−6（舍去），所以点P 坐标P(1,32)．法二：由题△PF 1F 2的外接圆圆心必在y 轴上，设其圆心为M(0, m)，半径为r ，则{3s 2+4t 2=12r 2=m 2+1=(s −0)2+(t −m)2|m|=2−r ，由题s ，t ，m ，r >0，从而解得{r =54m =34，{t =32s =1 所以点P 坐标为(1,32)19. （1）解：当a =1，b =−2时，f′(x)=x 2+x −2<0，解得−2<x <1，故递减区间为(−2, 1)．（2）解：f′(x)=x 2+ax +b ，又f(x)区间[−1, 1), (1, 3]内各有一个极值点， 所以{f′(−1)≥0f′(1)<0f′(3)≥0，即{1−a +b ≥01+a +b <09+3a +b ≥0，其中点(a, b)是以A(0, −1)，B(−2, −3)，C(−4, 3)为顶点的三角形内部的点，或线段BC（不含点C ）、线段AB （不含点A ）上的点． 又f(−1)=−13+12a −b +c ≤0，即c ≤13−12a +b 恒成立，即求13−12a +b 的最小值， 由图可知13−12a +b 的最小值在B(−2, −3)点处取到，故(13−12a +b)min =−53，即c ≤−53． （3）证明：因为f(x)=13x 3+12ax 2+bx +c ，所以f ′(x)=x 2+ax +b ，所以l 1，l 2的斜率分别为k 1=x 12+ax 1+b ，k 2=x 22+ax 2+b ．又直线l 1与l 2平行，所以k 1=k 2，即x 12+ax 1+b =x 22+ax 2+b ， 因为x 1≠x 2，所以x 1+x 2=−a ，从而x 2=−(a +x 1)，所以f(x 1)+f(x 2)=13x 13+12ax 12+bx 1+c −13(a +x 1)3+12a(a +x 1)2−b(a +x 1)+c =a 36−ab +2c =2f(−a2)．又由上 x 1+x 2=−a ，所以点A （x 1, f(x 1)），B （x 2, f(x 2)）(x 1≠x 2)关于点(−a2，f(−a2))对称．故当直线l 1与l 2平行时，点A 与点B 关于点(−a2，f(−a2))对称．注：对称点也可写成(−a2，a 312−ab 2+c)20. 解：（1）∵ 等差数列，∴ S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2， 又∵ √S 1+√S 3=2√S 2，∴ S 1+S 3+2√S 1S 3=4S 2， ∵ S 1=a 1=1，∴ 2√3a 2=3+a 2， ∴ (√a 2−√3)2=0，∴ a 2=3，则公差d =2，S 5=25．（2）∵ 等差数列{a n }，∴ 设S n =An 2+Bn ， ∵ √S m +√S p =2√S n ，∴ S m +S p +2√S m ⋅S p =4S n ，即A(m 2+p 2)+B(m +p)+2√S m ⋅S p =4(An 2+Bn)=A(m +p)2+2B(m +p)， ∴ 2√S m S p =2Amp +B(m +p)，两边平方得，4(Am 2+Bm)(Ap 2+Bp)=4A 2m 2p 2+4ABmp(m +p)+B 2(m +p)2， ∴ 4B 2mp =B 2(m +p)2，即B 2(m −p)2=0，∵ m ≠p ，∴ B =0，又a 1=S 1=1，∴ A =1． 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −1，a 1=1适合，∴ a n =2n −1． （3）b n =3⋅(12)2n−1=6⋅(14)n ，则b i ⋅b j =36(14)i+j (2≤i +j ≤2n)，∴ B n =36[(14)2+(14)3+⋯+(14)2n ]=3[1−(14)2n−1]．∵ b n B n =18(14)n [1−(14)2n−1]，b n+1B n+1−b n B n =18(14)n+1[1−(14)2n+1]−18(14)n [1−(14)2n−1]=18(14)n+1[−3+6516(14)2n−1]， ∵ 6516(14)2n−1≤6516×14<2，∴ b n+1B n+1−b n B n <0，∴ 数列{b n B n }是递减数列， 由已知不等式得，b n B n −b n+1B n+1(bn B n −k)(k−b n+1B n+1)>0，∵ b n+1B n+1−b n B n <0，∴ b n+1B n+1<k <b n B n ． 又b 1B 1=18×(14)×(1−14)=278，b 2B 2=18×(14)2×[1−(14)3]=567520，b 3B 3=18×(14)3×[1−(14)5]<18×(14)3<1，∴ 当n ≥3时，b n B n <1，∴ 当n =1时，k =2或3；当n =2时，k =1，故存在正整数n 、k 使不等式成立，所有n 和k 的值为：n =1，k =2或3；n =2，k =1． 21. 解：T A 对应的变换矩阵为：A =[√32−1212√32]， T B 对应的变换矩阵为：B =[0110]，先进行T A 变换，后进行T B 变换的复合变换矩阵是：M =BA =[12√32√32−12]． 22. 解：直线l 的直角坐标方程为x +2y =0， 曲线C 的普通方程为x 216+y 24=1两者联立解得A 和B 的坐标为： (−2√2，√2)和(2√2，−√2)∴ 线段AB 的长AB =√(4√2)2+(2√2)2=2√1023. 