2012北京顺义高三二模数学理(word版+答案+免费免点数)

十、圆锥曲线（选修2-1） 1.（2012年东城二模文7）设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心为半径的圆和抛物线的准线相交，的取值范围A ） A． C. D. 2.（2012年西城二模 文5）已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为A． C. D. 3.（2012年朝阳二模文5）已知双曲线）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为C ） A． B． C． D． 上一点M到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______．。

5.（2012年昌平二模文11）已知双曲线的方程为，则其渐近线的方程为___________,若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则. , 。

6.（2012年海淀二模文10）已知双曲线的渐近线方程是，那么此双曲线的离心率为 . 答案：。

7.（2012年西城二模 文19）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，求△（为原点）面积的最大值． 解： （Ⅰ）由 ， 得 ． ① ………2分 由椭圆经过点，得． ② …3分 联立① ②，解得 ，． ……4分 所以椭圆的方程是 ． ……5分 （Ⅱ）易知直线的斜率存在，设其方程为． 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 ． ……7分 令，得． 设，，则，． ……9分 所以 ． ……10分 因为 ， 设 ， 则 ． …13分 当且仅当，即时等号成立，此时△面积取得最大值…14分 8.（2012年朝阳二模文19）在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和为，设点的轨迹为.（）写出的方程；（设过点的斜率为（）的直线与交于不同的两点，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围解：（Ⅰ）, 根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆， 则， ，，所以的方程为. ……5分 （II）依题设直线的方程为.将代入得 . . …6分 设，， 则， ……7分 设的中点为，则，，即. ……8分 因为， 所以直线的垂直平分线的方程为，…9分 令解得，， ……10分 当时，因为，所以； …12分 当时，因为，所以. ……13分 综上得点纵坐标的取值范围是. ……14分 的中心在原点，焦点，在轴上，焦距为，是椭圆上一动点，的面积最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若， ，求证：为定值． 解：（Ⅰ）． 因为焦距为，所以c=． 当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大， 所以此时△PF1F2的面积最大， 所以， 所以． 因为， 所以， 椭圆方程为． …………5分 （Ⅱ）直线斜率存在，设为，则直线． 设， 联立 消y得 显然，，． 因为直线交轴于点，． 所以 ，且，同理. 即为定值是. ………14分 10.（2012年昌平二模文19）已知椭圆C: ，过点B（0，1）, 离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于M，N两个不同的点，且使成立？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由题意可知, 解得 故椭圆的方程为 ……分 （Ⅱ） PN的中点， 设 ① ……5分 （1）当直线的斜率不存在时，,易知条件，此时直线方程 ………7分 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由 ，消去y 得 得 解得 （*）……9分 ② ，③由① ②③可得消去，可得，故……13分 综上可知：存在这样直线l的方程为： ………1分 的左焦点，长轴长与短轴长的比是.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过作两直线，交椭圆于，，，四点，若，求证：为定值. 解：（Ⅰ）由已知得 解得 , . ……4分 故所求椭圆方程为. ……5分 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当直线斜率存在时，设直线的方程为 ：. 由 得 . ……7分 由于，设，则有 ，， . ……9分 同理. …11分 所以. …12分 当直线斜率不存在时，此时，. 综上，为定值. ……14分 12.（2012年海淀二模文19）已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），动直线过点，且直线与椭圆交于，两点，证明：为定值. 解：（Ⅰ）由题意知：. 根据椭圆的定义得：，即.…3分 所以 . 所以 椭圆的标准方程为. …4分 证明：（Ⅱ）的斜率为0时，. 则 . …6分 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，. 由可得：. 显然. ……9分 因为 ，， 所以 . 即 . …………13分。

