高三数学总复习知能达标训练第七章

（新课标）高考数学一轮复习 第七章 第 3 讲 知能训练轻松闯

关

【优化方案】（新课标） 2016 高考数学一轮复习 第七章 第 3 讲 知

能训练轻松闯关

1．已知直线 l ∥平面 α， P∈ α，那么过点 P 且平行于直线 l 的直线 ( ) A．只有一条，不在平面 α 内 B．有无数条，不必定在平面 α 内 C．只有一条，且在平面 α 内

D．有无数条，必定在平面 α 内

分析：选 C．由直线 l 与点 P可确立一个平面 β，则平面 α， β有公共点，所以它们

有一条公共直线，设该公共直线为 ，由于 l ∥ α ，所以 l ∥ ，故过点 P 且平行于直线 l 的

m m

直线只有一条，且在平面 α内．

2．已知 、、、 D 是空间四个点，甲： 、 、 、 四点不共面，乙：直线 和直线

A B C A B C D AB

CD不订交，则甲是乙建立的 ( )

A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件

C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件

分析：选 A．由于 A、 B、 C、D 四点不共面，则直线 AB和直线 CD不订交，反之，直线AB和直线 CD不订交， A、 B、C、 D四点不必定不共面．故甲是乙建立的充足不用要条件．

3．如图， α∩β＝ l ， A， B∈ α，C∈ β，且 C?l ，直线 AB∩ l ＝ M，过 A， B，C三点的

平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必经过 ( ) A．点 A B．点 B C．点 C但可是点 M D．点 C和点 M

分析：选 D．∵ AB? γ，M∈ AB，∴ M∈ γ．

又 α∩ β＝ l ，M∈ l ，∴ M∈ β．

依据公义 3 可知， M在 γ 与 β 的交线上．同理可知，点 C也在 γ 与 β 的交线上．

学必求其心得，业必贵于专精

1．已知⊙C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“F＝E＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的( ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－错误!，0)，而D可以大于0，故选A。

2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2），则直线PQ的方程是（ ）

A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0

C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0

解析：选B。由圆的几何性质知kPQ·kOM＝－1，

∵kOM＝2，∴kPQ＝－错误!.

故直线PQ的方程为y－2＝－错误!（x－1），即x＋2y－5＝0。

3．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆（x－1）2＋（y－1）2＝4的内部,则实数a的取值范围是( )

A．－15〈a<1 B．a〉1或a〈－15

C．－15≤a〈1 D．a≥1或a≤－错误!

解析：选A.由错误!，得P（a，3a)．

∴(a－1）2＋(3a－1)2〈4，∴－错误!〈a〈1，故应选A.

4．(2011·高考辽宁卷）已知圆C经过A（5,1），B（1,3)两点,圆心在x轴上，则C的方程为________．

解析:设圆心坐标为(a,0)，易知错误!＝错误!,解得a＝2,∴圆心为(2，0），半径为错误!，∴圆C的方程为（x－2)2＋y2＝10。

答案:（x－2)2＋y2＝10 学必求其心得，业必贵于专精

一、选择题

1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过（ )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析：选D。圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a,－错误!b)，则a<0，b>0。直线y＝－错误!x－错误!，k＝－错误!〉0，－错误!〉0,直线不经过第四象限，故选D.

学必求其心得，业必贵于专精

1．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上,且抛物线上的点P(k，－2）到点F的距离为4，则k的值为________．

解析：由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p〉0),则错误!＋2＝4，p＝4，k2＝－2×4×（－2），∴k＝4或－4。

答案：4或－4

2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足｜NF|＝错误!|MN｜,则∠NMF＝________.

解析：作NN′⊥l（l为准线)于N′，

则|NN′|＝｜NF|.

又|NF｜＝错误!|MN｜，

∴｜NN′｜＝错误!|MN|.

∴∠NMN′＝60°，

∴∠NMF＝30°.

答案:30°

3．已知以向量v＝（1，错误!）为方向向量的直线l过点(0，错误!），抛物线C：y2＝2px（p〉0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．

(1）求抛物线C的方程；

(2）设A、B是抛物线C上两个动点,过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若错误!·错误!＋p2＝0（O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．

解：(1)由题意可得直线l的方程为y＝错误!x＋错误!，① 学必求其心得，业必贵于专精

过原点垂直于l的直线方程为y＝－2x.②

解①②得x＝－错误!。

∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，

∴－p2＝－错误!×2，p＝2.

∴抛物线C的方程为y2＝4x。

（2）设A(x1，y1),B(x2，y2)，N(x,y），由题意知y＝y1.

由O错误!·O错误!＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0,

又y错误!＝4x1，y错误!＝4x2,解得y1y2＝－8，③

直线ON：y＝错误!x，即y＝错误!x。④

由③④及y＝y1得点N的轨迹方程为x＝－2(y≠0)．

一、选择题

1．（2011·高考陕西卷）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是（ ）

【优化方案】2013年高考数学总复习 第七章第1课时知能演练+轻松闯关 文

1．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )

A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0

C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0

解析：选D.直线2x－y－2＝0与y轴交点为A(0，－2)，所求直线过A且斜率为－12，

∴l：y＋2＝－12(x－0)，即x＋2y＋4＝0.

2．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过( )

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

解析：选C.原直线可化为y＝－abx＋cb，则k＝－ab＞0，cb＜0.故直线通过第一、三、四象限．

3．直线x＋a2y－a＝0(a＞0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值是( )

A．1 B．2

C.2 D．0

解析：选A.方程可化为xa＋y1a＝1，因为a＞0，所以截距之和t＝a＋1a≥2，当且仅当a＝1a，即a＝1时取等号．

4．(2011·高考安徽卷)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；

④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；

⑤存在恰经过一个整点的直线．

解析：①正确．设y＝2x＋12，当x是整数时，y是无理数，(x，y)必不是整点．

②不正确．设k＝2，b＝－2，则y＝2(x－1)，过整点(1,0)．

③正确．直线l经过无穷多个整点，则直线l必然经过两个不同的整点，显然成立；反之亦成立，设直线l经过两个整点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则l的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，令x＝x1＋k(x2－x1)(k∈Z)，则x∈Z，且y＝k(y2－y1)＋y1也是整数，故直线l经过无穷多个整点．