初三圆的证明专题训练(教案)

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九年级数学组的初中数学组卷 (扫描二维码可查看试题解析) 一．解答题（共17小题）

1．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

2．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题： （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．

3．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长． 第3页（共33页）

4．（2013•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． （1）求AD的长； （2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．

5．（2013•菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）OC=CP，AB=6，求CD的长．

6．（2013•聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证： （1）四边形FADC是菱形； （2）FC是⊙O的切线． 第4页（共33页）

7．（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE． （1）求证：BE与⊙O相切；

（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．

8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC． （1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论． （2）求证：PC是⊙O的切线．

9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G． （1）求证：AE•FD=AF•EC； （2）求证：FC=FB； （3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长． 第5页（共33页）

10．（2012•黔南州）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A． （1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）过点C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=，求AD的长．

11．（2012•广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线．

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

12．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）求证：BD2=AB•BE． 第6页（共33页）

13．（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

14．（2011•凉山州）如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H． （1）求证：AB是半圆O的切线； （2）若AB=3，BC=4，求BE的长．

15．（2011•乐山）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长． 第7页（共33页）

16．（2011•广安）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）设∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长．

17．（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P． （1）求证：PC是⊙O的切线． （2）若AF=1，OA=，求PC的长． 第8页（共33页）

2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．解答题（共17小题） 1．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、

E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

考点： 切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 专题： 几何综合题． 分析： （1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°． （2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可． 解答： （1）证明：连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∵AB=AC，

∴∠1=∠CAB．

∵∠CBF=∠CAB， ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：过点C作CG⊥AB于G． 第9页（共33页）

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=， ∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5， ∴BE=AB•sin∠1=， ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，

∴sin∠2===，cos∠2===， 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2， ∴AG=3， ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF，

∴

∴BF==

点评： 本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

2．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题： （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．

考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题： 证明题． 第10页（共33页）

分析： （1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可． 解答： （1）证明：连接OD， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠A， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC∥AB， ∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA， ∴∠EOC=∠DOC， 在△EOC和△DOC中

∴△EOC≌△DOC（SAS）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD⊥DC， ∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵△EOC≌△DOC， ∴CE=CD=4， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC=3， ∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12．

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC．

3．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．