华师版九年级上册数学最全最实用知识点大全

(修改版)华东师范大学出版社九年级上册数学知识点总结第21章 二次根式1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式．2. 二次根式的性质：（1）=2)(a （a ≥0）；（2；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a3.二次根式的乘除：计算公式：___(0,0)___(0,0)a b a b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩4. 概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式：5. 二次根式的加减：(一化；二找；三合并 )（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式．6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念；把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．7. 二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似；先算乘方；再算乘除；最后算加减；有括号先算括号里面的．（2）对于二次根式混合运算；原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中；如能结合题目特点；灵活运用二次根式的性质；选择恰当的解题途径；往往能事半功倍．第22章 一元二次方程1. 一元二次方程：1) 一元二次方程：含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2的整式方程．2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ．它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式；等式右边是零．2ax 叫做二次项；a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；b 叫做一次项系数；c 叫做常数项．2. 一元二次方程的解法：1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知；a x +是b 的平方根；当0≥b 时；b a x ±=+；b a x ±-=；当b <0时；方程没有实数根．2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±；把公式中的a 看做未知数x ；并用x 代替；则有222)(2b x b bx x ±=+±．配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边；再把二次项的系数化为1；再同时加上1次项的系数的一半的平方；最后配成完全平方公式．3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段；求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0；然后看看是否能用提取公因式；公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘；如果可以；就可以化为乘积的形式．3. 一元二次方程根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中；ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式；通常用“∆”来表示；即ac b 42-=∆．1) 当△>0时；一元二次方程有2个不相等的实数根；2) 当△=0时；一元二次方程有2个相同的实数根；3) 当△<0时；一元二次方程没有实数根．4. 韦达定理：如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，；那么a b x x -=+21；ac x x =21．也就是说；对于任何一个有实数根的一元二次方程；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．5. 一元二次方程的二次函数的关系：其实一元二次方程也可以用二次函数来表示；其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况；就是当y =0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来；一元二次方程就是二次函数中；图象与X 轴的交点；也就是该方程的解了．第23章 图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c (a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项；d 叫第四比例项；如果b =c ；那么b 叫做a 、d 的比例中项．2． 比例性质①基本性质：a b c dad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b c d d c a c b a d b b d c a b d a c ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3． 黄金分割 在线段AB 上；点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ）；如果AC BC AB AC =；即AC 2=AB ×BC ；那么称线段AB 被点C 黄金分割；点C 叫做线段AB 的黄金分割点；AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线；所得的对应线段成比例；如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；那么这条直线平行于三角形的第三边．5． 相似三角形的判定①两角对应相等；两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等；两三角形相似； ③三边对应成比例；两三角形相似．6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等；对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．7． 六种相似基本模型：C A BD C A B DE E DB ACDE ∥BC ∠B =∠AED ∠B =∠ACDA B C D O B A C ODC B AX 型 母子型 AC ∥BD∠B =∠C AD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理 由_____________；得______________；即_______________；由_____________；得______________；即_______________；由_____________；得______________；即_______________． 9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．三角形三条边上的中线交于一点；这个点就是三角形的重心；重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边；并且等于两底边和的一半．10． 位似①如果两个图形不仅是相似图形；而且每组对应点所在的直线都经过同一个点；那么这样的两个图形叫做位似图形；这个点叫做位似中心；这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．第24章 解直角三角形考点一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余．可表示如下：∠C =90°⇒∠A +∠B =90°2. 在直角三角形中；30°角所对的直角边等于斜边的一半．301902A BCD ABC ∠=︒⎫⇒=⎬∠=︒⎭ 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9012ACB CD AB BD AD D AB ∠=︒⎫⇒===⎬⎭为的中点 4. 勾股定理直角三角形两直角边a ；b 的平方和等于斜边c 的平方；即222c b a =+．5. 摄影定理在直角三角形中；斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项；每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．A D BC22290CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB⎧=∙∠=︒⎫⎪⇒=∙⎬⎨⊥⎭⎪=∙⎩ 6. 常用关系式由三角形面积公式可得：AB ∙CD =AC ∙BC考点二、直角三角形的判定1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形．2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半；那么这个三角形是直角三角形．3. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ；b ；c 有关系222c b a =+；那么这个三角形是直角三角形． 考点三、锐角三角函数的概念1. 如图；在△ABC 中；∠C =90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦；记为sinA ；即A a sin A c∠==的对边斜边 ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦；记为cos A ；即A b cos A c ∠==的邻边斜边 ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切；记为tan A ；即A a tan A A b ∠==∠的对边的邻边 ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切；记为cot A ；即A b cot A A a∠==∠的邻边的对边 2. 锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．3. 各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sin A =cos(90°—A )；cos A =sin(90°—A )tan A =cot(90°—A )；cot A =tan(90°—A )（2）平方关系：1cos sin 22=+A A（3）倒数关系：tan A ∙cot A =1（4）弦切关系：tan A =A A cos sin ；cot A =cos sin A A4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时；（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）5. 一些特殊角的三角函数值1. 解直角三角形的概念：在直角三角形中；除直角外；一共有五个元素；即三条边和两个锐角；由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2. 解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中；∠C =90°；∠A ；∠B ；∠C 所对的边分别为a ；b ；c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A +∠B =90°（3）边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot sin ,cos ,tan ,cot a babA A A A c c b ab ab a B B B Bc c a b========第25章 随机事件的概率1. 概率（1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数；叫做该事件的概率．P (所关注的事件)=所关注的结果/所有等可能的结果．2. 概率的预测（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果．（2）要清楚所有机会的结果．（1）、（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率．方法：画树状图、列表法．事件的分类1、确定事件必然发生的事件：当A 是必然发生的事件时；P （A ）=1不可能发生的事件：当A 是不可能发生的事件时；P （A ）=02、随机事件：当A 是可能发生的事件时；０＜P （A ）＜１概率的意义一般地；在大量重复试验中；如果事件A 发生的频率m n 会稳定在某个常数p 附近；那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。

