常用概率分布之间的关系及应用研究_陶会强

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常见概率分布间的关系

常见概率分布间的关系

分布的特殊情形
特殊情形是指通过将一个随机变量概率分布中的参数取特定值所得到的一个新的概率分布。

分布的变换关系
变换关系是指对一个或多个随机变量进行函数变换而得到的一个新的随机变量。

分布的极限关系
极限关系是指当某个参数趋向某值时，一个随机变量的概率函数逼近于另一随机变量的概率函数。
常见概率分布间的关系及其应用

1.用简便的方法计算巴斯卡分布的期望，方差和特征函数？巴斯卡分布几何分布你想过 2.指数分布参数的区间估计？下面的问题吗？指数分布卡方分布 3.如何获得的N (, 2 ) 的随机数？均匀分布正态分布 4.如何构造未知参数的置信限？均匀分布与其它分布间的联系

均匀分布于其他分布的联系
概率分布间的关系的应用

分布的特殊情形的应用
用简便的方法计算巴斯卡分布的期望，方差和特征函数. ……………………

分布的变换的应用指数分布参数的区间估计.
……………………

分布的极限的应用
如何获得的N ( , 2 ) 的随机数. ……………………
Βιβλιοθήκη 均匀分布的应用构造参数的置信限.
概率分布间的关系图表示

两条主线
(1)伯努利试验过程在伯努利实验中，成功次数服从二项分布。为等待第一次成功，等待时间服从几何分布，为等待第r次成功，等待时间服从巴斯卡分布。 (2)泊松过程在泊松过程中，来到数服从泊松分布。为等待第一次来到，等待时间服从指数分布，为等待第r次来到，等待时间服从埃尔兰分布。

《概率分布》课件

06
概率分布的参数估计与假设检验
参数估计方法
极大似然估计法
通过最大化样本数据的似然函数来估计参数，具有无偏性和一致性。
最小二乘法
通过最小化误差的平方和来估计参数，适用于线性回归模型。
贝叶斯估计法
基于贝叶斯定理，通过先验信息和样本数据来估计参数，考虑了参数的不确定性。
假设检验原理
零假设与对立假设
二项分布在统计学、可靠性工程、遗传学等领域有广泛应用。
泊松分布
01
泊松分布描述了在单位时间内随机事件发生的次数的概率分布情况。
02
泊松分布的概率函数为P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k! ，其中λ是随机事件发生的平均速率。
03
泊松分布在物理学、工程学、保险学等领域有广泛应用。
相关系数
相关系数是协方差的归一化形式，用于衡量两个随机变量的线性相关程度，取值范围为 -1到1。
大数定律与中心极限定理
大数定律
大数定律是指在大量重复实验中，某一事件发生的频率趋于稳定，并收敛于理论概率。
VS
中心极限定理
中心极限定理表明，无论独立随机变量的分布是什么，它们的和的分布趋近于正态分布。
自然现象模拟
自然现象模拟是概率分布应用的另一个领域。在自然科学中，许多自然现象都可以通过概率分布进行描述和模拟，例如天气变化、地震和疾病传播等。
概率分布在自然现象模拟中主要用于描述自然现象的概率规律，进行模拟和预测。例如，通过概率分布可以模拟地震发生的概率和强度，预测流行病的传播趋势等。
人工智能算法
数学期望值是概率分布的中心位置，表示随机变量的平均值
。
方差
方差是用来描述概率分布的离散程度的数值。

