2020最新中考数学专题训练真题及答案

2020年中考数学三角形专题练习【名师精选全国真题，值得下载练习】一．选择题（每题3分，共30分）1．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边高的交点D．三边垂直平分线的交点2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．43．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°4．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°5．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）（1）a＝b，∠A＝45°（2）∠A＝32°，∠B＝58°，（3）a＝5，b＝12，c＝13，（4）a＝52，b＝122，c＝132，A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（）A．36°B．39°C．38°D．40°7．如图是由11个等边三角形拼成的六边形，若最小等边三角形的边长为a，最大等边三角形的边长为b，则a与b的关系为（）A．b＝3a B．b＝5a C．b＝a D．b＝a8．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若AC＝24，则△BMN的周长是（）A．36 B．24 C．18 D．169．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG＝AE．分别延长CE，BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P 作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝P A；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．填空题（每题3分，共30分）11．如图，△ABC为等边三角形，D、E分別是AC、BC上的点，且AD＝CE，AE与BD 相交于点P，BF⊥AE于点F．若PF＝4，PD＝1，则AE的长为．12．已知等腰△ABC中，顶角∠A为36°，BD平分∠ABC交AC于D，那么AD：AC ＝．13．如图，等边△ABC外一点P，连接AP、BP、CP，AH垂直平分PC于点H，∠BAP 的平分线交PC于点D，连接BD，有以下结论：①DP＝DB；②DA+DB＝DC；③DA ⊥BP；④若连接BH，当△BDH为等边三角形时，则CP＝3DP，其中正确的有．（只需要填写序号）14．已知点O是三角形ABC的重心，DE经过点O且平行于BC，则△ADE与四边形DBCE的面积比为．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB ＝5cm，AC＝3cm，BC＝4cm，则△DEB的周长为．16．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝2，△ABC平移的距离为．17．在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD＝6，那么AG＝．18．如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，若S△ABC＝4，则S△DOE＝．19．在△ABC中，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC＝，AB＝．20．如图，∠MAN是一个钢架结构，已知∠MAN＝15°，在角内部构造钢条BC，CD，DE，……且满足AB＝BC＝CD＝DE＝……则这样的钢条最多可以构造根．三．解答题（每题8分，共40分）21．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边AC上，AE⊥BD于E．（1）如图1，作CF⊥BD于F，求证：CF﹣AE＝EF；（2）如图2，若BC＝CD，求证：BD＝2AE；（3）如图3，作BM⊥BE，且BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接CM交BE于N，请直接写出△BCM的面积为．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE．（2）若∠CDE＝25°，求∠A的度数．23．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC 于E，点F是AE的中点．（1）线段FD与线段FC的数量关系，位置关系；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转a（0°＜a＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．24．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．求证：E是CD的中点．25．△ABC是等边三角形，BD是角平分线，过点D作DE⊥AB于E，交BC边的延长线于点F，AE＝2．（1）求证：△DCF是等腰三角形；（2）求BF的长．参考答案一．选择题1．解：∵支撑点应是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，故选：A．2．解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC＝＝8，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，S△ABD＝DE•AB＝AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故选：C．3．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°．∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝40°∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．故选：B．4．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．5．解：（1）∵a＝b，∠A＝45°，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）∵∠A＝32°，∠B＝58°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）a＝5，b＝12，c＝13，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形；（4）a＝52，b＝122，c＝132，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形．∴是直角三角形的有（1）（2）（3）．故选：C．6．解：∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠PDF，∠CBP＝∠PBA，∵∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP，∠C+∠CBP＝∠P+∠PDF，∴∠A+∠C＝2∠P，∵∠A＝40°，∠P＝38°，∴∠C＝2×38°﹣40°＝36°，故选：A．7．解：设第二个小的等边三角形的边长为x，则第三个小的等边三角形的边长为：x+a，第四个小的等边三角形的边长为：x+2a，最大的个小的等边三角形的边长b＝x+3a，又∵b＝3x，∴3x＝x+3a，∴x＝a，∴b＝3x＝a，故选：D．8．解：∵直线ME为线段AB的垂直平分线，∴MA＝MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），又直线NF为线段BC的垂直平分线，∴NB＝NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴△BMN的周长＝BM+MN+BN＝AM+MN+NC＝AC＝24（等量代换），故选：B．9．解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∠A＝∠CBD＝45°，∵EH平分∠AEG，∴∠AEH＝∠GEH∵∠AEH+∠AEC＝180°，∠GEH+∠CEG＝180°，∴∠AEC＝∠CEG，∵AE＝GE，EC＝EC，∴△AEC≌△GEC（SAS），∴CA＝CG，∠A＝∠CGE＝45°，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝∠DGE＝45°，∴DE＝DG，∠AEF＝∠DEG＝∠A＝45°，故②正确，∴∠AFE＝∠CFG＝90°，∴∠FCG＝∠FGC＝45°，∴CF＝FG，∵∠ADC＝∠GFC＝90°，∠ACD＝∠GCF，AC＝GC，∴△ADC≌△GFC（AAS），∴AD＝CF＝FG，∵AE＝EG，∴EF＝DE，∵DE＝DG，∠CDE＝∠BDG＝90°，DC＝DB，∴△EDC≌△GDB（SAS），∴∠ECD＝∠DBG，EC＝GB，∵∠DHC＝∠DHB，∠HCD＝∠HBD，HD＝HD，∴△HDC≌△HDB（AAS），∴HC＝HB，∴HE＝EG，∵∠DHE＝∠DHG，DH＝DH，∴△HDE≌△HDG（SAS），∴∠HDG＝∠HDE＝45°，故①正确，∴DE＝DM，EF＝DE≠2DM，故③错误，作ET∥AC交CD于T．