华师大数学九年级知识点华师大数学九年级知识点主要包括数与式、方程与不等式、函数、平面几何、空间几何、统计与概率六个部分。

下面将对这六个部分的知识点进行详细介绍。

一、数与式1. 整数、有理数、实数的概念及其性质。

2. 分数、小数与百分数的相互转化。

3. 简便运算法则，如整数的加减乘除法、分数的加减乘除法等。

4. 分式方程与分式不等式的解法。

二、方程与不等式1. 一元一次方程的解法，包括利用等式性质、移项变形法等。

2. 一元一次不等式的解集表示及其性质。

3. 二元一次方程与不等式的解法。

4. 二次方程与不等式的解集表示及其性质。

三、函数1. 函数的概念、定义域、值域及其表示方法。

2. 常用函数的图象与性质，包括一次函数、二次函数、反比例函数等。

3. 函数的运算，包括函数的加减乘除、函数的复合运算等。

4. 函数方程与函数不等式的解法。

四、平面几何1. 线段、角的概念与基本性质，包括线段的长、角的度量等。

2. 直线与平面的性质，包括平行线、垂直线等基本关系。

3. 三角形的性质，包括角的对应关系、边的关系、面积等。

4. 四边形的性质，包括平行四边形、矩形、正方形等特殊四边形的性质。

五、空间几何1. 空间图形的视图与展开图，包括正视图、侧视图、俯视图等。

2. 空间几何体的表面积与体积，包括长方体、正方体、棱锥、棱柱等。

六、统计与概率1. 统计图表的分析与应用，包括条形图、折线图、饼图等。

2. 概率的概念与计算，包括事件与样本空间、概率的加法法则、乘法法则等。

以上是华师大数学九年级知识点的主要内容，通过学习这些知识点，可以提高数学解题能力，丰富数学思维，为进一步学习高中数学打下坚实的基础。

希望同学们能够认真学习，并在实际问题中灵活运用所学知识，取得优异的成绩。

华师大九年级上数学知识点华师大九年级上的数学课程是学生在中学阶段的数学学习的重要一步。

本文将就华师大九年级上的数学知识点进行深入的分析和解读，帮助学生更好地理解和应用数学知识。

一、代数与函数在九年级上，代数与函数的学习是数学学习的核心内容之一。

代数是数学中非常重要的概念，它通过符号的运算和关系的建立来研究数量和运算的规律。

在代数学习中，学生将进一步巩固和扩展基础的代数运算，如整式的乘法和因式分解等。

此外，学生还将学习到一些新的概念和方法，如一次函数和二次函数的概念以及其图象的绘制和性质的研究。

这些知识将帮助学生更好地理解和描述现实世界中的各种变化。

二、几何与图形几何与图形是数学学习中的另一个重要方面。

在九年级上，学生将进一步学习平面图形和空间图形的性质和计算方法。

例如，学生将学习到平面图形的面积和周长的计算、正多边形的性质和判定以及球体、圆柱和圆锥等空间图形的体积和表面积的计算。

此外，学生还将学习到一些解决几何问题的方法，如相似性判定、射影原理等。

几何与图形的学习将帮助学生培养空间思维和解决实际问题的能力。

三、概率与统计概率与统计是数学学习中的实用内容，它帮助我们更好地理解和分析随机事件的规律。

在九年级上，学生将学习到概率的计算方法、事件的独立性和互斥性以及概率分布等概率知识。

同时，学生还将学习到统计的基本方法，如数据的收集和整理、频数分布表和直方图的绘制等。

概率与统计的学习将帮助学生更好地分析和解决实际生活中的问题。

四、数论与证明数论与证明是数学学习中的抽象和推理的重要部分。

在九年级上，学生将学习到素数与合数、最大公约数和最小公倍数等数论的概念和方法。

同时，学生还将学习到数学证明的基本方法和技巧，如直接证明、反证法和数学归纳法等。

数论与证明的学习将培养学生的逻辑思维和推理能力，帮助他们更好地理解数学的本质和方法。

五、数学建模数学建模是将数学的知识和方法应用于实际问题解决的过程。

在九年级上，学生将学习到一些数学建模的基本方法和技巧。

九年级华师数学知识点一、代数与函数1.整式与分式a.整式的定义与运算b.幂的定义与运算c.分式与分式的运算2.一次函数与二次函数a.一次函数的性质与图像b.二次函数的性质与图像c.一次函数与二次函数的关系3.不等式与线性规划问题a.不等式的定义与性质b.线性规划问题的求解方法4.函数与方程a.函数的概念与性质b.方程的定义与解的概念c.一元一次方程与一元二次方程的解法二、几何与图形1.平面几何与图形的性质a.平面几何基本概念b.图形的性质与构造方法2.三角形与平行四边形a.三角形的性质与分类b.平行四边形的性质与性质的应用3.圆与圆相关的计算a.圆的概念与性质b.圆的相关计算4.相似与全等a.相似的定义与判定b.全等的定义与判定三、数据与统计1.统计与概率a.统计调查与数据收集b.频率、频数与频率分布表c.概率的概念与计算2.统计与图形的分析a.