概率论常用分布的概念及应用

一、前言随着医学模式的转变，护理工作不再仅仅局限于疾病的治疗，更注重于患者的身心健康和人文关怀。

为提高护理服务质量，我院于近日开展了人文护理查房活动。

本次查房旨在强化护理人员人文素养，提升患者满意度，现将查房总结如下。

二、查房内容1. 患者需求评估查房过程中，护理人员深入病房，对患者的需求进行评估。

通过观察、询问、沟通等方式，了解患者的基本情况、心理状态、生活习惯等，为制定个性化的护理方案提供依据。

2. 人文关怀措施针对患者的需求，护理人员采取了一系列人文关怀措施，如：（1）耐心倾听：与患者进行有效沟通，了解患者的痛苦和需求，给予心理支持。

（2）尊重患者：尊重患者的隐私和信仰，关心患者的日常生活，营造温馨的病房氛围。

（3）健康教育：普及疾病知识，提高患者对疾病的认识，增强患者战胜疾病的信心。

（4）心理疏导：关注患者的心理状态，进行心理疏导，缓解患者的焦虑、恐惧等负面情绪。

3. 护理团队协作查房过程中，护理人员相互配合，共同为患者提供优质的护理服务。

通过团队合作，提高护理质量，降低护理风险。

三、查房成果1. 提升患者满意度通过人文护理查房，患者感受到我院护理人员的关爱，满意度得到显著提升。

2. 增强护理人员人文素养查房过程中，护理人员不断学习、交流，提高自身人文素养，为患者提供更加优质的护理服务。

3. 促进护理团队建设人文护理查房有助于加强护理团队之间的沟通与协作，提高护理团队的整体素质。

四、总结与展望本次人文护理查房活动取得圆满成功，为我院护理工作注入了新的活力。

在今后的工作中，我们将继续深化人文护理理念，不断提高护理服务质量，为患者提供更加优质的护理服务。

具体措施如下：1. 加强护理人员人文教育，提高护理人员人文素养。

2. 完善人文护理制度，将人文关怀融入护理工作全过程。

3. 定期开展人文护理查房，持续改进护理服务质量。

4. 加强与患者的沟通与交流，关注患者需求，提高患者满意度。

总之，人文护理查房活动是我院护理工作的一次有益尝试，我们将以此为契机，不断提升护理服务质量，为患者提供更加优质的护理服务。

概率分布间的关系研究

,x>0 (λ , α > 0为常数) ,x≤ 0
1
W (λ ,1) = e( λ )
⎧λe− λ x ⎩ 0 ,x>0 ,x≤0
设随机变量 X ~ W (λ ,1) ，则其 p.d . f .为： f ( x ) = ⎨ 此式正说明 X ~ e (λ ) ， ∴ W (λ ,1) = e( λ ) 可见，指数分布乃是威布尔分布的特例。
(4) 麦克斯韦分布 → 瑞利分布麦克斯韦 (Maxwell ) 分布的 p.d. f . 为：
2 − x2 ⎧ x2 α ⎪ 4 e f (x) = ⎨α 3 π ⎪ 0 ⎩
, x > 0(α > 0为参数) ,x≤0
瑞利分布的 p.d . f . 为：
2 ⎧ ⎪2λxe− λ x f (x) = ⎨ ⎪ ⎩ 0
−1 r k − r −r r k−r P{ X = k} = Ckr − = Ckk− = Crk+−(rk − r )−1 p r q k − r 1p q 1 p q
从而负二项分布的分布律可写成：
P{ X = x} = Crx+ x −1 p r q x ( r为正整数, p + q = 1, p , q > 0, x = 0,1, 2, ⋯)
说明：三角分布也正说明了并非所有的分布都具有可加性，均匀分布就是一个例外。
综上所述，得这几个分布之间的关系图如下：
辛普森分布派生
无记忆性特性
均匀分布
Y = −α ln X (α > 0)
1
Y = e −λX
指数分布 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ 威布尔分布
特例
Y = X2
2
Y = X α (α > 0 )

概率统计中几种重要分布及关系

附件6编号（注：此处编号作者不填，由论文收藏单位填写.正式论文此行提示信息删除并保留2空行.）学士学位论文概率统计中几种重要分布及关系学院名称：专业班级：学生姓名：学号：指导教师：完成日期：年月日摘要概率统计作为数学知识理论中的重要内容，对于数学学习有重要的作用.随机变量的分布是概率统计中的重要内容，对随机变量分布的学习，有利于全面掌握概率统计的相关内容.本文主要是对概率统计中几种重要分布及关系的研究，采用文献总结法和分析归纳法，通过对概率统计中二项分布、泊松分布、正态分布的概念进行阐述，对三种分布之间的联系进行分析研究，对三种分布在实际中的具体应用进行系统的表述，最终得出二项分布与泊松分布之间之间，当n的数值越大时，二者的相似度越高；二项分布与正态分布之间存在二项分布收敛于正态分布的关系；泊松分布与正态分布存在某种固定的内在联系。