∵∠DET＝∠A＝45°，∠DTE＝∠ACD＝45°，∴DE＝DT＝DG，∵DA＝DC，∴AE＝CT，∴CG＝CT+TG＝AE+2DG，故④正确，故选：B．10．解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，在△ABP和△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，P A＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH＝PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC．∴∠BAC＝∠C．在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）．∴∠ABD＝∠CAE，BD＝AE，∴∠APD＝∠ABP+∠P AB＝∠BAC＝60°．∴∠BPF＝∠APD＝60°．∵∠BFP＝90°，∠BPF＝60°，∴∠PBF＝30°．∴BP＝2PF＝8，∵PD＝1，∴BD＝BP+PD＝9，∴AE＝BD＝9．故答案为9．12．解：假设AB＝AC＝1，那么在△ACB和△BCD中，∠C＝∠C，∠A＝∠CBD＝36°，∴△ACB∽△BCD，∴AC：BC＝BC：DC，∴AC：BC＝BC：DC，而BC＝BD＝DA（等腰的性质）所以设AD＝x，那么CD＝1﹣x，1：x＝x：（1﹣x），所以舍负根，得到：x＝，∴AD：AC＝．13．解：①∵AH是PC的垂直平分线，∴P A＝AC＝AB，∵AD平分∠P AB，∴∠P AD＝∠BAD，在△P AD和△BAD中，，∴△P AD≌△BAD（SAS），∴DP＝DB；故①符合题意；②在CP上截取CQ＝PD，连接AQ，如图所示：∵AP＝AC，∴∠APD＝∠ACQ，在△APD和△ACQ中，，∴△APD≌△ACQ（SAS），∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠P AD，∴∠BAC＝∠CAQ+∠BAQ＝∠P AD+∠BAQ＝∠BAD+∠BAQ＝∠DAQ＝60°，∴△ADQ为等边三角形，∴DA＝DQ，∴DC＝DQ+CQ＝DA+DB，即DA+DB＝DC．故②符合题意；③∵AB＝AP，AD平分∠P AB，∴AD⊥PB，故③符合题意；④∵AH垂直平分PC，∴PH＝CH，∵△BDH为等边三角形，∴DB＝DH，∵PD＝DB，∴PD＝DH，∴PH＝2PD，∴CP＝4PD，故④不合题意，故答案为：①②③．14．解：连接AO并延长交BC于F，如图，∵点O是三角形ABC的重心，∴OA＝2OF，∴AO：AF＝2：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△ADE与四边形DBCE的面积比为4：5．故答案为4：5．15．解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE，在Rt△ADC和△ADE中，∴Rt△ADC≌△ADE（HL），∴AE＝AC＝3，∴BE＝AB＝5﹣3＝2，∴△DEB的周长＝BE+BD+DE＝BE+BD+CD＝BE+BC＝2+4＝6（cm）．故答案为6cm．16．解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥EG，∴△ABC∽△GEC，∴＝（）2＝，∴BC：EC＝：1，∵BC＝2，∴EC＝，∴△ABC平移的距离为：BE＝2﹣，故答案为2﹣．17．解：∵AD、BE为△ABC的中线，且AD与BE相交于点G，∴G点是三角形ABC的重心，∴AG＝＝＝4，故答案为4．18．解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝，∴△DOE∽△BOC，，∴S△DOE＝S△BDE＝S△ABD＝S△ABC＝＝，故答案为．19．解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，则4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，则4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC＝48，AB＝28．故答案为：48；28．20．解：∵BC＝AB，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠DBC＝∠BCA+∠A＝30°．同理，∠CDB＝∠DBC＝30°，∴∠DCE＝∠CDB+∠A＝45°，∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠FDE＝∠DEC+∠A＝60°，∠DFE＝∠FDE＝60°，∴∠FEM＝∠DFE+∠A＝90°．再作与AB相等的线段时，90°的角不能是底角，则最多能作出的线段是：BC、CD、DE、EF共有5条．故答案是：5．三．解答题（共5小题）21．（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∴CF﹣AE＝BE﹣BF＝EF；（2）证明：如图1，过点C作CF⊥BD于点F，∵BC＝CD，∴BF＝DF，由（1）得AE＝BF，∴AE＝DF，∴BD＝2AE；（3）解：如图2，过点C作CG⊥MB，交MB的延长线于点G，过点C作CH⊥BE，交BE于点H，∵BM⊥BE，CH⊥BE，CG⊥MB，∴∠NBG＝∠CHB＝∠CGB＝90°，∴四边形BGCH为矩形，∴BG＝HC，BH＝GC，由（1）得△AEB≌△BHC，∴AE＝BH，BE＝CH，∵BM＝BE，∴BM＝CH，∵∠MBN＝∠CHN＝90°，∠MNB＝∠CNH，∴△BMN≌△HCN（AAS），∴BM＝CH，BN＝HN，∵AE＝BH＝2，∴BN＝1，∴BE＝BM＝BN+EN＝1+4＝5，∴＝．故答案为：5．22．（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ECD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝CE．（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝25°，∴∠ACB＝2∠ECD＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°．23．解：（1）如图1中，∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，∴DF＝AF＝EF＝CF，∴∠F AD＝∠FDA，∠F AC＝∠FCA，∴∠DFE＝∠FDA+∠F AD＝2∠F AD，∠EFC＝∠F AC+∠FCA＝2∠F AC，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠F AD+∠F AC）＝90°，∴DF＝FC，DF⊥FC，故答案为：DF＝FC，DF⊥FC．（2）结论不变．理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．∵BC⊥AM，AC＝CM，∴BA＝BM，同法BE＝BN，∵∠ABM＝∠EBN＝90°，∴∠NBA＝∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，∵AF＝FE，AC＝CM，∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，∴FD＝FC，∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，∴∠BAN+∠AOH＝90°，∴∠AHO＝90°，∴AN⊥MH，FD⊥FC．（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．综上所述，≤BF≤3．24．证明：作EF⊥AB于点F，∵∠C＝∠D＝90°，E是CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC，∴EF＝ED，EF＝EC，∴ED＝EC，∴点E为CD的中点．25．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝AC，∵DE⊥AB于E，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，∴CD＝AD＝2AE＝4，∴∠CDF＝∠ADE＝30°，∴∠F＝∠ACB﹣∠CDF＝30°，∴∠CDF＝∠F，∴DC＝CF，∴△DCF是等腰三角形，（2）∵DC＝CF，∴BF＝BC+CF＝2AD+AD＝12。