北京市西城区2012年高三二模试卷数 学（理科） 2012.5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合2{|log 1}A x x =<，{|0B x x c =<<，其中0}c >．若A B B =，则c 的取值范围是（ ） （A ）(0,1]（B ）[1,)+∞（C ）(0,2]（D ）[2,)+∞2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①()e xf x =； ②()e xf x =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ）（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④3．椭圆 3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)的离心率是（ ）（A ）35 （B ）45（C ）925（D ）16254．已知向量(,1)x =a ，(,4)x =-b ，其中x ∈R ．则“2x =”是“⊥a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ）（注：标准差s x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x >，12s s < （C ）12x x <，12s s <（D ）12x x <，12s s >6．已知函数()1f x kx =+，其中实数k 随机选自区间[2,1]-．对[0,1]x ∀∈，()0f x ≥的概率是（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）347．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ，则S 的最小值是（ ） （A ）42（B ）41（C ）40 （D ）398．对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③ 若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．在△ABC 中，BC =，AC =，π3A =，则B = _____． 10．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =_____．11．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ．若PA PE =，60ABC ︒∠=，1PD =，9PB =，则PA =_____；EC =_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)||f x x -< 的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____． 14．曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：① 曲线C 关于y 轴对称；② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤； ③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤. 其中，所有正确结论的序号是____________．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）若对于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．C16．（本小题满分14分）如图，直角梯形A B C D 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（Ⅰ）求证：AB DE ⊥；（Ⅱ）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率． 18．（本小题满分13分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． （Ⅰ）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 19．（本小题满分14分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围． 20．（本小题满分13分） 若12(0n n i A a a a a ==或1,1,2,,)i n =，则称n A 为0和1的一个n 位排列．对于n A ，将排列121n n a a a a -记为1()n R A ；将排列112n n n a a a a --记为2()n R A ；依此类推，直至()n n n R A A =．对于排列n A 和()in R A (1,2,,1)i n =-，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做n A 和()i n R A 的相关值，记作(,())i n n t A R A ．例如3110A =，则13()011R A =， 133(,())1t A R A =-．若(,())1(1,2,,1)in n t A R A i n =-=-，则称n A 为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列3A ； （Ⅱ）证明：不存在最佳排列5A ；（Ⅲ）若某个21(k A k +是正整数)为最佳排列，求排列21k A +中1的个数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ； 7．C ； 8．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π4； 10．1i22+； 11．3，4； 12．0，{|12}x x << 13．13，3π； 14．① ② ③．注：11、12、13第一问2分，第二问3分；14题少填不给分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：22ππππ()cos ()sin cos 1212126f =--==． ………………5分 （Ⅱ）解： 1π1()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x =+--- ………………7分1π13[cos(2)cos 2]2cos 2)2322x x x x =-+=+ ………………8分π)23x =+． ………………9分 因为 π[0,]2x ∈，所以 ππ4π2[,]333x +∈， ………………10分所以当 ππ232x +=，即 π12x =时，()f x 取得最大值2． ………………11分所以 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤ 等价于c ≤．故当 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c 的取值范围是)+∞． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． ………………1分因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥． ……………2分 所以⊥AB 平面EOD ． ………………3分 所以 ED AB ⊥． ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． …………5分因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1(0,0,1)O A B C D E -． 所以 )1,1,1(-=，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =． ………………7分 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ， 所以 ||3sin |cos ,|3||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==， 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为3． ………………9分 （Ⅲ）解：存在点F ，且13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． ………………10分 证明如下：由 )31,0,31(31--==，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=．设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ． ………………12分 因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．………………1分35310C 1(15)C 12P X =-==； 2155310C C 5(0)C 12P X ===； 1255310C C 5(15)C 12P X ===； 35310C 1(30)C 12P X ===． ………………5分乙得分的分布列如下：6分155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=． ………………7分 （Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()C ()()()555125P A =+=， ………………10分 511()12122P B =+=． ………………11分 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125P P A B =-⋅=-⨯=． ……13分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． ………………1分将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=． …………3分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y ym +=，124y y =-． ① ………………4分 因为 2AF FB =，所以 122y y =-． ② ………………5分联立①和②，消去12,y y ，得4m =±． ………6分所以直线AB的斜率是±………………7分（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． ……………… 9分 因为 12122||||2AOB S OF y y ∆=⨯⋅⋅- ………………10分== ………………12分所以 0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． ………………13分 19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x=+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………3分（Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………4分 ① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………5分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x=，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-． ………7分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 0a =时不合题意．………………10分当0a >时，由（Ⅱ）得，)(x f 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a+∞单调递减，所以)(x f 在(0,)+∞上存在最大值21()0f a a=>． 设0x 为)(x f 的零点，易知2012a x a -=，且01x a<．从而0x x >时，()0f x >；0x x <时，()0f x <．若)(x f 在[0,)+∞上存在最小值，必有(0)0f ≤，解得11a -≤≤．所以0a >时，若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(0,1]． ………………12分当0a <时，由（Ⅱ）得，)(x f 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增，所以)(x f 在(0,)+∞上存在最小值()1f a -=-．若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值，必有(0)0f ≥，解得1a ≥，或1a ≤-．所以0a <时，若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(,1]-∞-． 综上，a 的取值范围是(,1](0,1]-∞-． ………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：最佳排列3A 为110，101，100，011，010，001． ………………3分 （Ⅱ）证明：设512345A a a a a a =，则1551234()R A a a a a a =，因为 155(,())1t A R A =-，所以15||a a -，21||a a -，32||a a -，43||a a -，54||a a -之中有2个0，3个1．按512345a a a a a a →→→→→的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．但是5a 经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在5A ，使得155(,())1t A R A =-，从而不存在最佳排列5A ． ………………7分 （Ⅲ）解：由211221(0k k i A a a a a ++==或1,1,2,,21)i k =+，得12121122()k k k R A a a a a ++=， 2212211221()k k k k R A a a a a a ++-=，……2121342112()k k k R A a a a a a -++=， 22123211()k k k R A a a a a ++=．因为 2121(,())1(1,2,,2)ik k t A R A i k ++=-=，所以 21k A +与每个21()ik R A +有k 个对应位置数码相同，有1k +个对应位置数码不同，因此有12121221212||||||||1k k k k k a a a a a a a a k +-+-+-++-+-=+， 122212222121||||||||1k k k k k k a a a a a a a a k +-+--+-++-+-=+，……，132421212||||||||1k k a a a a a a a a k +-+-++-+-=+，1223221211||||||||1k k k a a a a a a a a k ++-+-++-+-=+．以上各式求和得， (1)2S k k =+⨯． ………………10分 另一方面，S 还可以这样求和：设12221,,...,,k k a a a a +中有x 个0，y 个1，则2S xy =． ………………11分 所以21,22(1).x y k xy k k +=+⎧⎨=+⎩ 解得,1,x k y k =⎧⎨=+⎩或1,.x k y k =+⎧⎨=⎩所以排列21k A +中1的个数是k 或1k +． ………………13分。

