郑州四十七中学高三第一次月考试题数学(理科)
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郑州市第四十七中学高三第一次月考试题数学（理科）
2011.9
数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 复数31ii等于 （ ）
A．i21 B.12i C.2i D.2i
2. 集合22{|3.},{|1.},AxyxxRByyxxR则AB＝（ ）
A. {(2,1),(2,1)} B.
C. {|13}zz D. {|03}zz
3.曲线21xyx在点1,1处的切线方程为（ ）
A. x+y－2=0 B. x－y=0 C.x+4y－5=0 D. x－4y－5=0[.C
4.22)cos1(dxx等于（ ）
A. π B. π+2 C. π-2 D. 2
5.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若a,b是N中的两不同元素,则a+b的最小值为0”的逆否命题是假命题．
B. “x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分条件．
C. 命题“x∈R”使得“x2+x+1＜0”的否定是：“x∈R，均有“x2+x+1＞0”．
D. 命题“若－aN，则a∈N”的否命题是真命题．
6．高三（1）班要从3名男生，3名女生中选出3人分别担任数学、物理、化学课代表，要求至少有一名女生，则不同的选派方案有（ ）种。
A．54 B．114 C．19 D．180 7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足()()0xfxfx，对任意正数a，
b，若a
A．af(b)＜bf(a) B．bf(a) ＜af(b) C．af(a)＜bf (b) D．bf(b) ＜a
f(a)
8．设函数)0)(1lg()0()21(2)(xxxxfx，若1)(0xf，则0x的取值范围是 （ ）
A．,91, B．)9,( C． 9,1 D． 0,1
9．定义在R上的函数)(xf满足0)()2(xfx，又)3(log21fa，))31((3.0fb，)3(lnfc，则（ ）
A．cba B．acb C．bac D．abc
10．若函数)1,0()1()(aaaakxfxx在R上既是奇函数，又是减函数，则)(log)(kxxga的图像是( )
11、设函数()sinfxxx，若12,[,]22xx，且12()()fxfx，则下列不等式恒成立的是（ ）
A、12xx B、12xx C、120xx D、2212xx
12.给出定义：若函数()fx在D上可导，即()fx存在，且导函数()fx在D上也可导，则称()fx 在D上存在二阶导函数，记()fxfx，若()0fx在D上恒成立，则称()fx在D上为凸函数。以下四个函数在0,2上不是凸函数的是（ ）
A．()sincosfxxx B．()xfxxe
C．3()21fxxx D．()ln2fxxx
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13．161()2xx-的二项展开式中第4项是 ．
14. 设()fx是周期为2的奇函数，当01x时，()2(1)fxxx，则5()2f______.
15．已知函数32,2()(1),2xfxxxx若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______
16．已知二元函数),(yxf满足下列关系：
①xxxf),(
②),(),(yxkfkykxf（k为非零常数）
③),(),(),(21212211yyxxfyxfyxf
④)32,(),(yxyfyxf
则),(yxf关于yx,的解析式为),(yxf ．
三解答题(共6小题,共70分)解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上．
17．（本小题满分12分）
给定两个命题：p：对任意实数x都有012axax恒成立；q：关于x的方程02axx有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
18、（本题满分12分）
某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：
付款方式 分l期 分2期 分3期 分4期 分5期
频数 40 20 a 10 b
已知分3期付款的频率为0.2 ，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用表示经销一辆汽车的利润．
（Ⅰ）求上表中a，b的值；
（Ⅱ）求的分布列及数学期望E．
19．（本小题满分12分）
某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用();fx
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
20．（本小题12分）
已知函数()lnafxxx．
⑴讨论函数()fx的单调区间；
⑵若函数fx在1,e上的最小值是3,2求a的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数(1)()ln.1axfxxx
（1）若函数()(0,)fx在上为单调增函数，求a的取值范围；
（2）设,,,:.lnln2mnmnmnmnmnR且求证
22．（本小题满分10分）
设函数()214fxxx．
（1）解不等式()2fx；
（2）求函数()yfx的最小值．
郑州四十七中第一次月考理科数学答案
1-12 D C A B B A A C D A D B
13． 10470Tx=-
14. 12
15．（0，1）
16．yx5352
17．（本小题满分10分）
解：对任意实数x都有012axax恒成立
000aa或40a；„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
关于x的方程02axx有实数根41041aa；„„„„„4分
如果p正确，且q不正确，有44141,40aaa且；„„„„„6分
如果q正确，且p不正确，有041,40aaaa且或．„„„„8分
所以实数a的取值范围为4,410,„„„„„„„„„„„„„„10分
18、（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由202.0100aa得
∵40+20+a+10+b=100 ∴b=10 „„„„4分
（Ⅱ）记分期付款的期数为，依题意得
2.0)3(,2.010020)2(,4.010040)1(PPP
1.010010)5(,1,010010)4(PP „„„„8分
的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）
2.01.01.0)5()4()2(4.0)3()2()5.1(4.0)1()1(PPPPPPPP„„„„„„„..10分
的分布列为
1 1．5 2
P 0．4 0．4 0．2
的数学期望4.12.024.05.14.01E（万元）„„„„12分 19．解：（1）设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分36x批，每批价值为20x元，
由题意 36()420fxkxx „„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
由 4x时，52y 得 161805k „„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
*144()4(036,)fxxxxxN „„„„„„„„„„„„„„„„„8分
（2）由（1）知*144()4(036,)fxxxxxN
144()2448fxxx（元） „„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
当且仅当1444xx，即6x时，上式等号成立．
故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．„„„„„„„„„„„„„„„12分
21．解：（I）21(1)(1)()(1)axaxfxxx
2222(1)2(22)1.(1)(1)xaxxaxxxxx
因为()(0,)fx在上为单调增函数，
所以()0(0,)fx在上恒成立. 22(22)10(0,).(0,),(22)10,122.1(),(0,).11()22.1,1,()2.xaxxxaxaxxgxxxxgxxxxxxxgxx即在上恒成立当时由得设所以当且仅当即时有最小值
222.2.aa所以所以所以a的取值范围是(,2].
,lnln211,2lnmnmnmnmmnnmn要证只需证
即证2(1)ln.1mmnmnn只需证2(1)ln0.1mmnmnn
2(1)()ln.1xhxxx设
由（I）知()(1,)hx在上是单调增函数，又1mn，
()(1)0.2(1)ln0.1mhhnmmnmnn所以即成立
所以.lnln2mnmnmn
22．选修4—5：不等式选讲
设函数()214fxxx．
（1）解不等式()2fx；
（2）求函数()yfx的最小值．
22．解：（1）令214yxx，则 12O 2y4 x y
