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矩阵的三角分解

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第十讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss消元法的矩阵形式 n元线性方程组

1111221nn12112222nn2

n11n22nnnn

aaabaaabaaab





  Axb

ijT12n

T12n

A(a)x[,,]b[b,bb]







设0ijnnAAa,设A的k阶顺序主子式为k， 若(0)111a0，可以令(0)i1i1011aca 并构造Frobenius矩阵

211

n1nn10c1Lc01







 2111n110c1Lc01









计算可得 (0)(0)(0)11121n(1)(1)(1)1(0)222n1(1)(1)n2nnaaaaaALA0aa







  (0)(1)

1ALA

初等变换不改变行列式，故0121122aa，若20，则122a0，又可定义 (1)i2i2(1)

22

ac(i3,4,n)a，并构造Frobenius矩阵

232

n2

11Lcc1





1232n211Lcc1









(0)(0)(0)(0)1112131n(1)(1)(1)22232n(2)1(1)(2)(2)2333n(2)(2)n3nnaaaaaaaALAaaaa







(1)(22ALA

依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到 (0)(0)(0)(0)111r11r1n(r2)(r2)(r2)(r1)r1r1r1rr1n(r1)(r1)rrrn(r1)(r1)nrnnaaaaaaaAaaaa













（r＝2,3,,n-1）

则A的r阶顺序主子式(0)(1)(r2)r1r1122r1r1rraaaa，若r0，则r1rra0可定义r1irirr1rraca，并构造Frobenius矩阵

rr11nr11Lc1c1







1rr11nr11Lc1c1







 (0)(0)(0)(0)111r1r11n(r1)(r1)(r1)(r)1r1rrrr1rnr(r)(r)r1r1r1n(r)(r)nr1nnaaaaaaaALAaaaa









 (r1)(r)rALA

（r＝2,3,,n-1） 直到第（n－1）步，得到 (0)(0)(0)11121n(1)(1)(n1)222nn1nnaaaaaAa







 则完成了消元的过程

而消元法能进行下去的条件是r0（r＝1,2,,n-1） 二、 LU分解与LDU分解 (0)(1)(2)(n1)112123n1AALALLALLLLA

容易求出

2112n1n11n12n1n2nn11c1LLLLcc1ccc1







为下三

角矩阵 令(n1)UA为上三角矩阵，则 ALU （L: lower U: upper L: left R: right） 以上将A分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，就称为LU分解或LR分解。 LU分解不唯一，显然，令D为对角元素不为零的n阶对角阵，则 1ALULDDULU

可以采用如下的方法将分解完全确定，即要求

（1） L为单位下三角矩阵 或 （2） U为单位上三角矩阵 或 （3） 将A分解为LDU，其中L，U分别为单位下 三角，单位上三角矩阵，D为对角阵A＝

diag[12nd,d,d]，而kkk1d（k=1,2,…n）,01， n阶非奇异矩阵A有三角分解LU或LDU的充要条件是A的顺序主子式r0（r=1,2，,n） n个顺序主子式全不为零的条件实际上是比较严格的，特别是在数值计算中，(k-1)kka很小时可能会带来大的计算误差。因此，有必要采取选主元的消元方法，这可以是列主元（在(k-1)kka，(k-1)k1ka ，…(k-1)nka中选取模最大者作为新的(k-1)kka）、行主元（在(k-1)kka，(k-1)kk1a ，…(k-1)kna

