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天津大学自动化原理 第四章 频域分析方法2 夏超英

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频域分析法

频域分析法

f
傅里叶变换的相角，其
值为
f
arctan
If R f
因此，时域函数x(t)的频谱图可有五种形式，以频率f为横坐
标，分别以 R f , I f , X f 和 f 为纵坐标:
1实频图R f _ f :由于R f 是实偶函数，故图形对称；
2虚频图I f _ f :由于I f 是实奇函数，故图形反对称；
频域分析法及其在故障诊断中的应用
二、频谱图的主要结构
1、频谱图的横坐标 所谓“谱”，即是按一定的规律列出的图表或绘制的图像。 “频谱”就是指按频率排列起来的各种成分，典型的频谱图如 下图1所示。
图1 典型的频谱图
频域分析法及其在故障诊断中的应用
因此，频谱图的横坐标是频率，且横坐标上的频率点是等间 隔的，频率间隔△f为：
频域分析法及其在故障诊断中的应用
采用这种方法验收精密滚动轴承，试验的结果与熟练技师 人工验收的效果不相上下，有些轴承缺陷，人工验收不能发现， 验收台却可以及时发现并提出警告。由于严格了验收规范，就 减少了大修中更换轴承的次数，以及运行中发生事故的可能性。
频域分析法及其在故障诊断中的应用 例 3 利用功率谱诊断法对发动机气缸活塞间隙进行诊断。
ห้องสมุดไป่ตู้
An
jBn 2
e
j
2πft
频域分析法及其在故障诊断中的应用
令
C0
x0 2
, Cn
An
jBn 2
, Cn
An
jBn 2
则
x t C0 Cne j2πft Cne j 2πft
n1
C0 Cne j2πft n1
式中Cn和C-n是一对共轭复数，它也可以表达为：

自动控制原理课后习题答案

自动控制原理课后习题答案
• 1932年，Nyquist提出了一种根据系统的开环频率 响应(对稳态正弦输入) 。
• 20世纪40年代，Evans提出并完善了根轨迹法。
• 20世纪50年代末，最优控制系统设计。
• 20世纪50年代末，基于时域分析的现代控制理 论。
• 60年代～80年代：最优控制、随机系统的最优控 制、复杂系统的自适应控制和学习控制得到了研 究。
5. 干扰量(Disturbance)：引起被控量偏离预定运 行规律的量。除给定值之外，凡能引起被控量变 化的因素，都是干扰。干扰又称扰动
6.反馈(Feedback)：将系统输出量引回输入端，并 与参考输入进行比较的过程。
7.前向通路 (Forward Channel)：从给定量到被控 量的通道。
缺点: 闭环控制系统的参数如果匹配得不好，会造成被控量的 较大摆动，甚至系统无法正常工作。
例: 飞机自动驾驶控制
被控对象: 飞机
被控量： 飞机的俯仰角 θ
控制任务：系统在任何扰动作用下，保持飞机俯仰角不变。
仰俯角控制系统方块图
IV 复合控制
开环控制和闭环控制相结合的一种控制。实质上，它是在 闭环控制回路的基础上，附加了一个输入信号或扰动作用 的顺馈通路，来提高系统的控制精度。
an
d
n n
c(t
)
dt n
+
an-1
d n-1n-1c(t ) dt n-1
+"+
a1
dc(t) dt
+
a0c(t )
=
bm
d m m r (t ) dt m
+ bm-1
d m-1m-1r (t ) dt m-1
+" + b1

自动控制原理第5章频域分析法

自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。

夏超英自动控制原理12345章答案

夏超英自动控制原理12345章答案

自动控制原理习题详解（上册夏超英主编科学出版社）第一章习题解答1-1什么是开环控制系统？什么是闭环控制系统？比较开环控制系统和闭环控制系统的不同，说明各自的优缺点。

答：在开环控制系统中，信号从控制器到执行机构再到被控对象单方向传递，输出量不对控制作用产生影响。

开环控制系统结构简单，成本低，但无法克服被控对象变化和扰动对输出的影响。

在闭环控制系统中，被控对象的输出反方向被引到控制系统的输入端，信号沿前向通路和反馈通路闭路传输，控制量不仅与参考输入有关，还与输出有关，即根据参考输入和系统输出之间的偏差进行控制。