2020中考专题4——几何模型之隐圆问题班级姓名.【模型讲解】常见的隐圆模型有:（1）动点到定点的距离为定长；（2）四点共圆；（3）定边对定角（专题3）等.AD＝AC＝AB∠ADB＝∠ACB2∠ADB＝∠ACB∠BAC＋∠BDC＝180°【例题分析】例1.如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为.例1图例2图例3图例2.在矩形ABCD中，已知2=，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边BC cm=，3AB cm（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程cm．中所围成的图形的面积为2例3.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若AB＝8，则PM的最大值是。

例4.如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否存在最大值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【巩固训练】1.如图1，矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 、F 分别AD 、DC 边上的点，且2EF =，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA PG +的最小值为．图1图22.如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将EBF ∆沿EF 所在直线折叠得到△EB F '，连接B D '，则B D '的最小值是．3.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且2AC =．设tan BOC m ∠=，则m 的取值范围是．4.如图3，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是.图3图4图55.如图4，四边形ABCD 中，//DC AB ，1BC =，2AB AC AD ===．则BD 的长为.6.如图5，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，若∠BAC ＝25°，∠CAD ＝75°，则∠BDC ＝，∠DBC ＝.7.足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB 的张角大小时，张角越大，射门越好.如图6的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，球员带球沿CD 方向进攻，最好的射点在（）A .点CB .点D 或点EC .线段DE （异于端点）上一点D .线段CD （异于端点）上一点图6图7图88.如图7，已知AB 是⊙O 的直径，PQ 是⊙O 的弦，PQ 与AB 不平行，R 是PQ 的中点，作PS ⊥AB ，QT ⊥AB ，垂足分别为S 、T （S ≠T ），并且∠SRT ＝60°，则PQAB的值等于.9.如图8，若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3，则AD ·DC ＝.10.在平面直角坐标系中，已知点A （4，0）、B （－6，0），点C 是y 轴上的一个动点，当∠BCA ＝45°时，点C 的坐标为.11.如图9，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA ＝DE ，则AD 的取值范围是.图9图1012.如图10，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为（2，m ）.过点B 作AB ⊥y 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），发现使得∠OPC ＝45°的位置有两个，则m 的取值范围为.13.在锐角△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△A ′B ′C ′。

实际问题与二次函数1．如图，桥拱是抛物线形，其函数的解析式为y＝－14x2，当水位线在AB位置时，水面的宽为12米，这时水面离拱顶的高度h为( )A.8米B. 9米C. 10米D. 11米2. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,若水面下降2m，则水面宽度增加( )A.3mB. 2mC. 42－4D. 42－23. 向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )A．第10秒 B．第12秒 C．第14秒 D．第15秒6. 若抛物线y＝－x2＋8x－12的顶点是P，与x轴的两个交点是C，D两点，则△PCD的面积是( )A.11B. 10C. 9D. 87. 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是( )A.11.5cm2B. 12cm2C. 12.5cm2D. 13cm28. 如图，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，若三个正方形的面积之和最小,则AC为( )A.4B. 5C. 6D. 89. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润P＝－1100(x－60)2＋41.每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是( )A.200万元B.203万元C.204万元D.205万元10. 在某次比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m,那么这条抛物线的解析式为( )12. 某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是____米．13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥B C 于点E, 作PF⊥AC于点F,当PB＝____时，四边形PECF的面积最大，最大值为____ cm214. 如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是____cm215. 如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需____s.16. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°,AB＝8cm,BC＝6cm, 点P从点A沿AB向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间t为____s.17. 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E,F，G,H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG ＝DH，设小正方形EFGH的面积为S,AE为x，则S关于x的函数解析式为____，当x＝____时，S的值最小。

2020概率专题训练一、填空题：（每题3分，共36分）１、数 102030 中的 0 出现的频数为＿＿＿＿＿。

２、在一个装有 2 个红球，2 个白球的袋子里任意摸出一个球，摸出红球的可能性为＿＿。

３、不可能发生是指事件发生的机会为＿＿＿＿＿。

４、“明天会下雨”，这个事件是＿＿＿＿＿事件。

（填“确定”或“不确定”）５、写出一个必然事件：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

６、10把钥匙中有 3 把能打开门，今任取出一把，能打开门的概率为＿＿＿＿＿。

７、抛掷两枚骰子，则P（出现 2 个 6）＝＿＿＿＿＿。

８、小射手为练习射击，共射击60次，其中36依次击中靶子的概率为＿＿＿＿＿。

９、小红随意在如图所示的地板上踢键子，则键子恰落在黑色方砖上的概率为＿＿＿＿＿。

10、足球场上，往往用抛硬币的方式来决定哪方先发球，吗？＿＿＿＿＿11、小明有两件上衣，三条长裤，则他有几种不同的穿法＿＿＿＿＿。

12、小红、小张，在一起做游戏，需要确定的游戏的先后顺序，他们约定用“剪子，包袱，锤子”的方式确定，小红取胜的概率是＿＿＿＿＿。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、下列事件是必然发生的是（）A、明天是星期一B、十五的月亮象细钩C、早上太阳从东方升起D、上街遇上朋友２、有五只灯泡，其中两只是次品，从中任取一只恰为合格品的概率为（）A、20％B、40％C、50％D、60％３、抛掷一枚普遍的硬币三次，则下列等式成立的是（）A、P（正正正）＝P（反反反）B、P（正正正）＝20％C、P（两正一反）＝P（正正反）D、P（两反一正）＝50％４、一个口袋里有1个红球，2个白球，3个黑球，从中取出一个球，该球是黑色的。

