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第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________．4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =.5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．12．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||15a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
宝山2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c ==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.宝山区答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 19.1210. 0.03 11.212.512 13. B14. C15.A16.A17. （1） （2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a或32a 20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ （3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。
4（2018普陀二模）. 书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为 （结果用数值表示）
4（2019浦东二模）. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形（结果用数值表示）
7（2018宝山二模）. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）
11（2018松江二模）. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为
11（2020徐汇二模）. 如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段
道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，
在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路
到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总
人数最小的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见
的行人总人数最小值是。
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B = ．2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ．3．已知直线l 的一个法向量是(1,n =，则此直线的倾斜角的大小为 ．4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650800==k ．若从16~1中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为48~33的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ．5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤的图像有一个横坐标为3π的交点，则常数ϕ的值为 ．6．设函数)12(log )(2+=x x f ，则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为 ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1515S =，则8a 的值为 ．8．从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是 ．（结果用最简分数表示）9．执行如图所示的程序框图，输出的结果a = ．10．矩阵1211222232332123i n i n i n n ni nn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则2lim 2nnn S n →∞=⋅ ． 11．一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是 ．12．设)(x f 是定义域为R 的奇函数，)(x g 是定义域为R 的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则函数)()(x g x f -的值域为 ．13．ABC ∆所在平面上一点P 满足PA PC AB +=，若ABP ∆的面积为6，则ABC ∆的面积为 ．14．对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线:C y =相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．“1arcsin3α=”是“1sin 3α=”的（ ） 俯视图左视图主视图21（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．下列不等式中，与不等式302x x-≥-同解的是（ ）（A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x --> （C ）203x x -≥- （D ）302x x -≥-17．曲线x y =与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）（A ）003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩ （B ）003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （C ）003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （D ）003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩18．已知函数()2sin f x xx =⋅．给出下列三个命题：(1)()f x 是定义域为R 的奇函数； (2)()f x 在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增；(3)对于任意的12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，都有()()()12120x x f x f x ++≥⎡⎤⎣⎦． 