2020年中考数学小题专项训练(24)

2020年陕西省中考数学试卷一．选择题（共10小题）1．﹣18的相反数是（）A．18B．﹣18C．D．﹣2．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（）A．57°B．67°C．77°D．157°3．2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（）A．9.9087×105B．9.9087×104C．99.087×104D．99.087×103 4．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（）A．4℃B．8℃C．12℃D．16℃5．计算：（﹣x2y）3＝（）A．﹣2x6y3B．x6y3C．﹣x6y3D．﹣x5y46．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD 是△ABC的高，则BD的长为（）A．B．C．D．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（）A．2B．3C．4D．68．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．B．C．3D．29．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．填空题（共4小题）11．计算：（2+）（2﹣）＝．12．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是．13．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l 经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为．三．解答题（共11小题）15．解不等式组：16．解分式方程：﹣＝1．17．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．19．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：（1）这20条鱼质量的中位数是，众数是．（2）求这20条鱼质量的平均数；（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？20．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？22．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．24．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．25．问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．2020年陕西省中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣18的相反数是（）A．18B．﹣18C．D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣18的相反数是：18．故选：A．2．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（）A．57°B．67°C．77°D．157°【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．【解答】解：∵∠A＝23°，∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．故选：B．3．2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（）A．9.9087×105B．9.9087×104C．99.087×104D．99.087×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：990870＝9.9087×105，故选：A．4．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（）A．4℃B．8℃C．12℃D．16℃【分析】根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．【解答】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，故选：C．5．计算：（﹣x2y）3＝（）A．﹣2x6y3B．x6y3C．﹣x6y3D．﹣x5y4【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】解：（﹣x2y）3＝＝．故选：C．6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD 是△ABC的高，则BD的长为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，∴，∴，∴BD＝，故选：D．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据方程或方程组得到A（﹣3，0），B（﹣1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解得，，∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），∴△AOB的面积＝3×2＝3，故选：B．8．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．B．C．3D．2【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，∴F是AG的中点，∴EF是梯形ABCG的中位线，∴CG＝2EF﹣AB＝3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故选：D．9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，故选：B．10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣）2+m﹣，∴该抛物线顶点坐标是（，m﹣），∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m﹣﹣3），∵m＞1，∴m﹣1＞0，∴＞0，∵m﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，∴点（，m﹣﹣3）在第四象限；故选：D．二．填空题（共4小题）11．计算：（2+）（2﹣）＝1．【分析】先利用平方差公式展开得到原式＝22﹣（）2，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算．【解答】解：原式＝22﹣（）2＝4﹣3＝1．12．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是144°．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠C＝＝108°，BC＝DC，所以∠BDC＝＝36°，所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144°．13．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为﹣1．【分析】根据已知条件得到点A（﹣2，1）在第三象限，求得点C（﹣6，m）一定在第三象限，由于反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），于是得到结论．【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A （﹣2，1）在第二象限，∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），∴3×2＝﹣6m，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l 经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2．【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC ﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF＝＝＝2．故答案为：2．三．解答题（共11小题）15．解不等式组：【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．【解答】解：，由①得：x＞2，由②得：x＜3，则不等式组的解集为2＜x＜3．16．解分式方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程﹣＝1，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．17．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．【解答】解：如图，点P即为所求．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE．19．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：（1）这20条鱼质量的中位数是 1.45kg，众数是 1.5kg．（2）求这20条鱼质量的平均数；（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解可得；（2）利用加权平均数的定义求解可得；（3）用单价乘以（2）中所得平均数，再乘以存活的数量，从而得出答案．【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，∴这20条鱼质量的中位数是＝1.45（kg），众数是1.5kg，故答案为：1.45kg，1.5kg．（2）＝＝1.45（kg），∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．20．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，∴∠CEF＝∠BFE＝90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，∴CE＝BF，ME＝AC，∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF＝EM＝31+18＝49，由矩形性质可知：EF＝CB＝18，∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．答：商业大厦的高MN为80m．21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），则：20＝15k，解得k＝，∴y＝；当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），则：，解得，∴y＝，∴；（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33，33﹣15＝18（天），∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．22．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．