解：（1）不妨设正方体的棱长为1，以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则可得D(0,0,0),B 1(1,1,1)，O(12,12,0)，C(0,1,0)，D 1(0,0,1)于是：DB 1→=(1,1,1)，CD 1→=(0,−1,1)，OC →=(−12,12,0)∵ DB 1→⋅CD 1→=1×0+1×(−1)+1×1=0，DB 1→⋅OC →=1×(−12)+1×12+1×0=0∴ DB 1⊥CD 1，DB 1⊥OC ，∵ CD 1，OC 为平面CD 1O 内两条相交直线， ∴ DB 1⊥平面CD 1O（2）由（1）可知平面CD 1O 的法向量取m →=DB 1→=(1,1,1) ∵ D 1E →=λ⋅EO →，∴ E(λ2(1+λ)，λ2(1+λ)，11+λ) 又设平面CDE 的法向量为n →=(x,y,z)， 由n →⋅CD →=0，n →⋅DE →=0得{y =0λx2(1+λ)+λy2(1+λ)+z1+λ=0，取x =−2，得z =λ，即n →=(−2,0,λ) ∵ 平面CDE ⊥平面CD 1O ，∴ m →⋅n →=0，即1×(−2)+1×0+1×λ=0，可得λ=2 24. 解：（1）求导函数f′(x)=32+1x−1， ∵ a n+1=f ′(a n +1)，∴ a n+1=32+1a n．（2）a 3=32+1a 2，a 4=32+1a 3=32+132+1a 2=32+2a 23a2+2，令a 4<a 2，得2a 22−3a 2−2>0，∴ (2a 2+1)(a 2−2)>0，∵ a 2>0，∴ a 2>2，则32+1a 1>2，得0<a 1<2．以下证明：当0<a 1<2时，a 2n+2<a 2n ，且a 2n >2． ①当n =1时，0<a 1<2，则a 2=32+1a 1>32+12=2，a 4−a 2=32+1a 3−a 2=32+132+1a 2−a 2=13a 2+62(3a 2+2)−a 2=−6a 22+9a 2+62(3a 2+2)=−3(2a 2+1)(a 2−2)2(3a 2+2)<0，∴ a 4<a 2．②假设n =k(k ∈N ∗)时命题成立，即a 2k+2<a 2k ，且a 2k >2， 当n =k +1时，a 2k+2=32+1a 2k>32+12=2，a 2k+2=32+1a 2k+1=32+132+1a 2k>2a 2k+4−a 2k+2=13a 2k+2+62(3a 2k+2+2)−a 2k+2=−3(a 2k+2+1)(a 2k+2−2)2(3a 2k+2+2)<0∴ a 2k+4<a 2k+2，即n =k +1时命题成立，综合①②，对于任意n ∈N ∗，a 2n+2<a 2n ，且a 2n >2，从而数列{b n }是递减数列． ∴ a 1的取值范围为(0, 2)．说明：数学归纳法第②步也可用下面方法证明：a 2k+4−a 2k+2=13a 2k+2+62(3a 2k+2+2)−13a 2k +62(3a 2k+2)=4(a 2k+2−a 2k )(3a 2k+2+2)(3a 2k +2)<0。

江苏省扬州中学2012-2013学年度第二学期期中考试高一数学试卷 2013.4（本试卷满分160分，考试时间120分钟）一．填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）1.一元二次不等式031<--))((x x 的解集为 ▲ .2．数列1,34,59,716,…的一个通项公式是=n a ▲ . 3．在等差数列51、47、43，……中，第一个负数项为第 ▲ 项.4. 在等比数列{}n a 中，已知23=a ，166=a ，则公比=q ▲ .5.求cos174cos156sin174sin156-的值为__ ▲ __.6．在ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos ▲ .7．在ABC ∆中，若45,60A a B =︒==︒，则b = ▲ .8．在ABC ∆中，若,sin sin cos 2C A B =若则ABC ∆的形状一定是 ▲ 三角形.9．已知点（－3，－1）和（4，－6）在直线3x －2y －a=0的同侧，则a 的取值范围为 __▲_____.10．已知等差数列}{n a 中，,10131=+a a 则=++++119753a a a a a ▲ . 11.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = ▲ . 12．数列{}n a 满足2)1(+=n n a n (*N n ∈)，则201321111a a a +++ 等于 ▲ . 13．已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的值域为),0[+∞，若关于x 的不等式c x f <)(的解集为)8,(+m m ，则实数c 的值为 ▲ .14.对于*∈N k ，)(k g 表示k 的最大奇数因子，如：,3)3(=g 5)20(=g ，设)2()3()2()1(n n g g g g S ++++= ，则=n S ▲ .二．解答题（本大题共6小题，共90分。