其中真命题的序号是（ ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示） 20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC∆中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，且cos cos 2cos a C c A b A +=．（1）求角A 的大小； （2）若2a c ==，求ABC ∆的面积．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如S RPQDCBAO右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度; （2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数11()2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11()2g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求函数()()()2h x f x g x =+的零点； （2）设()()2()F x f x mf x =+（其中常数0m ≥），求()F x 的最小值；（3）若直线():0,,l ax by c a b c ++=为常数与()f x 的图像交于不同的两点A B 、，与()g x 的图像交于不同的两点C D 、，求证：AC BD=．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于一组向量n a a a a ,,,,321 (*n N ∈)，令n n a a a a S ++++= 321，如果存在p a ({}1,2,3,p n ∈ )，使得||||p n p a S a -≥，那么称p a 是该向量组的“h 向量”．（1）设),(n x n a n +=(*n N ∈)，若3a是向量组321,,a a a 的“h 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若11((),0)3n n a -=(*N n ∈)，向量组n a a a a ,,,,321 是否存在“h 向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知123a a a 、、均是向量组321,,a a a 的“h 向量”，其中1a = ，2a = ，求证：222123||+||+||a a a 可以写成一个关于x e 的二次多项式与一个关于x e -的二次多项式的乘积．文科参考答案一、 填空题：（每题4分）1. {}12. 62i -3. 6π 4. 39 5. 6π6. 0x ≤7. 18. 29459. 310. 1411.12. (]3,1-- 13. 12 14.2π二、 选择题：（每题5分）15. A 16. D 17. A 18. D 三、 四、 解答题19、解：（1）Rt AOB ∆中，2OB =即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积8Srl ππ==侧……………….4’故圆锥的全面积=+8+412SS S πππ==全侧底……………….6’（2）过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角……………….8’ AO OBC ⊥平面Q DM OBC ∴⊥平面DM MC ∴⊥在Rt AOB ∆中，AO =DM ∴=D Q 是AB 的中点 M ∴是OB 的中点 1OM ∴=CM ∴=在Rt CDM ∆中，tan CDM ∠==，……………….10’CDM ∴∠=，即异面直线AO与CD所成角的大小为……………….12’20、解：（1）sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=……………….3’ 所以()sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A = 由sin 0B ≠1cos 2A ⇒=……………….6’由于0A π<<，故3A π=……………….7’（2）由余弦定理得，222222cos3AC AC π=+-⋅⋅⋅所以1AC =……………….12’故121sin 23ABC S π∆=⋅⋅⋅=……………….14’21、解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =< 由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±即()()20,20A B ---y xS RPQMD CBAO()28AB cm=≈答：横梁AB的长度约为28cm………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQl y k x k+=-<………………..7’(()2220101002010y k xx kxx y⎧+=-⎪⇒+-+=⎨=-⎪⎩则()210040020k k∆=+=⇒=-:20RQl y=-+…………..10’得()(),40Q R-OQ⇒=梯形周长为(()2141cm+=≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm………………..14’22、解：（1）由31()022xh x xx=-=⇒=，函数()h x的零点为x=………4’（2）则()22()24m mF x f x⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦……………..5’函数()f x的值域为(][),11,-∞-+∞……………..6’若(],12m-∈-∞-，即[)2,m∈+∞，()2mf x=-时，有2min()4mF x=-……………..8’若(]1,02m -∈-，即[)0,2m ∈，()1f x =-时，有min ()1F x m =-综上所述：[)[)2min2,()410,2m m F x m m ⎧-∈+∞⎪=⎨⎪-∈⎩…………….10’ （3）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒+++=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1222cx x a b+=-+……………..14’ 同理由()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒++-=⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则3422c x x a b +=-+ 则AB 中点与CD 中点重合，即AC BD=……………..16’23、解：(1)由题意，得：||||213a a a +≥，则22)32(9)3(9++≥++x x ……………..2’解得：02≤≤-x ……………..4’(2) 1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的 “h 向量”，证明如下：)0,1(1=a ，1||1=a而)0,)31(2121()0,311])31(1[31(1132--⋅-=--=+++n n n a a a ……………..7’ 111110()2232n -≤-⋅<，1211110[()],2234n -≤-⋅< 故=+++||32n a a a 1410])31(2121[221<<+⋅--n 即||||321n a a a a +++>所以1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”……………..10’(3)由题意得：||||321a a a +≥，23221||||a a a +≥，即23221)(a a a +≥ 322322212a a a a a ⋅++≥，同理312321222a a a a a ⋅++≥，212221232a a a a a ⋅++≥ 三式相加并化简，得：3231212322212220a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+++≥ 即0)(2321≤++a a a ，0||321≤++a a a ，所以0321=++a a a ……………..13’ 由0321=++a a a ，则3(a = 222222123()||+||+||222x x x x a a e e e e a --=+++22221()2222x x x x e e e e --+++=+ 221x x e e -=++……………..15’2()1x x e e -=+-()(1)1x x x x e e e e --=+++-()(111)1x x x x e e e e--=+++- 22()(1)1x x x x e e e e --=++-+……………..18’（注：分解结果不唯一）。
2017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学2018.4一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集 U R ，集合 A x x 22x 3 0 ，则 C U A.2．在 x1x6的二项展开式中，常数项是.3．函数 f ( x) lg(3 x 2x ) 的定义域为 _____________．4．已知抛物线 x2ay 的准线方程是 y1，则 a .3245．若一个球的体积为 ，则该球的表面积为 _________．3x ，6．已知实数 x ， y 满足，则目标函数 zx y 的最小值为 ___________．y 0x y ．1sin x cos x 217．函数 f ( x)的最小正周期是 ___________．118．若一圆锥的底面半径为3，体积是 12 ，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是r m ，记第二颗骰子出现的rm 2,2 n r r.点数是 n ，向量 a，向量 b 1,1 ，则向量 ab 的概率 是．．10．已知直线 l 1 : mx y 0,l 2 : x my m2 0 . 当 m 在实数围变化时， l 1 与 l 2 的交点 P恒在一个定圆上，则定圆方程是.11 ． 若 函 数f ( x) 2( x 1)2sin x的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 M 、 m ， 则 函 数x 2 1g( x)Mm x sin Mm x 1 图像的一个对称中心是．r rr 8 r 4， 若 对 任 意 的12 ． 已 知 向 量 a, b 满 足 | a |15、| b |15( x, y)r r1,xyr r( x, y) | xa yb | ， 都 有 | x y | 1 成 立 ， 则 a b 的 最 小 值为 .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
2017年某某市徐汇区高考数学二模试卷一、填空题〔总分为54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分〕1．〔4分〕设全集U={1，2，3，4}，集合A={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，如此∁U A=．2．〔4分〕参数方程为〔t为参数〕的曲线的焦点坐标为．3．〔4分〕复数z满足|z|=1，如此|z﹣2i|的取值X围为．4．〔4分〕设数列{a n}的前n项和为S n，假如〔n∈N*〕，如此=．5．〔4分〕假如〔n≥4，n∈N*〕的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，如此n=．6．〔4分〕把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10X形状大小一样的卡片上，随机抽取一X卡片，如此抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为．〔结果用最简分数表示〕7．〔5分〕假如行列式中元素4的代数余子式的值为，如此实数x的取值集合为．8．〔5分〕满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是．9．〔5分〕函数．假如函数g〔x〕=f〔x〕﹣k有两个不同的零点，如此实数k的取值X围是．10．〔5分〕某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600〔单位：元〕，另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，如此这8位员工月工资的中位数可能的最大值为元．11．〔5分〕如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足．假如，如此x2+9y2的最小值为．12．〔5分〕设单调函数y=p〔x〕的定义域为D，值域为A，如果单调函数y=q〔x〕使得函数y=p〔q〔x〕〕的置于也是A，如此称函数y=q〔x〕是函数y=p〔x〕的一个“保值域函数〞．定义域为[a，b]的函数，函数f〔x〕与g〔x〕互为反函数，且h〔x〕是f〔x〕的一个“保值域函数〞，g〔x〕是h〔x〕的一个“保值域函数〞，如此b﹣a=．二、选择题〔本大题共有4题，总分为20分，每题5分〕每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．〔5分〕“x＞1〞是“〞成立的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．〔5分〕《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积与米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米〔如图，米堆为一个圆锥的四分之一〕，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积与堆放的米各为多少？