这个事件是（）A、不确定事件B、必然事件C、不可能事件D、以上都不对５、在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（）A、12B、13C、23D、14６、从A、B、C、D四人中用抽筌的方式，选取二人打扫卫生，那么能选中A、B的概率为（）A、14B、112C、12D、16三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）１、一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一，它们除颜色处其他都一个样，小明从中摸出一个球后放回摇匀，再摸出一个球，请你利用树状图分析可能出现的情况。

中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥Q ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC =Q ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<<g g ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD Q ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD Q ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD Q ，∴EM BM AD BD=，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD Q ，∴FN CN AD CD=，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD = )cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，CB →方向运动，当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒Q ，4AB BC cm ==，AC ∴== 90ADC ∠=︒Q ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==AD ∴==故答案为：，（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒Q ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sin FC FNC NC∠=Q ，NC x =，4FC x ∴=，4NE DF x ∴==+ ∴点N 到ADx +； （3）sin FN NCF NC∠=Q ，FN x ∴=， P Q 为DC 的中点，PD CP ∴==4PF x ∴=+ PMN ∴∆的面积y =梯形MDFN 的面积PMD -∆的面积PNF -∆的面积111))222x x x =++-2784x x =++ 即y 是x 的二次函数，Q 08<， y ∴有最大值，当7x ==时，y=例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =剟，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥Q ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯g ，即211(1)44y x =+-， 又02x Q 剟， ∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯g ，即211(1)44y x =--+， 又02x Q 剟， ∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C 0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB = ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1）Q 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA =Q ，OC =tan AO ACO OC ∠==Q 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =， 30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒Q ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A Q 和C 0)，∴直线AC 的解析式为23y x =-+，设(,2)3D a a -+，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒Q ，90BDM NDE∴∠+∠=︒，90BDM DBM∠+∠=︒，DBM EDN∴∠=∠，90BMD DNE∠=∠=︒Q，BMD DNE∴∆∆∽，∴23DE DNBD BM+===．②如图 2 中，作DH AB⊥于H．在Rt ADH∆中，AD x=Q，30DAH ACO∠=∠=︒，1122DH AD x∴==，AH x==，2BH x∴=，在Rt BDH∆中，BD==，DE∴==∴矩形BDEF的面积为22612)y x x==-+，即2y=-+23)3y x∴=-+Q03>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB =Q ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=g gBOC ∆Q 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==27AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒=g ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯g g ，28y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <„时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60(8 1.5)2MH BM x =︒=-g，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <„时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，122y MN OG x ∴==g g ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。

