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华师大版九年级数学上册知识总结华师版定稿版

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华师大版九年级数学上册知识总结华师版

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第22章 二次根式

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.二次根式有意义的条件：被开方数a≥0

3. 二次根式的性质：

（1）（a）2=a （a≥0）； （2）aa2

4．二次根式的乘法---------)0,0(baabba

5．二次根式的除法---------)0,0(bababa

6．最简二次根式：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

7．同类二次根式--------化成最简二次根式后，被开方数相同。

8.二次根式的加减--------先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

9.分母有理化：把分母中的根号化去。

① a的有理化因式是a； ②a+b的有理化因式是a-b。

第23章 一元二次方程 （＞（＜0

1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

2.一般形式：cbacbxax,,(02是已知数，)0a。

其中cba,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。

3. 一元二次方程的解---------- 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

4.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法-----------若02aax，则ax

（2）配方法-----步骤：①把常数项移到方程的右边；②把二次项的系数化为1；③方程两边同时

加上1次项的系数的一半的平方，配成完全平方公式；④直接开平方。

（3）公式法-------求根公式：)04(2422acbaacbbx

步骤：①把方程化为002acbxax的形式，确定的值cba.,（注意符号）；②求出acb42的值；③若042acb，则.,ba把及acb42的值代入求根公式，求出21,xx。

（4）因式分解法-----------要求方程右边必须是0，左边能分解因式。

注意：形如“为常数babaxbax,02可将左边分解因式，方程变形为0bxax，则00bxax或，即bxax21,。

5.一元二次方程根的判别式-----------------△=acb42

①△=acb42﹥0方程有两个不相等的实数根；

②△=acb42=0方程有两个相等的实数根；

③△=acb42﹤0方程没有实数根。

注意：逆用根的判别式求未知数的值或取值范围，不能忽略二次项系数不为0这一条件。

6. 一元二次方程的根与系数的关系

若21,xx是一元二次方程002acbxax的两个根，则有abxx21， acxx21

常用变形：①2122122212xxxxxx ②21212111xxxxxx

7.一元二次方程的应用

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤

① 审题 ②设未知数 ③列方程 ④解方程 ⑤检验 ⑥作答。关键点：找出题中的等量关系。

知识点二 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：

（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为xa1，两次增长后的值为21xa；

（2）若基数为a，降低率x为，则一次降低后的值为xa1，两次降低后的值为21xa。

知识点三 与市场经济有关的问题----------如：营销问题、水电问题等，常用关系式有：

（1）每件利润=销售价-成本价； （2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；

（3）销售额=售价×销售量； （4）总利润=单个利润×销售数量

第24章 图形的相似

1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcba（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段。（注意：线段单位要统一）

2.比例性质的基本性质: bcaddcba （两外项的积等于两内项积）

3.黄金分割：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果ACBCABAC，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中ABAC215≈0.618AB。

4.相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。

5.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

通常用k来表示。相似比具有顺序性．

6. 相似三角形的性质

①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比。

③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

7.三角形相似的判定定理：

（1）平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）两角对应相等，两三角形相似．

（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

（4）三边对应成比例，两三角形相似．

（5）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。射影定理：CD2=AD·BD， AC2=AD·AB，BC2=BD·BA

六种相似基本模型：

DE∥BC ∠B?∠AED ∠B?∠ACD

X型 母子型

AC∥BD ∠B?∠C AD是Rt△ABC斜边上的高

中位线

①三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。（3条）

②三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

③重心：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.

④重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.

⑤梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段。

⑥梯形的中位线平行于两底边，且等于两底和的一半

⑦梯形的面积=中位线╳高=12（上底+下底）╳高

射影定理:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相CD2=AD·BD， AC2=AD·AB，BC2=BD·BA

10.位似（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

（2）性质：①位似图形的对应边平行或共线。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。

11.图形的变换与坐标

①轴对称：图形关于x轴对称，横不变，纵为相反数；关于y轴对称，纵不变，横为相反数。

②中心对称：图形关于原点对称，横纵皆为相反数。

③平移：横坐标右加左减，纵坐标上加下减。

④位似：以原点为位似中心，位似比为K进行变换，P（a，ｂ）变换后为(ka,kb)或(-ka,-kb)。

第25章 解直角三角形

1.在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

2.特殊角的三角函数值(重要)