〞一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有〔〕A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛15．〔5分〕函数y=﹣的图象按向量=〔1，0〕平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx 〔﹣2≤x≤4〕的图象所有交点的橫坐标之和等于〔〕A．2B．4C．6D．816．〔5分〕过椭圆〔m＞4〕右焦点F的圆与圆O：x2+y2=1外切，如此该圆直径FQ的端点Q的轨迹是〔〕A．一条射线B．两条射线C．双曲线的一支D．抛物线三、解答题〔本大题共有5题，总分为76分〕17．〔15分〕如图：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD=2．〔1〕求异面直线PC与AB所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕；〔2〕求点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．18．〔15分〕函数是偶函数．〔1〕某某数m的值；〔2〕假如关于x的不等式2k•f〔x〕＞3k2+1在〔﹣∞，0〕上恒成立，某某数k的取值X 围．19．〔15分〕如下列图：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进展数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．〔船只与无人机的大小与其它因素忽略不计〕〔1〕求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；〔2〕假如此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．〔准确到1米〕20．〔15分〕如图：椭圆=1与双曲线=1〔a＞0，b＞0〕有一样的焦点F1、F2，它们在y轴右侧有两个交点A、B，满足=0．将直线AB左侧的椭圆局部〔含A，B两点〕记为曲线W1，直线AB右侧的双曲线局部〔不含A，B两点〕记为曲线W2．以F1为端点作一条射线，分别交W1于点P〔x P，y P〕，交W2于点M〔x M，y M〕〔点M在第一象限〕，设此时．〔1〕求W2的方程；〔2〕证明：x P=，并探索直线MF2与PF2斜率之间的关系；〔3〕设直线MF2交W1于点N，求△MF1N的面积S的取值X围．21．〔16分〕现有正整数构成的数表如下：第一行：1第二行：12第三行：1123第四行：11211234…第k行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序抄写第k﹣1行，最后添上数k．〔如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4〕．将按照上述方式写下的第n个数记作a n〔如a1=1，a2=1，a3=2，a4=1，…，a7=3，…，a14=3，a15=4，…〕〔1〕用t k表示数表第k行的数的个数，求数列{t k}的前k项和T k；〔2〕第8行中的数是否超过73个？假如是，用表示第8行中的第73个数，试求n0和的值；假如不是，请说明理由；〔3〕令S n=a1+a2+a3+…+a n，求S2017的值．2017年某某市徐汇区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共12题，总分为54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分〕考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕设全集U={1，2，3，4}，集合A={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，如此∁U A={1，4}．【分析】求出集合A中的元素，从而求出A的补集即可．【解答】解：U={1，2，3，4}，A={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={x|1＜x＜4，x∈Z}={2，3}，如此∁U A={1，4}，故答案为：{1，4}．【点评】此题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道根底题．2．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕参数方程为〔t为参数〕的曲线的焦点坐标为〔1，0〕．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为抛物线，其焦点在x轴上，且p=2，由抛物线焦点坐标公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，曲线的参数方程为〔t为参数〕，如此其普通方程为：y2=4x，即该曲线为抛物线，其焦点在x轴上，且p=2；如此其焦点坐标为〔1，0〕；故答案为：〔1，0〕【点评】此题考查抛物线的参数方程，关键是将抛物线的参数方程转化为标准方程．3．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕复数z满足|z|=1，如此|z﹣2i|的取值X围为[1，3]．【分析】利用公式：||z1|﹣|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，以与条件中对应的复数的模进展求解．【解答】解：根据复数模的性质：||z1|﹣|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，∵|z|=1，|z﹣2i|，∴z2=﹣2i，∴|z2|=2，∴1≤|z﹣2i|≤3，即|z﹣2i|的取值X围为[1，3]，故答案为：[1，3]．【点评】此题考查了复数模的性质应用，即根据条件求出对应的复数模，代入公式进展求解．4．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕设数列{a n}的前n项和为S n，假如〔n∈N*〕，如此=1．【分析】利用数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质即可得出．【解答】解：∵〔n∈N*〕，∴n=1时，，解得a1=．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1﹣﹣，化为：=．∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为．∴==1．故答案为：1．【点评】此题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕假如〔n≥4，n∈N*〕的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，如此n=8．