【分析】（1）由频率定义即可得出答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；（2）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝．23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝8，可证四边形OAFC 是正方形，可得CF＝AF＝4，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解答】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝，∴AD＝＝8，∴OA＝OC＝4，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝4，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝，∴EF＝AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+4．24．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；（2）由题意得：PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P 在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），故OA＝OC＝3，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．25．问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF、DE、DF．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，＝2，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB ＝AB•cos∠ABP＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA ＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，P A′＝P A，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△P AE+S△PBF＝S△P A′B＝P A′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35，S△ACB＝AC2＝1225，由y ＝S△P A′B+S△ACB，即可得出结果；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝＝50，由S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，求PF，即可得出结果．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，＝2，∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：4＝CF+CF，解得：CF＝6﹣2；（3）①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，P A′＝P A，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△P AE+S△PBF＝S△P A′B＝P A′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，∴y＝S△P A′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，∴×50×PF＝×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．荆州市2020年初中学业水平考试数学试题一、选择题1. 有理数2-的相反数是（ ） A. 2 B.12 C. 2- D. 12- 2. 下列四个几何体中，俯视图与其他三个不同的是（ ）A. B. C. D.3. 在平面直角坐标系中，一次函数1y x =+的图像是（ ）A. B.C. D.4. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若30CAB ︒∠=，则ACB ∠的度数是（ ）A. 45︒B. 55︒C. 65︒D. 75︒5. 八年级学生去距学校10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度，若设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为（ ） A.1010202x x -= B. 1010202x x -= C. 1010123x x -= D. 1010123x x -=6. 若x 为实数，在)1x 的中添上一种运算符号（在＋，－，×、÷中选择） 后，其运算的结果是有理数，则x 不可能的是（ ）A.1 B. 1 C. D. 17.如图，点E 在菱形ABCD 的AB 边上，点F 在BC 边的延长线上，连接CE,DF ，对于下列条件：①BE CF =②,CE AB DF BC ⊥⊥③CE DF =④BCE CDF ∠=∠只选其中一个添加，不能确定的是（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ∆的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1,则A 点的坐标为（ ）A.B.) C. ()2,1 D. (9. 定义新运算a b *，对于任意实数a,b 满足()()1a b a b a b *=+--，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716*=+--=-=，若x k x *=（k 为实数） 是关于x 的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D.没有实数根10. 如图，在66⨯ 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C 均在网格交点上，O 是ABC ∆的外接圆，则cos BAC ∠的值是（ ）A.B. C. 12D. 二、填空题11.若()112020,,32a b c π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，则a,b,c 的大小关系是_________________.（用<号连接）12.若单项式32m x y 与3m nxy +_____________________.13.已知：ABC ∆,求作ABC ∆的外接圆，作法：①分别作线段BC,AC 的垂直平分线EF 和MN,它们交于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径画弧，如图O 即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________.14.若标有A,B,C 的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B 先摘C ）,直到摘完，则最后一只摘到B 的概率是___________.15.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的Rt ABC ∆，其中90C ︒∠=,AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 的正中位置，E 地与C 地相距1km,若3tan ,454ABC DEB ︒∠=∠=，小张某天沿A C E B D A →→→→→路线跑一圈，则他跑了___________________km.16.我们约定：(),,a b c 为函数2y ax bx c =++的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为(),2,2m m --的函数图象与x 轴有两个整交点（m 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________. 三、解答题17.先化简，再求值2211121a a a a -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭：其中a 是不等式组22(1)213(2)a a a a -≥-⎧⎨-<+⎩的最小整数解；18.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值问题：解方程2250x x ++= 提示：可以用换元法解方程()0t t =≥，则有222x x t +=原方程可化为：2450t t +-= 续解：19.如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转60度得到DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD. （1）求证：//BC AD ;（2）若AB=4,BC=1，求A,C 两点旋转所经过的路径长之和.20.6月26日是“国际禁毒日”某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90,95,95，80,85,90,85,90,85100；八年级：85,85,95,80,95,90,90,90,100,90；整理数据：分析数据：根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中,,,a b c d的值（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；（3）该校七八年级共600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？21.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数2 yx的图像与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图像，如图1，列表;下表是x 与y 的几组对应值，其中______m =；描点：根据表中各组对应值（x,y ）在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________;②_______________; （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数2y x=的图像于A,B 两点，连接OA,过点B 作BC//OA 交x 轴于点C,则________OABC S =;②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则________OABC S =; ③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数(0)ky k x=>的图像于A,B 两点，连接OA,过点B 作BC//OA 交x 轴于C,则________OABC S =;22.如图矩形ABCD 中，AB=20,点E 是BC 上一点，将ABE ∆沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上的点G 处，点F 在DG 上，将ADF ∆沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H 处，此时:2:3CFE AFH S S ∆∆=. （1）求证：EGC GFH ∆∆（2）求AD 的长； （3）求tan GFH ∠的值。