通过对概率统计中几种重要分布及关系的研究，有利于旨在建立系统全面的概率统计的知识架构，加强学生对概率统计相关知识的掌握和学习.关键词：概率统计；分布；关系；应用Several important distributions and relations in probability andstatisticsAbstractProbability and statistics, as an important part of mathematical knowledge theory, plays an important role in mathematics learning. The distribution of random variables is an important part of probability and statistics. Learning the distribution of random variables is conducive to a comprehensive grasp of the relevant content of probability and statistics. This paper mainly studies several important distributions and relationships in probability and statistics, using the methods of literature summary and analysis induction, This paper expounds the concepts of binomial distribution, Poisson distribution and normal distribution in probability and statistics, analyzes the relationship between the three distributions, and systematically describes the specific application of the three distributions in practice. Finally, it comes to the conclusion that the greater the value of binomial distribution and Poisson distribution, the higher the similarity between them; there is a gap between binomial distribution and normal distribution In the relationship of binomial distribution converging to normal distribution, Poisson distribution and normal distribution have some fixed internal relations. Through the study of several important distributions and relationships in probability and statistics, it is helpful to establish a systematic and comprehensive knowledge framework of probability and statistics, and strengthen students' mastery and learning of probability and statistics related knowledge.Key words: probability and statistics; distribution; relation; application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1绪论 (1)1.1研究背景及意义 (1)1.1.1研究背景 (1)1.1.2研究意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)1.2.1国内研究现状 (1)1.2.2国外研究现状 (2)1.3研究主要内容 (2)2相关概念 (4)2.1二项分布 (4)2.2泊松分布 (4)2.3正态分布 (5)3.三种分布间的联系 (7)3.1二项分布与泊松分布之间的联系 (7)3.2二项分布与正态分布之间的联系 (8)3.3泊松分布与正态分布之间的联系 (9)4.三种分布在实际中的应用 (11)4.1二项分布的具体应用 (11)4.2泊松分布的具体应用 (12)4.3正态分布的具体应用 (13)结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)1绪论1.1研究背景及意义1.1.1研究背景概率统计是数学课程中较为重要的数学知识点，二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布是数学概率论中最为基础的数学知识点，也是日常练习过程中较为常见的概率分布。

统计学中的概率分布及其应用

统计学中的概率分布及其应用概率分布是统计学中重要的概念之一，它描述了随机变量可能取得的各个取值的概率。

在统计学中，我们经常需要对数据进行分析和推断，而概率分布则为我们提供了一种数学工具，帮助我们理解和解释数据的分布规律。

一、离散概率分布离散概率分布适用于随机变量只能取有限个或可数个值的情况。

其中最常见的离散概率分布是二项分布和泊松分布。

1. 二项分布二项分布描述了在n次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。

例如，抛硬币的结果可以用二项分布来描述。

假设我们抛硬币10次，每次正面朝上的概率为p，那么正面朝上的次数就是一个二项分布。

二项分布的概率质量函数可以用来计算在给定n和p的情况下，正面朝上k次的概率。

2. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或单位面积内事件发生的次数的概率分布。

例如，某地区每天发生的交通事故次数就可以用泊松分布来描述。

泊松分布的概率质量函数可以用来计算在给定平均发生率λ的情况下，发生k次事件的概率。

二、连续概率分布连续概率分布适用于随机变量可以取任意实数值的情况。

其中最常见的连续概率分布是正态分布和指数分布。

1. 正态分布正态分布是统计学中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。

它的概率密度函数呈钟形曲线，对称分布于均值μ附近。

正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如身高、体重等指标的分布通常近似于正态分布。

正态分布的特点是均值和标准差能够完全描述其分布。

2. 指数分布指数分布描述了连续随机事件之间的时间间隔的概率分布。

例如，某个设备的寿命可以用指数分布来描述。

指数分布的概率密度函数呈指数下降曲线，具有无记忆性，即事件的发生与之前的事件无关。

三、概率分布的应用概率分布在统计学和实际生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 风险分析概率分布可以用于分析和评估风险。

例如，在金融领域，我们可以使用概率分布来计算投资组合的风险和回报。

通过分析不同的概率分布，我们可以量化不同投资策略的风险水平，从而做出更明智的决策。

概率论常见分布及应用

概率论常见分布及应用概率论是数学中的一个分支学科，研究随机现象的规律以及概率的性质和应用。

概率论中有许多常见的分布，它们描述了各种不同的随机现象，并在实际应用中发挥重要作用。

本文将介绍一些常见的概率分布及其应用。

1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是最简单的概率分布之一，表示随机变量在一段区间内取值的概率相等。