【分析】〔n≥4，n∈N*〕的二项展开式中前三项的系数依次为：1，，，由于此三个数成等差数列，可得2×=1+，解出即可得出．【解答】解：〔n≥4，n∈N*〕的二项展开式中前三项的系数依次为：1，，，由于此三个数成等差数列，∴2×=1+，化为：n2﹣9n+8=0，解得n=8或1〔舍去〕．故答案为：8．【点评】此题考查了二项式定理的应用、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．〔4分〕〔2017•徐汇区二模〕把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10X形状大小一样的卡片上，随机抽取一X卡片，如此抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为．〔结果用最简分数表示〕【分析】先求出根本事件总数，再求出抽到写着偶数或大于6的数的卡片包含的根本事件个数，由此能求出抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率．【解答】解：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10X形状大小一样的卡片上，随机抽取一X卡片，根本事件总数n=10，抽到写着偶数或大于6的数的卡片包含的根本事件个数为7，如此抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为故答案为：．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕假如行列式中元素4的代数余子式的值为，如此实数x的取值集合为．【分析】求得元素4的代数余子式，展开，利用二倍角公式，与特殊角的三角函数值，即可求得实数x的取值集合．【解答】解：行列式中元素4的代数余子式A13==，如此cos2﹣sin2=，如此cosx=，解得：x=2kπ±，k∈Z，实数x的取值集合，故答案为：．【点评】此题考查行列式的代数余子式求法，行列式的展开，二倍角公式，特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题．8．〔5分〕〔2012•某某〕满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．【分析】作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，如此z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求【解答】解：作出约束条件对应的平面区域，如下列图由于z=y﹣x可得y=x+z，如此z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C〔2，0〕，此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，表现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．9．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕函数．假如函数g〔x〕=f〔x〕﹣k 有两个不同的零点，如此实数k的取值X围是．【分析】由题意可得函数f〔x〕的图象与直线y=k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值X围．【解答】解：由题意可得函数f〔x〕的图象与直线y=k有二个不同的交点，如下列图：故实数k的取值X围是，故答案为．【点评】此题主要考查函数的零点与方程的根的关系，表现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．10．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600〔单位：元〕，另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，如此这8位员工月工资的中位数可能的最大值为8800元．【分析】由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，由此能求出这8位员工月工资的中位数的最大值．【解答】解：由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，此时这8位员工月工资的中位数取最大值为：=8800．故答案为：8800．【点评】此题考查中位数的最大值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．11．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足．假如，如此x2+9y2的最小值为．【分析】不妨设=λ，0＜λ＜1，根据向量的加减的几何意义可得x=，y=，代入得到x2+9y2=〔λ﹣〕2+，即可求出最值．【解答】解：不妨设=λ，0＜λ＜1，∴==〔+〕=+=+〔﹣〕=+，∵，∴x=，y=，∴x2+9y2=+4λ2=λ2﹣+=〔λ﹣〕2+，当λ=时，x2+9y2有最小值，最小值为，故答案为：．【点评】此题考查了向量的加减的几何意义以与二次函数的性质，属于中档题12．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕设单调函数y=p〔x〕的定义域为D，值域为A，如果单调函数y=q〔x〕使得函数y=p〔q〔x〕〕的置于也是A，如此称函数y=q〔x〕是函数y=p〔x〕的一个“保值域函数〞．定义域为[a，b]的函数，函数f〔x〕与g〔x〕互为反函数，且h〔x〕是f〔x〕的一个“保值域函数〞，g〔x〕是h〔x〕的一个“保值域函数〞，如此b﹣a=1．【分析】由定义可知y=q〔x〕的值域为y=p〔x〕的定义域，根据h〔x〕单调性得出a，b 的X围，求出h〔x〕的值域，从而得出f〔x〕的定义域和g〔x〕的值域，再根据反函数的性质列方程即可解出a，b．【解答】解：由“保值域函数〞的定义可知y=q〔x〕的值域为y=p〔x〕的定义域，∵h〔x〕是定义在[a，b]上的单调函数，∴a＞3或b＜3．〔1〕假如a＞3，如此h〔x〕单调递减，∴h〔x〕的值域为[，]，∵h〔x〕是f〔x〕的一个“保值域函数〞，g〔x〕是h〔x〕的一个“保值域函数〞，∴f〔x〕的定义域为[，]，g〔x〕的值域为[a，b]，∵函数f〔x〕与g〔x〕互为反函数，∴，整理得a=b，与b＞a矛盾〔舍〕．〔2〕假如b＜3，如此h〔x〕单调递增，∴h〔x〕的值域为[，]，同〔1〕可得，解得a=1，b=2．∴b﹣a=1．故答案为1．【点评】此题考查了对新定义的理解，函数定义域与值域的计算，属于中档题．二、选择题〔本大题共有4题，总分为20分，每题5分〕每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕“x＞1〞是“〞成立的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【解答】解：假如x＞1，如此0＜，如此成立，即充分性成立，假如当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1〞是“〞成立的充分不必要条件，应当选：A．