中选取模最大者作为新的(k-1)kka）全主元（在所有(k-1)ija（ki,jn）中选模最大者作为新的(k-1)kka）。之所以这样做，其理论基础在于对于任何可逆矩阵A，存在置换矩阵P使得PA的所有顺序主子式全不为零。 列主元素法：在矩阵的某列中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以下的各元素。比如第一步：找第一个未知数前的系数i1|a|最大的一个，将其所在的方程作为第一个方程，即交换矩阵的两行，自由项也相应变换；第二步变换时，找

i2|a|(i2)中最大的一个，然后按照第一步的方法继

续。 行主元素法：在矩阵的某行中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以后的各元素，需要记住未知数变换的顺序，最后再还原回去。因此需要更多的存储空间，不如列主元素法方便。 全主元素法：若某列元素均较小或某行元素均较小时，可在各行各列中选取模值最大者最为对角元素。与以上两种方法相比，其计算稳定性更好，精度更高，计算量增大。 AxbALULybUxy

两个三角形方程回代即可 三、其他三角分解 1. 定义 设A具有唯一的LDU分解

（1） 若将D，U结合起来得ALU（UDU），则称为A的Doolittle分解

（2） 若将L，D结合起来得ALU（LLD），则称为A的Crout分解 2. 算法 （1） Crout分解，设

112122

n1n2nn

lllLlll





，121n3n1uu1uU1

由ALU乘出得 （1）i1i1la(1)i1,2,3,n(A,L1)第列（）第列 （2）1j1j11au(1)j2,3,n(A,U1)l第行（）第行

（3）i2i2i112lalu(2)(i2,3,n)(A,L2)第列第列 （4）2j2j211j221ualuj3,4,n(A,U2)l（）第行

（5）一般地，对A,L的第k列运算，有 k1ikikimmkm1lalu(k1,2,n;ik1,k2;n)

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用直接三角分解法解线性方程组

用直接三角分解法解线性方程组


三角阵。等式左边是单位下三角阵，右边是上三角阵，要使等式
成则立L ， L只1 ,能U等于U单1，位即矩此阵三I。角于分是解L唯1一L1。
UU
1 1
I,
1 2 1
1 2 1
例7 解：
设 A 3 7
1
，试将A进行三角分解。
1 1 3
由高斯消去法得到
m21
3 1
3，m31
1 1
1
m 32
L1
1 1
0 0 1 2
例：
求
0 1 2
0 1 0
3 0 1
103的PLU分 解 。
解：用1，2， ，n的排列表示n阶置换阵P，其中排列的第i个元素
j，表示P的i行非零元素位于j列。则分解过程如下：
1 0 0 1 2
3 1 1 0 1
3 1 1 0
2 0
43
1 2
0 1 0
3 0 1
0 1 3
Ux j y j
Ly
j
bj
n1
k
n(n 1)
n2
n 次乘法
k 1
2
22
Ux j y j n k n(n 1) n2 n 次乘除法
k 1
2
22
即共需n 2 次乘除法运算。
n 2 次 乘 除 法
三角分解法的存放元素的方法：
以A (a ij )33 为例，
a11 A a21
1 mk1,k 1
k，
Lk1
1 mk1,k 1
k
mnk
1
mn,k
1
A ( L11 L21
L1 n1
)U
LU，1
a (1) 11
杜立特尔三角分解法

杜立特尔三角分解法

杜立特尔三角分解法
杜立特尔三角分解法（Doolittle's triangle decomposition method）是一种LU分解的方法，用于解线性方程组。

该方法是将原方
程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U。

具体步骤如下：
1. 将系数矩阵A分解为L和U，其中L为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵。

假设A的维度为n×n。

2. 初始化L和U的对角线元素为1和A的第一列。

3. 对于矩阵A的每一行i（i=2到n），进行如下操作：
a. 对于每个列j（j=1到i-1），计算L的元素L[i][j]。

b. 对于每个列j（j=i到n），计算U的元素U[i][j]。

4. 得到分解后的L和U矩阵，其中L为下三角矩阵，U为上
三角矩阵。

5. 解线性方程组Ax=b的步骤如下：
a. 解Ly=b得到向量y。

b. 解Ux=y得到向量x。

杜立特尔三角分解法的优点是求解Ax=b时只需要解两个三角
形方程组，计算量较小。

缺点是在分解LU矩阵时可能会出现
除零错误，此时需要对矩阵进行行交换或采用其他方法避免该问题。

doolittle三角分解法的相关原理及概念

doolittle三角分解法的相关原理及概念

doolittle三角分解法的相关原理及概念Doolittle三角分解法是一种常用的数值分析方法，用于解决线性方程组的求解问题。

三角分解法以源自Lanczos二次投影算法的Doolittle分解法为代表，是一种迭代计算最小二乘解的有效方法，其原理在于利用变换，将具有给定系数矩阵的线性方程组转化为一组更简单的三角形方程组。