条形统计图与折线统计图b.频率多度与频率密度分布图3.数据的分析与解读a.数据的整理与分析b.数据的解读与应用四、数论与排列组合1.整数与整除性a.整数的基本性质与运算b.整除与最大公因数的应用2.分数与小数a.分数的性质与四则运算b.小数的定义与运算3.排列与组合a.排列的概念与计算b.组合的概念与计算五、三角函数与平面向量1.三角函数的概念与计算a.角度制与弧度制的转换b.三角函数的定义与计算2.三角函数的图像与性质a.正弦函数与余弦函数的图像b.正弦函数与余弦函数的性质与应用3.平面向量的概念与运算a.平面向量的定义与性质b.平面向量的运算与应用六、立体几何与空间几何1.多面体与棱锥a.多面体的性质与分类b.棱锥的性质与计算2.球体与球相关计算a.球体的性质与计算b.球相关计算的应用3.空间几何图形的性质与构造a.平行四边形柱体的性质与构造b.平面向量的运算与应用以上便是九年级华师数学知识点的简要概述，通过对这些知识点的学习，你将对数学的各个领域有着更深入的理解与掌握。

华师大九年级数学上知识点华师大九年级数学上的重要知识点数学作为一门重要的学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要手段。

华师大九年级的数学教材包含了许多重要的知识点，掌握这些知识点对于学生打好数学基础，提高综合素质非常重要。

下面将重点介绍华师大九年级数学上的几个重要知识点。

一、代数ic745ic745代数是数学中非常重要的一部分，也是中学数学的重点内容之一。

在代数中，学生将学习如何用字母表示数，进而掌握各种数的加减乘除运算和代数式的展开与因式分解等技巧。

1. 代数式的运算代数式是数学中的核心概念之一，掌握代数式的运算是解决各种问题的基础。

学生需要掌握代数式的加减乘除运算规则，并能在实际问题中应用这些技巧。

2. 一元二次方程一元二次方程是数学中的经典问题之一，也是考查学生解决实际问题能力的常见题型。

掌握一元二次方程的解法，对于学生在构建模型求解实际问题时十分有帮助。

二、几何几何是数学中的一个重要分支，通过几何的学习，学生将培养空间想象和图形分析能力，进而解决与形状、位置、方向等相关的问题。

1. 平面图形的相关性质学生需要掌握平面图形的基本性质，如线段、角、三角形、四边形等的定义和性质。

特别是对于三角形和四边形，需要熟练掌握各种判定等著名定理和公式的使用。

2. 空间图形的相关性质学生需要了解立体图形的基本性质，如立方体、圆柱体、圆锥体、球体等的定义和性质。

掌握这些性质能够帮助学生解决立体图形的计算和判定问题。

三、概率统计概率统计是数学中比较实用的一门学科，通过学习概率统计，学生将掌握分析数据、做出统计推断和预测的技巧。

1. 数据的收集和整理学生需要学会有效地收集数据，并分析和整理数据。

采用合适的统计方法，能够更好地描述和总结数据，进而做出科学的推断。

2. 概率的计算和应用学生需要掌握概率的基本概念和计算方法。

理解事件发生的可能性和概率的性质，能够帮助学生在预测和决策中做出更合理的选择。

以上介绍了华师大九年级数学上的一些重要知识点，对于学生来说，掌握这些知识点将对他们的数学学习和应用能力有很大帮助。

最新华师大版九年级上册数学全册知识点总结或减去一个数使得方程左边成为一个完全平方，最后使用完全平方公式解方程．3)公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法．求根公式：对于一元二次方程ax2bx c0，它的两个根分别为：x1,2b b24ac2a其中，b24ac叫做判别式．当b24ac0时，方程有两个不等实数根；当b24ac0时，方程有两个相等实数根；当b24ac0时，方程没有实数根．4)因式分解法：将一元二次方程变形，使其成为两个一次因式的乘积，然后利用积零原理”解方程．5)图像法：利用二次函数的图像解一元二次方程的方法．将一元二次方程化为二次函数的标准式y ax2bx c，然后根据二次函数的图像，求出方程的实数根．3.一元二次方程的应用：1)利用一元二次方程解决实际问题．2)利用一元二次方程的图像分析实际问题．1.一次项系数的一半的平方可以配成完全平方公式。

2.公式法是一种用求根公式解一元二次方程的方法，其中一元二次方程ax+bx+c=(a≠)的求根公式为x=(-b±√(b²-4ac))/2a。

3.因式分解法是一种利用因式分解求解方程的方法，其步骤为将方程右边化为0，然后利用提取公因式、公式法或十字相乘等方法将其化为乘积的形式。

4.一元二次方程的根的判别式为△=b²-4ac，其中当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相同的实数根；当△<0时，方程没有实数根。