三角函数 0° 30° 45° 60° 90°

0

1 定 义 表达式 取值范围 关 系

正弦 (∠A为锐角)

余弦 (∠A为锐角)

正切 (∠A为锐角)

AAcot1tan(倒数)

余切 (∠A为锐角)

1

0

0 1 不存在

不存在 1 0

3.解直角三角形：已知边和角→所有未知的边和角。

只有两种情况：（1）已知两条边（2）已知一条边和一个锐角

4.应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡角：坡面与水平面的夹角。记作。 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比。用字母i表示，即tanhil。一般写成1:m的形式。

随机事件的概率

1. 概率

（1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率．

P(所关注的事件)=所关注的结果/所有等可能的结果．

2. 概率的预测

（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果．

（2）要清楚所有机会的结果．

（1）、（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率．

方法：画树状图、列表法．

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华师大版初中数学九年级上册22.2.4 一元二次方程根的判别式

华师大版初中数学九年级上册22.2.4 一元二次方程根的判别式

华师大版初中数学

TB:小初高题库华师大版初中数学 重点知识精选 掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！ 华师大初中数学 和你一起共同进步学业有成！ 华师大版初中数学

TB:小初高题库4.一元二次方程根的判别式 1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点) 2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力． 一、情境导入 老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋＝0； 14(3)x2－x＋1＝0. 解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程1414有两个相等的实数根． (3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根． 【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( ) A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<－2 解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C. 方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根． 解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a，b，c是三角形三条边的长可知a，b，c都是正数．由三角形的三边关系可知a＋b>c，a＋c>b，b＋c>a. 证明：∵b为三角形一边的长，∴b≠0，∴b2≠0，∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0是关于x的一元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c华师大版初中数学

九年级华师大版数学知识点

九年级华师大版数学知识点

九年级华师大版数学知识点

详解

九年级数学学科是中学数学学科的重要阶段之一，学生将进一步巩固和拓展初中数学的基础知识，并学习一些高中数学的初步内容。下面将重点介绍九年级华师大版数学的主要知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。

一、代数运算

代数运算是数学学科中非常重要的一个部分，它涉及到数字和符号的组合及其运算规则。在九年级的代数运算中，包括乘法法则、因式分解、代数式的展开与因式分解等内容。其中，乘法法则是代数运算的基础，学生需要熟练掌握乘法法则，并能够运用到实际问题中。而因式分解则是将一个多项式拆分成几个较简单的乘积的过程，也是九年级代数运算的重点之一。

二、平面几何

在九年级华师大版数学中，平面几何是一个重要的内容。它主要包括三角形、平行线、相似形和勾股定理等知识点。在学习这些知识点时，同学们需要了解三角形的定义和性质，并能够应用到解决实际问题中。平行线的学习中，需要掌握平行线的定义以及平行线的性质，例如平行线间的角和、平行线的判定方法等。相似形是指形状相似但大小不同的两个图形，学生需要学习相似形的定义、性质以及相似比的计算方法。勾股定理是解决直角三角形问题的重要定理，同学们需要了解勾股定理的定义和证明过程，并能够熟练应用到解题中。

三、数列与函数

数列是由一列数字按照一定规律排列而成的一组数，数列中的每个数字称为项。在九年级华师大版数学中，学生需要学习数列的概念、性质以及求解数列的问题。在数列的学习中，同学们需要了解等差数列和等比数列的定义，并能够计算其通项、前n项和等差(比)等相关内容。

函数是数学中的一种基本概念，是将一个数集的每个元素都对应到另一个数集中的元素的关系。在九年级数学中，学生将进一步学习函数的概念以及函数的性质和运算。此外，同学们还需要学习函数的图像、函数关系的表示和函数的应用等内容。

四、概率与统计

概率与统计是应用数学的重要分支，它涉及到随机事件和数据的收集与分析。在九年级华师大版数学中，学生将学习概率的基本概念和性质，以及概率的计算方法和应用。此外，同学们还需要学习统计的基本概念和方法，如频数表、频率表、直方图等。