2023—2024学年高一第二学期期末检测数学2024.06一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 设复数z 满足i 1i z −=+，则i z =（ ） A 2i + B. 2i −C. i −D. i【答案】B 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由i 1i z −=+可得12z i =+，所以()2212i i 12i i 2i i 22i i i i 1z +++====−+=−−. 故选：B2. 方程2ln 50x x +−=的解所在区间为（ ） A. ()4,5 B. (3,4C. ()2,3D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.【详解】令()2ln 5f x x x =+−，()f x 在(0,)+∞上连续，且单调递增，对于A ，因为(4)8ln453ln 40f =+−=+>，(5)10ln555ln 50f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()4,5内，所以A 错误，对于B ，因为(4)0f >，(3)6ln351ln 30f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()3,4内，所以B 错误，对于C ，因为(3)0f >，(2)4ln25ln 210f =+−=−<，所以()f x 的零点在()2,3内，所以方程2ln 50x x +−=的解所在区间为()2,3，所以C 正确，.对于D ，因为(2)0f <，(1)2ln1530f =+−=−<， 所以()f x 的零点不在()1,2内，所以D 错误， 故选：C3. 数据63,65,70,73,76,78,80,84,88,90的45百分位数为（ ） A. 73 B. 76C. 77D. 78【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为1045% 4.5×=，所以这10个数的45百分位数为第5个数76. 故选：B4. 已知平面向量()()1,0,1,2a b ==−，则a在b上的投影向量为（ ） A. 12,55 −B. 12,55−C.D.【答案】A 【解析】.【详解】由()()1,0,1,2a b ==−可得11021a b ⋅=−×+×=−；b ==根据投影向量的定义可得a 在b 上的投影向量为112,555b b b b ba ==−=− ⋅.故选：A5. 如图，为了测量河对岸,A B 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点,,C D E .从D 点测得67.5ADC ∠= ，从C 点测得45,75ACD BCE ∠=∠=，从E 点测得60BEC ∠=.若测得DCCE =，则,AB 两点的距离为（ ）百米.A.B.C.D. 3【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在ACD 中，67.5ADC ∠= ，45ACD ∠= ， 则18067.54567.5DAC ∠=−−=，AC DC ==，在BCE 中，75BCE ∠= ，60BEC ∠=，CE =， 则180756045EBC ∠=−−= ，sin sin CE BCEBC BEC=∠∠，sin sin CE BEC BC EBC ∠∴==∠ ， 在ABC中，ACBC =，18060ACB ACD BCE ∠=−∠−∠= ，则2222?·cos 9AB AC BC AC BC ACB =+−∠=，3AB ∴=.故选：D .6. 在正方体1111ABCD A B C D −中，,,,E F G H 分别是棱111,,,AA AB BC C D 的中点，下列结论正确的是（ ）. A. EF 1GD B. 1D E FG ⊥C. FG ⊥平面11BB D DD. 平面1D EF 平面1GHC【答案】C 【解析】【详解】对于A ，连接111,,,EF D G A B D C ，如下图所示：因为,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，所以1EF A B ∥，由正方体性质可得11A B D C ∥，因此可得1EF D C ∥，而11,D C GD 相交， 所以EF 1GD 错误，即A 错误；对于B ，取1DD 的中点M ，连接,,AM CM AC ，如下图所示：易知1AM D E ，FG AC ，所以MAC ∠即为异面直线1D E 与FG 所成的角（或其补角）；不妨设正方体的棱长为2，则AM MC ==AC =，显然222AM AC MC +≠，可知MAC ∠不是直角，所以1D E 与FG 不垂直，即B 错误； 对于C ，连接11,,AC BD B D ，如下图所示：由正方体性质可得1BB ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥； 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又1BB BD B ∩=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ,又因为,F G 分别是棱,AB BC 的中点，所以FG AC 可得FG ⊥平面11BB D D ，即C 正确； 对于D ，如下图所示：易知1D ∈平面1D EF ，且111D D C ∈，而11D C ⊂平面1GHC ，所以1D ∈平面1GHC ； 因此可得平面1D EF 与平面1GHC 有公共点1D ，可知两平面必有一条过1D 的共公交线； 因此平面1D EF 平面1GHC 是错误的，即D 错误. 故选：C7. 