5.XXX定理指出，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

6.一元二次方程可以用二次函数来表示，当y=0时就构成了一元二次方程，而在平面直角坐标系中，一元二次方程的解就是二次函数与X轴的交点。

7.比例式中，a、d为外项，b、c为内项，b=c时，b为a、d的比例中项。

8.比例具有基本性质、更比性质、合比性质和等比性质。

初三数学上册知识点（华师大版）第22章二次根式1、二次根式定义：2、最简二次根式：3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

?4、二次根式的性质5、二次根式的加减法二次根式的加减，与整式的加减相似，先把各个二次根式化简，再合并同类二次根式6、二次根式的乘除法二次根式乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据为上述性质（3）（4）7、二次根式混合运算二次根式的混合运算顺序同整式，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（先算小括号，再算中括号，最后算大括号）·第23章一元二次方程1、一元二次方程定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，且a≠0)，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。

2、一元二次方程解法（1）直接开平方法：|（2）因式分解法利用将方程左边分解成几个因式乘积形式求解的方法叫因式分解法。

此法为一元二次方程常用解法。

（3）配方法将方程变形为（x±a）2=b （b≥0）的形式求解的方法。

（4）公式法3、一元二次方程根的判别式|当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根。

4、一元二次方程根与系数的关系5、利用一元二次方程解应用题列方程解应用题的关键是:找出相等关系.（1）列方程解应用题的一般步骤是:【审：审清题意：已知条件，隐含条件，及求解问题，已,未知之间有关系；设：设未知数：设求解量的未知数，有单位(统一)的要注明单位，并语句完整；列：列方程：由题意列出关于所设未知数的方程；解：解方程：求解所列的方程的跟；验：检验：检验所列方程的根；及是否符合题意；答:：作答：针对所求问题得出的答案作答。

.（2）典型应用题数字与一元二次方程、几何与一元二次方程、路程与一元二次方程、工程与一元二次方程、销售与一元二次方程、增长率与一元二次方程等~第24章图形的相似1、相似图形：具有相同形状的图形2、成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a/b=c/d （或a:b=c:d），那么这四条线段叫做成比例线段。