中考数学复习专题训练：《四边形综合》1．问题发现：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点E是AC的中点，点F在BC 边上，将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF，连接BP并使得BP最小，请画出符合题意的点P；问题探究：（2）如图②，已知在△ABC和△EBD中，∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC＝4，BD＝DE ＝2，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，求AF的最大值．问题解决：（3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域，如图③所示，其中BD为一条工作人员通道，同学们的入口设在点A处，AD⊥BD，AD∥BC，∠DCB＝60°，AB＝2米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C 处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？如果可以，请求出AC的最大值及此时△BCD区域的面积，如果不能，请说明理由．2．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE ＝x，EG＝y．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．3．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H．（1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE．（2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．4．[问题引入]（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；[类比探究]（2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；[实践应用]（3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求出的值．5．如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．（1）求证：△HDO≌△EAO；（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．6．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”，如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B′处．于是，由∠ACB＞∠B′，∠ABC＝∠B′，可得∠ACB＞∠ABC．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”，如图3，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM+AN＞2BD．7．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．8．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC剪开，再把△ADC沿AB方向平移，得到图2，其中A'D交AC于E，A'C'交BC于F．（1）在图2中，除△ABC与△C'DA'外，指出还有哪几对全等三角形（不能添加辅助线和字母），并选择一对加以证明；（2）设AA'＝x．①当x为何值时，四边形A'ECF是菱形？②设四边形A'ECF的面积为y，求y的最大值．9．在正方形ABCD中，BD为对角线，点E在BD上，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，连接CF．（1）如图①，求证：∠ECF＝45°；（2）如图②，作FG⊥AB，交BD于点G，求证：DE＝GE；（3）在（2）的条件下，如图③，延长FG交CE于点K，延长CE交AD于点M，连接MG、BK，若MG＝2EK，GK＝2，求线段BK的长．10．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．11．如图，菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP 与对角线BD交于点E，连接EC．（1）求证：AE＝CE；（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝4，求△PEC的面积；（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出△PEC是等腰三角形时BP的长．12．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于 直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ． （1）若∠BAP ＝α，直接写出∠ADF 的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF ⊥DF ；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明．13．已知正方形OABC 在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，E ，F 分别在OA ，OC 上，且OA ＝4，OE ＝2．将△OEF 绕点O 逆时针旋转，得△OE 1F 1，点E ，F 旋转后的对应点为E 1，F 1． （Ⅰ）①如图①，求E 1F 1的长；②如图②，连接CF 1，AE 1，求证△OAE 1≌△OCF 1；（Ⅱ）将△OEF 绕点O 逆时针旋转一周，当OE 1∥CF 1时，求点E 1的坐标（直接写出结果即可）．14．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．（1）如图1，若∠A＝90°，DE＝CF，求证：DE⊥CF；（2）如图2，若∠EGC+∠B＝180°．求证：DE＝CF；（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN 于点H，若∠FCD＝15°，BN＝，请直接写出FG的长度．15．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．16．（1）观察猜想如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则△ADB 和△EAC是否全等？（填是或否），线段AB、AC、BD、CE之间的数量关系为．（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，AB＝6，以AC为直角边向外作等腰Rt △DAC，连接BD，求BD的长．（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝5，AD＝，DC＝DA，CG⊥BD于点G，求CG的长，17．已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N 在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．18．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一个动点，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F 处，过点F作GH∥CE，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△EFG是等腰三角形；（2）如图①，若F是GH中点，求∠FGE的度数；（3）如图②，若点G与点A重合，AB＝30，BC＝20，求FH的长．19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C，D在x轴上方，且四边形ABCD的面积为32，（1）若四边形ABCD是菱形，求点D的坐标．（2）若四边形ABCD是平行四边形，如图1，点E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，求AE+2EF的值．（3）若四边形ABCD是矩形，如图2，点M为对角线AC上的动点，N为边AB上的动点，求BM+MN的最小值．20．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC与长方形DEFG的位置如图所示，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的横坐标为a，点D，E在x轴的负半轴上（点E在点D的右侧），点G的坐标为（b，﹣b），DE＝OA，实数a，b的值满足．（1）求点F的坐标；（2）长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移t（t＞0）秒得到矩形D'E'F'G'，点D'，E'，F'，G'分别为点D，E，F，G平移后的对应点，设矩形D'E'F'G'与正方形OABC 重合部分的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的范围；（3）在（2）的条件下，在长方形DEFG出发运动的同时，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），连接PD'，PG'，当三角形PD'G'的面积为15时，求S＞0时相应的t值，并直接写出此时刻S值及点P 的坐标．参考答案1．解：（1）如图①中，点P即为所求．当E，P，B共线时，BP的值最小．（2）如图②中，取BC的中点P，连接PA，PF．∵∠BDE＝90°，BD＝DE＝2，∴BE＝BD＝4，∴CF＝EF，CP＝PB＝2，∴PF＝BE＝2，∵∠ACP＝90°，AC＝4，CP＝2，∴PA＝＝＝2，∵AF≤PA+PF，∴AF≤2+2，∴AF的最大值为2+2．