2020年郴州市初中学业水平考试试卷数学（试题卷）第Ⅰ卷（共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图表示互为相反数的两个点是（ ）A. 点A 与点BB. 点A 与点DC. 点C 与点BD. 点C 与点D【答案】B 【解析】 【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A 与点D 表示互为相反数的两个点． 故选：B ．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒=1000000000纳秒）用科学记数法表示10纳秒为（ ） A. 8110-⨯秒 B. 9110-⨯秒C. 91010-⨯秒D. 90.110-⨯秒【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】∵1秒=1000000000纳秒，∴10纳秒=10÷1000000000秒=0.000 00001秒=1×10-8秒． 故选：A ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3.下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D 、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4.下列运算正确的是（ ）A. 44()a a -=B. 236a a a ⋅== D. 325235a a a +=【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可．【详解】A. 44()a a -=，计算正确，符合题意；B. 232+35=a a a a ⋅=，故本选项错误；==D. 3223a a +不能计算，故本选项错误； 故选：A ．【点睛】本题综合考查了积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解答此题的关键．5.如图，直线,a b 被直线,c d 所截下列条件能判定//a b 的是（ ）A. 13∠=∠B. 24180∠+∠=C. 45∠=∠D. 12∠=∠【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．【详解】A 、当∠1=∠3时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意； B 、当∠2+∠4=180°时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意； C 、当∠4=∠5时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意； D 、当∠1=∠2时，a ∥b ，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键． 6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ） A. 中位数 B. 平均数C. 众数D. 方差【答案】C 【解析】 【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．【详解】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：C ．【点睛】本题考查对统计量的意义的理解与运用，能对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键． 7.如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A. 2221(1)x x x -+=-B. 21(1)(1)x x x -=+-C. 2221(1)x x x ++=+D. 2(1)x x x x -=-【答案】B 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可． 【详解】第一个图形空白部分的面积是x 2-1， 第二个图形的面积是（x+1）（x-1）． 则x 2-1=（x+1）（x-1）． 故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键． 8.在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x=<交于点B ，连接AB ．已知2AOBO =，则12k k =（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】分别作AE ⊥x 轴，BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，证明△AOE ∽△OBF 得到2()4AOE BOF S AO S BO∆∆==，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案．【详解】解：过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，如图，则∠AEO=∠BFO=90°， ∴∠AOE+∠OAE=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠BOF+∠AOE=90°， ∴∠OAE=∠BOF ， ∴△AOE ∽△OBF ，∴2()4AOEBOFS AO S BO∆∆==，即121||2=41||2k k ， ∴12||=4||k k∵10k ＞，20k ＜， ∴124k k =-． 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、三角形的面积，利用相似三角形的判定与性质表示出4AOEBOFS S ∆∆=是解题的关键． 第Ⅱ卷（共106分）二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9.若分式11x +的值不存在，则x =__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可． 【详解】∵分式11x +的值不存在， ∴x+1=0， 解得：x=-1， 故答案为：-1．【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键． 10.已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c =__________． 【答案】258【解析】 【分析】利用判别式的意义得到()2245420b ac c =-=--⨯=，然后解关于c 的方程即可．【详解】∵2a =，5b =-，c c =，根据题意得()2245420b ac c =-=--⨯=，解得258c =，故答案为：258． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根与24b ac =-有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根．11.质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品． 【答案】20 【解析】 【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1000件，直接相乘得出答案即可． 【详解】∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件， ∴次品所占的百分比是：2100%2%100⨯=， ∴这一批次产品中的次品件数是：：10002%20⨯=(件)， 故答案为：20．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键． 12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,92,94，方差为28.0s =．