第21章 二次根式知识点1 二次根式（重点）知识解读1)0a ≥a 称为被开方数（式）．要点精析：（1）二次根式的定义是从代数式的结构形式．．．．上界定的，必须含有二次根号的根指数为22”一般省略不写．（2）被开方数a 可以是一个数．．．，也可以是一个含有字母的式子．．；但前提是．．．a 必须大于或等于0．（3）形如)0a ≥的式子也是二次根式．2．易错警示：（1（2()10a ≥这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式． 知识点2 二次根式有意义的条件（重点）知识解读1．二次根式有意义．．．的条件是被开方数（式）为非负数．．．；反之也成立，0a ⇔≥． 2．二次根式无意义．．．的条件是被开方数（式）为负数．．；反之也成立，0a ⇔<． 要点精析：（1）如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．．．．．．．．．．．； （2）如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的．．．．．．被开方数是非负数．．．．．．．．；分式的分母不等于．．．．．．．．0．； （3）如果一个式子中含有零指数或责整数指数，那么它有意义的条件是：底数不为．．．．0．．方法规律（1）本例通过式子有意义的隐含条件，求出点的横、纵坐标的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的象限；这种由“数”确定符号到“形”确定位置的过程，体现了“数形结合思想”．（2）当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都表示这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般都是先根据定义建立关于未知数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定未知数的值或范围．知识点3 二次根式的性质（重难点）知识解读1．二次根式的性质：（1a≥≥即一个非负数的算术平方根是一个非负数；（2）()2a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；（3()()0,0,a aaa a≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值．要点精析：（1．．．．．：①0a≥≥．（22的区别与联系：区别：a为全体实数，2中0a≥；先平方后开方，2是先开方后平方；③运算结果不同：()()0,0,a aaa a≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩2a=．联系2均为非负数，且当0a≥2=．2．易错警示a=化简时，易忽略字母a的取值范围．方法规律本例与前面的例3都属于“数形结合思想”的经典例题，它们的不同点：例3是由“数”的符号确定“形”的位置；而本例则由“形”的位置来确定“数”（式）的符号；它充分体现了“数”与“形”是一个互相依存、不可分割的有机结合体；解答利用二次根式的性质化简题的关键是确．保去掉根号后的结果是非负数．．．．．．．．．．．．．．方法规律常见的非负数的类型有三种：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们的和．为．0．时，必须满足其中的每一项．．．都等于．．．0．．方法规律形如（4）这类题目应充分运用分类讨论思想．另外，此类题中并不是所有的非负数都得写成二次根式的平方（不一定带根号）的形式，如242=，2164=，()22211x x x++=+等．方法规律解这类题的依据是二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．．．．．．．．，，它是限制字母取值范围的重要条件，也是易被忽略的隐含条件；b（其中被开方数x a-与a x-互为相反数）的式子的值是b．方法规律此题运用转化思想，把二次根式问题转化为绝对值问题，去绝对值符号时运用了分类讨论思想．当绝对值符号内的代数式大于或等于0时去掉绝对值符号后是它本身，当绝对值符号内的代数式小于o 时去掉绝对值符号后是它的相反数．此题有两处绝对值，故要分三种情况讨论，即：两个都小于0；一个大于0，另一个小于0；两个都大于0．等于0和这三种情况中任何一种合并都可以，只不过分段讨论时，同一个数不重复讨论，在一处出现即可．方法规律先通过二次根式的定义求自然数n 的范围，再由二次根式的性质确定12n -是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数n 的值．方法规律a =进行化简时，其关键步骤是去绝对值符号．．．．．．，而去绝对值符号的关键是判．断绝对值符号内的代数式的符号．．．．．．．．．．．．．．；因此一定要结合具体问题：如数轴、几何图形特征等，先确定其符号，然后进行化简．21.2 二次根式的乘除知识点1 二次根式的乘法（重点）知识解读1)0,0a b =≥≥．这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．要点精析：（1）法则中被开方数a 、b 既可以是数．，也可以是代数式．．．，但都必须是非负数．．．； （2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数（式）之积作为根号外因数（式），被开方数之积作为被开方数；（3）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式；（4）如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．．．．．．．．．． 拓展：（1）几个二次根式相乘，把被开方数相乘，)0,0,0a b c =≥≥≥；（2）几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．（3）易错警示：不要把字母表示正数误认为含该字母的式子就是正数．知识点2 积的算术平方根（难点）知识解读1)0,0a b ≥≥，这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．要点精析：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用．．．．．二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平方根同样适用；（2）应用积的算术平方根的性质的前提条件．．．．是乘积中的每个因数（式）必须是非负数；应用此性质的作用是化简二次根式；（3）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外．2．易错警示：积的算术平方根性质中的每个因式可以是数，也可以是代数式，但无论是数还是代数式都必须满足因数（式）都是非负数，才能运用性质进行化简或计算． 知识点3 二次根式的除法（重点）知识解读1)0,0a b =≥>．这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根．要点精析：（1）法则中的被开方数a 、b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的．．．且．b ．不．为．0．；（2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比．．单项式除以单项式的法则进行运算；将根号外因数（式）之商作为根号外商的因数（式）；被开方数之商作为被开方数．2．易错警示：（1)0,0a b =≥>中，特别注意0b >，若0b =，则代数式无意义；（2）二次根式的运算结果要尽量化到最简；（3这样的错误；（4）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．方法规律利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．知识解读1)0,0a b=≥>．这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．要点精析：（1）商的算术平方根的性质的实质是逆用．．．．．二次根式的除法法则； （2）应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；（3）商的算术平方根的性质的作．用是化简二次根式．．．．．．．．，将分母中的根号化去． 2．分母有理化：（1）定义：要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了，通常这种化简过程称为分母有理化；（2）依据：分式的基本性质及()20a a =≥；（3）方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．拓展：（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；（2）常用的有理化因式a a ；3．易错警示：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数应不含开得尽的因数（式），同时分母不含二次根式．方法规律分每有理化一般经历如下三步：“一移．．”，即将分子、分母中能尽方的因数（式）移到根号外；“二乘．．”，即将分子、分母同时乘以分母的有理化因数（式）；“三化．．”，即化简计算．知识点5 最简二次根式（重点）知识解读1．