1．运用多种修辞方法，表达思想感情，增强气势。

2．品味语言，理解语言中所包含的深意。

教学时数：一课时。

教学过程 一、预习 1．给下列加点字注音。

（多媒体显示） 伫立(zhu4) 睥睨(pi4 ni4) 咆哮(xiao4) 波澜(lan2) 污秽(hui4) 犀利(xi1) 劈开(pi1) 稽首(qi3) 驰骋(cheng3)虐待(nüe4) 2．解释下列词语。

睥睨：眼睛斜着看，形容高傲的样子。

污秽：不干净。

犀利：(武器、言语等)锋利；锐利。

播弄：摆布。

虐待：用残暴狠毒的手段待人。

雷霆：雷暴；霹雳。

踌躇：犹豫。

鞭挞：鞭打。

比喻抨击。

祈祷：一种宗教仪式，信仰宗教的人向神默告自己的愿望。

忏悔：认识了过去的错误或罪过而感觉痛心。

罪孽：迷信的人认为应受到报应的罪恶。

拖泥带水：比喻说话、写文章不简洁或做事不干脆。

二、导入 介绍历史尉《屈原》写作的时代背景。

郭沫若历史剧《屈原》写于1942年1月。

当时是抗日战争后期，日本帝国主义侵占了中国的半壁河山。

1942年1月，时值“皖南事变，，以后，郭沫若在重庆创作了《屈原》，借古讽今，揭露国民党统治下的黑暗现实。

他借屈原的独自，鞭挞蒋介石的反动统治，抒发了人民的愤恨。

《雷电颂>出现在《屈原》第五幕第二场。

屈原被囚禁在东皇太一庙。

他手足带着刑具，颈上系着长链，散发披肩，独身徘徊。

这时，狂风咆哮，电闪雷鸣。

面对这黑暗的世界，他想到祖国就要沦亡，听着风吼、雷鸣，看着闪电劈空，他感到了大自然的伟大力量，他激愤的心情发展到极点，他的心像火一样燃烧起来，铸成了这大气磅礴，动人心魄的独自——《雷电颂》。