Doolittle三角分解法包括四个步骤：首先，通过算法将给定的矩阵进行分解，获得两个三角矩阵；其次，通过求解上半三角矩阵来求解未知系数的近似解；然后，使用上半三角矩阵求解出的近似解和下半三角矩阵求解未知系数矩阵；最后，使用求解出的未知系数来求解待定系数矩阵。

Doolittle三角分解法的优势在于其复杂度较低，且有较快的计算速度，能够很好的解决大规模的线性方程组的求解问题。

通常情况下，Doolittle三角分解法的计算复杂度为O(n3)，而传统Gauss消元法的复杂度为O(n2)，可以看出，Doolittle三角分解法的计算速度的较高。

另外，其精度较高，能够得到更准确的结果。

Doolittle三角分解法可以更好地解决大规模的线性方程组，而在解决小型线性方程组时，通常会使用精度更高的Gauss消元法。

对于规模较大的线性方程组，可以使用改良的Doolittle三角分解法来提高运算的准确度，改进的Doolittle三角分解法能够更好地解决线性方程组的求解问题，可以通过给定不同的改进步骤来提高算法的准确度。

总之，Doolittle三角分解法是一种简单、有效且精确的方法，能够有效地解决大规模的线性方程组的求解问题，其应用非常广泛，被应用在数值分析、优化和机器学习等方面。

同时，Doolittle三角分解法也可以作为其他线性方程组求解算法的基础，为实际应用中的求解提供了可靠的解决方案。

杜立特尔三角分解法

杜立特尔三角分解法

杜立特尔三角分解法1. 简介杜立特尔三角分解法（Doolittle’s LU decomposition）是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法。

这种分解方法在数值计算和线性代数中广泛应用，可以用于求解线性方程组、计算行列式和逆矩阵等问题。

2. 算法原理给定一个n×n的矩阵A，我们希望将其分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得A = LU。

其中，L的对角线元素为1。

杜立特尔三角分解的过程如下：1.初始化L为单位下三角矩阵，U为零上三角矩阵。

2.对于每一列j（从0开始），进行以下操作：–计算U的第j行：对于每个元素U[j][k]（k从j到n-1），使用以下公式计算：U[j][k] = A[j][k] - ∑(L[j][i] * U[i][k]) (i从0到j-1)。

–计算L的第j列：对于每个元素L[i][j]（i从j+1到n-1），使用以下公式计算：L[i][j] = (A[i][j] - ∑(L[i][k] * U[k][j]) (k从0到j-1)) / U[j][j]。

3.返回分解后的矩阵L和U。

3. 算法示例下面是一个使用杜立特尔三角分解法求解线性方程组的示例：假设有以下线性方程组：2x + y + z = 8-3x - y + 2z = -11-2x + y + 2z = -3我们可以将其表示为矩阵形式：Ax = b，其中A = [[2, 1, 1],[-3, -1, 2],[-2, 1, 2]]x = [[x],[y],[z]]b = [[8],[-11],[-3]]使用杜立特尔三角分解法，我们可以将A分解为LU：L = [[1, 0, 0],[l21, 1, 0],[l31, l32, 1]]U = [[u11, u12, u13],[0, u22, u23],[0, 0 ,u33]]根据算法原理，我们可以逐步计算出L和U的值：首先，计算U的第一行：u11、u12、u13。