定义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．要点精析：最简二次根式必须满足：（1）被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数（式）；（2）被开方数中每个因数（式）的指数都小于根指数2；即每个因数（式）的指数都是1．2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：（1）“一分”，即利用因数（式）分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（式）的幂的乘积形式；（2）“二移”，即把能开得尽方的因数（式）用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；（3）“三化”，即将分母有理化一化去被开方数中的分母．3．易错警示：（1）分母中含有根式的式子不是最简二次根式；（2）去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；（3）去根号后漏掉括号．方法规律二次根式乘除法的混合运算与整式乘除法的混合运算方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中同样适用．．．．，在运算中要注意符号和顺序；最后的结果要注意将所含的二次根式化为最简二次根式．．．．．．．．．．．．．．．．．，且分母中不含二次根式说明：对于二次根式的混合运算，也可先对每一个二次根式进行化简，再计算，能使计算简便，请读者试一试．方法规律本例利用探究规律法将蕴涵在数中内在的排列规律，猜想探究问题的结果用代数式表示．21.3 二次根式的加减知识点1 同类二次根式知识解读1．我们把像、-要点精析：（1）同类二次根式必须符合两个条件：①最简二次根式；②被开方数相同．（2）判断是否为同类二次根式时，先将二次根式都化为最简二次根式，然后比较被开方数，它与根号前面的系数无关．2．易错警示：判断两个二次根式是否为同类二次根式，不化简而直接判断易出错．方法规律判断几个二次根式是否为同类二次根式的步骤是：（1）将各二次根式化为最简二次根式；（2）看被开方数是否相同．知识点2 二次根式的加减知识解读1．法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．=+即：(m n2．二次根式加减运算的步骤：（1）“化”：将每个二次根式化成．．最简二次根式；（2）“找”：找出．．同类二次根式；（3）“并”：将同类二次根式合．并．成一项．3．整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用．4．易错警示：（1）合并同类二次根式时，根号外的因数与因数合并，剩下的部分保持不变，一定不要丢掉；（2）不能合并的二次根式不能丢掉，因为它们也是结果的一部分；（3）二次根式根号外的因数是带分数的要化为假分数．方法规律二次根式的加减法运算的步骤：（1）将每个二次根式都化为最简二次根式．．．．．．，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数成分数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；（2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．．．．．方法规律本例是一道集“数”与“形”为一体的经典题，解答本例经过由非负数之和为零得方程（组），从方程（组）得到三条线段的长；再由任意两线段之和大于第三条线段；任意两线段之差小于第三条线段；得出这三条线段符合组成三角形的条件；最后求三角形的周长． 知识点3 二次根式的混合运算（难点）知识解读1．二次根式的混合运算：（1）运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算．（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．要点精析：（1）二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式（或整式）的形式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，并且分母中不含二次根式；（2）进行二次根式的开方运算时应使开出的因数（式）是非负数（式）．2．二次根式的运算律：（1）实数运算中的运算律（交换律、结合律、分配律）和整式乘法中的乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用．（2）在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律．3．易错警示：（1）对被开方数相同的二次根式理解不透彻导致合并不彻底．（2）在计算过程中，忽略隐含已知条件中的字母的取值范围，导致出现符号错误． 方法规律二次根式的混合运算顺序与整式运算类似，先乘方．．．，再乘除．．．，最后再加减．．．．．，在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非同类二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用． 方法规律=，即它们是可以合并的二次根式，也就是说它们是被开方数相同的二次根式．．．．．．．．．．．，利用这一特征解决问题，如按思维习惯把已知等式两边平方，这样一个等式两个未知量是无法求出a 、b 的．方法规律由5x y +=-，6xy =解出x ，y 的值比较困难，因此可以考虑用整体思想求解． 方法规律本题运用数形结合思想．先根据实数所对应的点在数轴上的位置，得出每个数的正负情况以及大小关系，再运用二次根式的性质和绝对值的性质来解决问题．方法规律本题运用了“．0．”点取值法．．．．．，即令要讨论的每个代数式等于0，求出字母的值，然后分情况化简．体现了分类讨论思想的运用．方法规律参数法的实质是．．．在解题过程中，适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系量（参数），以此作为媒介．．，再进行分析和综合，从而解决问题．例如本例中的y 就是一个参数． 方法规律此例体现了从特殊到一般的思想，采用了归纳法来解题．仔细观察，找出规律是关键． 方法规律此例运用了反向推理法，对于一些题目，当我们从正面．．不好解答时，不妨从它的反面．．来考虑，可能有意想不到的效果．第22章 一元二次方程知识点1 一元二次方程的概念知识解读1．定义：整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．要点精析：（1）理解定义：要掌握三个关键点：整式、未知数个数及最高次数；“一元”是指整个方程中只含有一个未知数；“二次”是指该未知数的最高次数是2．（2）一元二次方程的识别方法：整理前：①整式方程，②只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是2．2．易错警示：在判断一个式子是否是一元二次方程时常出现以下几种错误：（1）不整理合并直接判断；（2）不看是不是整式方程；（3）未知数的个数不是1或未知数的最高次数不是2．方法规律判断一个方程是否是一元二次方程，有两个关键点：（1）整理前足整式方程且只含一个未知数；（2）整理后未知数的最高次数是2；本例⑤()222322x x x -=-中易出现不整理就下结论，误认为是一元二次方程的错误．方法规律已知某方程为一元二次方程，则此方程必须符合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；未知数的最髙次数是2．当二次项系数是待定系数时还要考虑二次项系数不等于0．知识点2 一元二次方程的一般形式（重点）知识解读1．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：()200ax bx c a ++=≠．这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 次项系数，c 是常数项．2．理解要点：（1）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程才是一元二次方程，但b ，c 可以是0．（2）将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．（3）指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一起．（4）二次项系数不等于零既是一元二次方程的必要条件，也是一个隐含条件．3．易错警示：（1）忽略一元二次方程20ax bx c ++=中二次项系数0a ≠的条件．（2）确定一元二次方程各项系数时，不要忽略各项前面的符号．方法规律1．化一般形式一般要经历一去（去分母去括号）二移三并这三步；2．当整理为一般形式后，如果二次项系数是负数，一般要把它转化为正数，若有关系数是分数，一般要把它转化为整数．方法规律在一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=中，0a ≠是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，在应用一元二次方程的定义求待定字母的值时，既要考虑未知数的最高次数是2，又要考虑二次项系数不为零．