它是屈原斗争精神的最集中、最突出的表现。

是全剧高潮中最强力的一个音符。

三、朗读课文 课文在形式上并不押韵，但节奏分明，声调铿锵有力，要求学生反复朗读，品味文章语言，体会文章气势，并谈感受。

四、再读课文，理清思路 学生讨论、交流。

明确： 《雷电颂》这段独白，大致包含两方面的内容：一是对风、雷、电的期待与歌颂，一是对光明的渴望与追求。

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）2012．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则=UAB （ ）．A ．{}04x x ≤<B ．{}04x x <≤C ．{}10x x -≤≤D ．{}14x x -≤≤2．复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限3．已知双曲线2215x y m -=()0m >的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）． A ．6 B 32C ．32D ． 344．在ABC △中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且ABC △的面积为32，则BAC ∠等于（ ）．A ．60或120B ．120C ．150D ．30或1505．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42)4ρθπ=+，则直线l 和曲线C 的公共点有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个6．下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ=，a ，2(1,)λ=-b ，(11)=-，c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-； :r 若111a dx =x⎰()1a >，则e a =．其中所有的真命题是（ ）．A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r7．直线y x =与函数()22,42,x mf x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．[)1,2-B ．[]1,2-C ．[)2.+∞D ．(]1-∞-，8．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是（ ）．A ．1B ．322C ．2D ．3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 把答案填在答题卡上． 9．二项式521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为5，则实数a =_______．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______．11．若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 ．12．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ．若2CD =， 则AB =_______，EF =_________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为()x x *∈N 件．当20x ≤时，年销售总收入为()233x x -万元；当20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）14．在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==， ()1,1,1,,i j i j i j a a a i j *+++=+∈N ，则此数表中的第5行第3列的数是 ； 记第 3行的数3,5,8,13,22,为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分）已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()m ∈R 的图象过点π,012M ⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若cos cos 2cos c B b C a B +=， 求()f A 的取值范围．一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4,2,1AB AE EF ===．（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面EBC ； （Ⅲ）求二面角A FB D --的余弦值．E CBDMAF已知函数()()22ln 0a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(),0a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()21e 2g a ．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A -，)2,0B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点()10F ，的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．若点P 在y 轴上，且 PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围．已知数列()12:,,,,2n n A a a a n n *∈N *(,2)n n ∈N 满足10n a a ==，且当()2k n k *∈N 时，()211k k a a --=，令()1nn i i S A a ==∑．（Ⅰ）写出()5S A 的所有可能的值； （Ⅱ）求()n S A 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得()()23=4n n S A -？若存在，求出数列n A ；若不存在，说明理由．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（理工类）2012．5一、选择题：题号 1 2[ 3 4 5 6 7 8 答案 BBCCBDAD二、填空题：9．1 10．13 11．12 12．323 13． 2**32100,020,,160,20,,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 14．16，121n n a n -=++ 三、解答题：15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由()312(cos21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =． ……5分 （Ⅱ）解：因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =． ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =． ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=． ……10分 所以2π03A <<，ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -1(,1]2∈-．