【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决此题的关键．14．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积与米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米〔如图，米堆为一个圆锥的四分之一〕，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积与堆放的米各为多少？〞一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有〔〕A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．【解答】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，如此×2πr=8，解得：r=，所以米堆的体积为V=×πr2×5=≈35.56，所以米堆的斛数是≈21，应当选：A．【点评】考查了圆锥的计算与弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．15．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕函数y=﹣的图象按向量=〔1，0〕平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx〔﹣2≤x≤4〕的图象所有交点的橫坐标之和等于〔〕A．2B．4C．6D．8【分析】y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点〔1，0〕中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点〔1，0〕，故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数y=﹣的图象按向量=〔1，0〕平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx 的图象有公共的对称中心〔1，0〕，作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在〔1，4〕上出现1.5个周期的图象，在〔1，〕和〔，〕上是减函数；在〔，〕和〔，4〕上是增函数．∴函数y1在〔1，4〕上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在〔﹣2，1〕上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8，应当选：D．【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决此题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间〔1，4〕上的交点个数是此题的难点所在．16．〔5分〕〔2017•徐汇区二模〕过椭圆〔m＞4〕右焦点F的圆与圆O：x2+y2=1外切，如此该圆直径FQ的端点Q的轨迹是〔〕A．一条射线B．两条射线C．双曲线的一支D．抛物线【分析】由题意可知：丨QF1丨=2丨OC丨，丨QF丨=2丨CF丨，丨QF1丨﹣丨QF丨=2＜丨FF1丨=4，如此Q的轨迹为以F，F1为焦点的双曲线的右支．【解答】解：椭圆〔m＞4〕右焦点F〔2，0〕，左焦点F1〔﹣2，0〕椭圆右焦点F的圆，圆心C，连接OC，如此OC为△FQF1中位线，由丨QF1丨=2丨OC丨，丨QF丨=2丨CF丨，如此丨QF1丨﹣丨QF丨=2〔丨OC丨﹣丨CF丨〕=2＜丨FF1丨=4，如此Q的轨迹为以F，F1为焦点的双曲线的右支，应当选：C．【点评】此题考查椭圆的性质，考查双曲线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题〔本大题共有5题，总分为76分〕解答如下各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．〔15分〕〔2017•徐汇区二模〕如图：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是正方形，PA=AD=2．〔1〕求异面直线PC与AB所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕；〔2〕求点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．【分析】〔1〕以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与AB所成角的大小．〔2〕求出，，，利用向量法能证明EF⊥平面PBC．【解答】解：〔1〕以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，如此P〔0，0，2〕，A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔2，2，0〕，D〔0，2，0〕所以，，，设，的夹角为α，如此，所以，的夹角为，即异面直线PC与AB所成角的大小为．证明：〔2〕因为点E、F分别是棱AD和PC的中点，可得E〔0，1，0〕，F〔1，1，1〕，所以，又，，计算可得，，所以，EF⊥PC，EF⊥BC，又PC∩BC=C，所以EF⊥平面PBC．【点评】此题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．18．〔15分〕〔2017•徐汇区二模〕函数是偶函数．〔1〕某某数m的值；〔2〕假如关于x的不等式2k•f〔x〕＞3k2+1在〔﹣∞，0〕上恒成立，某某数k的取值X 围．【分析】〔1〕运用偶函数的定义，可得f〔﹣x〕=f〔x〕，化简整理可得m的值；〔2〕由题意可得在〔﹣∞，0〕上恒成立，求出右边函数的取值X围，可得k的不等式，解不等式即可得到所求X围．【解答】解：〔1〕因为函数即f〔x〕=m•2x+2﹣x是定义域为R的偶函数，所以有f〔﹣x〕=f〔x〕，即m•2﹣x+2x=m•2x+2﹣x，即〔m﹣1〕〔2x﹣2﹣x〕=0恒成立，故m=1．〔2〕，且2k•f〔x〕＞3k2+1在〔﹣∞，0〕上恒成立，故原不等式等价于在〔﹣∞，0〕上恒成立，又x∈〔﹣∞，0〕，所以f〔x〕∈〔2，+∞〕，所以，从而≥，即有3k2﹣4k+1≤0，因此，．【点评】此题考查函数的性质，注意定义法的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数别离，以与根本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．〔15分〕〔2017•徐汇区二模〕如下列图：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进展数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．