方法规律在由一元二次方程的定义求有关待定字母的值时，先要把方程整理成一元二次方程的一般形式，再由题中给出的条件及二次项系数不为0列式求出．知识点3 建立一元二次方程的模型知识解读1．一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．2．建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x ；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．3．常用一元二次方程来建模的问题有：圆形的面积、增长（利润）率、行程问题、工程问题等．4．易错警示：一元二次方程求得实际问题的解要检验，看其是否符合实际意义． 知识点4 一元二次方程的根（解）（难点）知识解读1．定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根（解）． 要点精析：（1）判断方程的根的必要条件是：使方程左右两边相等．（2）根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确．（3）一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的根．方法规律检验一个数是否为方程的根，只要把这个数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否相等．在找根时注意使一元二次方程左右两边相等的未知数的值不一定只有一个． 方法规律如果0x 是方程20ax bx c ++=的根，则有式子2000ax bx c ++=成立．当求含有0x 的代数式的值时，找出该代数式与2000ax bx c ++=相类似的结构进行整体代入求值． 方法规律判断未知数的值是否为所给一元二次方程的根的方法是将这个数代入原方程，判断方程左右两边的值是否相等．22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法知识点1 用直接开平方法解一元一次方程（重点）知识解读1．定义：利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方法求方程的解的方法：（1）()20x p p x =≥→=2）()()20x a p p x a +=≥→=；（3）()()20,0mx n p p m x +=≥≠→= 3．易错警示：直接开平方法是利用平方根的意义，所以要注意两点：（1）常常只取正的平方根而遗漏负的平方根；（2）只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提条件是2x p =中0p ≥． 方法规律用直接开方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的意义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．知识点2 用因式分解法解一元二次方程知识解读1．定义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）整理方程，使其右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．3．常用的因式分解的方法：（1）提取公因式法；（2）公式法；（3）()()()2x a b x ab x a x b +++=++．4．易错警示：（1）当方程没有化成一般形式时，不能把左边进行因式分解；（2）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解．方法规律用因式分解法解一元二次方程时，不要急于将方程化为一般形式，要结合方程特点适当变形，发现并提取公因式或运用公式．方法规律采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：右化零，左分解，两因式，各求解． 方法规律用直接开平方的方法解一元二次方程，如果方程化成()20x p p =≥的形式，则方程的两根互为相反数．方法规律本题运用了换元法，运用换元法解方程时，要'注意还元．如本题最后是要解出未知数x ，而不是未知数t ，所以先换元然后再还元．方法规律元二次方程的两个根，就可以知道用因式分解法求解的过程，即()()120,x a x b x a x b --=⇔==．方法规律确定三角形的三边长时，要考虑三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．22.2.2 配方法知识点1 用配方法解一元二次方程知识解读1．定义：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．要点精析：（1）配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项_系数必须为1）．（2）用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需要的形式．配方是为了降次，利用平方根的定义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．2．用配方法解一元二次方程的步骤：简言之：一化二移三配四开方，即（1）化：①将方程化成一般形式；②将二次项系数化为1．（2）移：将常数项移到方程的另一边．（3）配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程变为()2x m n ±=的形式．（4）开方：如果n 为非负数，直接开平方求根．3．易错警示：利用配方法解一元二次方程时：易忘记二次项系数化为1或方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．方法规律（1）二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍．注意有两个．（2）当二次项系数不为1时，则先化二次项系数为1，然后再配方．方法规律方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键，将二次项系数化成1是进行这一关键步骤的重要前提．方法规律当一个方程出现多个未知数，且方程中具备完全平方式的雏形时，可以考虑凑完全平方式，将方程化成几个非负数的和为零的情形，从而将一个方程化成多个方程来分别求解．22.2.3 公式法22.2.4 一元二次方程根的判别式知识点1 公式法解一元二次方程知识解读1．求根公式的定义：方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为)240x b ac =-≥，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式．2．用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式；（2）确定公式中a 、b 、c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）若240b ac -≥，则把a 、b 及24b ac -的值代入求根公式求解，当240b ac -<时，方程无实数解．方法规律用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a 、b 、c 后，先计算24b ac -的值，当240b ac -≥时，再用求根公式解．方法规律解含字母系数的一元二次方程时，与解一般的一元二次方程一，一，先将方程化成一般形式，然后利用公式法求出方程的解．方法规律利用公式法因式分解的理论依据：若一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则方程可化成()()()1200a x x x x a --=≠的形式，因此()()()2120ax bx c a x x x x a ++=--≠，所以利用公式法进行代数式()20ax bx c a ++≠的因式分解时，可以先构造一元二次方程20ax bx c ++=，然后求出一元二次方程的两根，再代入()()()120a x x x x a --≠完成因式分解．知识点2 一元二次方程根的判别式知识解读1．式子24b ac -叫做方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，通常用符号∆表示，即24b ac ∆=-．2．一元二次方程根的个数的判断方法：（1）当0∆>时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根．（2）当0∆=时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根．（3）当0∆<时，方程没有实数根．要点精析：（1）利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反之，已知方程根的情况可以确定方程待定字母系数的取值范围；（2）计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a 、b 、c 后再计算；（3）一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，即0∆≥． 方法规律（1）关于一元二次方程根的情况的问题一般都与24b ac -有关，抓住24b ac -与零的大小关系推出一元二次方程根的三种不同情况是解题的关键．（2）判断方程根的情况的方。