（3）如图③中，作△ABD的外接圆⊙O交CD于E，连接OE，EB，AC．∵∠DBC＝90°，∠DCB＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠EOB＝60°，∵EO＝EB，∴△EOB是等边三角形，BE＝OB＝，∵∠ECB＝60°，∴点C的运动轨迹是圆弧，不妨设圆心为P，连接PC，PE，PB，则∠EPB＝2∠ECB＝120°，作PT⊥BE于T，在Rt△PET中，∠PET＝30°，ET＝BT＝BE＝，∴PE＝PB＝PC＝＝，∵∠EBO＝60°，∠EBP＝30°，∴∠ABP＝90°，在Rt△ABP中，AP＝＝＝13，∵AC≤PA+PC，∴AC≤13+，∴AC的最大值为13+，此时A，P，C共线，如图③﹣1中，作CW⊥AB于W．∵PB∥CW，∴＝＝，∴＝＝，∴CW＝+1，BW＝2，∴BC＝＝＝，∴S＝•BC•BD＝•BC•BC＝×（26+2）＝13+．△BCD2．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形；（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝，∠AEF＝60°，∵∠ABH＝60°，∴，BH＝HC＝1，∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|，∴EF＝＝，∵∠AEF＝∠B＝60°，∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°，∴∠CEG＝∠BAE，∵∠B＝∠ACE＝60°，∴△BAE∽△CEG，∴，∴，∴y＝EG＝（0＜x＜2），（3）解：∵AB＝2，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，∴OA＝OC＝1，∵EG＝EO，∴∠EOG＝∠EGO，∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG，∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，∴∠EGO＝∠CEA，∴∠EOG＝∠CEA，∵∠ECA＝∠OCE，∴△COE∽△CEA，∴，∴CE2＝CO•CA，∴x2＝1×2，∴x＝（x＝﹣舍去），即x＝．3．（1）证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BH⊥DE；（2）解：MH2+HN2＝2CM2，理由：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，∵∠DPH＝∠CPM，∴∠DHP＝∠BCP＝90°，∴∠MHN＝90°，∵M，N分别为BG，DE的中点，∴BM＝BG，DN＝DE，∴BM＝DN，∵BC＝CD，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，∴∠MCN＝∠BCP＝90°，∴MH2+HN2＝CM2+CN2＝2CM2；（3）解：∵DH⊥PG，∴∠DHP＝∠DHG＝90°，把△PDH沿着PD翻折得到△APD，把△GDH沿着DG翻折得到△DGC，∴AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP＝PH＝2，CG＝HG＝4，∵∠PDG＝45°，∴∠ADC＝90°，延长AP，CG交于B，则四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，设DH＝AD＝AB＝BC＝x，∴PB＝x﹣2，BG＝x﹣4，∵PG2＝PB2+BG2，∴62＝（x﹣2）2+（x﹣4）2，解得：x＝3+（负值舍去），∴DH＝3+．4．证明：[问题引入]（1）∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C，AB＝BC，∵AE⊥BF，∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠BAP＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）BF＝2AE，理由如下：∵矩形ABCD，∴∠ABC＝∠C，AD＝BC＝2AB，∵AE⊥BF，∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠BAP＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE∽△BCF，∴＝2，∴BF＝2AE；（3）如图3，过点B作BH⊥AD于H，连接BD，∵把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，且BH⊥AD，∴AD＝AB＝2AH，BH＝AH，∴，∵∠ADC+∠EPF+∠DEA+∠DFB＝360°，∴∠DEA+∠DFB＝180°，且∠DFB+∠BFA＝180°，∴∠DEA＝∠BFH，∵∠BHF＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BHF，∴＝＝5．解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∵四边形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH，∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x，∴OF＝＝＝，∴EF＝y﹣，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝，∴；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，∵∠EAO＝90°，∴这种情况不存在；②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，∴∠PAE＝∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴＝，∵AE＝AG，∴PE＝y＝，AE＝＝，∴＝，解得：x＝2，②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE＝∠EAO＝90°，∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，∴∠EGQ＝∠AEO，∵GE＝OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴EQ＝AO＝2，∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．6．解：（1）将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，D落在AB上．连接DC，∵DE为BC的中垂线，∴DB＝DC，在△ADC中，AD+DC＞AC，∴AD+DB＞AC，即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE＝CN，连接AE交BC于点F，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ACN＝135°，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE＝AN，过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，由∠ACP＝∠ACQ＝90°可知AP＞AC、AQ＞AC，∴AP+AQ＞2AC，∵∠ACD＞∠E，∠ACD＝45°，∠QCE＝45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ，同理可得PC＞PM，由全等或对称性可得PC＝CQ，∴QE＞PM．∴AM+AN＝AM+AE＝AM+AQ+QE＞AM+AQ+PM＝AP+AQ，又∵AP+AQ＞2AC，∴AM+AN＞2AC，∵正方形ABCD中，AC＝BD．∴AM+AN＞2BD．7．解：（1）①如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共线，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；②成立，理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一条直线上，与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．8．解：（1）△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，由题意得，四边形A′DCB是矩形，∴A′B＝DC，∴AA′＝CC′，∵AB∥CD，∴∠BA′F＝∠C′，由题意得，∠BA′F＝∠A，∴∠A＝∠C′，在△AA′E和△C′CF中，，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）；（2）①设A′E＝a，A′F＝b，∵A′F∥AC，∴＝，即＝，解得，b＝，同理＝，解得，a＝x，当A′E＝A′F时，四边形A′ECF是菱形，∴＝x，解得，x＝，∴当x＝时，四边形A′ECF是菱形；②由①得，四边形A′ECF的面积为y＝3×（4﹣x）﹣×（3﹣x）×（4﹣x）×2＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，y的最大值为3．9．