第三讲 概率及概率分布

正态分布的重要性

描述连续型随机变量的最重要的分布 可用于近似离散型随机变量的分布
例如： 二项分布

经典统计推断的基础
f (x)
x
概率密度函数
f ( x)


1
2
e

1 2
2 x 2
, x
f(x) = 随机变量 X 的频数
= 总体方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- < x < )

二项分布

设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为
PX x C p q
x n x
n x
( x 0,1,2,, n)
x 式中： C n
n! x! ( n x )!
二项分布--实例
例：从一批零件中随机抽取5件进行检验，每次 取一件且检验后放回。假设在零件的加工过程中 ，出现次品的概率为0.05，求5件零件中恰好有x 件次品的概率（x=0，1，2，3，4，5）。

离散型随机变量的数学期望


描述离散型随机变量取值的集中程度
计算公式为
E ( X ) xi p i
i 1 n
( X取有限个值） ( X取无穷个值）
E ( X ) xi p i
i 1
离散型随机变量的方差

描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为
D( X ) E[ X E ( X )] 2 若X是离散型随机变量，则 D( X )
4.2.2 随机变量的概率分布
• 随机变量可能的取值范围和取这些值相应
的概率称为随机变量的概率分布

1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R

概率复习第一讲古典概型例1.一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.设{恰有一个红球}A =，{第三个球是红球}B =.求在下列条件下事件B A ,的概率. （1）不放回抽样； （2）放回抽样.例2.某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．练习提升:1.将一枚硬币抛两次，恰好出现一次正面的概率是 （ ）A.21 B.41 C.43 D.312．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 （ ） A ．5216 B ． 25216 C ． 31216 D ． 912163．在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是 ( ) A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8 4.从5名男医生和4名女医生中选出4名代表，至少有一男一女的概率是 ． 5.“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)， ，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．6.以下茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵树。

所谓古典概率：若 A1, A2, A3, , An是一个等可能 完备事件组，而事件A由其中的某m个基本 事件所构成，则大量实践经验表明，事件A 发生的概率为：
P(A)=m/n
例题1：
抛掷一个骰子一次，问出现5点的概率 是多少？出现奇数点的概率是多少？
例题2
一个袋子中装有3白2黑共5个同样大小 的塑料球。
随机现象是概率论的研究对象，概率论是统计推 论的理论（数学）基础，概率是统计推论的依据。 统计推论的所有数学表都是以概率为基础的。
二、概率
随机事件（例子）： 诞生的婴儿将是
男孩； 某人将活到80岁
以上；
明年报考公务员 的人数将超过 200万人；
明天将下雨；
随机事件：对随机现象进行的 观察或试验称为随机试验。 在一定条件下所进行的随机 试验中，可能发生或可能不 发生的事情称为随机事件。 通常用大写字母A、B、C等 来表示。
问题：既然社会中存在大量的非确定 性现象，那么预期或预测如何可能？
统计规律：从表面上看来非确定性现象好 像是捉摸不定的，纯粹是偶然性起支配作 用，但实际上，在研究了大量同类现象后， 通常会揭示出一种确定的规律性，这就是
所谓的统计规律。
EG，如果无数次投掷硬币，就可以断定正面朝上的次数 与抛掷总次数的比接近1/2。。。。。。
例题5：
为了研究父代文化程度对子代文化程 度的影响，某大学统计出学生父亲具 有大学文化程度的占25%，母亲具有 大学文化程度的占18%，而父母双方 都具有大学文化的占10%，问学生中 任抽一名，父代至少有一名具有大学 文化程度的概率是多少？
例6：
若事件A表示抛掷骰子一次，出现偶数 点的情况，事件B表示出现的点数大于 3的情况。请问，抛掷骰子一次，出现 偶数点或点数大于3的概率为：