在实际应用中，均匀分布常被用于模拟随机抽样和产生随机数。

2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是自然界中非常常见的一种分布模式，也被称为高斯分布。

它具有钟形曲线状的密度函数，均值和方差完全决定了分布的形状。

正态分布在统计学中有广泛应用，常被用于描述连续型变量的分布，例如身高、体重、测试成绩等。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布。

它的特点是事件在时间或空间上是随机独立的，并且平均发生率是恒定的。

泊松分布广泛应用于计数模型，例如描述单位时间内电话呼叫数量、人员流量等。

4. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种离散概率分布，它描述的是在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

每次试验有两个可能结果，成功和失败，并且每次试验的成功概率相同。

二项分布常用于描述二分类问题的概率，例如抛硬币的正反面结果、产品合格率等。

5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布描述了连续型随机变量的等待时间或寿命的概率分布。

它的密度函数呈指数形式下降，适用于描述无记忆性的随机现象，例如设备故障间隔、客户到达间隔等。

6. 卡方分布（Chi-Square Distribution）卡方分布是一种常用的统计分布，它由平方和的形式得到。

卡方分布常用于检验两个分类变量之间的独立性，或者检验样本数据与理论模型之间的拟合度。

7. t分布（t-Distribution）t分布是一种广泛应用于小样本数据的概率分布。

概率分布的计算和应用

概率分布的计算和应用概率分布是统计学中的一个重要概念，它描述了随机变量在所有可能取值上的概率分布情况。

在实际应用中，我们经常需要计算和应用概率分布，以便进行数据分析和预测。

本文将介绍概率分布的计算方法和一些常见的应用。

一、离散型概率分布离散型概率分布描述的是随机变量的取值只能是有限个或可数个，而且每个取值的概率都可以明确确定的情况。

常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布。

1. 伯努利分布伯努利分布适用于只有两个可能结果的随机试验，比如投硬币的结果为正面或反面。

设随机变量X表示试验结果，X=1表示成功，X=0表示失败。

伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)其中，p为成功的概率，取值范围为0到1。

应用时，我们可以根据给定的p值计算出X取某个值的概率。

2. 二项分布二项分布适用于重复进行相同的独立试验，每次试验只有两个可能结果的情况。

常见的例子是抛硬币多次的结果，或者进行多次赌博的结果。

设随机变量X表示成功的次数，则X的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示独立试验的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)为组合数，表示n次试验中取k次成功的组合数。

通过计算二项分布的概率，我们可以得到在给定的条件下，成功次数为某个值的概率。

3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或者空间内随机事件发生的次数的情况。

常见的例子有单位时间内电话呼叫次数、单位空间内的汽车交通事故次数等。

设随机变量X表示单位时间或者空间内事件发生的次数，X的概率质量函数为：P(X=k) = (lambda^k * e^(-lambda)) / k!其中，lambda表示单位时间或者空间内事件的平均发生次数。

泊松分布的一大特点是，它对于小概率事件的模拟非常有效。

二、连续型概率分布连续型概率分布描述的是随机变量的取值可以是一个连续区间上的任意一个值。

方差稳定化变换综述

Ａｓｏｅ１４ｎｃｍｂ在９８年的论文中证明了当均值九比较大时，
即使用平衡设计也是如此。】际应用中，【：在实我们宁可偏离一点正态性，也要尽量保证方差齐性。当非常数的方差出现的时候，常的处理方案就是应用方差齐性变换，叫方差稳通也
换，并提出当０九２的时候，组合变换Ｔ（）ＶＹ＋．５ｖ＝
Ｖｙｌ与Ｔｙ＝／、ｙｌ＋（）ＸＹ＋／＋－３都是比较合理的变换。［５１
结论：当样本服从泊松分布ＹＰ九），数据应用平方 —（时对
收稿日期：０００ — ３２１－２０
‘ ｜
广＿－ｒ — 一一
１１．总体分布已知设＝（）Ｙ的均值，ａ（＝是关于均值的函Ｅｙ是Ｖｒｙ）数。我们希望能够找到一个变换ｙ＝（，ｖｒｙ）＝：Ｔｙ）使ａ（＝ｃ是一个常数。我们可以通过将Ｔｙ在处进行泰勒展开的方（）
定化变换。
２．差稳定化变换的几种情／｝１ｏ一Ｖ－ｒ＋（｝ｏ专ａ）
并提出当均值九比较大的时候，ａＶｙ３Ｖｔ＋／８比Ｖｒ／＋／ａ、ｖｌ２
更接近常数＿。Ｆｅｍｎ和Ｔｋｙ１５１ｒｅａｕｅ在９０年的论文中提出了
．
；
表１几种常用的变换
当．２组变换Ｔｙ＝／时０ ≤ ５，宜用合（）、＋
＝
与Ｔｙ（）
ｖ－３＋
。
有稳健性，即偏态分布对方差分析的结果影响不会太大。特别