如图，在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，则AD AE ⋅的值为（ ）A. 50B. 80C. 86D. 110【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用平向量基本定理将,AD AE 用,AB AC表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ，2212()3333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ，所以21123333AD A C B A AEA AC B⋅=+⋅+ 2224129999AB AB AC AB AC AC =+⋅+⋅+2512144129819929=×+×××+× 32301880=++=.故选：B8. 已知ππcos cos sin cos 36αααα+=−，则πtan 24α+值（ ）A.B.C. 2D. 2【答案】D 【解析】【分析】先对ππcos cos sin cos 36αααα+=−利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得π2π,Z 6k k α=+∈，代入πtan 24α+ 中利用两角和的正切公式化简计算即可.【详解】因为ππcos cos sin cos 36αααα+=−， 所以πππππcos cos sin cos sin sin sin sin 36263αααααααα+=−=−−=+ ， 所以ππcos cos sin sin 033αααα +−+=， 所以πcos(2)03α+=，所以ππ2π,Z 32k k α+=+∈， 所以π2π,Z 6k k α=+∈， 所以πππtan 2tan π(Z)446k k α +=++∈ππtan 46 +的ππtantan 46ππ1tan tan46+=−=2=故选：D二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9. 在ABC 中，角A B C ､､所对的边为a b c ､､，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）A. 4,5,6a b c === B. 30,45,5A B c ===C. 2,45ab A == D. 3,2,60a b C ===【答案】ABD 【解析】【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C ，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.【详解】对于A ，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A 正确；对于B ，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B 正确；对于C2sin B=可得，sin B =b a >，则B A >,因sin B=>，结合正弦函数的图象可知角B 有两解，故C 错误； 对于D ，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D 正确. 故选：ABD.10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A ，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B ，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C ，则下列叙述中正确的有（ ） A. A 与B 互斥 B. A 与C 相互独立 C. B 与C 对立 D. ()23P A B +=【答案】BD 【解析】【分析】AC 选项，列举出事件A ，B 和事件C 中的基本事件，得到A B ∩≠∅，B C ∩≠∅，判断出AC错误；B 选项，利用()()()P AC P A P C =作出判断；D 选项，列举出事件A B +中的基本事件，求出概率. 【详解】A 选项，事件A 中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6事件B 中的基本事件有()()()()()()1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,2，()()()()()()1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()()()1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6，故A B ∩≠∅，事件A 和事件B 不互斥，A 错误；B 选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，其中事件A 中的基本事件数为12，故()121363P A ==， 事件C 中的基本事件有()(()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4,5，()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5，共18种情况，故()181362P C ==， 事件AC 中的基本事件有()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5，共9种情况，故()61366P AC ==， 由于()()()P AC P A P C =，故A 与C 相互独立，B 正确；C 选项，由AB 选项知，B C ∩≠∅，事件B 与事件C 不互斥，故不对立，C 错误；D 选项，事件A B +中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()3,2,4,2,5,2,6,2， ()()()()3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()3,6,4,6,5,6,6,6，共24种情况，故()242363P A B +==，D 正确. 