华师大数学九年级知识点

华师大数学九年级知识点

华师大数学九年级知识点

华师大数学九年级知识点主要包括数与式、方程与不等式、函数、平面几何、空间几何、统计与概率六个部分。下面将对这六个部分的知识点进行详细介绍。

一、数与式

1. 整数、有理数、实数的概念及其性质。

2. 分数、小数与百分数的相互转化。

3. 简便运算法则，如整数的加减乘除法、分数的加减乘除法等。

4. 分式方程与分式不等式的解法。

二、方程与不等式

1. 一元一次方程的解法，包括利用等式性质、移项变形法等。

2. 一元一次不等式的解集表示及其性质。

3. 二元一次方程与不等式的解法。

4. 二次方程与不等式的解集表示及其性质。

三、函数 1. 函数的概念、定义域、值域及其表示方法。

2. 常用函数的图象与性质，包括一次函数、二次函数、反比例函数等。

3. 函数的运算，包括函数的加减乘除、函数的复合运算等。

4. 函数方程与函数不等式的解法。

四、平面几何

1. 线段、角的概念与基本性质，包括线段的长、角的度量等。

2. 直线与平面的性质，包括平行线、垂直线等基本关系。

3. 三角形的性质，包括角的对应关系、边的关系、面积等。

4. 四边形的性质，包括平行四边形、矩形、正方形等特殊四边形的性质。

五、空间几何

1. 空间图形的视图与展开图，包括正视图、侧视图、俯视图等。

2. 空间几何体的表面积与体积，包括长方体、正方体、棱锥、棱柱等。

六、统计与概率

1. 统计图表的分析与应用，包括条形图、折线图、饼图等。

2. 概率的概念与计算，包括事件与样本空间、概率的加法法则、乘法法则等。

以上是华师大数学九年级知识点的主要内容，通过学习这些知识点，可以提高数学解题能力，丰富数学思维，为进一步学习高中数学打下坚实的基础。希望同学们能够认真学习，并在实际问题中灵活运用所学知识，取得优异的成绩。

九年级华师大数学知识点

九年级华师大数学知识点

九年级华师大数学知识点

数学是一门我们每个人都无法逃避的学科，而对于九年级的学生来说，掌握好华师大数学知识点对于他们的学习生涯至关重要。在这篇文章中，我将带领大家一起回顾九年级华师大数学的重点知识。

首先，我们来谈谈代数运算。代数运算是数学中的基础，它包括有理数，整式，整式的加法、减法、乘法和除法等。在代数运算中，有一项重要的知识点就是整式的乘法。在整式的乘法中，我们需要掌握二次方程等式的乘法公式和因式分解等方法。这些都是我们在后面学习数学和解题过程中必不可少的。

接下来，我们来聊一聊几何学。几何学是研究空间中的点、线、面及其相互关系的学科。在九年级的华师大数学中，我们将会学习到许多几何知识。比如，平面几何中的角和线段等概念是我们需要掌握的基础知识。此外，我们还需要学习三角形、四边形和多边形等图形的性质和定理。几何中有许多独特的性质和定理，它们帮助我们分析和解决许多实际问题。

在代数和几何之外，九年级的华师大数学还包括概率与统计等知识点。概率是一门研究随机事件发生可能性的学科，而统计学是研究收集、分析和解释数据的学科。在概率中，我们需要学习事件的概念和概率的计算方法，了解事件的互斥和独立性质。在统计学中，我们需要学习数据的收集和整理方法，了解如何用图表展示数据的分布和趋势。这些概率与统计的知识点帮助我们更好地理解和分析现实生活中的问题。

另外，九年级的华师大数学还将涉及到初等数论的基础知识。初等数论是研究整数的性质和规律的学科。在初等数论中，我们将学习到因数分解、最大公约数和最小公倍数等概念和性质。这些知识点在解决整数相关的问题时非常实用。

最后，我们还需要学习函数和方程的知识。在函数中，我们需要学习如何表示、图像和性质等。方程则包括一次方程、二次方程和一元一次方程组等。掌握好函数和方程的知识对于我们后面的学习和实际应用都有着重要的作用。

总而言之，九年级华师大数学知识点的掌握对于我们的数学学习和发展至关重要。代数运算、几何学、概率与统计、初等数论以及函数和方程等都是我们需要掌握的核心知识点。只有通过不断地学习和练习，我们才能真正掌握这些知识，为将来的学习打下坚实的基础。希望大家在九年级的数学学习中能够努力，取得优秀的成绩。