…12分 所以()f A 的取值范围是1(,1]2-． ……13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()C 84P A +==． 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584．…4分 （Ⅱ）解：设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739C C 281()C 843P B ===．答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13． ……8分（Ⅲ）解：X 的取值为23,45，，． 1221222239C C +C C 1(2)C 21P X ===，1221242439C C +C C 4(3)C 21P X ===，1221262639C C +C C 3(4)C 7P X ===，121839C C 1(5)C 3P X ===． ……11分所以X 的分布列为X 23 45P1214213713X 的数学期望143185234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN AB ∥，又14CM AC =，所以14MN AB =． 又EF AB ∥且14EF AB =， 所以EF MN ∥，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM FN ∥．又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以EM ∥平面FBC ． ……4分（Ⅱ）证明：因为EA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由已知可得()()()()000,4,0,0,4,4,0,0,4,0A B C D ，，， ()()002,1,0,2E F ，，．显然()()()102040402AF BC EB ===-，，，，，，，，． 则00AF BC AF EB ⋅=⋅=，， 所以AF BC AF EB ⊥⊥，．即AF BC AF EB ⊥⊥，，故AF ⊥平面EBC ． （Ⅲ）解：因为EF AB ∥，所以EF 与AB 确定平面EABF ，E DCMAFNxzECBDMA Fy由已知得，()()()0403,0,2440BC FB BD ==-=-，，，，，，． ……9分 因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA BC ⊥． 由已知可得AB BC ⊥且EAAB A =，所以BC ⊥平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量． 设平面DFB 的一个法向量是()n x,y,z =． 由0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得440,320,x y x z -+=⎧⎨-=⎩即32y x,z x,=⎧⎪⎨=⎪⎩令2x =，则(2,2,3)n =． 所以217cos <,17BC n BC n BC n⋅>==⋅由题意知二面角A FB D --锐角，故二面角A FB D --217……14分 18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为{|0}x x >． ()()22210a a f x x x x'=-+>．根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=， 解得1a =-或32a =． ……3分 （Ⅱ）解：()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x+--+'=-+==>． （1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<．所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减． （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-．所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增． ……9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=-+-=---． 2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a-'=-+⋅-=---，令()0g a '=，得21e 2a =-． 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：a21(,e )2-∞-21e 2- 21(e ,0)2- ()g a '+-()g a极大值21e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点． 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222g a g =-=--⨯---最大值2222131e ln e e e 222=-+=．所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立． ……14分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y 1222x x =-+-，整理得221(2)2x y x +=≠．所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2)2x y x +=≠±． ………5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0． ………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=． 2880k ∆=+>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+．设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+，所以2222(,)2121k kQ k k -++． ………9分 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++． 令0x =，解得211212P k y k k k==++． ．………10分当0k >时，因为1222k k +≥2022P y <≤= 当0k <时，因为1222k k +≤-2022P y >≥=． ．………12分综上所述，点P 纵坐标的取值范围是22[． ．………13分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有：（1）0,1,2,1,0.此时5()=4S A ；（2）0,1,0,1,0.此时5()=2S A ； （3）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（4）0,1,2,1,0.---此时5()=4S A -； （5）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（6）0,1,0,1,0.