故选：BD11. 如图，正方形ABCD 的中心为O ，边长为4，将其沿对角线AC 折成直二面角D AC B ′−−，设M 为AD ′的中点，N 为BC 的中点，则下列结论正确的有（ ）A. 三棱锥D ABC ′−的外接球表面积为32πB. 直线MN 与平面ABC 所成角的正切值为12 C. 点C 到平面OMND. 三角形MON 沿直线MN【答案】ACD 【解析】【分析】对于A B ，可利用几何法快速解决；对于C ，可利用等体积法；对于D ，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体.【详解】对于A ，由于OAOC OB OD ′===，所以O 为三棱锥D ABC ′−的球心，表面积为2432ππ=，A 正确；对于B ，过M 作MH ⊥AC 于H ，则MH ⊥平面ABC ，所以∠MNH 即为直线MN 与平面ABC 所成的角；易知MH，NH，所以tan MNH ∠B 错误；对于C ，由M ONC C MON V V −−=，所以11233OMN h S =⋅，又MN =，所以的1cos2MON ∠=−，sin MON ∠，所以1222OMN S =××= C 到平面OMN 的距离h=，C 正确;对于D ，过O 作OT ⊥MN 于T ，则旋转体体积是以OT 为底面半径，以TM 为高的圆锥的体积的两倍，所以123V π=×，D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有： (1)利用球的定义找球心，并求球的体积； (2)运用几何法求线面角的大小； (3)利用等体积法求三棱锥的高； (4)掌握常见的几何体的体积公式.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知一个正四棱台的体积为3152cm ，上､下底面边长分别为4cm 6cm ､，则棱台的高为__________cm .【答案】6 【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算即可.【详解】设棱台高为h ，由棱台的体积公式知(163V h S Sh =++′⇒，其中S S ′、分别为上下底面面积. 故答案为：613. 若复数z 满足2i 1z −=，则z 的最小值是__________. 【答案】1 【解析】【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得.【详解】如图，设复数z 对应的点为Z ,则由2i 1z −=可知点Z 到点(0,2)A 的距离为1， 即点Z 的轨迹为以点(0,2)A 为圆心，以1为半径的圆，而z 则表示动点Z 到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为1(0,1)Z ,故z 的最小值是1. 故答案为：1.14. 已知ABC 的面积为S)2AB AC S ⋅=，则A ∠=__________.；若2B C ∠=∠，延长CB 至点D ，使得BD AC =，则tan ADC ∠=__________. 【答案】 ①. π3 ②. 【解析】【分析】化简2SAC =⋅即可求得A ∠，结合A ∠的度数以及2B C ∠=∠即可求得4π2π99BC ∠=∠=，，通过设AB x =即可用x 表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得tan ADC ∠的值；【详解】由题得12sin cos 2bc A bc A ×，tan A ∴， 因为0πA <<，所以π3A = ； 由π,23ABC ∠=∠=∠可得4π2π99B C ∠=∠=，， 设AB x =，由正弦定理可知sin sin AC AB BC=，所以4πsin92πsin9AC x BD ==， 如图所示：过A 作AE BC ⊥，交BC 的于E 点，4πsin2π4π9sin sin sin 2π99sin 9AE AC C xx ==×=， 4πcos cos 9BE AB ABC x =∠=，所以4πsin4π9cos 2π9sin 9DE BD BE AC BE x x =+=+=+在Rt ADE 中可算得4π4π4πsinsinsin999tan 4π2π4π5π5ππsin 2cos cos 2sin cos 4π99918186cos 2π9sin 9x AE ADC DE x x ∠====++++ ， 故答案为：π3四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知()()0,1,1,2a b ==−.设()2,AB a b BC a b λλ=+=+∈R. （1）若,,A B C 三点共线，求λ值； （2）若AB BC ⊥，求λ的值. 【答案】（1）12λ=（2）125λ=−. 