〔船只与无人机的大小与其它因素忽略不计〕〔1〕求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；〔2〕假如此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．〔准确到1米〕【分析】〔1〕利用正弦定理，即可求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；〔2〕假如此时甲、乙两船相距100米，由余弦定理求无人机到丙船的距离．【解答】解：〔1〕在△APB中，由正弦定理，得，，在△BPC中，由正弦定理，得，又，sin∠ABP=sin∠CBP，故．即无人机到甲、丙两船的距离之比为．〔2〕由BC：AB=3：1得AC=400，且∠APC=120°，由〔1〕，可设AP=2x，如此CP=3x，在△APC中，由余弦定理，得160000=〔2x〕2+〔3x〕2﹣2〔2x〕〔3x〕cos120°，解得，即无人机到丙船的距离为≈275米．【点评】此题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．20．〔15分〕〔2017•徐汇区二模〕如图：椭圆=1与双曲线=1〔a＞0，b＞0〕有一样的焦点F1、F2，它们在y轴右侧有两个交点A、B，满足=0．将直线AB左侧的椭圆局部〔含A，B两点〕记为曲线W1，直线AB右侧的双曲线局部〔不含A，B两点〕记为曲线W2．以F1为端点作一条射线，分别交W1于点P〔x P，y P〕，交W2于点M〔x M，y M〕〔点M在第一象限〕，设此时．〔1〕求W2的方程；〔2〕证明：x P=，并探索直线MF2与PF2斜率之间的关系；〔3〕设直线MF2交W1于点N，求△MF1N的面积S的取值X围．【分析】〔1〕由条件，得F2〔1，0〕，根据知，F2、A、B三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，故AB所在直线为x=1，从而得A，B坐标．可得，又因为F2为双曲线的焦点，可得a2+b2=1，解出即可得出．〔2〕由P〔x P，y P〕M〔x M，y M〕，得，，利用．可得x M，y M．由P〔x P，y P〕，M〔x M，y M〕分别在曲线W1和W2上，代入消去y P得：〔*〕，将代入方程〔*〕，可得x P．从而得到P点坐标．再利用斜率计算公式即可证明．〔3〕由〔2〕知直线PF2与NF2关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，可得N坐标．可得，即可得出．【解答】解：〔1〕由条件，得F2〔1，0〕，根据知，F2、A、B三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，故AB所在直线为x=1，从而得，．所以，，又因为F2为双曲线的焦点，所以a2+b2=1，解得．因此，W2的方程为．〔2〕证明：由P〔x P，y P〕M〔x M，y M〕，得，，由条件，得，即，由P〔x P，y P〕M〔x M，y M〕分别在曲线W1和W2上，有，，消去y P，得，〔*〕，将代入方程〔*〕，成立，因此〔*〕有一根，结合韦达定理得另一根为，因为m＞1，所以，舍去．所以，．从而P点坐标为．所以，直线PF2的斜率，由x M=mx P+m﹣1=m，得．所以，直线MF2的斜率．因此，MF2与PF2斜率之和为零．〔3〕由〔2〕知直线PF2与NF2关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，故，因此，=，=，因为S在〔1，+∞〕上单调递增，所以S的取值X围是．【点评】此题考查了椭圆与双曲线的标准方程与其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．〔16分〕〔2017•徐汇区二模〕现有正整数构成的数表如下：第一行：1第二行：12第三行：1123第四行：11211234…第k行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序抄写第k﹣1行，最后添上数k．〔如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4〕．将按照上述方式写下的第n个数记作a n〔如a1=1，a2=1，a3=2，a4=1，…，a7=3，…，a14=3，a15=4，…〕〔1〕用t k表示数表第k行的数的个数，求数列{t k}的前k项和T k；〔2〕第8行中的数是否超过73个？假如是，用表示第8行中的第73个数，试求n0和的值；假如不是，请说明理由；〔3〕令S n=a1+a2+a3+…+a n，求S2017的值．【分析】〔1〕根据题意先求出{t k}的通项公式，再根据等比数列的求和公式计算即可，〔2〕由得第8行中共有27=128个数，得到第8行中的数超过73个，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73﹣63=10个数，同上过程知a73=a10=2，即可求出答案，〔3〕根据错位相减法求出得=2n+1﹣n﹣2，再逐一展开得到S2017=〔211﹣12〕+〔210﹣11〕+〔29﹣10〕+〔28﹣9〕+〔27﹣8〕+〔26﹣7〕+〔24﹣5〕，即可求出．【解答】解：〔1〕当k≥2时，t k=t1+t2+…+t k﹣1+1，t k+1=t1+t2+…+t k+1，于是t k﹣t k=t1，即t k+1=2t k，又t2=2t1，t1=1+1所以，故．〔2〕由得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，，从而，，由26﹣2=63＜73，27﹣1=127＞73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73﹣63=10个数，同上过程知a73=a10=2，所以，．〔3〕由于数表的前n行共有2n﹣1个数，于是，先计算．在前2n﹣1个数中，共有1个n，2个n﹣1，22个n﹣2，…，2n﹣k个k，…，2n﹣1个1，因此…+2×2n﹣2+1×2n﹣1，如此+k×2k+1+…+2×2n﹣1﹣n﹣2，两式相减，得=2n+1﹣n﹣2．∴S2017=+S994，=++S483，=+++S228，=++++S101，=+++++S38，=++++++S7，=〔211﹣12〕+〔210﹣11〕+〔29﹣10〕+〔28﹣9〕+〔27﹣8〕+〔26﹣7〕+〔24﹣5〕=3986【点评】此题考查新定义的应用，以与等比数列的通项公式公式和求和公式，以与错位相减法，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．参与本试卷答题和审题的教师有：X教师；danbo7801；gongjy；沂蒙松；zlzhan；铭灏2016；邢新丽；lcb001；whg；zhczcb；maths；w3239003；双曲线〔排名不分先后〕菁优网2017年5月27日。