后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2s =新__________．【答案】80 【解析】 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S 新2=8.0； 故答案为：8.0．【点睛】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．13.小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y=3x+37． 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝，∴该函数表达式为y=3x+37． 故答案为：y=3x+37．【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 14.在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11A OB ∆．已知(2,3)A ，则点1A 的坐标是__________．【答案】243⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．【详解】解：∵将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3）， ∴点A 1的坐标是：232323⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，，即A 1243⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 故答案为：243⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．15.如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为__________．【答案】48 【解析】 【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl 代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可．【详解】根据圆锥侧面积公式：S=πrl ，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π， 故60π=π×10×r ， 解得：r=6．由勾股定理可得圆锥的高=8∵圆锥主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形， ∴它的面积=1128=482⨯⨯， 故答案为：48【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键． 16.如图，在矩形ABCD 中，4,8AD AB ==．分别以点,B D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与,,DC DB AB 交于点,,M O N ，则MN =__________．【答案】．【解析】【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD 的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．【详解】如图，连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，∴=，根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN=BN，∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2=AN2+AD2，∴DN2=（8-DN）2+42，解得DN=5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得=，∵CD∥AB，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO ， ∵OD=OB ，∴△DMO ≌△BNO （AAS ）， ∴∴．故答案为：【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.计算：101()2cos 4511)3--+-+ 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可．【详解】101()2cos 4511)3--+-3211=--131=-1=．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，包含零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的余弦值等，灵活运用是解题关键． 18.解方程：24111x x x =+-- 【答案】x=3． 【解析】 【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 【详解】解：24111x x x =+--去分母得，2(1)41x x x +=+- 解得，x=3，经检验，x=3是原方程的根， 所以，原方程的根为：x=3．【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．19.如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE CF =．连接,,,DE DF BE BF ．求证：四边形BEDF 是菱形．【答案】见解析 【解析】 【分析】连接BD ，由菱形ABCD 的性质得出OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥BD ，得出OE=OF ，证出四边形BEDF 是平行四边形，再由EF ⊥BD ，即可证出四边形BEDF 是菱形． 【详解】证明：连接BD ，交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥BD ， ∵AE=CF ， ∴OE=OF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少（要求画树状图或列表求概率）【答案】（1）200；（2）补全条形统计图见解析，72°；（3）1 6 .【解析】【分析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数；（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到∠∝；（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“1人认为效果很好，1人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.【详解】（1）80÷40%=200（人），故答案为：200；（2）“C”的人数为：200-80-60-20=40（人），补全条形统计图如下：∠∝=40360=72⨯︒︒；200（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，①画树状图如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）=21=；126②列表如下共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）=21=；126【点睛】本题考查了从条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，要把两图形结合在一起进行解答．同时还考查了画树状图或列表求概率．21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从AD=米，仰角为30．