的【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得12λ=； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得125λ=−. 【小问1详解】因为()()()20,121,22,5AB a b =+=+−=−， ()()()0,1,21,2BC a b λλλ=+=+−=−+，又因为,,A B C 三点共线，所以AB BC，则()2215λ−×+=−×， 解得12λ=. 【小问2详解】由AB BC ⊥，可得0AB BC ⋅=，即()()()12520λ−−++=解得125λ=−. 16. 某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：年龄 [)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费（单位：元）x2x3x5x7x（1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在[)30,40和[)40,50内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内的概率. （2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段[)50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 【答案】（1）815（2）250元. 【解析】【分析】（1）先由概率和为1求出a 的值，再利用分层随机抽样的概念确定在[)30,40和在[)40,50内的抽取人数，结合古典概型知识即可求得答案.（2）求出保险公司每年收取的保费为100004x ×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，解不等式即可求得答案. 【小问1详解】由()0.0070.0160.0250.02101a ++++×=得0.032a =， 设“抽取2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内”为事件M .由题设可知，年龄在[)30,40和[)40,50内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在[)30,40内的有2人，年龄在[)40,50内的有4人.记年龄在[)30,40内2位参保人员为,a b ，年龄在[)40,50的4位参保人员为,,,A B C D ，则从6人中任取2人，样本空间()()()()()()()()()Ω{,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C a D b A b B b C b D =，()()()()()(),,,,,,,,,,,}A B A C A D B C B D C D 共包含15个样本点，()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,M a A a B a C a D b A b B b C b D =共包含8个样本点，所以()815P M =. 【小问2详解】保险公司每年收取的保费为：()100000.070.1620.3230.2550.27100004x x x x x x +×+×+×+×=×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，即4200x ≥，解得50x ≥，所以年龄段[)50,60需要缴纳的保费至少为250元.17. 已知函数()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x=++−+−. （1）当π0,2x∈时，求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.【答案】（1）1 − ；（2）9π2. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得()π214f x x=+−，再根据正弦函数单调性可得其值域；（2）求出函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点即可得结果. 【小问1详解】易知()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x=++−+−ππππsin2coscos2sin sin2cos cos2sin cos213333x x x x x =++−+−sin2cos2121x x x+−=−因为π0,2∈x ，所以ππ5π2,444x +∈ ，由正弦函数单调性可得πsin 24x+∈，则()f x 的值域为1 −−【小问2详解】因为[]0,2πx ∈，所以ππ17π2,444x +∈，由()0f x =得πsin 24x+所以ππ3π9π11π17π2,,,,444444x +=，解得π5π0,,π,,2π44x =，所以函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为π5π9π0π2π442++++=. 18. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ABB A 为菱形，1160,22A AB AB A CBC ∠==== ，90,ACB M ∠= 为AB 中点，1AC 与1AC 的交点为N .