数学九年级上册华师大版一、二次函数。

1. 二次函数的概念。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

2. 二次函数的图象与性质。

- 图象的形状：二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

例如对于二次函数y=x^2-2x + 3，其中a = 1，b=-2，根据公式可得对称轴为x =-(-2)/(2×1)=1。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入二次函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a < 0时，抛物线开口向下，函数有最大值。

3. 二次函数的平移。

- 二次函数y=a(x - h)^2+k(a≠0)的图象可以由y = ax^2的图象平移得到。

- 规律为“左加右减自变量，上加下减常数项”。

例如，将y = x^2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式为y=(x - 2)^2+3。

二、一元二次方程。

1. 一元二次方程的概念。

- 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

例如x^2+3x - 4 = 0，这里a = 1，b = 3，c=-4。

2. 一元二次方程的解法。

- 直接开平方法：对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。

华师大版九年级数学知识点
一、代数运算
1、指数的运算：了解指数的积的定义，能够运用乘方运算定理计算指数的乘积，除积，幂乘积，也能够用规律法与分段法运算指数表达式；
2、根式运算：能熟练求解一元二次方程，包括解析法、完全平方式以及使用公式计算；
3、混合运算：除此之外，熟练掌握一元多项式与根式的乘除，一元多项式与根式的
加减以及一元多项式与根式的加减；
4、分数：掌握分数的四则运算，学会令分母相等的两个分数的加减，乘除的计算方法；
二、三角函数
1、三角函数的定义域：搞清楚三角函数的定义域，用数值分析法分析三角函数；
2、三角函数的运算：学习三角函数的运算规则，包括加减乘除法，计算四边形的高、斜边条件；
3、三角函数的一元函数性质：掌握正弦函数的图形特征及求值方法，锐角与钝角的
判定及其弧度和角度的大小关系；
4、三角函数的三角恒等变换：学会已知两个边或边角的情况下求另外一条边的程序
及证明，学习三角恒等变换的应用；
三、微积分
1、函数及其图形：学习定义域上的函数图像的奇偶性，学习收展性、对称性和周期性；
2、函数的微分及求导法则：学习基本及高级求导法则；
3、函数的积分及求积法则：学习求积法则，包括换元法，求面积；
4、应用：学习H里氏定理及积分测定面积、体积问题，学习积分中的标准积及简单积，泰勒公式等应用。

华师大版九年级数学上册考点数学起源于人类早期的生产活动，并能运用实际问题。

从数学本身看，他们的数学知识也只是视察和体会所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的奉献。

今天作者在这给大家整理了一些华师大版九年级数学上册考点，我们一起来看看吧!华师大版九年级数学上册考点角的平分线定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形性质等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)对称定理定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称直角三角形定理定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半判定定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形九年级数学上册考点点的定理：过两点有且只有一条直线点的定理：两点之间线段最短角的定理：同角或等角的补角相等角的定理：同角或等角的余角相等直线定理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短几何平行平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也相互平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等;两直线平行，内错角相等;两直线平行，同旁内角互补三角形内角定理定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°全等三角形判定定理：全等三角形的对应边、对应角相等边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边定理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等九年级数学考点1不在同一直线上的三点肯定一个圆。

华东师大版数学九年级上知识点小结第21章 二次根式1、二次根式的意义形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。

二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。

2、最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。

3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

4、二次根式的主要性质（1）双重非负性：)0(0≥≥a a（2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。

＊（3）绝对性：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a5、二次根式的运算（1）因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

（2）有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（3）二次根式的加、减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。

0,0).a b ⋅=≥≥=(0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

附：1、根式)0,0(>≥a b ab的化简方法 （1）把a b 化为,a b然后分母有理化为.a ab （2）把a b 化为a a a b ⨯⨯，然后化为.aab2、 分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：(1)根据（a ）a =2)0(≥a 可知a(2)根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a ，y b x a ±的有理化因式是y b x a第22章 一元二次方程：1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

九年级数学上册知识点华师作为九年级学生，我相信大家对数学上册的知识点应该都有所了解了。

下面我将在文章中对一些关键知识点进行探讨和总结，希望对大家有所帮助。

第一章：有理数有理数作为数学中的重要概念，是我们进行数学计算的基础。

在这一章中，我们学习了有理数的定义、有理数的加减乘除运算等内容。

有理数乘法中的各种运算规律，例如负数相乘为正数，负数和正数相乘为负数等，都需要我们掌握。

第二章：代数的初步认识代数作为数学的一门重要分支，是我们进行数学推理和解决实际问题的工具。

在这一章中，我们学习了代数表达式的定义、代数表达式的计算等内容。

特别是一元一次方程的解法，需要我们灵活运用加法逆元和乘法逆元的知识，来解决实际生活中的问题。

第三章：线性方程组线性方程组是一种重要的数学模型，可以用来描绘两个或多个变量之间的关系。

在这一章中，我们学习了线性方程组的定义、线性方程组的解法等内容。

特别是用矩阵的观念来解线性方程组，可以大大简化计算的过程。

第四章：概率的初步认识作为数学中的一门重要分支，概率可以用来描述随机事件的可能性大小。

在这一章中，我们学习了事件的概念、概率的定义和计算方式等内容。

特别是对于互斥事件和包含关系的概率计算，需要我们灵活运用概率的知识，来解决实际生活中的问题。

第五章：统计的初步认识统计学作为一门实践性很强的学科，可以用来对数据进行收集、整理和分析。

在这一章中，我们学习了调查的方法、频数分布的表示方法等内容。

特别是用直方图和折线图来表示数据分布，对于大量数据的可视化表达是非常有帮助的。

第六章：直线的方程直线方程作为数学中的重要内容，是我们进行几何推理和解决问题的工具。

在这一章中，我们学习了直线的斜率、截距及其应用等内容。

特别是通过两点求直线方程的方法，可以快速求解出直线的方程，进而解决实际生活中的问题。

通过对九年级数学上册的知识点进行了简要的概述，我相信大家对这些内容有了更深的了解。

数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。