解：（1）如图①，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABD＝∠CBD＝45°，且BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，∵∠ABC+∠FEC+∠BCE+∠EFB＝360°，∴∠BCE+∠BFE＝180°，∠BFE+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝∠BCE，∴∠BAE＝∠AFE，∴EF＝AE＝EC，且∠FEC＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°；（2）如图②，延长FG交CD于H，∵GF⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCHF是矩形，∴FH＝BC＝CD，∠FHC＝90°，∵∠AFE＝∠BCE，∴∠EFH＝∠ECH，且EF＝EC，FH＝CD，∴△EFH≌△ECD（SAS）∴∠FHE＝∠CDE＝45°，且∠FHD＝90°，∴∠FHE＝∠CDE＝∠DGH＝∠DHE＝45°，∴EG＝EH，EH＝DE，∴EG＝DE；（3）如图③，延长FK交CD于H，连接FM，过点M作MP⊥FH于P，∵AD∥BC∥FH，∴∠MDE＝∠KGE，且DE＝EG，∠MED＝∠GEK，∴△MED≌△KEG（ASA）∴ME＝EK＝MK，MD＝GK＝2，∵MG＝2EK，∴MK＝MG，且MP⊥FH，∴GP＝PK＝1，∵∠ADH＝∠DHF＝∠MPH＝90°，∴四边形MDHP是矩形，∴MD＝PH＝2，∴GH＝3，∴FH＝BC＝AB＝AD＝3+FG，∴AM＝1+FG，∵FG⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BFG是等腰直角三角形，∴BF＝FG，∴AF＝3，∵ME＝EK，EF⊥MK，∴FM＝FK＝FG+2，∵FM2＝AM2+AF2，∴（FG+2）2＝（FG+1）2+9，∴FG＝3，∴BK＝＝．10．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN＝＝＝6，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴＝＝＝＝，∴＝，∴AQ＝AN＝2；由（2）得：DN﹣BM＝MN．设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM＝＝＝2，∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴＝＝＝，∴PM＝AM＝，∴AP＝AM+PM＝3．11．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝BC，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE；（2）解：连接AC，交BD于O，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝AB＝4，∠AOB＝90°，OB＝OD，OA＝OC，∴△BEP∽△DEA，∴＝＝，∴＝（）2＝，∵sin∠ABD＝＝＝，∴OA＝2，OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∴＝，解得：DE＝，∴BE＝BD﹣DE＝8﹣＝，∴S△DEA＝OA•DE＝×2×＝，S△ABE ＝OA•BE＝×2×＝＝S△BEC，∴S△BEP ＝S△DEA＝×＝，∴S△PEC ＝S△BEC﹣S△BEP＝﹣＝；（3）解：①由（1）得：△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE，当∠BAE＝90°时，则∠BCE＝90°，∴∠ECP＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠EBC＝22.5°，∠CPE＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴CE＝CP，∠BEC＝90°﹣22.5°＝67.5°，过点E作∠FEC＝45°交BC于F，如图2所示：则CE＝CP＝CF，EF＝CF，∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠BEF＝∠EBC，∴EF＝BF，∴CF+CF＝BC＝10，∴CF＝＝10（﹣1），∴BP＝BC+CP＝BC+CF＝10+10（﹣1）＝10；②由（1）得：△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，当∠BAE＝105°时，∠AEB＝180°﹣105°﹣22.5°＝52.5°，∴∠AEC＝2∠AEB＝105°，∴∠CEP＝75°，∵∠APB＝180°﹣105°﹣45°＝30°，∴∠ECP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ECP＝∠CEP，∴△PEC是等腰三角形，过点A作AN⊥BP于N，如图3所示：则△ABN是等腰直角三角形，∴AN＝BN＝AB＝5，∵∠APB＝30°，∴tan30°＝，即＝，∴PN＝5，∴BP＝BN+PN＝5+5，综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为10或5+5．12．（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵点E与点B关于直线AP对称，∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．∴AE＝AD．∴∠ADE＝∠AED．∵∠AED+∠AEF＝180°，∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°，∴∠BFD+∠BAD＝180°，∴∠BFD＝90°∴BF⊥DF；（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝BF+CF，理由如下：过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠CBF，∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°，∴∠MFB＝∠MFE＝45°，∴△BMF是等腰直角三角形，∴BM＝BF，FM＝BF，在△AMB和△CFB中，，∴△AMB≌△CFB（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝FM+AM，∴AF＝BF+CF．13．（Ⅰ）①解：∵等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，OE＝2，∴∠EOF＝90°，OF＝OE＝2，∴EF＝＝＝2，∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，∴E1F1＝EF＝2；②证明：∵四边形OABC为正方形，∴OC＝OA．∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，∴∠AOE 1＝∠COF 1，∵△OEF 是等腰直角三角形，∴△OE 1F 1是等腰直角三角形，∴OE 1＝OF 1．在△OAE 1和△OCF 1中，∴△OAE 1≌△OCF 1（SAS ）；（Ⅱ）解：∵OE ⊥OF ，∴过点F 与OE 平行的直线有且只有一条，并与OF 垂直，当三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周时，则点F 在以O 为圆心，以OF 为半径的圆上．∴过点F 与OF 垂直的直线必是圆O 的切线，又点C 是圆O 外一点，过点C 与圆O 相切的直线有且只有2条，不妨设为CF 1和CF 2， 此时，E 点分别在E 1点和E 2点，满足CF 1∥OE 1，CF 2∥OE 2．当切点F 1在第二象限时，点E 1在第一象限．在直角三角形CF 1O 中，OC ＝4，OF 1＝2，cos ∠COF 1＝＝＝，∴∠COF 1＝60°，∴∠AOE 1＝60°．∴点E 1的横坐标＝2cos60°＝1，点E 1的纵坐标＝2sin60°＝，∴点E 1的坐标为（1，）； 当切点F 2在第一象限时，点E 2在第四象限．同理可求：点E 2的坐标为（1，﹣）．综上所述，当OE 1∥CF 1时，点E 1的坐标为（1，）或（1，﹣）．14．解：（1）证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°∴菱形ABCD是正方形∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°在Rt△ADE与Rt△DCF中∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL）∴∠ADE＝∠DCF∴∠DCF+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝∠ADC＝90°∴∠CGD＝90°∴DE⊥CF（2）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC∴∠A+∠B＝180°∵∠EGC+∠B＝180°，∠EGC+∠CGD＝180°∴∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC∵∠A＝∠DGF，∠ADE＝∠GDF∴△ADE∽△GDF∴∴∵∠CGD＝∠CDF，∠DCG＝∠FCD∴△DCG∽△FCD∴∴∵AD＝DC∴DE＝CF（3）如图，过点N作NP⊥CD于点P，连接FM ∴∠CPN＝∠MPN＝90°∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD∴四边形BCPN是矩形∴NP＝BC＝CD，PC＝BN＝在Rt△NPM与Rt△CDF中∴Rt△NPM≌Rt△CDF（HL）∴PM＝DF设PM＝DF＝x，则CM＝PC+PM＝+x∵由（1）得MN⊥CF，G为CF中点∴MN垂直平分CF∴MF＝MC∴∠MFC＝∠FCD＝15°∴∠DMF＝∠MFC+∠FCD＝30°∴Rt△DMF中，MF＝2DF＝2x，DM＝DF＝x ∴2x＝+x∴x＝∴DF＝，CM＝2，CD＝CM+DM＝2+∵∠GCM＝∠MCF，∠CGM＝∠CDF＝90°∴△CGM∽△CDF∴＝∴2CG2＝CD•CM＝（2+）＝8+4∴CG2＝4+2＝12+2+（）2＝（1+）2∴FG＝CG＝1+15．（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形BCGE是垂美四边形；②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．16．