第4章频域分析
前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。
信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。因此，我们首先介绍信号的频域分析法。
4.1概述
一、频域分析法
1.定义
所谓信号的频域分析
．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。
2.频域分析的目的
（1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围；
（2）分析各信号之间的相互关系；
（3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断；
二、频谱
1.定义
所谓频谱，也就是信号的频域描述。
2.分类
对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。
（1）周期信号：离散的
．．．幅值谱、相位谱或功率谱
（2）非周期信号：连续的
．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度
（3）随机信号：具有统计特征
．．．．的功率谱密度
3.功率谱
（1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布；
（2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况；
注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱
所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。
5.相干分析
所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。
三、谱估计
1.定义
由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有限时间内进行，因此，我们不可能按定义从无限区间求得真实的频谱，而只能在有限域中进行计算（比如，由有限长的离散采样序列来求得频谱）。这种频谱实际上只是真实频谱的一种估计值，故称为谱估计。
2.分类
目前，谱估计方法大致可以分为：
（1） 经典法（线性估计法）——用传统的傅里叶变换分析方法求谱。它又包括：
○
1间接法（相关估计法）——由数据的自相关序列求功率谱； ○
2直接法（周期图法）——由数据直接用离散傅里叶变换求功率谱； （2） 现代法（非线性估计法）——用参量信号模型来估计谱。它又包括：
○
1自回归信号（AR ）模型 ○
2滑动平均（MA ）模型 ○
3自回归滑动平均（ARMA ）模型 注意：这里我们重点介绍经典法。
4.2 功率谱分析及应用
一、 功率谱分析的目的
进行功率谱分析的目的在于：研究信号的能量（或功率）的频率分布，并突出信号频谱中的主频率。
注意：这里我们着重介绍自功率谱的分析，以下都简称为功率谱。 二、 功率的概念
一般来说，信号的功率与其幅度的平方成正比，相应的谱称为功率谱。 在时域内，任何实信号x (t )的平均功率定义为
⎰
-∞→=2
/2
/2
)(1lim
T T T dt t x T
P
式中，|x (t )|2为信号x (t )的瞬时功率。若积分
⎰
∞
∞
-dt t x 2
)(收敛，则表示信号x (t )的总能量。
三、 帕塞瓦（Parseval ）定理
下面我们将推导信号x (t )的功率与其频谱之间的关系，即帕塞瓦定理。 1. 数学推导
设实信号x 1(t )、x 2(t )的频谱分别为X 1(j Ω)、X 2(j Ω)，即
)()()()(2211Ω↔Ω↔j X t x j X t x ，
则由傅里叶变换（FT ）的反、正变换定义式，可得
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞
-∞∞-∞∞-Ω∞∞-∞
∞-∞∞-Ω∞
∞-ΩΩΩ=ΩΩ-Ω=ΩΩ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ΩΩ=d j X j X d j X j X dt e t x d j X dt d e j X t x dt t x t x t
j t
j )()(21)()(21)()(21)(21)()()(*1212122121ππππ
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω=Ω-*)()()(111j X j X t x 则为实信号，由于
上式表示功率定理．．．．。若实信号x 1(t )=x 2(t )= x (t )，即X 1(j Ω)=X 2(j Ω)= X (j Ω)，则由上式结论，得
⎰
⎰⎰
∞
∞
-∞
∞-*∞
∞
-Ω
Ω=Ω
ΩΩ=
d j X d j X j X dt t x 2
2
)(21)()(21
)(π
π
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ΩΩ也为偶函数为偶函数，即的对称性，可知由为实信号，则由于2)()()(j X j X FT t x