闭环控制系统需要对输出量进行测量，存在稳定性设计问题，较开环控制系统复杂，但可以有效地克服被控对象变化和扰动对输出的影响。

1-2日常生活中反馈无处不在。

人的眼、耳、鼻和各种感觉、触觉器官都是起反馈作用的器官。

试以驾车行驶和伸手取物过程为例，说明人的眼、脑在其中所起的反馈和控制作用。

答：在驾车行驶和伸手取物过程的过程中，人眼和人脑的作用分别如同控制系统中的测量反馈装置和控制器。

在车辆在行驶过程中，司机需要观察道路和行人情况的变化，经大脑处理后，不断对驾驶动作进行调整，才能安全地到达目的地。

同样，人在取物的过程中，需要根据观察到的人手和所取物体间相对位置的变化，调整手的动作姿势，最终拿到物体。

可以想象蒙上双眼取物的困难程度，即使物体的方位已知。

1-3 水箱水位控制系统的原理图如图1-12所示，图中浮子杠杆机构的设计使得水位达到设定高度时，电位器中间抽头的电压输出为零。

描述图1-12所示水位调节系统的工作原理，指出系统中的被控对象、输出量、执行机构、测量装置、给定装置等。

出水进水阀门进水2Q图1-12 水箱水位控制系统原理图答：当实际水位和设定水位不相等时，电位器滑动端的电压不为零，假设实际水位比设定水位低，则电位器滑动端的电压大于零，误差信号大于零（0e >），经功率放大器放大后驱动电动机M 旋转，使进水阀门开度加大，当进水量大于出水量时（12Q Q >），水位开始上升，误差信号逐渐减小，直至实际水位与设定水位相等时，误差信号等于零，电机停止转动，此时，因为阀门开度仍较大，进水量大于出水量，水位会继续上升，导致实际水位比设定水位高，误差信号小于零，使电机反方向旋转，减小进水阀开度。

频域分析法

频域分析法

111 第五章 频域分析法用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。

此外，由于高阶系统的结构和参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统动态性能的影响。

当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的途径。

本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。

频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法测定。

频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指明如何设计校正。

第一节 频率特性对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号t U t u ωsin )(= (5—1)则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即) t Y t y ϕω+=sin()( (5—2)u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。

这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。

不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式)()()()()())(()()()()(121s A s B ps s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n =+=+++==∏= (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量；A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；n p p p ---,,,21 —传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。

由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)))(()(22ωωωωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4） 输出信号y(t)的拉氏变换为Y(s)＝U(s)G(s)将式(5—3)、式（5—4)代人上式得∏=+⨯-+=n j j ps s B j s j s U s Y 1)()())(()(ωωω 上式可改写成(利用部分分式法)nn p s b p s b p s b j s a j s a s Y +++++++-++= 221121)(ωω (5-5)112上式中 n b b b a a ,,,,,2121 —待定系数，它们均可用留数定理求出。

频域分析法

频域分析法

Nichols Chart
10 0 -10 -20 -30 -180
-150
-120
-90
Open-Loop Phase (deg)
5.2 典型环节的频率特性
1. 比例(放大)环节
2. 积分环节
3. 惯性环节 4. 振荡环节
5. 微分环节
1) 理想微分环节 2) 一阶微分环节 3) 二阶微分环节
6. 延迟环节 7. 非最小相位环节
频率特性： G( j )
A( ) 1 (T ) 1
2
1 jT 1
X ( ) jY ( ) A( )e j ( )
Im ω→ ∞ 0 45° ω=1/T
( ) arctanT
1
Re
1 1 当： 0 时，A( )： 1 0 T 2 ( )： 0 45 90
5.1 频率特性
3) 对数幅相图 尼柯尔斯图(Nichols plot)，=对数幅相曲线 。
对数幅相曲线是在以 υ(ω)(°) 线性分度为横轴、 以L(ω)=20lgA(ω)(dB) 线 性分度为纵轴的对数幅相 平面中，以ω为参变量绘 制的G(jω)曲线。
30 20
Open-Loop Gain (dB)
2.5
3
输出的振幅和相位一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而变化。
1. 频率特性的概念 r(t)=Arsin(ωt)
5.1 频率特性
r( t )
css (t ) Ar G( j) sin[t G( j)]
Ac sin[t ]
线性 系统
c( t )
在正弦输入信号作用下，线性系统的稳态输出
L( ) 20 lg (dB) ( ) 90

自动控制原理--第5章 频域分析法

例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数

基于复数模型描述的感应电动机参数辨识算法

基于复数模型描述的感应电动机参数辨识算法
夏超英
【期刊名称】《中国电机工程学报》
【年(卷),期】2000(20)12
【摘要】根据感应电动机的复数状态方程描述 ,首先讨论了转速恒定条件下感应电动机参数辨识的最小二乘算法 ,指出其性能对转速波动的敏感性。