3秒后，火箭直地面O处发射、当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得4000线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45︒．已知,C D两处相距460米，求火箭≈≈）从A到B处的平均速度（结果精确到1 1.414【答案】火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．【解析】【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得460，进而解得x的值．【详解】解：设火箭从A到B处平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，∴AO=2000，∴∵CD=460，∴，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴BO=OC，∵OB=OA+AB=2000+3x，∴-460，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨?（2）现在计划安排,A B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排,A B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案?【答案】（1）甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．【解析】【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．【详解】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：540 321380 x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，解得：300240 xy⎧⎨⎩＝＝．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，依题意，得：()() 7550300 3750240 m mm m⎧+-≥⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：25≤m≤2712．∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B 型卡车；方案3：安排27辆A 型卡车，23辆B 型卡车．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．直线l 与⊙O 相切于点A ，在l 上取一点D 使得DA DC =．线段DC ，AB 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DC 是⊙O 的切线；（2）若2BC =，30CAB ∠=︒，求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）见解析；（2）23π- 【解析】 【分析】（1）连接OC ，根据OA ＝OC ，DA ＝DC 可得∠O A C ＝∠OCA ，∠DAC ＝∠D CA ，再根据直线l 与⊙O 相切于点A 可得∠DAO ＝90°，进而可得∠DCO ＝90°，由此可证得直线DC 是⊙O 的切线；（2）先证明BOC 为等边三角形，可得OB ＝OC ＝BC ＝2，根据扇形面积公式可求得23BOC S π=扇形，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得CE =，由此可求得COE S =△，最后便可得23COE BOC S S S π=--△阴影扇形．【详解】（1）证明：连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠O A C ＝∠OCA ， ∵DA ＝DC ， ∴∠DAC ＝∠D CA ， ∵直线l 与⊙O 相切于点A ， ∴∠DAO ＝90°， ∴∠DAC +∠OAC ＝90°，∴∠DCA +∠OCA ＝90°， ∴∠DCO ＝90°， ∴OC ⊥DC ， 又∵点C 在⊙O 上， ∴直线DC 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠CAB ＝30°， ∴∠COB ＝2∠CAB ＝60°， 又∵OB ＝OC ， ∴BOC 为等边三角形，∴OB ＝OC ＝BC ＝2，∴26022=3603BOC S ππ⋅⋅=扇形， ∵∠OCE ＝90°，∠COB ＝60°， ∴∠E ＝90°－∠COB ＝30°， ∴OE ＝2OC ＝4，∴在Rt COE 中，CE ==， ∴12COE S OC OE =⋅△122=⨯⨯=，∴23COE BOC S S S π=--△阴影扇形∴阴影部分的面积为23π-．【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键．24.为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若1201x x <<≤，则1y 2y ； 若121x x <<，则1y 2y ；若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元．①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内? 【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①11y x x =++；②122x ≤≤．【解析】 【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出y 与x 的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x 的控制范围． 【详解】（1）如图1所示；（2）根据图象和表格可知，当1201x x <<≤时，1y ＞2y ；当121x x <<，则1y ＜2y ；当121x x ⋅=，则1y ＝2y ；（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x 米， ∴与之相邻的另一边长为1x米， ∴水池侧面面积的和为：1112122()x x x x⨯⨯+⨯⨯=+ ∵底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，∴11112()0.51y x x xx=⨯++⨯=++ 即：y 与x 的函数关系式为：11y x x=++；②∵该农户预算不超过3.5千元，即y ≤3.5∴11 3.5x x ++≤ ∴12.5x x+≤，根据图象或表格可知，当2≤y ≤2.5时，122x ≤≤， 因此，该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在122x ≤≤． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25.如图1，在等腰直角三角形ADC 中，90,4ADC AD ∠==．点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接,AG CE ．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为(090)αα<<．（1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD ∆与CED ∆是否全等，并说明理由； ②当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长． （2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P ． ①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①全等，证明见解析；；（2）①证明见解析；②2． 