（1）求证：MN //平面11BCC B ； （2）求证：1A M ⊥平面ABC ； （3）求二面角1B AA C −−的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3【解析】分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得；（2）由等边三角形1AA B 证1A M AB ⊥，再由勾股定理逆定理证1A M MC ⊥，由线线垂直推导线面垂直即得；（3）作CH AB ⊥，证CH ⊥平面1A AB ，作1HK AA ⊥，证1AA CK ⊥，得HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角，由题设求得,CH HK 即得.【小问1详解】【如图（1），连接1BC .由三棱柱111ABC A B C 可知侧面11AAC C 为平行四边形，所以N 为1AC 中点； 又因为M 为AB 中点，所以MN //1BC ，又MN ⊄平面111,BB C C BC ⊂平面11BB C C ，所以MN //平面11BB C C ； 【小问2详解】如图（2），连接1,MC A B .由菱形11ABB A 可知12A AAB ==，因为160A AB ∠= ，可得1AA B 为等边三角形；因M 是AB 中点，则1A M AB ⊥，且1A M =90ACB ∠= 可得，112MC AB ==； 因为12AC =，则有22211A M MC AC +=，即1A M MC ⊥， 又,MC ABM MC ∩=⊂平面,ABC AB 平面ABC ，故1A M ⊥平面ABC ； 【小问3详解】由（2）可知1A M ⊥平面ABC ，因为1A M ⊂平面1A AB ，所以平面1A AB ⊥平面ABC ； 如图（3），过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，过H 作1HK AA ⊥，垂足为K ，连接CK . 因为CH ⊂平面,ABC 平面1A AB 平面ABC AB =，所以CH ⊥平面1A AB ，因为1AA ⊂平面1,A AB HK ⊂平面1A AB ，所以1,CH AA CH HK ⊥⊥；因为1,,HK AA HK CHH CH ⊥∩=⊂平面,CHK HK ⊂平面CHK ，所以1AA ⊥平面CHK ， 又CK ⊂平面CHK ，所以1AA CK ⊥，所以HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角.在Rt ABC △中，90,2,1ACB AB BC ∠=== ，可得32CHAH =，在Rt AHK 中，1,60HK AA HAK ⊥∠=，可得sin HK AH HAK ∠== 在Rt CHK △中，CH HK ⊥，可得2tan 3CH HKCHK ∠==，因为π0,2HKC ∠∈ ，所以sin HKC ∠=，即二面角1B AA C −−【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题. 解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作出平面角奠定基础.19. 如图所示，已知ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，在ABD △中，6,3AD BD ==，2DE EB =.（1）若135ADB ∠= ，求ABC 的面积； （2）①求26cos AB AB ABD ∠−⋅的值； ②求2CE 的最大值.【答案】（1）454+（2）①27；②412+. 【解析】【分析】(1)利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可; (2)①利用余弦定理求解即可；②在ABD △中，由正弦定理可得BC AB =，在BCE 中，由余弦定理得()2412CE θϕ−+，结合三角函数求解最值即可. 【小问1详解】在ABD △中，由余弦定理得，2369263cos13545AB =+−××=+且ABC 是等腰直角三角形，则22111452244ABC S AC CB AC AB =⋅===+【小问2详解】 ①设,0πADB ∠θθ=<<，因为6,3AD BD ==，由余弦定理可得，2222936cos 26AB BD AD AB ABD AB BD AB∠+−+−==⋅， 227cos 6AB AB ABD ∠−∴=，即26cos 27AB AB ABD ∠−⋅=； ②在ABD △中，2222cos 4536cos AB AD BD AD BD ADB ∠θ=+−⋅⋅=−， 由正弦定理可得sin sin AD ABABD ∠θ=，则sin sin 6sin AB ABD AD ∠θθ==，2,1DE EB EB =∴=，又BC AB =， 在BCE 中，由余弦定理得()2222cos 45CEBC BE BC BE ABD =+−⋅⋅+∠)221121cos sin 2AB AB ABD ABD +−⋅∠−∠ ()22211271cos sin 16sin 226AB AB AB ABD AB ABD AB θ −+−∠−∠=+−−2111416sin 6sin 12cos 322AB θθθ=++=−+ ()412θϕ−+（其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=）， 由0πθ<<可得πϕθϕϕ−<−<−，所以当π2θϕ−=时，即π2θϕ=+时，2CE 取得最大值412+。