其次 ,应用本文得到的实参数复变量正实误差模型条件下的参数调整算法 ,给出了 2种新的变速驱动时感应电动机定转子参数的辨识算法。

【总页数】6页(P1-6)
【关键词】感应电动机;参数辨识;复数模型描述
【作者】夏超英
【作者单位】天津大学电气自动化及能源工程学院，天津 300072
【正文语种】中文
【中图分类】TM346
【相关文献】
1.基于滤波算法的感应电动机参数离线辨识 [J], 张虎;孙天硕
2.基于铭牌数据和序列二次规划算法的感应电动机模型参数辨识 [J], 毛晓明;廖卫平
3.基于遗传算法的感应电动机稳态模型参数辨识 [J], 罗鹏辉;刘梦亭
4.基于感应电动机复数简化模型的参数辨识研究 [J], 姜杰;王学斌;殷家敏;张太勤;
陈波
5.感应电动机模型参数在线辨识的UKF算法 [J], 杨自群;丁涛
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频域分析法经典

0Βιβλιοθήκη Re1
0 j
0

三、微分环节
传递函数:
G s s 频率特性:
A 及相频特性
G(j ) j e
π j 2
1. 幅频特性
A

L ,
( )

2

2
0
2. 对数频率特性
π 2
dec B d 20
L 20lg A 20lg
1

20lg A 20lg j n 20n lg n G j j nπ ( ) 2
Im

900
3.幅相频率特性
n
n n

令 dA 0
特征点1: n 时 A n 1 2 n 2 特征点2:
A ,
1
0.3 0.5 0.707
谐振频率 r n 1 2 2 谐振峰值
5-2 典型环节与开环系统频率特性
比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节（一阶系统） 一阶微分环节
振荡环节（二阶系统）
一阶不稳定环节
一、比例环节
传递函数: G s K 频率特性: G j K 1. 幅频特性
A K
A 及相频特性

2 n 1 2 arctan n 2 n G(j ) j 2 2 2 2 2 2 1 n 1 2 2 1 2 2 n n n n 2 n , 0 ~ 90o 2 n arctan 2 o n , 90 1 n o o n , 90 ~ 180

基于二次型性能指标的混合动力汽车实时优化控制

基于二次型性能指标的混合动力汽车实时优化控制
夏超英;张聪
【期刊名称】《控制理论与应用》
【年(卷),期】2014(031)005
【摘要】为解决混合动力系统实时优化控制问题,本文提出了一种基于二次型性能指标最优的混合动力汽车功率分配优化方案.通过合理的假设和近似,建立了混合动力系统的线性模型,并利用二次型最优控制理论将混合动力最优控制问题转化为二次型最优调节问题进行求解,得到了一个结构简单的实时优化控制算法.5种道路工况下的仿真结果表明,本文提出的控制方法在未来道路工况未知的情况下能够实现混合动力系统的实时优化控制,且节油率与离线计算以燃油消耗最小为性能指标的全局最优控制的节油率相近.
【总页数】6页(P601-606)
【作者】夏超英;张聪
【作者单位】天津大学电气与自动化工程学院,天津300072;天津大学电气与自动化工程学院,天津300072
【正文语种】中文
【中图分类】U463
【相关文献】
1.基于电量平衡的串联混合动力汽车瞬时优化控制 [J], 朱诗顺;任永乐;张月滨;朱道伟;王星博
2.基于模糊 PID 扭矩识别的混合动力汽车优化控制 [J], 钱立军;邱利宏;陈朋
3.基于Labview的混合动力汽车CAN总线采集与实时控制 [J], 王振; 谢斌权; 裴锦雲
4.基于实时路况信息的插电式混合动力汽车预测性能量管理算法研究 [J], 陈渠;殷承良;张建龙;秦文刚
5.基于深度强化学习的插电式柴电混合动力汽车多目标优化控制策略 [J], 隗寒冰;贺少川
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稳定
（a）
j
（b）
j
（c）
j
p0
p 1
p2
1
0
1
0
1
0
稳定
稳定
不稳定
（பைடு நூலகம்）
（e） 几个应用奈奎斯特判据判稳的例子
（f）
3、系统开环传递函数有虚轴上的极点时的奈氏判据 若系统开环传递函数有虚轴上的极点，则开环传递函数的幅相频率特性在这些 点上没有定义。在这种情况下，必须对奈氏路径略作修改，以避开这些开环极点， 修改后的奈氏路径记为闭曲线 s ，如下图（a） 、 （b）所示。 对奈氏路径做上述修改后，替代开环幅相频率特性曲线无定义（间断）点的， 是 s 平面上围绕虚轴上开环极点的半径无穷小半圆映射到 G( s) H ( s) 平面上半径为 无穷大的圆弧。 当 s 按图中所示的方向沿半径为无穷小半圆转过 180 时， G( s) H ( s) 平面上半径为无穷大的圆弧所转过的角度，等于半径无穷小半圆所绕的开环极点的 重数 180 ，即半径为无穷大的圆弧总是顺时针方向旋转的。
j
[s]
F ( s1 )
j
[ F ( s)]
z2 z1 s1 p3 p2 p1
F
z3
s
2、奈氏稳定性判据 用开环传递函数 G( s) H ( s) 构造辅助函数 F (s) 1 G(s) H (s) ，显 然 F ( s ) 的极点即开环传递函数的极点， F ( s ) 的零点即闭环传递函数的 极点。当 F ( s ) 在右半闭复平面上没有零点时，闭环系统就是稳定的。 设开环传递函数 G( s) H ( s) 在右半开复平面不稳定极点的个数为 p ，且没有虚轴上的开环极点。将 s 复平面的虚轴和右半 s 复平面中半 径为无穷大的半圆取为闭曲线 s ，称为奈氏路径，如下左图所示。当 s 沿闭曲线 s 顺时针方向变化一周时，辅助函数 F ( s ) 曲线绕原点逆时针 方向旋转的圈数 n 等于 F ( s ) 在右半开平面的极点数 p 减去 F ( s ) 在右半 开平面的零点数。
j
[s]
j
1
[GH ]
T1 T2
j
A
'
[GH ]
B