【解析】 【分析】（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理（SAS ）即可证明；②过A 点作AM ⊥GD ，垂足为M ，交FE 与N ，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM的长，进而得出cos cos GAM AGF ∠=∠=，再由cos FG GH AGF =∠求出结果；（2）①根据全等三角形性质可得C GAD E D ∠=∠，再在APC △和ADC 中由三角形内角和定理得出90GAD ECA DAC ++∠=∠∠︒，从而证明结论；②根据∠APC =90°得出PC 最大值是∠GAD 最大时，即GD ⊥AG 时，进而可知CEF 三点共线，F 与P 重合，求出此时CE 长，继而可得CP 最大值． 【详解】解：（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形ADC 中，AD =CD ，90ADC ∠=，在正方形DEFG 中，GD =ED ，90GDE ∠=， 又∵90ADE EDC ∠+∠=︒，90ADE ADG ∠+∠=︒， ∴ADG CDE ∠=∠ 在AGD △和CED 中，AD CD ADG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴C AGD ED ≅（SAS ）； ②如解图2，过A 点作AM ⊥GD ，垂足为M ，交FE 与N ，∵点E 是AD 的中点，∴在正方形DEFG 中，DE =GD =GF =EF =2， 由①得C AGD ED ≅， ∴AG CE =， 又∵CE CD =， ∴4AG AD CD ===， ∵AM ⊥GD ， ∴112GM GD ==， 又∵90D F ∠=∠=︒ ， ∴四边形GMNF 是矩形， ∴2MN GF ==， 在Rt AGM中，AM ===，∴cos AM GAM AG ∠==∵//FG AM ，∴GAM AGF∠=∠∴cos FGAGFGH∠==，∴cosFGGHAGF===∠（2）①由①得CAGD ED≅，∴CGAD E D∠=∠，又∵90ECD ECA DAC++∠=∠∠︒，∴90GAD ECA DAC++∠=∠∠︒，∴90APC∠=︒，即：AG CP⊥；②∵90APC∠=︒，∴sinPC AP PAC=∠，∴当PAC∠最大时，PC最大，∵∠DAC=45°，是定值，∴GAD∠最大时，PAC∠最大，PC最大，∵AD=4，GD=2，∴当GD⊥AG，30GAD∠=︒最大，如解图3，此时AG===，又∵AG CP⊥，EF FG⊥，∴F点与P点重合，∴CEFP四点共线，∴CP=CE+EF=AG+EF=2+，∴线段PC得最大值为：2+．【点睛】本题考查了三角形的综合；涉及了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，能够准确画出旋转后满足条件的两个图形，构造直角三角形求解是关键．26.如图1，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ．已知直线y kx n =+过,B C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点，①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设PDC ∆的面积为1S ，ADC ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点,,,E F P Q 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，求出点,P Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++，3y x =-+；（2）①925；②存在，点P 的坐标为(2，3)，点Q 的坐标为(1，2)或(1，2-) 【解析】 【分析】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入2()30y ax bx a =++≠可求得抛物线表达式，再求得点C 的坐标，把B(3，0)，C 的坐标代入y kx n =+即可求解；（2）①设点D 的坐标为(m ，3m -+)，利用待定系数法求得直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++，解方程2332311m m x x x m m -+-++=-++++，求得点P 的横坐标为41mm +，利用平等线分线段成比例定理求得411mmPD MN m DA AM m -+==+，得到()212239241m S S m ⎛⎫--+⎪⎝⎭=+，利用二次函数的性质即可求解； ②根据等腰直角三角形的性质求得点F 的坐标为(2，1)，分当EF 为边和EF 为对角线时两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入23y ax bx =++得：309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++， 令0x =，则3y =， ∴点C 的坐标为(0，3)，把B(3，0)，C(0，3)代入y kx n =+得：303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的表达式为3y x =-+； （2）①∵PA 交直线BC 于点D ， ∴设点D 的坐标为(m ，3m -+)， 设直线PA 的表达式为11y k x b =+， ∴111103k b mk b m -+=⎧⎨+=-+⎩，解得：113131m k m m b m -+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，∴直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++，∴2332311m m x x x m m -+-++=-++++， 整理得：()4101m x x m ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭， 解得：12411mx x m ==-+，(不合题意，舍去)， ∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标为41mm +，分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图：∴DM ∥PN ，OM=m ，ON=41mm +，OA=1， ∴PDC 12ADC411mmS S PD MN m S SDA AM m -+====+ ()2231m mm -+=+()2239241m m ⎛⎫--+⎪⎝⎭=+，∵10-<，∴当32m =时，分子取得最大值，即12S S 有最大值，最大值为925；②存在，理由如下： 作FG AB ⊥于G ，如图，∵2y x 2x 3=-++的对称轴为：12bx a=-=， ∴OE=1，∵B(3，0)，C(0，3)∵OC=OB=3，∠OCB=90︒， ∴△OCB 是等腰直角三角形， ∵∠EFB=90︒，BE=OB-OE=2， ∴△OCB 是等腰直角三角形， ∴EG=GB=EG=1， ∴点F 的坐标为(2，1)， 当EF 为边时，∵EFPQ 为平行四边形， ∴QE=PF ，QE ∥PF ∥y 轴，∴点P 的横坐标与点F 的横坐标同为2， 当2x =时，222233y =-+⨯+=， ∴点P 的坐标为(2，3)， ∴QE=PF=3-1=2， 点Q 的坐标为(1，2)； 当EF 为对角线时，如图，∵四边形PEQF平行四边形，∴QE=PF，QE∥PF∥y轴，同理求得：点P的坐标为(2，3)，∴QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，2-)；综上，点P的坐标为(2，3)，点Q的坐标为(1，2)或(1，2-)；【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．。