2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学201８.4一、填空题（本大题共有１２题，满分5４分，第１－6题每题４分,第７－１２题每题５分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =,集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U ．2.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项是 .3.函数()lg(32)x x f x =-的定义域为___＿＿________. ４．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-,则a = . ５．若一个球的体积为323π,则该球的表面积为_____＿___. 6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为____＿______.7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是__________＿.8.若一圆锥的底面半径为3,体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次,记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ,向量()2,2a m n =--,向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时,1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 . 12.已知向量,a b 满足||a =、||b =,若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值NMD 1C 1B 1A 1DCBA为 .二、选择题（本大题共有４题，满分2０分，每题5分)每题有且只有一个正确选项。
第二学期 学习能力诊断卷高三年级数学学科一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ） （A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8N A16. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且FEA P:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计） （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时M F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分 设,PC AB u u u r u u u r的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,--------5分 所以，,PC AB u u u r u u u r的夹角为，即异面直线PC 与AB所成角的大小为.--------6分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分 又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC.--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m=1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.-------------------------------------------------------------------14分 19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得 sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，sin sin ABP CBP∠=∠，--------------------------------------------6分 故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分 (2)由:3:1BC AB =得AC=400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP=2x ，则CP=3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分解得19=， 即无人机到丙船的距离为275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x=1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==.CB AP---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p M px mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M(m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==， 由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分 所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n -个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n-k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n-1)×2+…+ k ×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1则2×21n S -=n ×2+(n-1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n＝2n+1-n-2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n+2=2(121n S --+n+1)，即数列{21n S -+n+2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,所以21n S -+n+2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n-2. ------------------------------15分S 2017=1021S -+S 994-----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101=1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5) =3986.------------------------------------------------------------------------18分。