1 j T2 1 10 T1 1
1 B : ( ) T2 1 A : ( ) T2

1
t
g

1 1
T2
tg
t
g
1
T t 2 g
1
1

0 O k
T
T 1
2
k
1
0 O
A
B
'
1 T1
j
j
[s]
[G ( s ) H ( s )]
B
1
A
O 0
A'
0
B'
j
[GH ]
B

t
g
1
j
T t 2 g
1
1
[s]
1
T
T 1
2
k
1 j T2
B : (
1 ) T2 1 A : ( ) T2
0 O
0
A
1 T1
j [GH ]
1

1 2
1 0
1
1 2
这样， 当 s 沿乃氏路径变化时， G( s) H ( s) 平面上的曲线对负实轴上 (, 1) 区段的穿 越次数 N N p 2 时，闭环系统稳定，否 则不稳定。 极坐标图中实轴上的 (, 1) 区段，和对 数频率特性中的 L() 0, () 180 相对 应，由此得到对数频率特性的稳定性判据： 设开环传递函数 G( s) H ( s) 有 p 个右半 s 平面上的极点， 在对数幅频特性 L( ) 0 的区 段内，对数相频特性曲线对 180 线的正、负 穿越次数之差满足 N N p 2 时， 闭环系 统稳定，否则不稳定。 注意：当开环传递函数中包含有积分环节 或虚轴上的极点时，开环传递函数的频率特性 在相应的频率点处，幅频特性会趋于无穷大， 相频特性会出现 90 整数倍或 180 整数倍 的相角跳变，在应用对数频率稳定判据判稳 时，必须将这些跳变考虑进来。
j
j
[s]
O 0
[G ( s ) H ( s )]
j
B
'
'
[G ( s ) H ( s )]
A
B
1
1
O 0
A'
0
A
B'
（a）
（b）
（c）
例题：设系统开环传递函数为
G( s) H ( s)
k ( 1s 1) (T1s 1)(T22 s 2 1)
设 k 0 ，试用奈氏判据判定系统的稳定性。 解：奈氏路径如下左图所示。映射曲线分 1 T1 和 1 T1 两种情况。1 T1 时，幅 相特性曲线不包围 (1, j0) 点， 闭环系统稳定； 幅相特性曲线包围 (1, j0) 1 T1 时， 点，闭环系统不稳定，如下图所示。
例题：设单位反馈系统开环传递函数为
G(s)
k s (Ts 1)
设 1, 2 ， k 0 ，试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。 解： 1 时，开环幅相频率特性曲线如下图（b）所示。因为开环传递函数没有 右半平面的极点， p 0 ，映射曲线 AB O 不包围 (1, j0) 点，故闭环系统稳定。 在 2 时，开环幅相频率特性曲线如下图（c）所示。因为系统开环传递函数没 有右半平面的极点， p 0 ，映射曲线 AB O 包围了 (1, j0) 点，故闭环系统不 稳定。
0
A
0
在 上 图
A 、 B
弧 段 上 ，
G(s) H (s) G0 (0) ( e j ) ke j
s e j 。 0 时 有 。当 s 在奈氏路径上由 A 到 B 点变化
时， : 0 2 变化，即从实轴上开始逆时针方向转 90 ，像函数 G( s) H ( s) 从实轴上 G0 (0) k 的方向开始，顺时针方向沿半径无穷大圆弧转过 90 。 当开环传递函数有虚轴上的极点时，处理方法相似。 经过上述修改和补充后，将开环传递函数在原点和虚轴上的极点看成是位 于左半平面稳定的极点，则奈氏稳定性判据仍然成立。
j
[s]
j
[s]
0
R
0
R
0
0
s
0
s
（a）
（b）
以开环传递函数有 个积分环节的情况为例，设 G(s) H (s) G0 (s) s ，
G0 (0) k ，即 G0 (s) 不含积分环节。只考虑奈氏路径的上半部分，s 的变化的
路径如下图所示。
j
[s]
B
j
[s]
j
[ F ( s)] p0
R
0