关于概率分布理论的原理分析的一些讨论，以及经典概率分布的应用场景，以及概率统计其在工程实践中的应用

关于概率分布理论的原理分析的⼀些讨论，以及经典概率分布的应⽤场景，以及概率统计其在⼯程实践中的应⽤1. 随机变量定义0x1：为什么要引⼊随机变量这个数学概念在早期的古典概率理论研究中，⼈们基于随机试验的样本空间去研究随机事件，也发展出了⾮常多辉煌的理论，包括著名的在内。

但是随着研究的不断深⼊，遇到问题的不断复杂化，科学家们发现⾯对的问题也不仅仅是抛⾊⼦，⼝袋⾥摸球、抛硬币伯努利试验这样的简单问题，⽽是更加复杂的问题，例如多个随机试验的组合问题：例如考虑n个伯努利随机试验中某个事件发⽣次数的随机变量⾮实数型的样本空间：例如⽓候分析、⽔⽂模拟与预测等复杂问题，显然，这个时候样本空间就不⼀定都是数集了继续使⽤随机事件样本空间这种集合论数学⼯具进⾏问题分析和定量研究遇到了越来越多的困难。

为了能对更复杂的问题进⾏抽象建模，进⾏定量的概率公式化处理，因此，通过引⼊随机变量，将样本空间这个集合概念转化为⼀个⽆量纲的数集（函数概念），使得能统⼀地处理各种随机现象。

同时因为随机变量本质是函数范畴体系内的定义，因此还可以借助函数分析相关的数学⼯具展开对随机事件的定量分析，这使得概率论的发展⼜跨了⼀个⼤的台阶。

需要注意的是，对于随机变量来说，样本空间中的样本不⼀定是等概的。

在实际⼯程中，⾮等概模型才是更加普遍和⼀般的情况，随机事件的样本集空间中不同元素的发⽣概率⼀般不可能都是等概的。

等概摡型只是离散型随机变量⾥⼀个特例。

0x2：随机变量的抽象定义在随机试验E中，Ω是相应的样本空间，如果对Ω中的每⼀个样本点w，有唯⼀⼀个实数 X(w) 与之对应，那么就把这个定义域为Ω的单值实值函数 X=X(w) 称为(⼀维)随机变量。