统计与概率一.统计1.(2019∙常州)在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位：元)，并绘制成下面的统计图。

(1)本次调查的样本容量是___，这组数据的众数为___元；(2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数。

300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人?(3)结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由。

的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级。

4.(2019∙嘉兴)在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民（1）求A小区50名居民成绩的中位数.（2）请估计A小区500名居民成绩能超过平均数的人数.（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况.(3)从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适。

6.(2019∙临沂)争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取30名学生进行测试，成绩如下：（单位：分）78 83 86 86 90 94 97 92 89 86 84 81 81 84 86 88 92 89 86 83 81 81 85 86 89 93 93 89 85 93整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：回答下列问题：（1）以上30个数据中，中位数是____；频数分布表中____；____。

（2）补全频数分布直方图。

（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数。

二.概率1.(2019∙南充) 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字−2，−1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上。

(1)随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率。

(2)先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y=2x上的概率。

2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4【分析】设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【分析】利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB计算即可．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【分析】（1）从折线统计图可得答案；（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；（2）运用待定系数法解得即可；（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【分析】（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P 在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝．∵△PDQ是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，∴BN＝NH，在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝PQ＝t，在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，解得t＝．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM∥BC，DM＝PM，∴DH＝2PK，在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），∴PK＝PQ＝（7﹣5t），在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，∵DH＝2PK，∴t＝2×（7﹣5t），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P 在FG边上时，求出PP′＝2，则﹣2a＝4，即可得出结果．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a＝；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，整理得：（a+1）2＝2，解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；综上所述，a的值为或﹣1﹣；（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），∴直角边为EF与FG，∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），∴AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p＝﹣1，∵EA＝OA＝1，∴点P在对称轴x＝a的左侧，∴PP′＝2（a+1），∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝2×2（a+1），解得：a＝﹣；当点P在FG边上时，如图5所示：则y p＝a﹣1，∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝4，解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a的值为﹣或﹣．第31页（共31页）。