--此时5()=2S A -； 所以，5()S A 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分 （Ⅱ）解：由21()1k k a a --=，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（2k n ≤≤，*k ∈N ）， 因为11n n n a a c ---=，所以11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++ 11221n n a c c c c --==+++++．因为10n a a ==，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,,n c c c -是由12n -个1和12n -个1-构成的数列． 所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．则当121,,,n c c c -的前12n -项取1，后12n -项取1-时()n S A 最大， 此时()n S A 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=．证明如下： 假设121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤， 112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t =．所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑． 所以()n S A 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则 21(1)()2()4tn i i i n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()ti i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2n -是奇数，而12()ti i i n m =-∑是偶数，因此不存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=． ……13分北京市朝阳区高三二模试卷 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B 【解析】解：210x x >⇒>，{}|0A x x ∴=>，()()23404104x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-{}|14U B x x ∴=-≤≤，所以{}|04UA B x x =<≤．故选B ．2．【答案】B【解析】解：由题可知i i 2i 2i 12i 2i 2i 4z +-==⋅=--+， 复数z 在复平面内对应的点为11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，故在第二象限．故选B ．3．【答案】C【解析】解：由题可知抛物线212y x =的焦点为()3,0， 故双曲线中的3c =，所以25954m c =-=-=， 故离心率32c e a m ===． 故选C ．4．【答案】C【解析】解：由题可知0cos 0AB AC AB AC BAC ⋅<⇒⋅⋅∠<，故BAC ∠为钝角，因为313sin 222ABC S AB AC BAC =⇒⋅∠=△， 即13123sin sin 222BAC BAC ⨯⨯⨯∠=⇒∠=， 综上，150BAC ∠=． 故选C ．5．【答案】BBCA【解析】解：可知直线:40l x y -+=，2π222424ρθρρθθ⎫⎛⎫=+⇒=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即曲线()()22:228C x y -+-=， 所以圆心为()2,2，半径22r = 圆心到直线的距离2242211d r -+===+．故选B ．6．【答案】D 【解析】解：()44sin cos f x x x =-()()2222sin cos sin cos x x x x =+⋅-22sin cos cos2x x x =-=-，2ππ2T ∴==，命题p 正确； ()21,1λλ+=-+a b ，()2110λλ∴+⇒=-++=∥a b c ，即0λ=或1λ=-，故(+)//a b c 的是1λ=-的必要不充分条件， 命题q 错误； 111ln ln 1e aa dx x a a x===⇒=⎰，命题r 正确． 故选D ．7．【答案】A【解析】解：由图可知，函数242y x x =++，2y = 分别与函数y x =由两个和一个公共点，直线3与函数23的图象恰有三个公共点，只需m 取值在()1,1B --，()2,2C 两点的横坐标之间， 易验证当1m =-时，满足题意；当2m =时，只有,A B 两个公共点，不满足题意． 故选A ．C (2,2)B (-1,-1)A (-2,-2)yxy=xy=x 2+4x+2y=28．【答案】D【解析】解：因为是按任意方向正投影， 可以让面（设为桌面）定下来，正方体在动； 因此可以想象当正方体体对交线垂直于桌面时， 其在桌面上的投影是个正六边形，此时面积最大； 2233=，223，其面积可以看成623的正三角形的面积和：2326(33= 故选D ．二、 填空题 9．【答案】1【解析】解：由二项式的定理可知 ()5105252155C C kk kkk k k T axxa x ---+==， 当4k =，为展开式的常数项455C 51T a a ==⇒=． 故答案为1．10．【答案】13【解析】解：可列表x1 1 23 5 循环结束y1 23 5 8 z235813故13z =． 故答案为13．11．【答案】12【解析】解：由题可知满足题意得不等式区域y=x+1y为如图所示的阴影区域，设22z x y =+；已知当圆与直线相切与点A 时， z 取得最小值，220011212z AO ⎛-+⎫=== ⎪+⎝⎭．故答案为12．12．【答案】3，233【解析】解：由垂径定理可知2CD BD AD =⋅，即22222339AB AB CD AB =⋅⇒=，所以3AB =； 在直角CDE △中，222213CE CD DE CE =+⇒=+=， 由相交弦定理可知122333CE EF AE EB EF ⨯⋅=⋅⇒==． 故答案为3，233．13．【答案】2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 【解析】解：由题可知当20x ≤时，223310032100y x x x x x =---=-+- 当20x >时，260100160y x x =--=-； 当20x ≤时，函数在32162x =-=，取得max 256y = 当20x >时，函数在21x =，取得max 139y =， 综上当产量为16时，所得年利润最大．故答案为2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16．14．【答案】16，121n n a n -=++【解析】解：对于第一空，依题意：5,34,25,23,14,14,15,1()()3+4+4+5=16a a a a a a a =+=+++=； 对于第二空，依题意：3,2,13,12,1112,1n n n n n n n n n b a a a a b b b a ------==+=+⇒-=，从表格中可以看出：22,11,1121(2)n n n a a n ---=+=+≥，所以112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+230(21)(21)(21)3n n --=+++++++230(222)13n n n --=++++-+121n n -=++．故答案为16，121n n a n -=++．。