函数 X(w) 的的定义域对应于随机变量的样本空间，记作，，当然，随机事件只会在⼀些区间内有概率的定义，在其他区间上概率为0。

站在试验前的⽴场看，我们不知道试验结果将出现样本空间Ω中的哪个样本点，即不知道随机变量将会取中的哪⼀个数。

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Xi θ
2.4.1 在图 1 中 , 用 “
图 1 分布关系图
” 表示变换关系 , 用 2.4.2 在文 [ 4] 的关系图的基础上 , 增加了以下
“ ” 表示极限关系 , 用 “ ” 表示独立同分布几种关系 :
的和 , 用 “ ” 表示特殊情形下的分布关系。
1)若 X ～ π(λ1), Y ～ π(λ2), 且 X , Y 相互独立 ,
3.2 近似计算
由泊松定理可知 , 二项分布可由泊松分布近似 ,
从而二项分布的概率值可由泊松分布近似 .同样地 ,
由中心极限定理可知 , 具有可加性且期望、方差存在
的分布收敛于正态分布 , 从而这些分布的概率值可由
正态分布概率值近似 .现举例如下 :
例 :一船舶在某海区航行 , 已知每遭受一次波浪
3)若 X , Y 独立同分布与 χ2(n), 则 nX -Y ～ 2 XY
t(n), 这说明了 χ2(n)分布与 t(n)分布的关系 . 4)若 X ～ N(0 , 1), Y ～ N(0 , 1), 且 X , Y 相互独
立 , 则|XY |服从柯西分布 , 这说明了正态分布与柯西分布之间的关系 .
B(90 000 , 1 3), 由中心极限定理得 :
P{29500 < X ≤30500}
= P{29n5p0(01--npp)<
X -np np(1 -p
)≤
30n5p0(01 --npp)}
=
P{
29500 -90000 90000 ×1 3(1
×1 -1
33)<
X -90000 ×1 3 90000 ×1 3(1 -1
r
∑Xi ～ Nb(r , p), 所以 Nb(r , p)当 r 较大时近似于
i =1
N (pr , r(1p-2 p))
4)设 X ～ χ2(n), Y ～ χ2(m), 且相互独立 , 则 X
+Y ～ χ2(m +n), 所以 χ2 (n) L N (n , 2n).
5)设 X1 , X2 , …, Xn 相互独立 , 且服从 Γ(αi , λ),
3.4 简化运算例 :设总体 X ～ Exp(θ), 其概率密度为 f(x)=
1θexp{- θx }, x ≥0 , θ>0 , X 1 , X2 , … , Xn 为其一个
∑ 样本
,问
2n θi =1
Xi
服从什么分布
?
解 :由 Xi
～
Exp(θ)可得
,
Xi θ
～
Exp(1);
由指数分布和伽玛分布的关系可知 ,
1 常用的一维概率分布[ 5]
1.1 离散型 (1)两点分布 :X ～ B(1 , p);(2)二项分布 :X ～
B(n , p);(3)泊松分布 :X ～ P(λ);(4)几何分布 :X ～ Ge(p);(5)超几何分布 :X ～ h(n , M , N);(6)负二项分布 :X ～ Nb(r , p) 1.2 连续型
在此 , 本文将文 [ 4] 的两条主线 , 即贝努利试验过程和泊松过程作为其中两条副线 , 主要原因是贝努利试验过程和泊松过程是初等概率论学习中最重要的两个过程 , 从中获得的概率模型和概率分布都是概率统计学的最基础的内容 .但是 , 由于贝努利试验过程和泊松过程都是描述离散型的概率分布 , 而中心极限定理建立了很多离散型随机变量分布和连续型的正态分布之间的关系 , 所以本文在此引入第三条副线 :中心极限定理 . 2.3 三个中心分布
第 30 卷第 5 期 2 0 1 1 年 5 月
怀化学院学报
Vol.30.No.5
JOURNAL OF HUAIHUA UNIVERSITY M ay , 2 0 1 1
常用概率分布之间的关系及应用研究
陶会强
(华东师范大学 , 上海 201100 ; 黄淮学院 , 河南驻马店 463000)
∑n
X = Xi ～ B(n , p), 所以 X
L
N(np , np(1 -
i =1
p)).
2)设 X1 , X2 , …, Xn ～ P(λ), 且相互独立 , 则 X
∑n
= Xi ～ P(nλ), 所以 X
L
N(nλ, nλ).
i =1
3)X1 , X2 , …, Xr ～ Ge(p), 其相互独立 , 则 X =
关键词 :随机变量 ; 概率分布 ; 关系 ; 应用中图分类号 :O211.5 文献标识码 :A 文章编号 :1671-9743 (2011) 05 -0075 -04
引言