0
1
0
s
因为总有 G( j)H ( j ) 0 ，只需考虑奈氏路径中沿虚轴变化这一部分 的映射曲线就可以了。 而且， 开环传递函数的分子、 分母多项式都是实系数的， 故 从 到 0 变化时和 从 0 到 变化时， F ( j ) 映射曲线关于实轴是 对称的。故有下面的奈奎斯特稳定性判据： 设负反馈系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) ，G( s) H ( s) 在右半复平面上 极点个数等于 p ，则当 : 0 变化时相角增量
定。 若出现 G( j ) H ( j ) 曲线穿过 (1, j 0) 的情况，则相应的频率值 1 必满 足方程 1 G( j1 ) H ( j1 ) 0 ，即闭环传递函数有纯虚根 j1 ，闭环系统至 多只是临界稳定的。
j
j
j
p0
p0
p2
1
0
1
0
1
0
不稳定
稳定
L(dB)
40 L(dB)
20 40
20
20 40
0.1
0.5
1
10

0.1
0.5
1
10

60
60



45
90
180 270

45 90
180 270
例题：设系统的开环传递函数为
j
G ( s) H ( s)
k s 2 (Ts 1)
[s]
B
式中， k 0 ，用对数频率特性判定稳定性。 解：因为开环传递函数含有两个积分环节，奈氏路径 在原点附近为第Ⅰ象限半径无限小的 1 4 圆， 如右上图 所示， 奈氏路径起始点在正实轴上并且无穷靠近原点， 它的映象为无穷大的正实数， 当沿上述 1 4 圆逆时针方 向旋转至正虚轴上时，它的映象从正实轴方向开始沿 半径无穷大的圆弧顺时针方向旋转 2 90 。上述事实 反映在右图中是对数相频特性曲线中虚线所示的部 分，当开环传递函数含有积分环节，应用对数频率稳 定判据判稳时，此虚线部分不能遗漏。 这样，补充虚线部分后的对数相率特性曲线如下 图所示，在 L() 0 的频率范围内，相频特性曲线对
ABO 逆时针方向绕 (1, j0) 点 180 ，满足 [1 G( j) H ( j)] p 的条件，
闭环稳定。
B'
j
[s]
j
[GH ]
p 1
B
A'
A
1
0 O
0
4、对数稳定性判据 系统的开环传递函数 G( s) H ( s) 的分母分子多项式是 实系数的，当 G( s) H ( s) 没有虚 轴上或原点上的极点时，幅相频 率特性的起始点一定在正实轴或 负实轴上，当 G( s) H ( s) 有原点 或虚轴上的极点时，对奈氏路径 进行修改后，将幅相特性曲线中 半径为无穷大的圆弧部分包括进 来，则幅相特性曲线幅相频率特 性同样也起始于实轴上，且是连 续无间断的，如右图所示。所以， 幅相特性曲线对 (1, j0) 点的包 围情况，可以简单地根据其对实 轴 (, 1) 区段的穿越情况来决 定。为此有右下图所示穿越次数 的定义。