解：（1）观察猜想结论：AB+AC＝BD+CE，理由如下：如图①，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，在△ADB和△EAC中，，∴△ADB≌△EAC（AAS），∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB+AC＝BD+CE，故答案为：是，AB+AC＝BD+CE；（2）问题解决如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由（1）得：△ABC≌△DEA（AAS），∴DE＝AB＝6，AE＝BC＝＝＝12，Rt△BDE中，BE＝AB+AE＝18，由勾股定理得：BD＝＝＝6；（3）拓展延伸如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，则四边形DEBF是矩形，同（1）得：△CED≌△AFD（AAS），∴CE＝AF，DE＝DF，∴四边形DEBF是正方形，设AF＝x，则BF＝DE＝DF＝x+5，在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2+（x+5）2＝（）2，解得：x＝，或x＝﹣（舍去），∴AF＝，DF＝，∴BD＝DF＝，四边形ABCD的面积＝正方形DEBF的面积＝（）2＝，△ABD的面积＝AB×DF＝×5×＝，∴△BCD的面积＝四边形ABCD的面积﹣△ABD的面积＝BD×CG＝﹣＝51，∴CG＝＝6．17．（1）解：如图1中，∵AB＝BD，∠BAD＝45°，∴∠BDA＝∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴E、C重合时BF＝BD＝AB，在Rt△ABF中，∵AF2＝AB2+BF2，∴（2）2＝（2BF）2+BF2，∴BF＝2，AB＝4，在Rt△ABD中，AD＝＝4；（2）证明：如图2中，在AF上截取AK＝HD，连接BK，∵∠AFD＝∠ABF+∠2＝∠FGD+∠3，∠ABF＝∠FGD＝90°，∴∠2＝∠3，在ABK和△DBH中，，∴△ABK≌△DBH，∴BK＝BH，∠6＝∠1，AK＝DH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠4＝∠1＝∠6＝45°，∴∠5＝∠ABD﹣∠6＝45°，∴∠5＝∠1，在△FBK和△FBH中，，∴△FBK≌△FBH，∴KF＝FH，∵AF＝AK+KF，∴AF＝DH+FH；（3）解：连接AN并延长到Q，使NQ＝AN，连接GQ，取AD的中点O，连接OG，∵∠AGD＝90°，∴点G的轨迹是以O为圆心，以OG为半径的弧，且OG＝4，当O，G，Q在同一条直线上时，QG的值最小，∴OQ＝10，OG＝4，∴GQ最小值为6，∵MN是△AGQ的中位线，∴MN的最小值为3．18．解：（1）∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠BEC＝∠FEC，∵GH∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∠GFE＝∠FEC，∴∠EGF＝∠EFG，∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；（2）如图①，取CE的中点M，连接FM，∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠EFC＝∠B＝90°，∴EM＝FM，∵AB∥CD，GH∥CE，∴四边形GECH是平行四边形，∴GH＝CE，∵F是GH中点，∴FG＝EM，∴四边形GEMF是平行四边形，∴GE＝FM，由（1）知，GE＝EF，∴EG＝GF＝EF，∴△EFG是等边三角形，∴∠FGE＝60°；（3）由（2）知，BE＝EF，AE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝15，∴CH＝AE＝15，∴DH＝30﹣15＝15，∴AH＝＝＝25，如图②，过E作EN⊥AF于N，∴∠ANE＝∠B＝90°，∵CE∥AH，∴∠EAN＝∠BEC，∴△AEN∽△ECB，∴＝，∴＝，∴AN＝9，∴AF＝18，∴FH＝25﹣18＝7．19．解：（1）如图1，过D作DH⊥AB于H，∵A（﹣4，0），B（4，0），∴OA＝OB＝4，∴AB＝8，∵四边形ABCD的面积为32∴8DH＝32，∴DH＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝8，∴AH＝＝＝4，∴OH＝AH﹣OA＝4﹣4，∴D（4﹣4，4）；（2）如图1，延长EF交x轴于G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠C＝∠FBG，∠CEF＝∠FGB，∵CF＝BF，∴△CEF≌△BGF（AAS），∴EF＝FG，CE＝BG，∴EG＝2EF，过E作EP⊥x轴于P，∴EP＝DH＝4，∵CD＝AB＝8，∴设D（a，4）则C（8+a，4），∵点E为CD的中点，∴E（4+a，4），∴AP＝8+a，PG＝4﹣a，∴PE2＝AP•PG，∴（8+a）•（4﹣a）＝16，∴a＝2﹣2（负值舍去），∴AP＝6+2，PG＝6﹣2，∴AE＝＝4，EG＝＝4，∴AE+2EF＝AE+EG＝4+8；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，∴AC＝＝4，作B关于AC的对称点M′，连接BM′交AC于E，则BM′＝2BE＝2×＝2×＝，过M′作M′N⊥AB于N交AC于M，则此时，BM+MN的值最小，且BM+MN的最小值＝M′N，∵∠M′EM＝∠CEB＝90°，BE＝，BC＝4，∴CE＝，∴CM＝2CE＝，∴AM＝，∴AM2﹣AN2＝BM2﹣BN2，∴（）2﹣AN2＝42﹣（8﹣AN）2，∴AN＝，∴MN＝＝，∴M′N＝，∴BM+MN的最小值为．20．解：（1）∵，∴a﹣4＝0，b+6＝0，∴a＝4，b＝﹣6，∵四边形OABC是正方形，点B的横坐标为a，∴OA＝4，∵四边形DEFG为长方形，点G的坐标为（b，﹣b），∴F的纵坐标为：﹣b＝6，OD＝6，∵DE＝OA，∴OE＝OD﹣DE＝OD﹣OA＝6﹣4＝2，∴F（﹣2，6）（2）∵OE＝2，AD＝2OA+OE＝2×4+2＝10，AE＝OA+OE＝4+2＝6，长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，∴当0＜t≤2，t≥10时，S＝0；当2＜t≤6时，点E'在OA上，如图1所示：S＝OC•OE′＝4（t﹣2）＝4t﹣8；当6＜t＜10时，点D'在OA上，如图2所示：S＝AB•AD'＝4（10﹣t）＝40﹣4t；∴S＝；（3）∵D′G′＝DG＝6，当三角形PD'G'的面积为15时，∴点P到D′G′的距离为5，∵长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），∵当点P再次运动到AO、OC时，△PD'G'的面积＜15，∴分两种情况：①当t＝3s时，点P在BC的中点处，如图3所示：即PC＝2，DG向右平移了3个单位长度，OD′＝OD﹣3＝6﹣3＝3，此时，PC+OD′＝2+3＝5，即点P到D′G′的距离为5，P的坐标为：（2，4），OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣3＝1，∴S＝OC•OE′＝4×1＝4；②当t＝5s时，点P在AB的中点处，如图4所示：即AP＝2，DG向右平移了5个单位长度，OD′＝OD﹣5＝6﹣5＝1，此时，OA+OD′＝4+1＝5，即点P到D′G′的距离为5，P的坐标为：（4，2），OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣1＝3，∴S＝OC•OE′＝4×3＝12．。

2020中考数学相似三角形专题训练（含答案）一、选择题：1. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）A．B．C．D．﹣答案：D．2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）A．=B．=C．=D．=答案：C3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）A．①②③④ B．①④ C．②③④D．①②③答案D．4.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C．二、填空题：5.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．答案：4．6. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．答案：或．7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．故答案为113°或92°．8.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．答案：1．9. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE= ．答案：．10.如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为．故答案为3：4．三、解答题：11.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．12.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．13. 如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．∵△ADF∽△DEC，14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是　MD=ME　；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．15. （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为　AD=AB+DC　；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．。