随机变量的概率分布是概率论和数理统计教学中的最基本的概念 , 在一般的教学过程中一般都是孤立地阐述各种概率分布 , 导致学生无法建立常用概率分布之间的联系 .宗序平[ 1] 讨论了常见连续分布和标准正态分布之间的关系 , 汪磊[ 2] 讨论了常见连续分布和均匀分布之间的关系 , 庄光明[ 3] 讨论了基于贝努利试验的概率分布及其应用 , 侯文[ 4] 分析并建立了常用概率分布间的关系 .笔者基于侯文建立的常用概率分布间的关系 , 在此基础上从另一个角度进行了分析和补充 , 并举例说明了其应用 , 以便于学生加深理解并灵活运用 .本文对常用 6 种离散型概率分布和 11 种连续型概率分布的关系加以讨论 , 第一部分主要介绍本文主要讨论的概率分布以及符号 ;第二部分主要讨论并建立和补充了常见概率分布间关系并加以说明和阐述 ;第三部分主要讨论了概率分布间关系的具体应用 , 并举例说明 ;第四部分主要对此研究内容进行总结和展望 .
本文在文 [ 4] 的研究基础上从另一个角度来剖析这些分布之间的关系 , 并补充一些常用的关系 , 并建立新的关系图表 .在此基础上 , 给出一些关于概率分布之间关系的应用 . 2.1 三条主线
通常的概率论与数理统计教程一般涉及离散型和连续型两种类型的随机变量 , 也是学习概率论与数理统计的两个主要的随机变量的类型 .所以 , 本文从离散型和连续型各自内部的关系和两个类型之间的关系三条主线出发来建立概率分布之间的关系 .在学习的过程中 , 大部分的学生比较难于建立分布之间的关系 , 尤其是两类分布之间的关系 , 这也是本文选取这三条主线的主要原因 . 2.2 三条副线
指数分布之间的关系 .
2.4.3 关于中心极限定理的说明
由林德贝格 -勒维中心极限定理可知 , 对于具
有可加性且期望、方差存在的分布来说 , 其分布都依分布收敛于正态分布 , 因此以下具有可加性的分布都收敛的正态分布 , 现列举如下 :
1)设 X1 , X2 , …, Xn ～ B(1 , p), 且相互独立 , 则
收稿日期 :2011-04-06 作者简介 :陶会强(1981 -), 男 , 河南驻马店人 , 华东师范大学硕士生 , 黄淮学院数学科学系助教 , 主要研究概率论等 .
· 76 ·
怀化学院学报 2011 年 5 月
有个独立的随机变量同分布于这些特殊的分布时 , 它们的和服从同一个分布或者一种新的常见分布 . 而特殊情形是指通过将一个随机变量概率分布中的参数取特定的值 , 来得到一个新的分布 , 即新分布是原概率分布的特殊情况 .
摘要 :随机变量的概率分布是概率论和数理统计教学中的最基本的概念 , 在一般的教学过程中一般都是孤立地阐述各种概率分布 .为使学生建立起常用概率分布之间以及离散型和连续型概率分布之间的联系 , 对常用 6 种离散型概率分布和 11 种连续型概率分布的关系加以讨论 , 在侯文建立的概率分布的关系图的基础上 , 从另一个角度归纳并补充了常用概率分布之间的关系 .并在讨论它们关系的基础上 , 建立起分布间的关系图来进一步阐述 , 以加深理解.在此基础上 , 对概率分布之间关系的应用加以举例说明 .
2 概率分布间关系的讨论
侯文[ 4] 将通常的概率论与数理统计教程中涉及的分布之间的关系分为以下四种 :极限关系 , 变换关系 , 独立同分布随机变量和的分布以及一些特殊情形 .所谓的极限关系是指当分布中的某个参数趋向某个值时 , 一个随机变量的概率分布逼近另一个随机变量的概率分布 , 也就是说两个随机变量通过渐近分布这个纽带联系起来 .变换关系指对一个随机变量进行函数变换而得到新的随机变量 , 新的随机变量和原随机变量之间通过分布建立联系 .独立同分布随机变量和的分布是指一些特殊的分布 , 当
的冲击 , 纵摇角大于 3°的概率为p =1 3 , 若船舶遭受
了90 000 次波浪冲击 , 问其中有29 500 ～ 30 500 次纵
摇角大于 3°的概率是多少 ?
解 :设 A ={纵摇角大于 3°}, P(A)=p =1 3 , X
表示在90 000 次波浪冲击中 A 发生的次数 , 则 X ～
n
n
则 X = ∑Xi ～ Γ(∑ αi , λ), 所以 Γ(α, λ)分布当 α
i =1
i =1
比较大时 , 近似于 N(λα, λα2 ).
3 具体应用
3.1 模型的近似对 N 件产品进行无放回抽样 , 若 N 件产品中有
M 次品 , 先从中随机地抽取 n 件产品 , 则在这 n 件产品中出现的次品数 X 是随机变量 , 服从超几何分布 . 而有放回抽样可看做二项分布 , 此时 , 容易验证 :若
3)≤
30500 -90000 90000 ×1 3(1
×1 -1
33)}
≈ Υ(5 2 2)- Υ(-5 2 2)=0.995
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怀化学院学报 2011 年 5 月
3.3 检验的等价性